Câte soluții are ecuația a la x egal m?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția exponențială pe grafic

Ecuația $a^{x} = m$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , are cel mult o soluție, pentru că funcția exponențială este strict monotonă. Dacă $m > 0$ , există exact o soluție; dacă $m \leq 0$ , nu există nicio soluție, fiindcă puterile unei baze pozitive sunt strict pozitive. Exemplu: $2^{x} = 5$ are o soluție între $2$ și $3$ , deoarece $4 < 5 < 8$ , iar $2^{x} = - 3$ nu are soluții.

Funcția exponențială de bază $a$ are variabila în exponent: $f (x) = a^{x}$ , cu baza fixă, pozitivă și diferită de unu. O bază negativă ar face valorile să sară de o parte și de alta a axei orizontale, iar baza unu ar da o dreaptă orizontală.

Toate graficele exponențiale stau deasupra axei $O x$ și trec prin punctul $(0; 1)$ . În dreptul abscisei unu, ordonata este chiar baza, așa că baza se poate citi direct pe desen. Mulțimea valorilor este $(0, + \infty)$ .

Monotonia depinde doar de bază. Pentru o bază mai mare decât unu graficul urcă și se apropie de axa orizontală spre stânga; pentru o bază între zero și unu coboară și se apropie de axă spre dreapta. O bază și inversa ei produc curbe oglindite una în cealaltă față de $O y$ .

O orizontală $y = m$ taie graficul o singură dată dacă $m$ este pozitiv și deloc altfel, deci ecuația $a^{x} = m$ are cel mult o soluție. Soluțiile citite pe grafic se confirmă prin calcul, iar cele care nu sunt numere simple se încadrează între două valori. Pe ecranul unei aplicații, valorile foarte mici par lipite de axă, deși rămân pozitive.

De reținut

$a^{x} = m$ are o soluție dacă $m > 0$ și niciuna dacă $m \leq 0$
$a > 1$ : funcția crește; $0 < a < 1$ : funcția scade
toate graficele $a^{x}$ trec prin $(0, 1)$

Greșeala tipică

Se caută soluția ecuației $2^{x} = - 8$ scriind $x = - 3$ ; dar $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , pozitiv, iar ecuația nu are soluții reale.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile următoare este strict descrescătoare pe $R$ ?
- a) $f (x) = 1, 4^{x}$
- b) $f (x) = 2, 2^{x}$
- c) $f (x) = 0, 5 5^{x}$
- d) $f (x) = 1 3^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = 0, 5 5^{x}$

Singura bază cuprinsă între zero și unu este $0, 55$ .
Prin ce punct trec graficele tuturor funcțiilor exponențiale?
- a) $(1; 0)$
- b) $(0; 1)$
- c) $(1; 1)$
- d) $(0; 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0; 1)$

Orice bază admisă ridicată la puterea zero dă unu, deci toate graficele conțin punctul $(0; 1)$ .
Graficul funcției $f (x) = a^{x}$ trece prin punctul $(1; 0, 35)$ . Cât este $f (2)$ ?
- a) $0, 7$
- b) $0, 35$
- c) $0, 1225$
- d) $0, 0613$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 1225$

Din punctul de abscisă unu rezultă $a = 0, 35$ , deci $f (2) = 0, 3 5^{2} = 0, 1225$ .

Întrebări conexe

Cum scade presiunea atmosferică odată cu altitudinea?

Aproximativ exponențial: presiunea se înjumătățește la fiecare circa $5, 5$ km. Un model simplu este $p (h) = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{h /5, 5}$ kPa. La $5, 5$ km presiunea este $50$ kPa, iar la $11$ km este $25$ kPa. Scade mereu, dar nu ajunge la zero.

Ce fracțiune de lumină trece prin $3$ cm de soluție colorată?

Dacă fiecare centimetru lasă să treacă $80%$ din lumina primită, după $x$ centimetri trece fracțiunea $0, 8^{x}$ . Pentru $x = 3$ obții $0, 8^{3} = 0, 512$ , adică aproximativ $51%$ . Baza subunitară face funcția descrescătoare: stratul mai gros oprește mai multă lumină.

Câte puncte comune au graficul lui $2^{x}$ și dreapta $y = x + 1$ ?

Două. Pentru $x = 0$ ambele dau $1$ , iar pentru $x = 1$ ambele dau $2$ . Între ele dreapta este deasupra curbei, de exemplu la $x = 0, 5$ avem $2^{0, 5} \approx 1, 41 < 1, 5$ , iar în afara intervalului $[0, 1]$ curba trece deasupra.

Cum rezolv inecuația $3^{x} > 27$ ?

Scrii $27 = 3^{3}$ , deci inecuația devine $3^{x} > 3^{3}$ . Baza $3$ este mai mare decât unu, iar funcția crește, deci ordinea exponenților se păstrează: $x > 3$ . Pentru o bază subunitară, sensul inegalității s-ar fi schimbat la trecerea la exponenți.

Ce valori ia funcția $2^{x}$ pe intervalul $[- 1, 3]$ ?

Funcția este strict crescătoare, deci valorile extreme sunt în capete: $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ și $2^{3} = 8$ . Mulțimea valorilor pe acest interval este $[\frac{1}{2}, 8]$ . Pe toată axa reală imaginea ar fi $(0, + \infty)$ , fără capete atinse.

Oamenii mai întreabă și: numărul soluțiilor ecuației exponențiale · a la x egal m câte soluții · când are soluție ecuația exponențială · 2 la x egal 5 soluție

Câte soluții are ecuația a la x egal m?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum scade presiunea atmosferică odată cu altitudinea?

Ce fracțiune de lumină trece prin 3 cm de soluție colorată?

Câte puncte comune au graficul lui 2x și dreapta y=x+1?

Cum rezolv inecuația 3x>27?

Ce valori ia funcția 2x pe intervalul [−1,3]?

Continuă cu

Ce fracțiune de lumină trece prin $3$ cm de soluție colorată?

Câte puncte comune au graficul lui $2^{x}$ și dreapta $y = x + 1$ ?

Cum rezolv inecuația $3^{x} > 27$ ?

Ce valori ia funcția $2^{x}$ pe intervalul $[- 1, 3]$ ?