Ecuații trigonometrice elementare (M2, științe ale naturii)

Steaua Delta Cephei, din constelația Cefeu, se aprinde și se stinge ritmic: la fiecare aproximativ cinci zile și o treime, strălucirea ei crește cam de două ori și apoi revine. Stelele de acest fel, numite cefeide, i-au ajutat pe astronomi să măsoare distanțele până la alte galaxii. Dacă descriem strălucirea printr-o funcție cu sinus, întrebarea „când are steaua o strălucire dată?” devine o ecuație trigonometrică, iar răspunsul nu este un moment, ci un șir fără sfârșit de momente. Lecția aceasta, de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), învață cele patru ecuații de bază și scrierea tuturor soluțiilor pe mulțimea numerelor reale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema, cu cele patru tipuri de ecuații scrise explicit; varianta-model publicată pentru 2026 nu are o ecuație trigonometrică.

Lecția folosește funcțiile inverse din lecțiile precedente ale traseului: arcsinusul și arccosinusul la M2 și arctangenta și arccotangenta la M2. Ele dau câte o soluție „de bază”, iar periodicitatea, din lecția despre funcțiile periodice la M2, le înmulțește.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce, în clasa a X-a, o ecuație trigonometrică se rezolvă pe toată axa reală, nu doar pe $[0,2\pi ]$ ca în clasa a IX-a.
• Vei ști să scrii mulțimea tuturor soluțiilor pentru $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$ și $\mathrm{ctg}x=a$, cu un parametru întreg $k$.
• Vei ști să citești aceste soluții pe cercul trigonometric și pe graficul funcției, ca puncte de intersecție.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile cu argument de forma $mx+n$ și să împarți corect tot membrul drept.
• Vei ști să alegi dintr-o mulțime infinită soluțiile care cad într-un interval dat, inclusiv soluțiile negative.
• Vei ști să transformi o întrebare despre un fenomen periodic, ca strălucirea unei stele, într-o ecuație și să interpretezi soluțiile ei.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi o ecuație trigonometrică în ℝ?

Ecuația trigonometrică elementară este o ecuație de forma $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$ sau $\mathrm{ctg}x=a$, în care $a$ este un număr real dat. A o rezolva în $\mathbb{R}$ înseamnă a descrie toate numerele reale care o verifică, nu doar pe cele dintr-o tură.

În clasa a IX-a ai lucrat cu sinusul și cosinusul numai pe intervalul $[0,2\pi ]$, iar o ecuație ca $\mathrm{tg}x=m$ avea acolo cel mult trei soluții, cel mult una pe fiecare dintre cele trei bucăți ale graficului. Programa clasei a X-a trece la toată axa: fiecărui număr real îi corespunde un punct pe cerc, iar numerele negative se parcurg în sensul acelor de ceasornic. Două numere care diferă printr-o tură întreagă, $2\pi$, ajung în același punct, deci au același sinus și același cosinus. O singură soluție $x_0$ aduce deci după ea o infinitate: $x_0+2\pi$, $x_0-2\pi$, $x_0+4\pi$ și toate celelalte numere aflate la ture întregi de ea.

Scrierea economică folosește un număr întreg $k$: familia $x_0+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, cuprinde toate aceste numere, pentru $k=0$, $k=1$, $k=-1$ și așa mai departe. Rezolvarea are mereu doi pași: găsești soluțiile dintr-o singură tură, apoi adaugi periodicitatea.

Ce ai învățat în clasa a IX-a nu se pierde. Soluțiile unei ecuații pe $[0,2\pi ]$ sunt exact acele elemente ale familiilor care cad în acest interval, adică cele obținute pentru una sau două valori ale lui $k$. Noul răspuns le conține pe cele vechi și le adaugă pe toate celelalte, de pe turele anterioare și următoare. De aceea verificarea rămâne aceeași: înlocuiești o soluție în ecuație și compari valorile, iar pentru un număr de pe altă tură scazi mai întâi turele întregi.

2. Ecuația sin x = a: două puncte cu aceeași ordonată

Sinusul este ordonata punctului de pe cerc, deci soluțiile ecuației $\sin x=a$ corespund punctelor cercului aflate la înălțimea $a$. Dreapta orizontală $y=a$ taie cercul numai dacă $-1\le a\le 1$; pentru $|a|>1$ ecuația nu are soluții, iar mulțimea lor este vidă.

Pentru $-1<a<1$ dreapta are cu cercul două puncte comune, oglindite unul în celălalt de axa $Oy$. Unul este punctul lui $\alpha =\arcsin a$, aflat pe semicercul din dreapta; celălalt, simetricul lui, este punctul lui $\pi -\alpha$, cum ai văzut la cercul trigonometric. Mulțimea soluțiilor este reuniunea a două familii:

$$S=\left\{\arcsin a+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi -\arcsin a+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Pe un exemplu, $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$: $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$, un număr negativ, perfect valabil pe axa reală. Al doilea punct este al lui $\pi -\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{5\pi }{4}$, deci $S=\left\{-\frac{\pi }{4}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{4}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cele două familii se pot scrie și împreună, ca $(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$, cu $k$ întreg; forma cu două familii e mai ușor de controlat pe cerc.

De ce nu lipsește nicio soluție? Pe o tură, dreapta $y=a$ taie cercul exact în două puncte, iar fiecare punct corespunde unui singur număr din tură. Familia $\arcsin a+2k\pi$ trece o dată prin primul punct pe fiecare tură, iar familia $\pi -\arcsin a+2k\pi$ trece o dată prin al doilea. Nu există un al treilea punct, deci nu există o a treia familie.

3. Ecuația cos x = a: două puncte cu aceeași abscisă

Cosinusul este abscisa, deci acum căutăm punctele cercului de pe dreapta verticală $x=a$. Condiția de existență este aceeași, $-1\le a\le 1$. Cele două puncte sunt simetrice față de axa $Ox$: punctul lui $\beta =\arccos a$, pe semicercul de sus, și punctul lui $-\beta$, pe semicercul de jos. Soluțiile sunt deci $\pm \arccos a+2k\pi$, cu $k$ întreg.

Diferența față de sinus vine din simetrie. La sinus perechea se obține prin oglindire față de axa verticală și dă $\pi -\alpha$; la cosinus oglindirea se face față de axa orizontală și dă $-\beta$. Dacă îți imaginezi dreapta care taie cercul, orizontală sau verticală, nu mai ai nimic de memorat.

Pentru $\cos x=-0,25$ valoarea nu e de tabel, iar răspunsul se scrie exact: $\arccos (-0,25)=\pi -\arccos 0,25$, un număr din cadranul al doilea, aproximativ $1,82$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{\pm \arccos (-0,25)+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$; nu există o formă „mai frumoasă”, iar arccosinusul scris este chiar rezultatul.

4. De ce la tangentă și la cotangentă ajunge o singură familie?

Tangenta unui număr se citește ca înclinarea razei spre punctul lui de pe cerc. Orice dreaptă neverticală ce trece prin centru întâlnește cercul în două puncte diametral opuse, iar numerele lor diferă prin $\pi$, o jumătate de tură. Așadar soluțiile ecuației $\mathrm{tg}x=a$ se repetă din $\pi$ în $\pi$, iar o singură familie le cuprinde pe toate: $x=\mathrm{arctg}a+k\pi$, cu $k$ întreg. Nu există nicio condiție asupra lui $a$, pentru că tangenta ia orice valoare reală. Numerele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, în care tangenta nu există, nu apar niciodată printre soluții, fiindcă arctangenta este strict între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$.

De exemplu, $\mathrm{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ are $\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi }{6}$, deci $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cotangenta, definită în lecția de supliment despre cotangentă și periodicitate, se tratează la fel, cu arccotangenta: $\mathrm{ctg}x=5$ dă $x=\mathrm{arcctg}5+k\pi$, cu $k$ întreg. Ecuația cu cotangentă este cerută de programa de bacalaureat din 2014, nu de programa nouă. Și ea se citește pe cerc cu aceeași dreaptă prin origine: cotangenta este raportul invers al coordonatelor, deci punctele cu o cotangentă dată sunt tot două, diametral opuse, și dau o singură familie cu pasul $\pi$. Condiția de existență, $x\ne k\pi$, nu elimină nimic, fiindcă arccotangenta este strict între $0$ și $\pi$.

5. Cazurile în care dreapta atinge cercul

Când $a=1$ sau $a=-1$, dreapta $y=a$ are cu cercul un singur punct comun, cel de sus sau cel de jos: e tangentă la cerc. Cele două familii ale sinusului se contopesc atunci într-una, cu pasul $2\pi$. La fel se întâmplă cu dreapta verticală a cosinusului. Pentru $a=0$ dreapta trece prin centru și taie cercul în două puncte diametral opuse, așa că soluțiile se repetă din $\pi$ în $\pi$.

Formele scurte merită scrise în răspuns. Formula generală nu greșește, doar repetă aceleași numere de două ori. Tabelul nu trebuie învățat pe de rost: fiecare rând se reface în câteva secunde, dacă privești punctul de sus, cel de jos, cel din dreapta sau cel din stânga al cercului și te întrebi ce coordonată are și de câte ori trece un număr prin el pe o tură.

6. Cum citești soluțiile pe grafic?

Pe graficul cosinusului, prelungit pe mai multe ture, soluțiile ecuației $\cos x=a$ sunt abscisele punctelor în care dreapta orizontală $y=a$ taie curba. Figura arată ecuația $\cos x=0,4$ pe intervalul de la $-\pi$ la $3\pi$.

În clasa a IX-a ai numărat astfel intersecțiile pe o singură tură. Nou este că acum le urmărești pe mai multe ture și le dai nume exacte. Pe fiecare tură dreapta taie curba de două ori, simetric față de vârfurile curbei, adică față de dreptele $x=2k\pi$. Aceasta este, în imagine, perechea $\pm \arccos 0,4$, mutată din tură în tură. Graficul îți spune câte soluții are ecuația pe un interval și aproximativ unde sunt; valorile exacte le dă scrierea cu arccosinus. Programa cere explicit această verificare: după ce ai scris mulțimea soluțiilor, o confrunți cu reprezentarea grafică, desenată cu o aplicație digitală sau dată pe hârtie. Dacă pe o tură vezi două puncte de intersecție, dar ai scris o singură familie, ai pierdut ceva; dacă vezi unul și ai două familii, verifică dacă nu cumva ele descriu aceleași numere. Când dreapta trece exact prin vârfuri, pentru $a=\pm 1$, perechile se lipesc, iar când trece peste curbă, pentru $|a|>1$, nu există puncte comune.

7. Argumentul compus: de ce se împarte și termenul cu k

Dacă sub funcție apare o expresie de gradul întâi, $mx+n$, o notezi cu $u$, rezolvi ecuația elementară în $u$ și abia apoi revii la $x$. Pentru $\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ notezi $u=\frac{x}{2}$: $u=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $u=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Înmulțind cu $2$ toți termenii, $x=\frac{2\pi }{3}+4k\pi$ sau $x=\frac{4\pi }{3}+4k\pi$.

Pasul s-a schimbat: soluțiile se repetă acum din $4\pi$ în $4\pi$, fiindcă funcția $\sin \frac{x}{2}$ are perioada $4\pi$. Regula generală: împarți la $m$ tot membrul drept, inclusiv termenul cu $k$, iar perioada soluțiilor devine perioada inițială împărțită la $|m|$. Un coeficient mai mare decât $1$ înghesuie soluțiile, unul subunitar le rărește.

8. Ce valori ale lui k păstrezi pe un interval de timp?

Multe probleme cer doar soluțiile dintr-un interval, de pildă cele dintr-un interval de timp. Procedezi în trei pași: scrii familiile, pui pentru fiecare condiția de apartenență la interval, rezolvi inecuația în $k$ și păstrezi doar valorile întregi.

Pentru $\cos x=0,4$ pe $[-\pi ,3\pi ]$, cu $\beta =\arccos 0,4\approx 1,1593$: familia $\beta +2k\pi$ dă soluții pentru $k=0$ și $k=1$, adică $\beta$ și $\beta +2\pi \approx 7,44$, iar familia $-\beta +2k\pi$ dă $-\beta \approx -1,16$ și $2\pi -\beta \approx 5,12$. Sunt patru soluții, câte două pe fiecare tură, exact ca în figură. Soluția negativă nu se aruncă: $-\beta$ este în interval și verifică ecuația, pentru că $\cos (-\beta )=\cos \beta$. Capetele intervalului contează: un capăt închis poate fi el însuși soluție, iar unul deschis nu.

Inecuația în $k$ se rezolvă ca orice inecuație de gradul întâi: pentru familia $\beta +2k\pi$ scrii $-\pi \le \beta +2k\pi \le 3\pi$, scazi $\beta$ și împarți la $2\pi$. Cu aproximarea $\beta \approx 1,16$ obții că $k$ este între aproximativ $-0,68$ și $1,32$, deci $k\in \{0,1\}$. Aproximările servesc doar la alegerea lui $k$; soluțiile se scriu apoi exact.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cosinus cu valoare de tabel negativă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}+2\cos x=0$.

Rezolvare. Izolezi cosinusul: $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoare din $[-1,1]$. Arccosinusul unui număr negativ este în cadranul al doilea: $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Deci

$$S=\left\{\pm \frac{5\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Pe cerc, cele două puncte sunt sus și jos, în stânga axei $Oy$, cum cere o abscisă negativă. Verificare pentru $k=0$: $\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Soluția negativă $-\frac{5\pi }{6}$ se poate scrie și ca $\frac{7\pi }{6}$, adunând o tură; cele două scrieri descriu aceeași familie.

Exemplul 2 — Citește pe cerc

Figura C arată cercul trigonometric și dreapta orizontală $y=-0,45$. a) Scrieți mulțimea soluțiilor ecuației $\sin x=-0,45$. b) Care dintre soluții se află în $[0,2\pi ]$ și în ce cadrane sunt punctele lor?

Rezolvare. a) Valoarea nu e de tabel. Arcsinusul este funcție impară, deci $\arcsin (-0,45)=-\arcsin 0,45$, iar al doilea punct este al lui $\pi -(-\arcsin 0,45)=\pi +\arcsin 0,45$:

$$S=\left\{-\arcsin 0,45+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi +\arcsin 0,45+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

b) Din prima familie, $k=1$ dă $2\pi -\arcsin 0,45\approx 5,82$; din a doua, $k=0$ dă $\pi +\arcsin 0,45\approx 3,61$. Pe figură, punctele sunt sub axa $Ox$: cel din dreapta în cadranul al patrulea, cel din stânga în cadranul al treilea, cum cere un sinus negativ.

Exemplul 3 — Tangentă cu argument compus

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$.

Rezolvare. Cu $u=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}$ și $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$, avem $u=-\frac{\pi }{3}+k\pi$. Scazi $\frac{\pi }{6}$: $\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{2}+k\pi$, apoi înmulțești cu $2$: $x=-\pi +2k\pi$. Deci $S=\left\{-\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, adică multiplii impari ai lui $\pi$.

Condiția de existență cerea $u\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$; valorile găsite dau $u=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, care nu sunt niciodată de acea formă. Verificare pentru $x=\pi$: $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$, iar $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: arctangenta în loc de arccotangentă

Un elev rezolvă ecuația $\mathrm{ctg}x=6$ și scrie: „$x=\mathrm{arctg}6+k\pi$”. Verificați și corectați.

Rezolvare. Verificarea pentru $k=0$: numărul $u=\mathrm{arctg}6$ are $\mathrm{tg}u=6$, deci $\mathrm{ctg}u=\frac{1}{6}$, nu $6$; răspunsul e greșit. Elevul a folosit arctangenta, funcția inversă a altei funcții. Corect: $\mathrm{arcctg}6$ este numărul din $(0,\pi )$ cu cotangenta $6$, aflat în primul cadran, aproape de $0$, iar mulțimea soluțiilor este $S=\left\{\mathrm{arcctg}6+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Pe calculator, $\mathrm{arcctg}6=\mathrm{arctg}\frac{1}{6}\approx 0,165$, pentru că numărul e în primul cadran. Greșeala se prinde întotdeauna prin înlocuirea unei singure valori în ecuația inițială.

Exemplul 5 — Strălucirea unei cefeide

Strălucirea unei stele cefeide, raportată la strălucirea ei medie, este modelată prin $L(t)=1+0,4\sin \frac{\pi t}{3}$, cu $t$ în zile. a) Arătați că steaua nu se stinge niciodată și aflați momentele în care strălucirea ei este maximă. b) La ce momente din primele $6$ zile strălucirea relativă este $1,3$?

Rezolvare. a) Sinusul ia valori între $-1$ și $1$, deci $L$ variază între $0,6$ și $1,4$: strălucirea nu ajunge niciodată la zero, iar cea maximă este de aproximativ $2,3$ ori cea minimă, ca la Delta Cephei. Maximul cere $\sin \frac{\pi t}{3}=1$, o ecuație cu o singură familie: $\frac{\pi t}{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, adică $t=\frac{3}{2}+6k$ zile. Pasul familiei, $6$ zile, este chiar perioada strălucirii.

b) $1+0,4\sin \frac{\pi t}{3}=1,3$ dă $\sin \frac{\pi t}{3}=\frac{3}{4}$, o valoare care nu e de tabel. Deci $\frac{\pi t}{3}=\arcsin \frac{3}{4}+2k\pi$ sau $\frac{\pi t}{3}=\pi -\arcsin \frac{3}{4}+2k\pi$, adică $t=\frac{3}{\pi }\arcsin \frac{3}{4}+6k$ sau $t=3-\frac{3}{\pi }\arcsin \frac{3}{4}+6k$. Pe intervalul $[0,6]$ rămâne câte un moment din fiecare familie: $S=\left\{\frac{3}{\pi }\arcsin \frac{3}{4};3-\frac{3}{\pi }\arcsin \frac{3}{4}\right\}$, adică aproximativ $0,81$ și $2,19$ zile. În fiecare perioadă, strălucirea trece o dată prin $1,3$ urcând și o dată coborând. Modelul folosește o perioadă rotunjită, de $6$ zile; Delta Cephei are aproximativ $5,37$ zile, iar curba ei reală urcă mai repede decât coboară. Tocmai legătura dintre perioadă și strălucirea medie a unei cefeide le permite astronomilor să afle cât de departe e steaua: măsoară perioada, deduc strălucirea reală și o compară cu cea văzută de pe Pământ.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați ecuația $\mathrm{tg}3x=-1$, unde $x\in (0,\pi )$.

Rezolvare. Cu $u=3x$: $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$, deci $3x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ și $x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$. Condiția $0<-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}<\pi$ înseamnă $\frac{1}{4}<k<\frac{13}{4}$, deci $k\in \{1,2,3\}$. Soluțiile sunt $S=\left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}\right\}$. Niciuna nu anulează cosinusul lui $3x$, deci toate sunt în domeniu. Verificare pentru $x=\frac{\pi }{4}$: $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$. Enunțul este construit pentru antrenament, în forma cerințelor scurte din bacalaureatul M2.

Să exersăm

Înainte de calcul, desenează în minte dreapta care taie cercul și numără punctele. Răspunsul pe $\mathbb{R}$ conține parametrul întreg $k$; unde se cere un interval, păstrează din familii toate numerele lui, și pe cele negative.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2}\sin x-1=0$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $1-2\cos x=0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3\mathrm{tg}x-7=0$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3\mathrm{ctg}x+\sqrt{3}=0$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $\mathrm{arctg}(-4)-\frac{5\pi }{2}$ este o soluție a ecuației $\mathrm{tg}x=-4$.”

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x=0,35$ și scrie răspunsul în formă exactă.

7. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x=-1$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{ctg}\frac{x}{2}=-1$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos \frac{x}{3}=\frac{1}{2}$.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$.

12. (Problemă aplicată.) Capul unui ventilator de birou oscilează stânga–dreapta. Unghiul lui față de direcția înainte este $\theta (t)=\frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi t}{4}$ radiani, cu $t$ în secunde, pozitiv spre dreapta. La ce momente din primele $8$ secunde ventilatorul este rotit cu $\frac{2\pi }{9}$ spre stânga?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x=\cos 2$, unde $2$ este măsura în radiani.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin 3x=-1$.

16. Scrie, în formă exactă, toate soluțiile ecuației $\sin x=0,85$ din intervalul $[-2\pi ,2\pi ]$, apoi aproximează-le cu două zecimale.

17. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{tg}x=2,5$, apoi precizează soluția din intervalul $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, exact și cu două zecimale.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $|\sin x|=\frac{1}{2}$ și scrie mulțimea soluțiilor cât mai scurt.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, cu $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ și $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$, deci $S=\left\{\frac{\pi }{4}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{3\pi }{4}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2. $\cos x=\frac{1}{2}$, deci $S=\left\{\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3. $\mathrm{tg}x=\frac{7}{3}$, o valoare care nu e de tabel, deci $S=\left\{\mathrm{arctg}\frac{7}{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. O singură familie, cu pasul $\pi$; numeric, $\mathrm{arctg}\frac{7}{3}\approx 1,166$.

4. $\mathrm{ctg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, deci $S=\left\{\frac{2\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Condiția $x\ne k\pi$ e îndeplinită de toate aceste numere.

5. Fals. Soluțiile sunt $\mathrm{arctg}(-4)+k\pi$, deci diferă de $\mathrm{arctg}(-4)$ prin multipli întregi de $\pi$. Diferența $-\frac{5\pi }{2}$ nu este un multiplu întreg de $\pi$: înseamnă cinci sferturi de tură. Pe cerc, punctul ajunge pe raza perpendiculară, iar tangenta lui este $\frac{1}{4}$, nu $-4$.

6. $S=\left\{\arcsin 0,35+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi -\arcsin 0,35+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Aceasta este forma exactă; numeric, $\arcsin 0,35\approx 0,3576$.

7. $2x=\pi +2k\pi$, deci $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cazul particular $\cos u=-1$ are o singură familie, iar împărțirea la $2$ a înjumătățit pasul.

8. $x-\frac{\pi }{3}=k\pi$, deci $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Coeficientul lui $x$ este $1$, deci doar se adună constanta, iar pasul rămâne $\pi$, ca la ecuația $\sin u=0$.

9. Condiția: $\frac{x}{2}\ne m\pi$. Cum $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$, avem $\frac{x}{2}=\frac{3\pi }{4}+k\pi$, deci $S=\left\{\frac{3\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Coeficientul $\frac{1}{2}$ a dublat pasul.

10. $\frac{x}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, deci $S=\left\{\pm \pi +6k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Pasul a crescut de trei ori: soluțiile sunt rare, fiindcă funcția $\cos \frac{x}{3}$ are perioada $6\pi$.

11. $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, deci $2x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ și $S=\left\{\frac{\pi }{8}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

12. Spre stânga unghiul este negativ: $\frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi t}{4}=-\frac{2\pi }{9}$, deci $\sin \frac{\pi t}{4}=-\frac{2}{3}$. Familiile sunt $\frac{\pi t}{4}=-\arcsin \frac{2}{3}+2k\pi$ și $\frac{\pi t}{4}=\pi +\arcsin \frac{2}{3}+2k\pi$, adică $t=-\frac{4}{\pi }\arcsin \frac{2}{3}+8k$ și $t=4+\frac{4}{\pi }\arcsin \frac{2}{3}+8k$. În $[0,8]$: $S=\left\{4+\frac{4}{\pi }\arcsin \frac{2}{3};8-\frac{4}{\pi }\arcsin \frac{2}{3}\right\}$, adică aproximativ $4,93$ și $7,07$ secunde. Perioada oscilației este de $8$ s: în prima jumătate capul e spre dreapta, iar poziția cerută apare de două ori în a doua jumătate, o dată mergând spre stânga și o dată întorcându-se.

13. Cosinusul se anulează în punctele de pe axa $Oy$, deci $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ și $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Verificare pentru $k=0$: $\cos \frac{\pi }{2}=0$.

14. Membrul drept este un număr, $\cos 2\approx -0,416$, aflat în $[-1,1]$. Pe tot cercul, oglinda față de prima bisectoare dă $\cos 2=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2\right)$, ca în lecția despre arctangentă și arccotangentă, iar $\frac{\pi }{2}-2\approx -0,43$ este în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci $\arcsin (\cos 2)=\frac{\pi }{2}-2$. Rezultă $S=\left\{\frac{\pi }{2}-2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, a doua familie venind din $\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2\right)$. Calculează întâi valoarea din dreapta, apoi rezolvă ecuația elementară.

15. Sinusul ia valoarea $-1$ numai în punctul de jos al cercului, deci $3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ și $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Pe o tură de lungime $2\pi$ sunt trei soluții, câte una pentru fiecare perioadă a funcției $\sin 3x$.

16. Cu $\alpha =\arcsin 0,85\approx 1,02$, familiile sunt $\alpha +2k\pi$ și $\pi -\alpha +2k\pi$. În $[-2\pi ,2\pi ]$ intră câte două valori din fiecare: $S=\left\{\arcsin 0,85-2\pi ,-\pi -\arcsin 0,85,\arcsin 0,85,\pi -\arcsin 0,85\right\}$, adică aproximativ $-5,27$, $-4,16$, $1,02$ și $2,13$. Două soluții sunt negative: ele vin din $k=-1$ și sunt la fel de valabile ca celelalte.

17. $S=\left\{\mathrm{arctg}2,5+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. În $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ se află valoarea pentru $k=1$: $\pi +\mathrm{arctg}2,5\approx 4,33$, pentru că $\mathrm{arctg}2,5\approx 1,19$ este între $0$ și $\frac{\pi }{2}$.

18. Modulul dă două ecuații, $\sin x=\frac{1}{2}$ și $\sin x=-\frac{1}{2}$, cu patru familii în total: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{11\pi }{6}$, plus multipli de $2\pi$. Punctele sunt două perechi diametral opuse, deci familiile se unesc câte două, cu pasul $\pi$: $S=\left\{\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

De reținut

• În clasa a X-a ecuațiile se rezolvă pe $\mathbb{R}$: soluțiile dintr-o tură se completează cu periodicitatea, prin $2k\pi$ la sinus și cosinus și prin $k\pi$ la tangentă și cotangentă, cu $k\in \mathbb{Z}$.
• $\sin x=a$, cu $-1\le a\le 1$: $x=\arcsin a+2k\pi$ sau $x=\pi -\arcsin a+2k\pi$; $\cos x=a$: $x=\pm \arccos a+2k\pi$; pentru $|a|>1$, nicio soluție.
• Ecuațiile cu tangentă și cotangentă nu pun nicio condiție pe $a$, iar soluțiile formează o singură familie cu pasul $\pi$: $x=\mathrm{arctg}a+k\pi$, respectiv $x=\mathrm{arcctg}a+k\pi$.
• La argumentul $mx+n$ rezolvi în $u$, apoi scazi $n$ și împarți la $m$ tot membrul drept, inclusiv termenul cu $k$.
• Pe un interval dat păstrezi toate soluțiile din el, inclusiv pe cele negative, iar capetele contează după paranteză.

Greșeli frecvente

• Confunzi un arc cu o valoare. La $\sin x=\frac{\pi }{3}$ se scrie „$x=\frac{\pi }{3}$”, amestecând un unghi cu un sinus. Numărul $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$ este mai mare decât $1$, deci ecuația nu are soluții: membrul drept al unei ecuații cu sinus trebuie comparat cu $1$, nu recunoscut ca unghi.
• Pierzi minusul din membrul drept la cosinus. La $\cos x=-0,3$ se scrie „$x=\pm \arccos 0,3+2k\pi$”, adică soluțiile lui $\cos x=0,3$. Arccosinusul unui număr negativ este un arc din cadranul al doilea: $\arccos (-0,3)=\pi -\arccos 0,3\approx 1,88$, deci $x=\pm \left(\pi -\arccos 0,3\right)+2k\pi$.
• Scrii $k\in \mathbb{N}$. Cu numere naturale pierzi toate soluțiile negative, de exemplu $-\frac{\pi }{4}$ la $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Numărul $k$ parcurge toate numerele întregi.
• Tratezi la fel capetele închise și cele deschise. La un interval deschis, un capăt care verifică ecuația se scoate; la unul închis rămâne. Citește paranteza înainte de a scrie mulțimea finală.
• Arunci soluțiile negative din obișnuință. În clasa a IX-a lucrai doar pe $[0,2\pi ]$, dar pe $\mathbb{R}$ sau pe un interval ca $[-\pi ,\pi ]$ numerele negative sunt soluții cu drepturi depline, dacă verifică ecuația.

Aplică acasă

1. Ventilatorul din cameră. Cronometrează zece oscilații complete ale unui ventilator de birou și află perioada $T$. Filmează apoi capul cu încetinitorul telefonului și măsoară timpul dintre două treceri succesive prin poziția din mijloc. Compară-l cu $\frac{T}{2}$ și explică, pe familia de soluții a ecuației $\sin u=0$, de ce trecerile prin mijloc vin din jumătate în jumătate de perioadă.
2. O cefeidă adevărată. Caută pe un site de astronomie curba de lumină a stelei Delta Cephei. Măsoară pe ea cât durează urcarea strălucirii și cât durează coborârea. Într-un model cu sinus cele două durate sunt egale: explică de ce modelul redă corect perioada, dar nu și forma curbei reale.
3. Ecuații pentru un coleg. Alege trei valori ale lui $a$ din $[-1,1]$, câte una pentru sinus, cosinus și tangentă, și un interval diferit de $[0,2\pi ]$. Colegul rezolvă ecuațiile pe interval, iar tu verifici fiecare soluție cu calculatorul, înlocuind-o în ecuație. Schimbați apoi rolurile, cu un interval care conține și numere negative.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la trigonometria clasei a IX-a, limitată la o tură, la funcțiile definite pe toată axa reală, cerută de programa clasei a X-a. Nodul de înțelegere este schimbarea naturii răspunsului: o ecuație trigonometrică are o mulțime infinită de soluții, descrisă printr-un parametru întreg. Formulele nu se demonstrează prin calcul, ci se citesc pe cerc, din poziția unei drepte: orizontală pentru sinus, verticală pentru cosinus, prin origine pentru tangentă. Un elev care își desenează dreapta nu confundă a doua familie a sinusului cu cea a cosinusului.

O aplicație de grafice este un instrument bun pentru oră: elevul scrie funcția și dreapta orizontală, apoi mută dreapta și urmărește cum apar și dispar punctele de intersecție. Legătura dintre numărul punctelor de pe o tură și numărul familiilor din răspuns devine astfel vizibilă, iar cazurile $a=\pm 1$ și $|a|>1$ se înțeleg fără formule. Merită cerută și proba inversă: pornind de la o mulțime de soluții scrisă pe tablă, elevul desenează dreapta care o produce.

Întrebări utile la finalul orei: „De ce ecuația cu tangentă are o singură familie?”; „Ce se întâmplă cu pasul soluțiilor la $\sin 3x=a$?”; „Este $-\frac{\pi }{6}$ o soluție acceptabilă pe $[-\pi ,\pi ]$?”; „Când are ecuația $\cos x=a$ o singură familie?”. Semne că elevul a înțeles: scrie $k\in \mathbb{Z}$ fără să fie întrebat, verifică o soluție prin înlocuire și numără soluțiile unui interval înainte de a le calcula.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții cere „ecuații trigonometrice”, iar competența X.CS.3.3 cere verificarea mulțimii soluțiilor pe reprezentarea grafică. În clasa a IX-a, aceeași programă studiază funcțiile trigonometrice numai pe $[0,2\pi ]$; trecerea pe $\mathbb{R}$ se face aici. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care enumeră ecuațiile $\sin x=a$ și $\cos x=a$, cu $a\in [-1,1]$, și $\mathrm{tg}x=a$, $\mathrm{ctg}x=a$, cu $a$ real; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Cotangenta apare numai în această programă de examen. Varianta-model publicată pentru 2026 nu are o ecuație trigonometrică; exercițiile marcate aici sunt construite pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile trigonometrice elementare, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuațiile trigonometrice reductibile la M2, unde ecuațiile mai complicate se aduc la aceste patru forme, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ecuațiile trigonometrice elementare?

Varianta M2 pornește de la trigonometria clasei a IX-a de științe, făcută pe o singură tură, și explică trecerea pe toată axa reală. Formulele se citesc pe cerc, fără formula sinusului unei diferențe, pe care traseul de bază nu o are, iar exemplele vin din astronomie și din viața de zi cu zi.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile trigonometrice elementare?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 enumeră cele patru ecuații elementare, deci o asemenea ecuație poate fi cerută. Varianta-model publicată pentru 2026 nu are însă o ecuație trigonometrică, așa că nu arată locul ei în lucrare; trigonometria modelului se reduce la un triunghi dreptunghic. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Mai am voie să dau doar soluțiile din [0, 2π], ca în clasa a IX-a?

Numai dacă enunțul cere explicit acest interval. Dacă ți se cere să rezolvi în $\mathbb{R}$, trebuie scrise toate soluțiile, cu parametrul întreg $k$. Dacă enunțul dă alt interval, de exemplu $[-\pi ,2\pi ]$, alegi din familii exact numerele din acel interval, inclusiv pe cele negative.

De ce scriem k ∈ ℤ și nu k ∈ ℕ?

Pentru că mersul pe cerc se face în ambele sensuri. Numerele $k$ negative dau soluțiile aflate la stânga lui $0$, obținute scăzând ture întregi. Cu $k$ natural ai păstra doar jumătate dintre soluții, iar la un interval care conține numere negative răspunsul ar ieși incomplet.

Pot scrie soluțiile în grade în loc de radiani?

Poți, dacă scrii totul în grade: $30^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$, nu $30^{\circ }+2k\pi$. În matematica de liceu, soluțiile ecuațiilor se dau în radiani, fiindcă funcțiile sunt definite pe numere reale. Gradele rămân utile la interpretare, când vrei să spui, de exemplu, cât de rotit este un obiect.

Cum verific repede că n-am pierdut soluții?

Numără punctele de intersecție pe o tură: dreapta orizontală taie sinusoida de două ori dacă valoarea e strict între $-1$ și $1$ și o dată dacă e $1$ sau $-1$. Compară numărul cu câte familii ai scris. Apoi înlocuiește în ecuație un element din fiecare familie, pentru $k=0$ și pentru $k=1$.