Funcția de gradul al doilea (M2, științe ale naturii)

O curbă poate coborî, își poate schimba direcția și poate urca din nou, deși fiecărei abscise îi corespunde o singură ordonată. Funcția de gradul al doilea ne oferă un prim exemplu precis al acestui comportament. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), pornim de la grafice date și legăm ceea ce vedem de o formulă și de un tabel. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția de gradul al doilea și graficul ei. Programa nouă a clasei a IX-a pune accent pe proprietăți observate în reprezentări grafice. Calculele de aici controlează citirea și fac diferența dintre un rezultat exact și o estimare făcută pe desen.

Ce vei învăța

• Vei recunoaște expresia unei funcții de gradul al doilea după simplificare.
• Vei identifica rolul coeficienților, fără să îi confunzi cu valorile funcției.
• Vei citi pe o parabolă ordonata corespunzătoare unei abscise date.
• Vei verifica dacă un punct și o valoare dintr-un tabel sunt compatibile cu formula.
• Vei distinge graficul unei funcții de câteva puncte alese pentru reprezentare.
• Vei explica ce informații oferă un desen și ce informații trebuie declarate separat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce observăm înainte să calculăm?

Figura A reprezintă o funcție definită pe toate numerele reale. Fereastra desenată arată numai o parte din grafic. Citește traseul curbei de la stânga la dreapta: ea coboară până la un punct mai jos, apoi urcă. Nu are colț și nu este alcătuită din două segmente de dreaptă.

Pe grilă se citesc punctele cu abscisele minus patru și zero, ambele la nivelul axei orizontale. La abscisa doi, curba ajunge la ordonata șase. Nu am numărat distanța parcursă pe curbă: am urmărit verticala prin abscisa aleasă și apoi nivelul orizontal al punctului întâlnit.

Faptul că două abscise au aceeași imagine nu contrazice definiția funcției. Regula cere ca unei intrări să îi fie asociată o singură ieșire; nu cere ca intrări diferite să producă ieșiri diferite. O verticală întâlnește graficul în cel mult un punct, în timp ce o orizontală îl poate întâlni în două puncte.

Desenul ne arată și de ce nu descriem această dependență printr-o singură pantă constantă. Urmărind deplasări egale pe orizontală, observăm schimbări verticale de mărimi diferite. Legătura cu funcția afină ne ajută să recunoaștem diferența dintre o dreaptă și o curbă, fără să calculăm panta în fiecare punct.

Funcția de gradul al doilea este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, în care $a$, $b$, $c$ sunt numere reale fixate, iar $a\ne 0$. Graficul ei complet se numește parabolă; curba din figura A este un astfel de grafic, văzut printr-o fereastră.

2. Ce înseamnă gradul și de ce contează reducerea?

În definiție, termenul care conține pătratul variabilei are coeficient nenul. Ceilalți doi coeficienți pot fi zero. Prin urmare, lipsa unui termen liniar sau a unui termen constant nu împiedică funcția să fie de gradul al doilea.

Gradul se stabilește din expresia redusă. Parantezele pot ascunde termeni care se adună sau se anulează. Nu numărăm semnele de ridicare la pătrat din scrierea inițială, ci identificăm cea mai mare putere cu coeficient nenul după efectuarea operațiilor.

De exemplu, expresia $2x(x+4)-x^2-3$ se reduce la $x^2+8x-3$, deci păstrează un termen pătratic. Expresia $x(x+4)-x^2-3$ se reduce la $4x-3$, astfel încât descrie o funcție afină. Diferența dintre formule este mică la vedere, dar decisivă pentru familia graficului.

Când aceeași regulă este folosită numai pe un interval, discutăm restricția funcției pătratice la acel interval. Graficul este atunci doar porțiunea corespunzătoare intrărilor admise. Precizarea domeniului rămâne parte a datelor, chiar dacă formula ar putea fi calculată și în alte numere.

Un coeficient este fix pentru o funcție dată, chiar dacă într-o familie de funcții îl notăm printr-o literă. Alegerea unei valori a parametrului selectează o regulă din familie. După această alegere, evaluările se fac schimbând intrarea, fără să modificăm din nou coeficienții. Această separare între alegerea regulii și folosirea ei împiedică amestecarea mai multor grafice într-un singur tabel.

3. Cum se citesc coeficienții fără să li se atribuie alte roluri?

În forma ordonată, coeficientul lui $x^2$ este $a$, cel al lui $x$ este $b$, iar termenul fără variabilă este $c$. Pentru $f(x)=\frac{3}{4}{x}^2-5x+2$, citim $a=3/4$, $b=-5$, $c=2$. Coeficienții sunt numere fixe; abscisa este numărul care variază atunci când urmărim graficul.

Coeficientul dominant ne spune orientarea ramurilor parabolei complete: acestea sunt îndreptate în sus pentru un coeficient pozitiv și în jos pentru unul negativ. Această informație nu spune că toate valorile funcției au același semn cu acel coeficient. O parabolă cu ramurile în sus poate avea o porțiune sub axa orizontală.

Termenul constant indică valoarea în zero, atunci când zero aparține domeniului studiat. În schimb, coeficientul liniar nu se citește ca o pantă constantă a curbei. Graficul pătratic nu este o dreaptă, iar regula cunoscută pentru coeficientul funcției afine nu se transferă automat.

Cuvintele „în sus” și „în jos” descriu cele două ramuri privite în raport cu punctul de întoarcere. Ele nu spun că graficul urcă sau coboară peste tot când îl parcurgem de la stânga la dreapta. Această distincție va conta la monotonie și valoarea extremă.

4. Cum trecem de la o abscisă la o valoare?

Pentru o lectură grafică, localizăm întâi numărul pe axa orizontală. Mergem pe verticală până la curbă, apoi citim ordonata cu ajutorul axei verticale. Scara fiecărei axe trebuie verificată înainte de numărarea pătrățelelor; un pătrățel poate reprezenta altă unitate pe cele două direcții.

Dacă punctul este marcat exact la intersecția unor linii ale grilei, valoarea se poate citi exact. Dacă intersecția cade între gradații și nu avem alte date, rezultatul este o aproximație. Nu transformăm o poziție aproximativă într-o fracție exactă doar fiindcă acea fracție pare plauzibilă.

Când avem formula, înlocuim fiecare apariție a variabilei cu aceeași abscisă. Pentru funcția din figura A, regula este $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2x$. Controlul valorii citite la doi dă $f(2)=2+4=6$. Calculul și desenul se referă la același punct, prezentat în două limbaje.

O neconcordanță cere verificarea datelor. Poate fi greșită formula introdusă într-o aplicație, scara citită sau operația numerică. Nu corectăm desenul numai pentru a-l face să semene cu răspunsul dorit. Comparația are rost tocmai fiindcă oferă două căi de control.

5. Ce arată un tabel și ce nu poate demonstra singur?

Un tabel consemnează imagini pentru intrările alese. Dacă domeniul este mulțimea numerelor reale, un tabel finit nu enumeră graficul complet. Între două abscise consecutive din tabel există alte intrări, iar funcția are valori și în acele intrări.

Punctele din tabel pot orienta o schiță, dar segmentele care le unesc nu devin automat graficul funcției. Pentru o funcție pătratică știm din familia declarată că reprezentarea este o parabolă. O linie frântă care trece prin aceleași puncte ar putea descrie o altă funcție.

Nici repetarea unei valori nu face tabelul incorect. Intrările minus patru și zero au aceeași imagine, însă fiecare rând atribuie unei intrări o singură valoare. Problema ar apărea dacă aceeași intrare ar fi asociată, în aceleași condiții, cu două ieșiri diferite.

În lecția de față tabelul se construiește dintr-o formulă dată și servește la control. Drumul invers, de la câteva măsurători la alegerea unui model polinomial, este tema lecției despre polinoamele din fizică, chimie și biologie.

6. Cum recunoaștem un punct al graficului?

Punctul $P(u,v)$ aparține graficului exact atunci când intrarea $u$ este admisă și valoarea funcției în acea intrare este $v$. Ordinea coordonatelor contează: prima coordonată indică intrarea, iar a doua indică ieșirea. Schimbarea lor produce, de regulă, o altă afirmație.

Grafic, această condiție înseamnă că punctul se află pe curbă. Algebric, înseamnă o substituție urmată de o comparație. Pentru o schiță mică, verificarea prin formulă este preferabilă atunci când două puncte sunt foarte apropiate și nu pot fi deosebite sigur cu ochiul.

Dacă studiem restricția la un interval, controlăm mai întâi abscisa. Egalitatea numerică dintre formulă și ordonată nu poate adăuga domeniului un număr exclus din enunț. De aceea un punct poate aparține parabolei complete, dar poate lipsi din graficul restricției considerate.

La redactare sunt suficiente o substituție clară și concluzia de apartenență sau neapartenență. Nu este nevoie să redesenăm întreaga parabolă pentru fiecare punct. Invers, când cerința este de lectură grafică și punctul se citește exact, nu trebuie să reconstruim formula pentru a justifica observația.

7. Cum folosim un grafic produs digital?

Introducem regula și alegem o fereastră care arată partea relevantă a curbei. Pentru verificarea unei valori, trebuie să se vadă abscisa cerută și nivelul corespunzător. Pentru compararea formei, este util să apară ambele ramuri și zona în care curba își schimbă direcția.

O fereastră prea mică poate face o porțiune de parabolă să pară aproape dreaptă. O fereastră prea înaltă poate turti vizual diferențele dintre valori. Aspectul afișării nu schimbă gradul expresiei. Citim numerele de pe axe și folosim scări potrivite întrebării.

În aplicație, păstrăm formula exactă și numele curbei. Dacă suprapunem două grafice, notăm cărei reguli îi corespunde fiecare culoare. O imagine fără legendă sau cu axe ascunse poate fi sugestivă, dar nu oferă suficiente date pentru o concluzie numerică verificabilă.

Într-o citire evaluată pe desen, este util să arăți și reperele folosite. De exemplu, notează că punctul se află la intersecția verticalei prin intrarea aleasă cu nivelul unei gradații. Dacă desenul nu oferă acea precizie, scrie „aproximativ” și păstrează rotunjirea justificată de scară. Un număr cu multe zecimale nu devine mai sigur doar fiindcă este scris mai lung. Când formula este disponibilă, substituția poate înlocui estimarea printr-un rezultat exact, iar cele două răspunsuri trebuie să fie compatibile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O valoare citită înaintea formulei

Figura B arată graficul unei funcții pătratice $g$ pe $\mathbb{R}$. Citește $g(-1)$ și $g(1)$, apoi decide dacă punctul $P(3,4)$ se află pe grafic. Punctele relevante se află pe liniile grilei.

Rezolvare. Verticala prin minus unu întâlnește curba la nivelul trei, iar verticala prin unu o întâlnește la nivelul cinci. Așadar, $g(-1)=3$ și $g(1)=5$. La abscisa trei citim ordonata trei, astfel încât punctul propus, cu ordonata patru, se află deasupra curbei și nu îi aparține.

Observă că decizia a folosit exact scara și poziția curbei, fără reconstrucția coeficienților. Dacă am primi ulterior formula $g(x)=-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+5$, am putea controla toate cele trei citiri. Formula ar verifica informația; nu este necesară pentru a transforma desenul dat în date matematice.

Exemplul 2 — Două expresii care nu au același grad

Clasifică funcțiile date pe $\mathbb{R}$ prin $u(x)=5x(x-1)-3x^2+4$ și $v(x)=3x(x-1)-3x^2+4$. Pentru funcția pătratică precizează coeficienții și orientarea ramurilor.

Rezolvare. Prima expresie devine $u(x)=2x^2-5x+4$, deci coeficienții sunt doi, minus cinci și patru, iar ramurile sunt în sus. A doua expresie devine $v(x)=-3x+4$, deci funcția este afină. Operațiile au stabilit familia fiecărei funcții, înaintea oricărei schițe.

În ambele scrieri inițiale apar produse care conțin variabila de două ori. Acest aspect nu este un criteriu suficient pentru clasificare. Comparăm expresiile reduse, iar termenul rămas cu cea mai mare putere decide gradul.

Exemplul 3 — Corectarea unei singure celule

Pentru $p(x)=3x^2+x-4$, un elev scrie valorile $6,-4,0,11$ la intrările $-2,0,1,2$. Identifică eroarea și explică ce punct trebuie mutat într-o reprezentare făcută din tabel.

Rezolvare. Calculăm pe rând: $p(-2)=12-2-4=6$, $p(0)=-4$, $p(1)=3+1-4=0$, $p(2)=12+2-4=10$. Ultima celulă trebuie să conțină zece. Punctul cu abscisa doi trebuie coborât de la ordonata unsprezece la ordonata zece.

Nu schimbăm abscisa pentru a salva valoarea greșită. Tabelul precizează intrările la care se face evaluarea, iar corectura privește imaginea acelei intrări. Celelalte trei celule rămân compatibile cu formula.

Exemplul 4 — Formula se calculează, dar punctul este exclus

Se dă $r:[-1,3]\to \mathbb{R}$, $r(x)=5x^2-13$. Verifică punctele $A(2,7)$ și $B(-2,7)$ pentru graficul acestei funcții.

Rezolvare. Abscisa doi aparține domeniului și $r(2)=20-13=7$, deci primul punct aparține graficului. Abscisa minus doi este în afara intervalului declarat; al doilea punct nu aparține graficului, chiar dacă aceeași expresie produce șapte când o evaluăm în minus doi.

Parabola completă asociată expresiei ar conține ambele puncte. Funcția din enunț are însă un domeniu mai mic. Răspunsul se referă la obiectul cerut, iar imaginea simetrică a unui punct nu este automat păstrată după restrângerea domeniului.

Exemplul 5 — O citire estimată, confirmată prin calcul

Figura D reprezintă funcția $q(x)=\frac{1}{5}{x}^2-2x+3$ pe $\mathbb{R}$. Citește $q(10)$, estimează $q(6)$ din desen, apoi compară ambele citiri cu valorile calculate.

Rezolvare. Verticala prin zece întâlnește curba chiar pe linia de nivel trei a grilei, deci citirea $q(10)=3$ este exactă. Verticala prin șase întâlnește curba între liniile minus unu și minus doi, puțin deasupra celei de-a doua; o estimare rezonabilă este minus unu virgulă opt. Calculul dă $q(6)=\frac{36}{5}-12+3=-\frac{9}{5}$, iar $q(10)=20-20+3=3$.

Prima citire era exactă, iar a doua a nimerit valoarea, dar numai calculul o face sigură: pe o schiță mai mică am fi putut citi la fel de bine minus unu virgulă șapte. De aceea scriem „aproximativ” lângă o estimare și păstrăm fracția $-\frac{9}{5}$ când răspunsul cerut este exact.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

O funcție are forma $s(x)=\frac{1}{2}{x}^2+kx-2$, iar graficul ei conține punctul $C(4,14)$. Determină $k$ și verifică apoi valoarea în minus doi.

Rezolvare. Apartenența punctului înseamnă $8+4k-2=14$. Obținem $4k=8$, deci $k=2$. Regula este $s(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2x-2$, iar $s(-2)=2-4-2=-4$.

Am folosit o singură observație pentru singurul coeficient necunoscut. Nu am confundat ordonata punctului dat cu parametrul. Controlul în altă intrare arată cum se utilizează formula după determinarea coeficientului.

Să exersăm

Pentru exercițiile 1–3 folosește figura C. Ea reprezintă pe fereastra vizibilă o funcție pătratică $h$ definită pe $\mathbb{R}$; punctele folosite în cerințe se citesc exact pe grilă. Scrie întâi observația, apoi răspunsul matematic.

1. Citește $h(1)$ și $h(5)$. Precizează în fiecare caz care număr este intrarea și care este valoarea funcției.

2. Dintre punctele $A(-3,0)$, $B(-2,1)$ și $C(7,-5)$, selectează punctele aflate pe graficul din figura C. Justifică punctul respins.

3. Folosind figura C, completează tabelul valorilor lui $h$ în intrările $-3,-1,1,5$. Găsește apoi o intrare dintre unu și cinci în care linia frântă prin punctele tabelului și parabola au ordonate diferite.

4. Pentru $k(x)=\frac{2}{5}{x}^2-x+3$, definită pe $\mathbb{R}$, calculează $k(5)$ și $k(-\frac{5}{2})$. Scrie cele două puncte ale graficului obținute și precizează ce au în comun.

5. Stabilește gradul după reducere: $u(x)=4x(x+3)-3x^2-8$ și $v(x)=4x(x+3)-4x^2-8$. Pentru funcția pătratică scrie cei trei coeficienți.

6. Pentru $f(x)=\frac{2}{3}{x}^2-4$, identifică termenul liniar și calculează $f(3)$. Precizează orientarea ramurilor.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dă $f(x)=-3x^2+2x+5$. Calculează $f(-1)+f(2)$ și arată separat cele două evaluări.

8. Completează tabelul lui $p(x)=2x^2-3x-1$ la intrările $-2,-1,0,1$. Nu presupune că valorile din această listă trebuie să se repete.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verifică dacă $M(-3,10)$ și $N(2,-4)$ aparțin graficului lui $q(x)=x^2-2x-5$, definit pe $\mathbb{R}$.

10. Pentru $u:(-2,4]\to \mathbb{R}$, $u(x)=\frac{1}{2}{x}^2+3$, verifică punctele $A(-2,5)$ și $B(4,11)$. Menționează rolul capetelor domeniului.

11. Determină valorile lui $t$ pentru care regula $f_t(x)=(2t+3)x^2-x+6$ definește o funcție de gradul al doilea. Ce familie obții pentru valoarea exclusă?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x+1$, punctul graficului care are abscisa $5$ se află deasupra axei orizontale.

13. Funcția $m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $m(x)=\frac{1}{8}{x}^2-3$, este afișată pe ecran numai pentru $-4\le x\le 4$. Calculează $m(8)$ și scrie punctul graficului care corespunde acestei intrări.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+3x-4$ și $g(x)=3x-2$. Determină numerele reale $a$ pentru care $f(a)=g(4)$.

15. Un tabel pentru $g(x)=-2x^2+3x+4$ conține $g(-1)=-1$, $g(1)=5$, $g(3)=-4$. Găsește și corectează unica valoare greșită.

16. Se dau $f(x)=2x^2-12x+19$ și $g(x)=2(x-3{)}^2+1$, ambele pe $\mathbb{R}$. Sunt funcții diferite fiindcă formulele sunt scrise diferit? Argumentează prin reducere.

17. (Problemă aplicată.) Energia cinetică a unei bile cu masa de $0,4$ kg este $E(v)=\frac{1}{5}{v}^2$ jouli, unde $v$ este viteza în metri pe secundă, cu $0\le v\le 12$. Calculează $E(5)$ și $E(10)$. De câte ori crește energia când viteza se dublează?

18. Un elev a redus expresia $4x(x+1)-(x+3{)}^2$ la $3x^2+10x-9$. Calculează în intrarea $1$ atât expresia inițială, cât și rezultatul elevului. Ce arată comparația? Corectează reducerea.

Răspunsuri și explicații

1. Valorile sunt $h(1)=4$ și $h(5)=0$. Intrările se citesc pe orizontală, iar imaginile pe verticală; în al doilea caz, cinci este intrarea, iar zero este valoarea.

2. Punctele $A$ și $C$ aparțin: $h(-3)=0$ și $h(7)=-5$. Pe verticala prin minus doi, curba trece între nivelurile unu și doi, deci deasupra lui $B$; punctul nu aparține graficului. Respingerea nu cere ordonata exactă a curbei, ci doar compararea pe aceeași verticală.

3. Valorile sunt $0,3,4,0$. În intrarea trei, parabola are ordonata $h(3)=3$, iar segmentul dintre $(1,4)$ și $(5,0)$ trece prin $(3,2)$. Ordonatele diferă, deci linia frântă prin punctele tabelului nu este graficul lui $h$.

4. $k(5)=10-5+3=8$ și $k(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+3=8$. Punctele $(5,8)$ și $(-\frac{5}{2},8)$ au aceeași ordonată: două intrări diferite au aceeași imagine, iar unei intrări îi corespunde tot o singură valoare.

5. Prima regulă devine $x^2+12x-8$, deci are coeficienții $1,12,-8$. A doua devine $12x-8$ și este afină. Reducerea decide familia.

6. Coeficientul liniar este zero, iar $f(3)=6-4=2$. Ramurile sunt în sus, deoarece coeficientul pătratului este pozitiv.

7. $f(-1)=-3-2+5=0$, iar $f(2)=-12+4+5=-3$. Suma cerută este $-3$; o valoare nulă nu schimbă gradul funcției.

8. În ordinea intrărilor, valorile sunt $13,4,-1,-2$. Lista aleasă nu conține o pereche de intrări simetrice față de axa parabolei, deci repetarea nu era obligatorie.

9. $q(-3)=9+6-5=10$, deci $M$ aparține. $q(2)=4-4-5=-5\ne -4$, deci $N$ nu aparține. Cele două verificări sunt independente.

10. Primul punct este exclus, fiindcă minus doi nu aparține domeniului. Al doilea este inclus: patru este admis și formula produce unsprezece.

11. Condiția este $t\ne -3/2$. Pentru valoarea exclusă rămâne regula $-x+6$, deci o funcție afină, nu o funcție fără valori.

12. Adevărat. $f(5)=-\frac{25}{3}+10+1=\frac{8}{3}$, deci punctul este $(5,\frac{8}{3})$, cu ordonata pozitivă; punctul se află deci deasupra axei orizontale.

13. $m(8)=8-3=5$, deci punctul este $(8,5)$. El aparține graficului, fiindcă opt este în domeniu; fereastra aleasă doar nu îl arată.

14. Avem $g(4)=12-2=10$, deci $2a^2+3a-4=10$, adică $2a^2+3a-14=0$. Grupăm: $2a^2-4a+7a-14=2a(a-2)+7(a-2)=(a-2)(2a+7)$, iar produsul este nul pentru $a=2$ sau $a=-\frac{7}{2}$. Control: $f(2)=8+6-4=10$.

15. Ultima valoare trebuie să fie $g(3)=-18+9+4=-5$. Celelalte două sunt corecte. Corectura nu modifică intrarea trei.

16. Sunt aceeași funcție: a doua expresie se reduce la $2x^2-12x+19$, iar domeniile coincid. Aspectul diferit al formulelor nu produce grafice diferite.

17. $E(5)=\frac{1}{5}\cdot 25=5$ J și $E(10)=\frac{1}{5}\cdot 100=20$ J. La dublarea vitezei, energia crește de $20/5=4$ ori, nu de două ori. Pe intervalul declarat toate valorile modelului sunt nenegative, cum trebuie să fie o energie cinetică.

18. Expresia inițială dă $4\cdot 1\cdot 2-16=-8$, iar rezultatul elevului dă $3+10-9=4$. Valorile diferite arată că reducerea este greșită: pătratul $x^2+6x+9$ se scade cu toți termenii lui, deci forma corectă este $3x^2-2x-9$, care dă în unu $3-2-9=-8$. O potrivire într-o singură intrare nu ar fi dovedit însă corectitudinea.

De reținut

• Funcția pătratică păstrează un coeficient nenul al pătratului variabilei după reducerea expresiei.
• Graficul complet este o parabolă; o restricție a domeniului păstrează doar punctele admise.
• O valoare se citește vertical de la intrare până la curbă și apoi orizontal spre scara ordonatelor.
• Formula, tabelul și graficul trebuie să ofere aceeași imagine pentru aceeași intrare.
• Un punct aparține graficului numai dacă abscisa lui este admisă și formula dă exact ordonata lui.

Greșeli frecvente

• Inversarea coordonatelor punctului citit. Notează întâi intrarea de pe axa orizontală, apoi valoarea de pe cea verticală; ordinea rămâne aceeași și pentru coordonate negative.
• Înlocuirea curbei cu segmentele dintre repere. Punctele selectate ajută la citire, dar graficul familiei pătratice este curba dintre ele, nu linia frântă construită cu rigla.
• Atribuirea aceluiași semn tuturor valorilor după orientarea ramurilor. Un coeficient dominant pozitiv permite și valori negative; verifică poziția curbei față de axă în zona cerută.
• Ridicarea la pătrat a coeficientului împreună cu intrarea. În $3x^2$ se ridică la pătrat numai intrarea: pentru $x=2$ obții $3\cdot 4=12$, nu $(3\cdot 2{)}^2=36$. Pătratul se aplică doar bazei scrise imediat sub exponent.
• Respingerea funcției fiindcă o orizontală întâlnește curba de două ori. Unicitatea imaginii se verifică la abscisă fixă, prin verticale. Ieșirile egale pentru intrări diferite sunt permise.

Aplică acasă

1. Două ferestre pentru aceeași regulă. Introdu într-o aplicație $y=\frac{1}{2}{x}^2-3x+1$. Păstrează formula și schimbă numai scările afișării. Scrie ce s-a schimbat vizual și ce valori au rămas aceleași. Compară două citiri cu substituția în formulă.
2. Tabel cu o corectură ascunsă. Alege o regulă pătratică și patru intrări distincte, apoi modifică intenționat o singură ieșire. Dă tabelul și formula unui coleg, cerându-i să identifice celula și punctul care trebuie corectate. Păstrează o versiune verificată pentru comparație.
3. Puncte versus curbă. Reprezintă cinci puncte ale unei funcții pătratice, apoi desenează separat parabola și linia frântă care trece prin repere. Alege o intrare între două repere și explică de ce cele două desene nu trebuie să dea aceeași valoare acolo.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să spună cu voce tare traseul unei citiri: intrare, punct pe curbă, ordonată. Dacă poate efectua o substituție, dar inversează coordonatele pe desen, are nevoie de legarea reprezentărilor, nu de o listă mai lungă de calcule. Folosiți grafice cu gradații vizibile și valori suficient de distanțate.

Când verificați o rezolvare, separați exactitatea aritmetică de interpretarea datelor. Un elev poate calcula corect o expresie într-un număr exclus din domeniu și poate trage totuși o concluzie greșită despre apartenență. Invers, poate citi corect forma curbei fără să cunoască încă formulele vârfului, care apar în lecția următoare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere ca proprietățile fiecărei funcții studiate să fie evidențiate grafic, iar funcția de gradul al doilea este numită explicit printre conținuturi. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2 (anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), tema apare în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde funcția de gradul al doilea, cu reprezentarea grafică și intersecțiile cu axele. Modelul oficial 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții afine date prin formule; el nu conține o parabolă și nu garantează o anumită cerință într-o sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția de gradul al doilea are alt parcurs și alte exerciții. Aici continuați cu parabola, vârful și axa de simetrie, apoi folosiți testul despre funcții și lecturi grafice. Pentru calculul valorilor se poate relua valoarea unei funcții într-un punct, din clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Trebuie să cunosc formula ca să citesc o valoare de pe parabolă? Nu, dacă graficul este dat cu scări clare și punctul cerut poate fi localizat pe o gradație. Formula devine utilă pentru control sau pentru o valoare exactă pe care desenul nu o separă suficient. Când folosești numai desenul, precizează dacă lectura este exactă sau aproximativă și ce scară ai citit.

O parabolă poate reprezenta o funcție dacă două puncte au aceeași înălțime? Da. Acele puncte pot avea abscise diferite și aceeași imagine, ca două mărimi măsurate la momente diferite care dau același rezultat. Definiția cere o valoare unică pentru fiecare intrare, fapt verificat prin intersecția cu o verticală, nu prin intersecția cu o orizontală. O orizontală poate întâlni parabola de două ori fără nicio contradicție.

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre funcția de gradul al doilea? Definiția este aceeași, dar aici pornim de la grafice date și folosim formula pentru control. Nu determinăm coeficienții din trei condiții, iar exemplele insistă pe domeniul declarat, pe diferența dintre citirea exactă și cea aproximativă și pe controlul unei reduceri prin calcul. Toate noțiunile necesare profilului științe ale naturii sunt pe această pagină.

Arată coeficientul lui $x$ cât de înclinată este parabola? Nu. La funcția afină, coeficientul lui $x$ dă aceeași înclinare în toate punctele dreptei. Parabola își schimbă înclinarea de la un punct la altul: coboară, se întoarce și urcă, sau invers. Coeficientul lui $x$ contribuie la valori și la poziția curbei, dar nu este o pantă pe care să o citești undeva pe desen. De aceea îl folosești în calcule, nu ca măsură a urcării.

Cum apare funcția de gradul al doilea la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 cuprinde funcția de gradul al doilea, cu graficul, intersecțiile cu axele și proprietățile citite pe el. Modelul oficial 2026 are la Subiectul I o cerință cu funcții date prin formule, în care se calculează valori. Exersează evaluarea exactă, verificarea unui punct și aflarea unui coeficient dintr-o condiție; subiectul concret stabilește întrebarea.

O literă precum $k$ din formula unei funcții are același rol ca $x$? Nu. Litera $x$ este intrarea și ia pe rând valorile în care evaluăm, iar $k$ ține locul unui coeficient fix, încă necunoscut. O condiție, de exemplu un punct dat al graficului, fixează valoarea lui $k$; după aceea regula nu se mai schimbă, iar evaluările modifică numai intrarea. Dacă amesteci cele două roluri, pui în același tabel valori ale unor funcții diferite.