Funcția cotangentă și periodicitatea (M2, științe ale naturii)

Un pilot de planor nu întreabă în primul rând cât de repede coboară, ci cât de departe ajunge pentru fiecare metru de înălțime pierdut. Numărul acesta, distanța pe orizontală împărțită la coborâre, este cotangenta unghiului de planare, iar lecția de față, din clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), o transformă într-o funcție definită pe toată axa reală. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 funcțiile trigonometrice pe ℝ și periodicitatea aparțin domeniului „Algebră”, în capitolul de funcții al clasei a X-a, iar cotangenta nu este numită în programă. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit cotangenta și definirea funcțiilor trigonometrice pe mulțimea numerelor reale; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu cotangentă.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: funcția cotangentă și definirea funcțiilor trigonometrice pe ℝ sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Periodicitatea și funcțiile trigonometrice pe ℝ se regăsesc în Anexa 28 abia la clasa a X-a, iar cotangenta lipsește cu totul din ea. Lecția se sprijină pe funcția tangentă pe intervalul de la 0 la 2π, pe formulele pentru π + x și 2π − x și pe felul în care ai tratat turele complete în lecția despre cercul trigonometric și punctele asociate.

Ce vei învăța

• Vei defini cotangenta ca raport între cosinus și sinus și vei spune exact unde nu există, întâi pe $(0,\pi )$, apoi pe toată axa reală.
• Vei citi cotangenta ca „înaintare pe orizontală pentru o unitate de urcare” și o vei folosi în modele de fizică, cu intervalul de valabilitate precizat.
• Vei trece de la funcțiile studiate pe $[0,2\pi ]$ la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă definite pe $\mathbb{R}$, așa cum le cere examenul din 2027–2029.
• Vei ști ce este o funcție periodică și ce este perioada principală, iar la examen vei reduce argumente mari sau negative fără calculator.
• Vei citi pe grafic domeniul, zerourile, semnul și monotonia cotangentei.
• Vei calcula perioada unei funcții de forma $f(ax+b)$ și o vei recunoaște într-un fenomen care se repetă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este cotangenta unui număr din intervalul (0, π)?

Pe semicercul de sus al cercului trigonometric, adică pentru numerele din intervalul $(0,\pi )$, ordonata punctului asociat este strict pozitivă. Acolo putem împărți liniștit abscisa la ordonată, fără teama că numitorul se anulează. Raportul acesta primește un nume.

Cotangenta este raportul $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, definit pentru numerele reale $x$ cu $\sin x\ne 0$, iar funcția cotangentă asociază fiecărui astfel de număr valoarea raportului. Programa de examen o introduce întâi ca funcție $\mathrm{ctg}:(0,\pi )\to \mathbb{R}$ și abia apoi pe o mulțime mai largă. Ordinea din fracție este inversă față de tangentă: la cotangentă cosinusul stă sus, iar sinusul jos.

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit, cotangenta se obține împărțind cateta alăturată la cateta opusă, exact cum ai învățat în lecția despre tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Pe cerc, cateta alăturată devine abscisa punctului, iar cateta opusă devine ordonata, deci definiția nouă prelungește fără nicio contradicție pe cea din gimnaziu.

Valorile pentru arcele de bază vin din sinus și cosinus, fără nimic nou de memorat. Le așezăm într-un tabel cu trei rânduri, ca să se vadă de unde provine fiecare număr:

Observă două lucruri. În $\frac{\pi }{2}$ cotangenta există și este zero, pentru că acolo se anulează cosinusul, adică numărătorul. Apoi, de la stânga la dreapta, valorile coboară fără întrerupere: pe $(0,\pi )$ cotangenta scade, proprietate pe care o vom vedea pe grafic.

2. De ce spunem că cotangenta măsoară înaintarea pe orizontală?

Dreapta care unește originea cu punctul $M(x)$ al cercului are, cât timp nu e verticală, o pantă egală cu tangenta, lucru pe care l-ai văzut în lecția despre tangentă. Cotangenta citește aceeași dreaptă invers: câte unități te deplasezi pe orizontală pentru o singură unitate de urcare. Când tangenta și cotangenta există amândouă, adică în afara punctelor în care se anulează sinusul sau cosinusul, produsul lor este $1$, fiindcă fracțiile $\frac{\sin x}{\cos x}$ și $\frac{\cos x}{\sin x}$ sunt una răsturnata celeilalte.

Citirea aceasta apare des în științe și în tehnică. O rampă de acces pentru scaune rulante se proiectează cu panta „$1:12$”: pentru fiecare centimetru urcat, rampa înaintează doisprezece centimetri pe orizontală. Dacă unghiul rampei cu solul este $\alpha$, atunci $\mathrm{ctg}\alpha =12$, iar pentru o treaptă de $0,5$ m lungimea orizontală a rampei este $0,5\cdot 12=6$ m. Modelul presupune o rampă dreaptă, fără palier; o rampă reală mai lungă se întrerupe cu platforme de odihnă, dar raportul pe fiecare porțiune rămâne același.

Ce câștigi folosind cotangenta în locul tangentei? Nu faci nicio împărțire: înălțimea se înmulțește direct cu un număr, iar rezultatul este distanța pe orizontală. De aceea cotangenta apare în topografie, în aviație și în construcții, oriunde datele vin sub forma „cât înaintez pentru cât urc sau cobor”.

3. Unde nu este definită cotangenta pe [0, 2π]?

Raportul $\frac{\cos x}{\sin x}$ nu are sens exact acolo unde sinusul se anulează. Pe intervalul $[0,2\pi ]$, sinusul este zero în trei numere: $0$, $\pi$ și $2\pi$, adică în punctele cercului aflate pe axa orizontală. Domeniul cotangentei pe acest interval este deci $(0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$.

Compară cu tangenta, care pe $[0,2\pi ]$ nu există în $\frac{\pi }{2}$ și în $\frac{3\pi }{2}$. Punctele excluse sunt inversate între cele două funcții: tangentei îi lipsesc punctele de pe axa verticală, cotangentei cele de pe axa orizontală. O regulă scurtă de control este să te uiți la numitor. La tangentă numitorul este cosinusul, la cotangentă este sinusul, iar punctul lipsește din domeniu exact când numitorul lui devine zero.

Semnul cotangentei pe cadrane este același cu semnul tangentei, pentru că fracția are aceiași doi factori, doar așezați invers. În cadranele I și III sinusul și cosinusul au semne egale, deci cotangenta iese pozitivă; în cadranele II și IV au semne opuse, iar cotangenta iese negativă. Regula de semne din lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice se aplică fără nicio modificare.

4. Cum trecem de la intervalul [0, 2π] la toată axa reală?

În lecțiile de bază ale clasei a IX-a ai lucrat numai cu numere din $[0,2\pi ]$, iar un arc mai lung decât o tură l-ai redus scăzând ture întregi. Programa de examen pentru 2027–2029 face acest pas în mod oficial: fiecărui număr real îi asociază un punct pe cerc. Pornim din $A(1,0)$ și parcurgem pe cerc un arc de lungime $|x|$, în sens trigonometric dacă $x>0$ și în sensul acelor de ceasornic dacă $x<0$. Punctul în care ne oprim este $M(x)$, iar sinusul și cosinusul lui $x$ sunt coordonatele lui.

Două numere care diferă printr-un număr întreg de ture, adică printr-un multiplu de $2\pi$, ajung în același punct. De exemplu, $\frac{19\pi }{4}=4\pi +\frac{3\pi }{4}$: după două ture complete punctul se oprește acolo unde s-ar fi oprit după $\frac{3\pi }{4}$, deci $\sin \frac{19\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{19\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pentru un număr negativ se adaugă ture până intră în $[0,2\pi )$: arcul $-\frac{\pi }{3}$, parcurs în sens orar, se oprește în același punct ca arcul $\frac{5\pi }{3}$.

Astfel obținem cele patru funcții pe mulțimi mari. Sinusul și cosinusul sunt definite pe $\mathbb{R}$, cu valori în $[-1,1]$. Tangenta este definită pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, iar cotangenta pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, unde $\mathbb{Z}$ este mulțimea numerelor întregi. Excluderile se citesc tot pe cerc: tangenta lipsește în toate punctele de pe axa verticală, cotangenta în toate punctele de pe axa orizontală.

Nimic din ce ai învățat în traseul de bază nu se contrazice. Pe $[0,2\pi ]$, definițiile sunt exact cele de acolo; pe $\mathbb{R}$, formulele de reducere și tabelele de semne rămân valabile, pentru că privesc punctele de pe cerc, iar punctele sunt aceleași. Axa reală întreagă este cadrul examenului din 2027–2029; pentru lecțiile de bază, intervalul $[0,2\pi ]$ rămâne suficient.

5. Ce înseamnă că o funcție este periodică?

Faptul că $\sin (x+2\pi )=\sin x$ pentru orice număr real are un nume general. O funcție $f:D\to \mathbb{R}$ se numește periodică dacă există un număr $T\ne 0$ astfel încât, pentru orice $x\in D$, și numerele $x+T$ și $x-T$ sunt în $D$, iar $f(x+T)=f(x)$. Un astfel de număr se numește perioadă a funcției. Cea mai mică perioadă strict pozitivă, atunci când există, se numește perioadă principală.

Condiția despre domeniu nu este o formalitate. Ea spune că, dacă un număr aparține domeniului, atunci și numerele aflate la distanța $T$ de el îi aparțin; altfel egalitatea $f(x+T)=f(x)$ nici nu s-ar putea scrie. Pentru sinus și cosinus domeniul este $\mathbb{R}$, deci condiția e îndeplinită de la sine.

Dacă $T$ este perioadă, atunci și $2T$, $3T$ sau $-T$ sunt perioade: repetiția care se produce după $T$ se produce și după două, trei asemenea pași. De aceea o funcție periodică are nenumărate perioade, iar informația utilă este perioada principală, cea mai scurtă. Pentru sinus și cosinus ea este $2\pi$. Pe graficele sinusului și cosinusului se vede că nicio bucată mai scurtă nu se repetă identic. Un argument de un rând confirmă pentru cosinus: o perioadă $T$ ar da $\cos T=\cos 0=1$, iar între $0$ și $2\pi$ cosinusul nu mai atinge valoarea $1$.

Periodicitatea este și un instrument de calcul. Ca să afli valoarea unei funcții periodice într-un număr mare, scazi perioada de câte ori este nevoie și ajungi într-un număr pe care îl cunoști.

6. De ce cotangenta se repetă din π în π?

La cotangentă repetiția vine mai repede decât la sinus. Punctul $M(x+\pi )$ este diametral opus punctului $M(x)$, deci ambele coordonate își schimbă semnul: $\sin (x+\pi )=-\sin x$ și $\cos (x+\pi )=-\cos x$. Formulele acestea le-ai văzut pe $[0,2\pi ]$ în lecția despre π + x, iar pe $\mathbb{R}$ ele rămân adevărate, pentru că punctele de pe cerc sunt aceleași. Împărțind, cele două semne minus se simplifică:

$$\mathrm{ctg}(x+\pi )=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\mathrm{ctg}x.$$

Deci $\pi$ este perioadă a cotangentei. Nicio perioadă pozitivă mai mică nu există: pe intervalul $(0,\pi )$ cotangenta scade continuu, deci nu poate lua de două ori aceeași valoare la o distanță mai mică decât $\pi$. Același raționament dă perioada principală $\pi$ pentru tangentă, a cărei formulă $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$ o ai din formulele pentru tangentă.

Consecința practică este una de economie: la tangentă și la cotangentă reduci argumentul scăzând multipli de $\pi$, nu de $2\pi$. Dacă scazi totuși $2\pi$, rezultatul rămâne corect, doar mai lung de obținut.

7. Cum arată graficul cotangentei?

Graficul se construiește cel mai comod cu un instrument digital, dar îl poți anticipa din tabel. Pe $(0,\pi )$ există o singură bucată, care vine din partea de sus, lângă dreapta $x=0$, trece prin $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ și coboară nelimitat spre dreapta $x=\pi$. Pe $(\pi ,2\pi )$ bucata se repetă identic, deplasată cu $\pi$ la dreapta. Figura de mai jos este o fereastră: arată numai valorile dintre $-4$ și $4$, deși ramurile continuă în sus și în jos fără capăt.

Pe grafic citești toate proprietățile cerute. Domeniul este format din intervale separate de dreptele verticale $x=k\pi$, de care graficul se apropie fără să le atingă; aceste drepte se numesc asimptote verticale. Zerourile sunt numerele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, acolo unde cosinusul se anulează. Pe fiecare interval dintre două asimptote funcția este strict descrescătoare, iar mulțimea valorilor este $\mathbb{R}$: orice dreaptă orizontală taie fiecare ramură exact o dată.

Mai observi o simetrie. Punctele $\left(\frac{\pi }{4},1\right)$ și $\left(\frac{7\pi }{4},-1\right)$ sunt simetrice față de punctul $(\pi ,0)$, iar pe $\mathbb{R}$ graficul este simetric și față de origine, pentru că $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$. Monotonia este opusă celei a tangentei, ale cărei ramuri urcă. Dacă un calcul îți dă o cotangentă care crește între $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$, graficul îți spune imediat că ai inversat fracția.

8. Cum afli perioada lui f(ax + b)?

Fenomenele periodice din științe se descriu rar chiar prin $\sin x$; mai des apar expresii ca $\sin (\omega t)$ sau $\cos (ax+b)$. Regula este următoarea: pentru o funcție $f$ cu perioada principală $T_0$ și un număr $a\ne 0$, perioada principală a lui $g(x)=f(ax+b)$ este $\frac{T_0}{|a|}$. Numărul $b$ deplasează graficul, dar nu schimbă lungimea repetiției.

De ce se împarte, și nu se înmulțește? Când $x$ crește cu $\frac{T_0}{a}$, argumentul $ax+b$ crește cu exact $T_0$, deci valoarea funcției revine. Coeficientul $a$ grăbește parcurgerea argumentului de $|a|$ ori, iar tiparul se repetă de tot atâtea ori mai des. De exemplu, funcția $\mathrm{tg}4x$ are perioada principală $\frac{\pi }{4}$: tangenta se repetă după $\pi$, iar argumentul $4x$ parcurge un $\pi$ întreg când $x$ crește doar cu $\frac{\pi }{4}$.

Un control rapid previne greșeala cea mai frecventă. Dacă $|a|>1$, perioada nouă trebuie să iasă mai mică decât cea veche; dacă $|a|<1$, mai mare. Un rezultat în sens opus înseamnă că ai înmulțit în loc să împarți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Argumente mari și negative

Calculați $\mathrm{ctg}\frac{29\pi }{6}$ și $\sin \left(-\frac{7\pi }{4}\right)$.

Rezolvare. Cotangenta are perioada $\pi$, deci scădem $4\pi$, cel mai mare multiplu de $\pi$ care încape: $\frac{29\pi }{6}-4\pi =\frac{5\pi }{6}$. Rezultă

$$\mathrm{ctg}\frac{29\pi }{6}=\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}.$$

Semnul se confirmă: $\frac{5\pi }{6}$ este în cadranul al II-lea, unde cotangenta este negativă. Pentru sinus, perioada este $2\pi$, deci adunăm o tură: $-\frac{7\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{4}$, de unde $\sin \left(-\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Arcul, parcurs în sens orar, s-a oprit în primul cadran.

Exemplul 2 — Citește graficul

Folosind figura de la secțiunea 7, determinați numerele $x\in (0,2\pi )$ pentru care $\mathrm{ctg}x=-1$ și intervalele pe care cotangenta este negativă.

Rezolvare. Dreapta $y=-1$ taie fiecare ramură o singură dată, deci ecuația are două soluții în $(0,2\pi )$. Pe prima ramură, valoarea $-1$ se atinge în $\frac{3\pi }{4}$, cum arată tabelul de la secțiunea 1. Pe a doua ramură, care este prima deplasată cu $\pi$, soluția este $\frac{3\pi }{4}+\pi =\frac{7\pi }{4}$. Graficul este sub axa $Ox$ pe $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ și pe $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, adică exact în cadranele al II-lea și al IV-lea.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $g(x)=\mathrm{ctg}\frac{x}{4}$ are perioada principală $\frac{\pi }{4}$, pentru că perioada cotangentei este $\pi$ și am înmulțit cu $\frac{1}{4}$.” Unde greșește?

Rezolvare. Regula cere împărțirea perioadei la $|a|$, iar aici $a=\frac{1}{4}$. Corect: $T=\frac{\pi }{\frac{1}{4}}=4\pi$. Verificarea directă confirmă: $g(x+4\pi )=\mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}+\pi \right)=\mathrm{ctg}\frac{x}{4}=g(x)$. Controlul din secțiunea 8 prindea greșeala din start: coeficientul $\frac{1}{4}$ încetinește argumentul, deci perioada trebuia să crească, nu să scadă.

Exemplul 4 — Planorul și finețea lui

Un planor coboară uniform, în aer calm, pe o traiectorie dreaptă care face unghiul $\alpha$ cu orizontala, unde $\mathrm{ctg}\alpha =36$. Ce distanță parcurge pe orizontală cât timp pierde $1500$ m din înălțime?

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic format de traiectorie, verticală și orizontală, înălțimea pierdută este cateta opusă unghiului $\alpha$, iar distanța pe orizontală este cateta alăturată. Deci $d=h\cdot \mathrm{ctg}\alpha =1500\cdot 36=54000$ m, adică $54$ km. Piloții numesc numărul $36$ finețea planorului. Modelul presupune aer calm, fără curenți ascendenți sau vânt; cu vânt din față distanța reală scade, iar un curent ascendent o poate crește mult.

Exemplul 5 — Mareea dintr-un port

Adâncimea apei la cheiul unui port este modelată, pentru o zi, prin $h(t)=3+2\cos \frac{\pi t}{6}$, unde $t\in [0,24]$ este timpul în ore, iar $h(t)$ se măsoară în metri. Aflați perioada modelului și adâncimile la orele $4$ și $16$.

Rezolvare. Funcția cosinus are perioada $2\pi$, iar coeficientul lui $t$ este $\frac{\pi }{6}$, deci perioada este $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}}=12$ ore. Apoi $h(4)=3+2\cos \frac{2\pi }{3}=3-1=2$ m. Cum $16=4+12$, adâncimea la ora $16$ este tot $2$ m, fără alt calcul. Modelul dă apa cea mai mare, $5$ m, la $t=0$, $t=12$ și $t=24$, iar cea mai mică, $1$ m, la $t=6$ și la $t=18$. Mareele reale se repetă la aproximativ $12$ ore și $25$ de minute, iar vântul și presiunea atmosferică modifică amplitudinea, așa că modelul este o simplificare valabilă pentru o singură zi.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$, unde $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. a) Arătați că $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}$. b) Arătați că $f(x+\pi )=f(x)$ pentru orice $x\in D$.

Rezolvare. a) Din tabele, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ și $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

b) Dacă $x\in D$, atunci și $x+\pi \in D$, fiindcă $\pi$ este un multiplu de $\frac{\pi }{2}$. Tangenta și cotangenta au amândouă perioada $\pi$, deci

$$f(x+\pi )=\mathrm{tg}(x+\pi )+\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=f(x).$$

Domeniul exclude multiplii lui $\frac{\pi }{2}$ pentru că în ei lipsește fie tangenta, fie cotangenta, iar suma cere ca ambii termeni să existe.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, verifică dacă numărul aparține domeniului. Redu argumentele cu perioada potrivită: $2\pi$ pentru sinus și cosinus, $\pi$ pentru tangentă și cotangentă. Rezultatele se lasă în formă exactă, iar la problemele cu context se scrie și unitatea de măsură.

1. Calculează $\mathrm{ctg}\frac{4\pi }{3}$, $\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{4}$ și $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{3}$.

2. Care dintre numerele $\frac{7\pi }{2}$, $-3\pi$, $\frac{5\pi }{4}$ și $9\pi$ nu aparțin domeniului cotangentei? Pentru cele care aparțin, calculează valoarea funcției.

3. Calculează $\mathrm{ctg}\frac{21\pi }{4}$ și $\mathrm{ctg}\frac{10\pi }{3}$, folosind perioada cotangentei.

4. Calculează $\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)$ și $\mathrm{tg}\frac{11\pi }{4}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\mathrm{ctg}2>\mathrm{ctg}3$”, unde argumentele sunt în radiani.

6. Se știe că $\sin x=\frac{7}{10}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează $\mathrm{ctg}x$.

7. Stabilește semnul numerelor $\mathrm{ctg}1$, $\mathrm{ctg}4$ și $\mathrm{ctg}6$, unde argumentele sunt în radiani.

8. Determină perioada principală a funcțiilor $f(x)=\mathrm{ctg}(5x+1)$ și $g(x)=\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{4}\right)$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}\cdot \mathrm{tg}\frac{5\pi }{3}=3$.

10. (Problemă aplicată.) Linia unui funicular urcă un deal în două tronsoane drepte. Primul tronson urcă $120$ m pe verticală și face cu orizontala unghiul $\alpha$, cu $\mathrm{ctg}\alpha =2,5$; al doilea urcă încă $80$ m, sub unghiul $\beta$, cu $\mathrm{ctg}\beta =4$. Ce distanță pe orizontală acoperă linia și care tronson este mai abrupt?

11. Folosind figura de la secțiunea 7 și perioada cotangentei, stabilește câte soluții are ecuația $\mathrm{ctg}x=2$ în intervalul $(-\pi ,3\pi )$ și în ce cadrane se află punctele lor pe cerc.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x\cdot \mathrm{ctg}x$. a) Arătați că $f(x)=\cos x$ pentru orice $x$ din domeniu. b) Calculați $f\left(\frac{11\pi }{3}\right)$.

13. Arată că numărul $6$ este perioadă a funcției $f(t)=\cos \frac{\pi t}{3}$ și precizează perioada ei principală.

14. Calculează $\mathrm{ctg}\left(-\frac{4\pi }{3}\right)$ și $\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)$.

15. Tensiunea furnizată de rețeaua electrică este modelată prin $u(t)=311\sin (100\pi t)$, cu $t$ în secunde și $u$ în volți. Determină perioada și frecvența tensiunii și calculează $u(0,005)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se știe că $\cos x=-\frac{5}{9}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Arătați că $\mathrm{ctg}x=-\frac{5\sqrt{14}}{28}$.

17. Funcția $f(x)=\sin x\cdot \mathrm{tg}x$ este definită pe mulțimea numerelor reale în care există tangenta. Arată că $\pi$ nu este perioadă a lui $f$, dar $2\pi$ este.

18. (Provocare.) Fie $f(x)=\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x$, definită pe mulțimea numerelor reale în care ambele funcții există. Arată că $f$ este constantă, apoi determină perioada ei principală, ținând cont de condiția despre domeniu din definiția periodicității.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci $\mathrm{ctg}\frac{4\pi }{3}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Apoi $\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{4}=\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{4}=-1$ și $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{3}=\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, scăzând de fiecare dată $\pi$. Semnele se potrivesc cu cadranele III, IV și IV.

2. Nu aparțin domeniului $-3\pi$ și $9\pi$, multipli întregi ai lui $\pi$, în care sinusul de la numitor este zero. Numărul $\frac{7\pi }{2}=3\pi +\frac{\pi }{2}$ aparține domeniului și $\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{2}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=0$, iar $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$.

3. $\frac{21\pi }{4}-5\pi =\frac{\pi }{4}$, deci $\mathrm{ctg}\frac{21\pi }{4}=1$. $\frac{10\pi }{3}-3\pi =\frac{\pi }{3}$, deci $\mathrm{ctg}\frac{10\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. La cotangentă poți scădea și un număr impar de $\pi$, nu doar ture întregi.

4. $-\frac{5\pi }{3}+2\pi =\frac{\pi }{3}$, deci $\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Pentru tangentă scădem $2\pi$: $\frac{11\pi }{4}-2\pi =\frac{3\pi }{4}$, deci $\mathrm{tg}\frac{11\pi }{4}=-1$.

5. Adevărat. Cum $\pi \approx 3,14$, ambele numere $2$ și $3$ se află în intervalul $(0,\pi )$, adică pe aceeași ramură a graficului, unde cotangenta este strict descrescătoare. Din $2<3$ rezultă $\mathrm{ctg}2>\mathrm{ctg}3$. Ambele valori sunt negative, fiindcă $2$ și $3$ sunt în cadranul al II-lea; cu calculatorul, $\mathrm{ctg}2\approx -0,46$ și $\mathrm{ctg}3\approx -7,02$.

6. ${\cos }^{2}x=1-\frac{49}{100}=\frac{51}{100}$, iar în cadranul al II-lea cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{\sqrt{51}}{10}$. Rezultă $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{\sqrt{51}}{7}$, negativ, cum cere cadranul.

7. Folosim reperele $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$ și $2\pi \approx 6,28$. Numărul $1$ este în primul cadran, deci $\mathrm{ctg}1>0$; numărul $4$ este în cadranul al III-lea, deci $\mathrm{ctg}4>0$; numărul $6$ este între $4,71$ și $6,28$, în cadranul al IV-lea, deci $\mathrm{ctg}6<0$.

8. $f$ are perioada $\frac{\pi }{5}$, iar $g$ are perioada $\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$. Primul coeficient este mai mare decât $1$, deci perioada scade; al doilea este subunitar, deci perioada crește. Termenii liberi $1$ și $-\frac{\pi }{4}$ doar deplasează graficele.

9. $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$, iar $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{3}=\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$. Produsul este $(-\sqrt{3})\cdot (-\sqrt{3})=3$.

10. Pe fiecare tronson, distanța pe orizontală este înălțimea urcată înmulțită cu cotangenta: $120\cdot 2,5=300$ m și $80\cdot 4=320$ m, în total $620$ m. Primul tronson este mai abrupt: înaintează doar $2,5$ m pe orizontală pentru fiecare metru urcat, față de $4$ m pe al doilea, iar cotangenta mai mică pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ înseamnă un unghi mai mare. Modelul consideră tronsoanele drepte.

11. Intervalul $(-\pi ,3\pi )$ conține patru intervale de lungime $\pi$ dintre asimptote: $(-\pi ,0)$, $(0,\pi )$, $(\pi ,2\pi )$ și $(2\pi ,3\pi )$. Pe fiecare, ramura ia valoarea $2$ o singură dată, deci ecuația are patru soluții, care diferă între ele prin multipli de $\pi$. Valoarea $2$ este pozitivă, așa că punctele lor pe cerc sunt în cadranele I și III: soluțiile din $(0,\pi )$ și $(2\pi ,3\pi )$ dau același punct din primul cadran, iar celelalte două, punctul opus, din cadranul al III-lea.

12. a) Pentru $\sin x\ne 0$, $f(x)=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x$. b) $\frac{11\pi }{3}-2\pi =\frac{5\pi }{3}$, deci $f\left(\frac{11\pi }{3}\right)=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

13. $f(t+6)=\cos \left(\frac{\pi t}{3}+2\pi \right)=\cos \frac{\pi t}{3}=f(t)$, deci $6$ este perioadă. După regulă, perioada principală este $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}=6$, deci chiar $6$.

14. Adunăm $2\pi$ la primul argument: $-\frac{4\pi }{3}+2\pi =\frac{2\pi }{3}$, deci $\mathrm{ctg}\left(-\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; la cotangentă ajungea și un singur $\pi$, până la $-\frac{\pi }{3}$. Pentru cosinus adunăm $2\pi$: $-\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{7\pi }{6}$, deci $\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

15. Perioada este $T=\frac{2\pi }{100\pi }=\frac{1}{50}$ s, adică $0,02$ s, iar frecvența este $50$ Hz, numărul de perioade într-o secundă. $u(0,005)=311\sin \frac{\pi }{2}=311$ V, valoarea maximă a tensiunii.

16. ${\sin }^{2}x=1-\frac{25}{81}=\frac{56}{81}$, iar în cadranul al II-lea sinusul este pozitiv, deci $\sin x=\frac{2\sqrt{14}}{9}$. Rezultă $\mathrm{ctg}x=\frac{-5}{2\sqrt{14}}=-\frac{5\sqrt{14}}{28}$, după raționalizarea numitorului.

17. Domeniul, $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, nu se schimbă la deplasări cu $\pi$ sau cu $2\pi$. Din $\sin (x+\pi )=-\sin x$ și $\mathrm{tg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x$ rezultă $f(x+\pi )=-f(x)$; de exemplu $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, dar $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\pi$ nu este perioadă. În schimb, $\sin (x+2\pi )=\sin x$ și $\mathrm{tg}(x+2\pi )=\mathrm{tg}x$, deci $f(x+2\pi )=f(x)$. Produsul a două funcții periodice nu are neapărat perioada celei mai scurte.

18. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, iar pe el $f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=1$. Orice multiplu nenul al lui $\frac{\pi }{2}$ este perioadă, fiindcă domeniul rămâne neschimbat la o asemenea deplasare. Un număr $T$ care nu este multiplu al lui $\frac{\pi }{2}$ nu poate fi perioadă: există un $x$ din domeniu pentru care $x+T$ cade într-un punct exclus. Perioada principală este deci $\frac{\pi }{2}$, deși funcția este constantă pe domeniul ei.

De reținut

• Cotangenta este $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ și există acolo unde sinusul este nenul: pe $(0,\pi )$ întotdeauna, pe $\mathbb{R}$ în afara numerelor $k\pi$.
• Pe cadrane, cotangenta are semnul tangentei, iar în $\frac{\pi }{2}+k\pi$ se anulează; când ambele există, $\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1$.
• O funcție este periodică de perioadă $T\ne 0$ dacă domeniul rămâne neschimbat la deplasarea cu $T$ și $f(x+T)=f(x)$; cea mai scurtă dintre perioadele pozitive se numește perioada principală.
• Perioada principală este $2\pi$ la sinus și la cosinus și $\pi$ la tangentă și la cotangentă, iar pentru $f(ax+b)$ ea devine $\frac{T_0}{|a|}$.
• Graficul cotangentei are asimptotele verticale $x=k\pi$ și ramuri strict descrescătoare, fiecare parcurgând toate valorile reale.

Greșeli frecvente

• Fracția inversată. Se scrie „$\mathrm{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$”, iar rezultatele ies exact tangentele. Controlul pe grafic funcționează: dacă „cotangenta” ta crește între $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$, ai calculat de fapt tangenta.
• Ramurile unite peste asimptotă. Pe un grafic desenat de mână, ramura de pe $(0,\pi )$ este legată de cea de pe $(\pi ,2\pi )$ printr-o linie care trece prin dreptul lui $\pi$. Acolo cotangenta nu există: graficul se rupe, ramura din stânga coboară fără capăt, iar cea din dreapta pornește de sus. Instrumentele digitale evită greșeala, dar uneori desenează o linie verticală falsă, care nu face parte din grafic.
• Arcul negativ citit în sens trigonometric. Pentru $-\frac{3\pi }{4}$ se marchează punctul lui $\frac{3\pi }{4}$, în cadranul al II-lea. Un arc negativ se parcurge în sensul acelor de ceasornic și se oprește în cadranul al III-lea; adunând $2\pi$ obții numărul pozitiv corespunzător.
• Condiția de domeniu uitată la funcții compuse. La $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ se scrie domeniul $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, ca la cotangentă. Ambii termeni trebuie să existe, deci se exclud și numerele în care lipsește tangenta.
• Unitatea pierdută în modele. La un fenomen periodic în timp, perioada este o durată și se scrie în ore sau secunde; la un model cu unghiuri, cotangenta este un număr fără unitate, iar unitatea vine din mărimea înmulțită cu ea.

Aplică acasă

1. Nota de pe telefon. Instalează o aplicație gratuită de acordaj, cântă sau fluieră o notă ținută și citește frecvența ei $f$, în herți. Perioada vibrației este $T=\frac{1}{f}$; calculeaz-o în milisecunde. Cântă apoi aceeași notă cu o octavă mai sus și verifică faptul că frecvența aproape s-a dublat. Scrie cele două vibrații ca $\sin (2\pi ft)$ și $\sin (2\pi \cdot 2ft)$ și explică, cu regula $\frac{T_0}{|a|}$, de ce perioada s-a înjumătățit.

2. Graficul pe telefon. Într-o aplicație de reprezentare grafică (GeoGebra sau Desmos) desenează $y=\cot (x)$, cum se scrie cotangenta în programele în limba engleză, apoi $y=\cot (2x)$ și $y=\cot (x/2)$. Măsoară pe ecran distanța dintre două asimptote consecutive la fiecare grafic și verifică regula $\frac{T_0}{|a|}$.

3. Răsăritul Soarelui de-a lungul anului. Caută într-un calendar sau pe un site de astronomie ora răsăritului în orașul tău, în prima zi a fiecărei luni. Desenează punctele pe o foaie, cu lunile pe axa orizontală, și estimează după cât timp se repetă curba. Scrie un model de forma $a+b\cos \frac{2\pi t}{365}$, cu $t$ în zile, și spune ce nu surprinde el, de exemplu trecerea la ora de vară.

Pentru părinți și profesori

Lecția face doi pași pe care traseul de bază al clasei a IX-a îi amână: introduce a patra funcție trigonometrică și scoate funcțiile de pe intervalul $[0,2\pi ]$ pe toată axa reală. Pentru elevul de științe, al doilea pas contează mai mult decât primul: fenomenele pe care le întâlnește la fizică și la biologie, oscilațiile, curentul alternativ, ritmurile biologice, se descriu prin funcții periodice în timp, iar ideea că „după o perioadă totul se repetă” este chiar motivul pentru care o funcție definită pe un interval scurt poate descrie un proces fără sfârșit. Cotangenta vine cu o interpretare concretă, înaintarea pe orizontală pentru o unitate de urcare, care o leagă de rampe, pante și traiectorii de zbor.

De urmărit în caiet: domeniul este scris înaintea oricărui calcul; argumentul se reduce cu perioada potrivită, iar semnul se verifică prin cadran; la perioada lui $f(ax+b)$ se face controlul „coeficient mare, perioadă mică”. Întrebări de control: „De ce cotangenta există în $\frac{\pi }{2}$, dar nu în $\pi$?”; „Este $4\pi$ o perioadă a cotangentei? Este perioada principală?”; „Ce înseamnă un arc de $-\frac{\pi }{6}$ pe cerc?”; „Cum afli perioada unei maree dintr-o formulă?”. Semn că elevul a înțeles: la un argument ca $\frac{29\pi }{6}$ alege singur să scadă multipli de $\pi$, nu de $2\pi$, și își verifică semnul pe cerc.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru examen: programa de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Elemente de trigonometrie” al clasei a IX-a, definirea funcțiilor sinus și cosinus pe $[0,2\pi ]$, a tangentei pe $[0,\pi ]$ fără $\frac{\pi }{2}$ și a cotangentei pe $(0,\pi )$, apoi definirea tuturor celor patru pe mulțimea numerelor reale; periodicitatea apare printre proprietățile funcțiilor introduse prin lectură grafică. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, studiază în clasa a IX-a sinusul și cosinusul pe $[0,2\pi ]$ și tangenta pe $[0,2\pi ]$ fără $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$; funcțiile trigonometrice definite pe ℝ („funcții trigonometrice directe și inverse: definire, proprietăți”) și periodicitatea apar abia la clasa a X-a, în capitolul „Funcții”, iar cotangenta nu este numită nicăieri în anexa 28. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 aceste funcții și periodicitatea aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, fără cotangentă, așa că exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial. Programa de examen din 2014 prevede patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru noi (OMEC 4350/2025) prevăd trei ore.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția cotangentă și periodicitatea are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este cea despre formulele pentru sinusul și cosinusul sumei și diferenței, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de supliment despre produsul scalar și formulele trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce diferă la cotangentă între varianta M2 și cea M1?

La științe ale naturii, cotangenta intră doar în suplimentul pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029, împreună cu trecerea funcțiilor trigonometrice pe toată axa reală. Lecția M2 pune accentul pe citirea graficului, pe reducerea argumentelor cu perioada potrivită și pe modele din fizică și tehnică, iar relații ca $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ sau calculul sinusului din cotangentă rămân la lecția de matematică-informatică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea cotangenta?

Programa pentru 2027–2029 o cuprinde la capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a, iar cerințele scurte de trigonometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu cotangentă: singura lui cerință de trigonometrie privește un triunghi dreptunghic. Exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect.

De ce programa de examen definește întâi cotangenta pe (0, π) și apoi pe ℝ∖{kπ}?

Pe $(0,\pi )$ sinusul este strict pozitiv, deci raportul $\frac{\cos x}{\sin x}$ are sens fără nicio excepție, iar funcția se vede întreagă pe o singură ramură. Abia după ce fiecărui număr real i se asociază un punct pe cerc, definiția se extinde la toate numerele în care sinusul nu se anulează. Ordinea urmează pașii din traseul tău: întâi un interval, apoi toată axa.

Se schimbă perioada dacă înmulțesc funcția cu un număr sau adun o constantă?

Nu. Funcțiile $3+2\cos x$ și $\cos x$ se repetă după aceeași lungime, $2\pi$: înmulțirea cu un număr nenul întinde graficul pe verticală, iar constanta îl urcă sau îl coboară. Perioada se schimbă doar când coeficientul stă în interiorul argumentului, ca în $\cos \frac{\pi t}{6}$ din modelul mareei.

Cum lucrez cu un număr negativ, cum ar fi −7π/6?

Adaugi perioada potrivită până ajungi într-un număr cunoscut. La sinus și cosinus adaugi ture întregi de $2\pi$, la tangentă și cotangentă poți adăuga și doar $\pi$. Pe cerc, un număr negativ înseamnă un arc parcurs în sensul acelor de ceasornic, iar punctul la care ajungi este același cu punctul numărului pozitiv obținut.

La ce folosește perioada unei funcții în științe?

Perioada spune după cât timp un fenomen se repetă identic: o oscilație, o maree, tensiunea din priză, un ritm biologic. Inversul ei este frecvența, numărul de repetări pe unitatea de timp. Dintr-un model de forma $a+b\cos (\omega t)$ perioada se citește imediat, $\frac{2\pi }{\omega }$, fără să mai desenezi graficul.