Cum aflu perioada funcției sin(ax + b)?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cotangenta și perioada

Cotangenta unui număr real este raportul $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, cu sinusul la numitor. De aceea ea lipsește exact în multiplii lui $\pi$, punctele cercului de pe axa orizontală, și se anulează în $\frac{\pi }{2}+k\pi$. Pe cadrane are semnul tangentei, iar când ambele există, produsul lor este $1$.

Pentru examenul din 2027–2029, funcțiile trigonometrice se definesc pe toată axa reală: unui număr negativ îi corespunde un drum pe cerc în sens orar, iar numerele care diferă prin ture întregi au același punct pe cerc. De aici periodicitatea: $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu. Perioada principală este $2\pi$ la sinus și cosinus și $\pi$ la tangentă și cotangentă, iar pentru $f(ax+b)$ devine $\frac{T_0}{|a|}$: un coeficient mare scurtează perioada.

Graficul cotangentei are ramuri strict descrescătoare, separate de asimptotele verticale $x=k\pi$, și fiecare ramură trece prin toate valorile reale. În calcule, reduci un argument mare scăzând multipli de $\pi$, apoi verifici semnul pe cerc; un argument negativ îl aduci în $[0,2\pi )$ adunând perioade.

De reținut

• $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, definită pentru $x\ne k\pi$
• perioade principale: $2\pi$ la sinus și cosinus, $\pi$ la tangentă și cotangentă
• $f(ax+b)$ are perioada $\frac{T_0}{|a|}$

Greșeala tipică

Se înmulțește perioada cu $a$ în loc să se împartă: pentru $\sin 3x$ se scrie $6\pi$, deși un coeficient mare scurtează perioada la $\frac{2\pi }{3}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru ce numere reale $x$ nu este definită cotangenta?

   • a) $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ întreg
   • b) $x=k\pi$, cu $k$ întreg
   • c) $x=2k\pi$, cu $k$ întreg
   • d) $x=\frac{k\pi }{2}$, cu $k$ întreg
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x=k\pi$, cu $k$ întreg

   La numitor stă $\sin x$, care se anulează exact în multiplii lui $\pi$. În $\frac{\pi }{2}+k\pi$ cotangenta există și este $0$.

2. Cât este $\mathrm{ctg}\left(-\frac{17\pi }{4}\right)$?

   • a) $1$
   • b) $-1$
   • c) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-1$

   Adunăm $5\pi$, un multiplu de $\pi$: $-\frac{17\pi }{4}+5\pi =\frac{3\pi }{4}$, iar $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$, negativ în cadranul al II-lea.

3. Care este perioada principală a funcției $f(x)=\cos \frac{x}{5}$?

   • a) $\frac{2\pi }{5}$
   • b) $5\pi$
   • c) $10\pi$
   • d) $\frac{\pi }{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $10\pi$

   Perioada cosinusului, $2\pi$, se împarte la coeficientul $\frac{1}{5}$: $\frac{2\pi }{\frac{1}{5}}=10\pi$. Coeficientul subunitar lungește perioada.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: perioada funcției sin ax plus b · cum se calculează perioada principală · perioada lui ctg ax · perioada unei funcții trigonometrice compuse