Cum recunosc o funcție de gradul al doilea?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția de gradul al doilea

Desfaci parantezele, reduci termenii asemenea și te uiți la coeficientul lui $x^{2}$ : dacă rămâne nenul, funcția este de gradul al doilea. Aspectul inițial înșală. De exemplu, $(x + 3)^{2} - x (x - 1) = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + x = 7 x + 9$ este afină, deși pornește de la un pătrat. În schimb, $(2 x - 1) (x + 4) - x^{2} = x^{2} + 7 x - 4$ este de gradul al doilea, cu $a = 1$ , $b = 7$ , $c = - 4$ .

O regulă de forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ descrie o funcție de gradul al doilea numai dacă, după ce desfaci parantezele și reduci termenii asemenea, coeficientul lui $x^{2}$ rămâne diferit de zero. Expresii care arată complicat pot deveni afine, iar o scriere scurtă poate ascunde un pătrat. De aceea, clasificarea se face pe forma redusă, nu după aspectul inițial.

Graficul pe întreaga mulțime a numerelor reale este o parabolă. Semnul lui $a$ arată încotro se deschid ramurile, dar nu fixează semnul fiecărei valori. O valoare se obține fie prin citire pe grafic, mergând vertical de la abscisă până la curbă, fie prin substituție în formulă; cele două căi trebuie să dea același rezultat când desenul are gradații exacte.

Un punct $(u, v)$ se află pe grafic dacă intrarea $u$ este admisă și funcția ia în ea valoarea $v$ . Când domeniul este un interval, verifici întâi apartenența abscisei, apoi calculul. Un singur coeficient necunoscut se poate afla dintr-o singură condiție de apartenență, iar valoarea găsită se folosește apoi pentru alte evaluări.

Punctele unui tabel nu se unesc prin segmente: între două intrări curba urmează regula, nu linia frântă. O citire care cade între două gradații rămâne o estimare până când substituția în formulă o confirmă sau o corectează.

De reținut

gradul se stabilește după desfacerea parantezelor și reducere
punctul $(u, v)$ este pe grafic când $u$ e în domeniu și $f (u) = v$
pe $R$ , graficul unei funcții de gradul al doilea este o parabolă

Greșeala tipică

Se consideră că $f (x) = (x + 1)^{2} - x^{2}$ este de gradul al doilea fiindcă are un pătrat; după reducere rămâne $2 x + 1$ , o funcție afină.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile următoare, definite pe $R$ , este de gradul al doilea după reducerea expresiei?
- a) $f (x) = 3 x (x + 2) - 3 x^{2}$
- b) $f (x) = 5 x (x - 2) - 4 x^{2} + 3$
- c) $f (x) = (x + 5)^{2} - x^{2}$
- d) $f (x) = 7 x - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = 5 x (x - 2) - 4 x^{2} + 3$

Prima expresie devine $6 x$ , a treia devine $10 x + 25$ , iar a patra este afină. Numai $5 x (x - 2) - 4 x^{2} + 3 = x^{2} - 10 x + 3$ păstrează un termen pătratic nenul.
Pentru $f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 4$ , cât este $f (- 2)$ ?
- a) $- 6$
- b) $- 22$
- c) $- 2$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 22$

Pătratul lui $- 2$ este $4$ , deci $f (- 2) = - 8 - 10 - 4 = - 22$ . Semnul coeficientului dominant se păstrează în primul termen.
Punctul $P (3, a)$ aparține graficului funcției $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + 4$ . Cât este $a$ ?
- a) $\frac{11}{2}$
- b) $\frac{13}{2}$
- c) $\frac{7}{2}$
- d) $\frac{17}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{11}{2}$

Ordonata este valoarea funcției în abscisa punctului: $f (3) = \frac{9}{2} - 3 + 4 = \frac{11}{2}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu un coeficient necunoscut dacă un punct este pe parabolă?

Înlocuiești coordonatele punctului în formulă și rezolvi ecuația obținută. Pentru $f (x) = a x^{2} - 3 x + 1$ și punctul $(2, 7)$ : $4 a - 6 + 1 = 7$ , deci $4 a = 12$ și $a = 3$ . Verificare: $f (2) = 12 - 6 + 1 = 7$ . Valoarea găsită se folosește apoi pentru celelalte calcule cu funcția.

Ce funcție de gradul al doilea descrie înălțimea unei mingi aruncate vertical?

Cu viteza inițială $v_{0}$ și $g \approx 10$ m/s², înălțimea este $h (t) = v_{0} t - 5 t^{2}$ metri. Pentru $v_{0} = 20$ m/s obții $h (1) = 15$ m și $h (2) = 20$ m, iar mingea revine la sol când $20 t - 5 t^{2} = 0$ , adică la $t = 4$ s. Domeniul modelului este deci $[0, 4]$ .

De ce nu unesc prin segmente punctele din tabelul unei funcții de gradul al doilea?

Între două puncte ale tabelului curba urmează formula, nu o linie dreaptă. Pentru $f (x) = x^{2}$ , punctele $(0, 0)$ și $(2, 4)$ unite printr-un segment ar da la $x = 1$ valoarea $2$ , dar $f (1) = 1$ . Parabola trece sub segment, iar linia frântă ar introduce valori false.

Aparține punctul $(- 1, 6)$ graficului funcției $f (x) = 2 x^{2} - x + 3$ ?

Calculezi valoarea funcției în abscisa punctului: $f (- 1) = 2 \cdot 1 + 1 + 3 = 6$ , egală cu ordonata, deci punctul este pe grafic. În schimb $(1, 5)$ nu este, fiindcă $f (1) = 2 - 1 + 3 = 4 \neq = 5$ . Pătratul unui număr negativ este pozitiv, iar semnul minus din $- x$ schimbă semnul lui $- 1$ .

Cum aflu funcția de gradul al doilea care trece prin trei puncte date?

Pentru $(0, 1)$ , $(1, 4)$ și $(- 1, 0)$ scrii trei condiții în $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Din primul punct, $c = 1$ . Celelalte dau $a + b = 3$ și $a - b = - 1$ , deci $a = 1$ , $b = 2$ și $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ . Verificare: $f (- 1) = 1 - 2 + 1 = 0$ .

Cât face $f (0) \cdot f (1) \dots f (10)$ dacă $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ ?

Scrii funcția ca produs: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . Printre factori apare $f (2) = 0$ , deci tot produsul este $0$ , fără alte calcule. Înainte de a înmulți valori ale unei funcții, cauți un factor care se anulează. Modelul oficial M2 din 2026 are la Subiectul I un calcul de valori pentru funcții date prin formule.

Oamenii mai întreabă și: cum știu dacă o funcție este de gradul doi · funcție pătratică sau afină · recunoașterea funcției de gradul al doilea · coeficientul lui x la pătrat nenul · când este o funcție de gradul doi