Funcția exponențială (M2, științe ale naturii)

Un fascicul de lumină trece printr-o cuvă cu o soluție colorată. Fiecare centimetru de soluție lasă să treacă aceeași fracțiune din lumina care ajunge la el, așa că, pe măsură ce grosimea crește, intensitatea nu scade cu cantități egale, ci se înmulțește mereu cu același factor. Mărimea descrisă astfel este o funcție exponențială de grosime. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), funcția exponențială se studiază prin graficul ei: îi citim valorile, monotonia, mulțimea valorilor și comportamentul la capete. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția exponențială și ecuațiile exponențiale la conținuturile clasei a X-a; modelul oficial publicat pentru 2026 folosește exponențiala doar într-o problemă de analiză de la Subiectul al III-lea.

Radicalul de ordinul trei, studiat în lecția M2 despre funcția radical de ordin 3, avea variabila sub radical. Aici variabila urcă în exponent. Puterile cu exponent întreg, pe care le folosim ca repere, sunt recapitulate în lecția despre puteri cu exponent întreg din clasa a VII-a, iar modelele de creștere construite pe aceste grafice urmează în lecția M2 despre creșterea exponențială.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este funcția exponențială de bază $a$ și de ce baza trebuie să fie pozitivă și diferită de unu.
• Vei ști să recunoști graficul pentru o bază mai mare decât unu și pentru o bază între zero și unu.
• Vei ști să citești baza direct pe grafic, din punctul de abscisă unu, și să o verifici în alte puncte.
• Vei ști să citești numărul de soluții ale ecuației $a^x=m$ și punctele comune cu o dreaptă, confirmându-le prin calcul.
• Vei ști să compari valori ale funcției folosind monotonia și să încadrezi o soluție între două numere.
• Vei ști să folosești funcția exponențială în modele din fizică și chimie, cu unitățile și domeniul potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se schimbă când variabila urcă în exponent?

Funcția exponențială de bază $a$, unde $a$ este un număr real cu $a>0$ și $a\ne 1$, este funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$. Baza rămâne fixă, iar exponentul este variabila. La funcția putere se întâmpla invers: exponentul era fix, iar baza varia.

Pentru exponenți întregi știi deja să calculezi. Cu baza cinci, de exemplu, avem $5^{-1}=0,2$, $5^0=1$ și $5^2=25$. Pentru un exponent care nu este întreg, cum ar fi $0,3$ sau $1,7$, valoarea ți-o dă calculatorul sau aplicația de grafice. Construcția riguroasă a puterilor cu exponent real se face în clasa a X-a; acum ne interesează ce arată graficul format de toate aceste valori.

2. De ce baza trebuie să fie pozitivă și diferită de unu?

Încearcă baza minus doi la exponenți întregi consecutivi: $(-2{)}^1=-2$, $(-2{)}^2=4$, $(-2{)}^3=-8$. Punctele sar alternativ deasupra și dedesubt de axa $Ox$, tot mai departe de ea. Nu se poate trasa printre ele o curbă neîntreruptă, iar pentru mulți exponenți care nu sunt întregi valoarea nici nu există printre numerele reale. De aceea baza negativă este exclusă.

Baza unu este exclusă din alt motiv: orice putere a lui unu este unu, deci graficul ar fi dreapta orizontală $y=1$, fără nicio creștere sau scădere. Baza zero nu merge nici ea, fiindcă zero la o putere negativă nu are sens. Rămân bazele pozitive diferite de unu, iar toate dau curbe cu aceeași formă generală.

3. Cum arată graficul pentru o bază mai mare decât unu?

Luăm baza $\frac{3}{2}$ și calculăm câteva valori. Pentru $x=-2$ obținem $\frac{4}{9}$, pentru $x=-1$ obținem $\frac{2}{3}$, apoi $1$, $\frac{3}{2}$, $\frac{9}{4}$ și $\frac{27}{8}$ pentru $x$ egal cu $0$, $1$, $2$ și $3$. Figura D arată curba care trece prin aceste puncte, împreună cu graficul bazei $\frac{2}{3}$, despre care vorbim imediat. Desenul este o fereastră: curbele continuă în ambele sensuri.

Pe graficul lui ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ se citesc patru lucruri. Curba stă în întregime deasupra axei $Ox$, deci toate valorile sunt pozitive. Trece prin $(0;1)$, fiindcă orice bază la puterea zero dă unu. Urcă de la stânga la dreapta, deci funcția este strict crescătoare. Spre stânga coboară tot mai aproape de axa $Ox$ fără să o atingă, iar spre dreapta urcă peste orice nivel. Axa $Ox$ joacă aici rolul de asimptotă orizontală, o noțiune citită pe grafic în lecția M2 despre comportamentul asimptotic. Mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$.

Un detaliu util: punctul de abscisă unu are ordonata egală chiar cu baza, pentru că $a^1=a$. Pe graficul din figură, în dreptul lui $x=1$ citim $\frac{3}{2}$. Așa poți recunoaște baza unei funcții exponențiale doar privind desenul.

4. Ce se întâmplă când baza este între zero și unu?

Graficul lui ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ trece prin aceleași înălțimi ca graficul lui ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$, dar în ordine inversă: valoarea lui în $-2$ este $\frac{9}{4}$, iar în $2$ este $\frac{4}{9}$. Cele două curbe sunt simetrice față de axa $Oy$, lucru vizibil în figura D. În general, bazele $a$ și $\frac{1}{a}$ dau grafice oglindite față de axa verticală.

Pentru o bază între zero și unu, funcția este strict descrescătoare. Valorile rămân pozitive, curba trece tot prin $(0;1)$, dar acum se apropie de axa $Ox$ spre dreapta și urcă peste orice nivel spre stânga. Mulțimea valorilor este aceeași, $(0,+\infty )$. Monotonia se decide deci numai după bază: mai mare decât unu înseamnă creștere, între zero și unu înseamnă descreștere.

5. Cum influențează mărimea bazei forma curbei?

Compară baza șase cu baza $\frac{3}{2}$. Pentru exponenți pozitivi, graficul bazei șase stă deasupra: în $x=2$ avem $6^2=36$, față de $\frac{9}{4}$. La stânga lui zero se întâmplă invers: $6^{-1}=\frac{1}{6}$, în timp ce ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}=\frac{2}{3}$. Graficele se întâlnesc în $(0;1)$ și își schimbă acolo ordinea.

Pe scurt, cu cât baza e mai mare decât unu, cu atât curba urcă mai abrupt pentru exponenți pozitivi și coboară mai repede spre axa $Ox$ pentru exponenți negativi. Pentru baze subunitare, imaginea se oglindește. Această observație te ajută să potrivești o formulă cu un grafic când ai mai multe curbe pe același desen.

6. Câte soluții are ecuația $a^x=m$?

Numărul soluțiilor ecuației $a^x=m$ este numărul punctelor în care orizontala $y=m$ taie graficul. Dacă $m>0$, orizontala se află în banda de deasupra axei, pe care curba o acoperă o singură dată, deci există exact o soluție. Dacă $m\le 0$, orizontala e pe axă sau sub ea, iar graficul nu ajunge acolo, deci nu există soluție.

Pentru un nivel care este o putere a bazei, soluția se citește și se confirmă ușor. De exemplu, orizontala $y=\frac{9}{4}$ taie curba lui ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ în dreptul lui $x=2$. La un nivel oarecare, soluția se citește aproximativ și se încadrează între două numere. Tot pe grafic se văd și soluțiile unei ecuații $f(x)=g(x)$: abscisele punctelor comune. Cele două curbe din figura D au un singur punct comun, $(0;1)$.

Când nivelul nu este o putere simplă a bazei, lucrezi în doi pași. Mai întâi citești pe grafic între ce gradații cade abscisa punctului de intersecție. Apoi calculezi valorile funcției în cele două gradații și verifici că nivelul se află între ele. Pentru o funcție crescătoare, valoarea din gradația stângă trebuie să fie sub nivel, iar cea din gradația dreaptă peste el; pentru una descrescătoare, invers. Astfel, chiar fără să poți scrie soluția exact, poți spune cu siguranță între ce numere se află ea, iar o aplicație de grafice îți dă apoi o aproximare cu zecimale.

7. Cum comparăm două valori fără să le calculăm?

Monotonia face comparația aproape automată. Pentru baza $0,9$, subunitară, funcția scade, deci exponentul mai mare dă valoarea mai mică: $0,9^{2,5}>0,9^3$. Pentru baza $\frac{3}{2}$ funcția crește, deci ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{0,4}<{\left(\frac{3}{2}\right)}^{0,6}$.

Regula de lucru are doi pași: întâi decizi, după bază, dacă funcția crește sau scade, apoi compari exponenții. Poți verifica oricând cu calculatorul, dar raționamentul prin monotonie îți spune răspunsul și atunci când valorile sunt foarte apropiate sau foarte mici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește baza din grafic

Figura E1 arată graficul unei funcții exponențiale $f(x)=a^x$ pe un caroiaj. Citește baza, apoi verifică-o în alte două puncte ale graficului.

Rezolvare. În dreptul abscisei unu, curba se află la ordonata $2,5$. Cum $f(1)=a^1=a$, baza este $a=2,5$. Verificăm cu alte puncte: $2,5^2=6,25$, iar pe desen, în dreptul lui $x=2$, curba este puțin deasupra gradației șase. Apoi $2,5^{-1}=\frac{1}{2,5}=0,4$, iar în dreptul lui $x=-1$ curba este la mai puțin de jumătate de unitate deasupra axei. Ambele controale se potrivesc. Baza fiind mai mare decât unu, funcția este strict crescătoare, ceea ce se vede și pe desen.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev desenează în aplicație graficul lui $f(x)=0,5^x$ pentru $x$ între $0$ și $10$, cu axa verticală gradată până la $1$. El scrie: „Curba atinge axa $Ox$ în dreptul lui $x=8$, deci acolo funcția valorează zero.” Unde greșește?

Rezolvare. Valoarea exactă este $0,5^8=\frac{1}{256}\approx 0,0039$, un număr pozitiv, deci funcția nu valorează zero în $x=8$. Elevul a luat aspectul desenului drept valoare a funcției; de ce o curbă pare lipită de axă pe ecran ai văzut în lecția M2 despre funcția putere. Pentru exponențială, concluzia se trage din mulțimea valorilor, $(0,+\infty )$: oricât de mare ar fi $x$, puterea $0,5^x$ rămâne strict pozitivă, iar la capătul ferestrei, în $x=10$, ea este încă $\frac{1}{1024}$.

Exemplul 3 — Două baze inverse, aceleași niveluri

Figura E3 arată graficele funcțiilor $f(x)=0,2^x$ și $g(x)=5^x$, împreună cu orizontalele $y=5$ și $y=0,04$. Citește soluțiile ecuațiilor $0,2^x=m$ și $5^x=m$ pentru $m=5$, $m=0,04$ și $m=1$ și spune ce relație observi între ele. Pentru ce valori ale lui $m$ nu are niciuna dintre ecuații soluții?

Rezolvare. Orizontala $y=5$ taie graficul lui $f$ în dreptul lui $x=-1$ și graficul lui $g$ în dreptul lui $x=1$; confirmăm: $0,2^{-1}=5$ și $5^1=5$. Orizontala $y=0,04$ taie graficul lui $f$ la $x=2$ și pe cel al lui $g$ la $x=-2$: $0,2^2=0,04$ și $5^{-2}=\frac{1}{25}=0,04$. Pentru $m=1$ ambele soluții sunt zero, pentru că graficele se întâlnesc în $(0;1)$.

De fiecare dată soluțiile celor două ecuații sunt numere opuse. Motivul este oglindirea observată la bazele subunitare: $0,2=\frac{1}{5}$, deci graficele sunt simetrice față de axa $Oy$, iar o orizontală le taie în puncte simetrice. Pentru $m\le 0$ niciuna dintre ecuații nu are soluție, fiindcă ambele grafice stau în întregime deasupra axei $Ox$.

Exemplul 4 — Dreapta prin două puncte ale curbei

Figura E4 arată graficul lui $f(x)=3^x$ și dreapta care trece prin punctele lui de abscise $1$ și $3$. Scrie ecuația dreptei, verifică cele două puncte și spune pe ce interval dreapta este deasupra curbei.

Rezolvare. Punctele curbei sunt $(1;3)$ și $(3;27)$, pentru că $3^1=3$ și $3^3=27$. Panta dreptei este $\frac{27-3}{3-1}=12$, iar din $3=12\cdot 1+n$ rezultă $n=-9$, deci dreapta este $g(x)=12x-9$. Verificăm și al doilea punct: $12\cdot 3-9=27$. Pe figură nu apare alt punct comun, deci ecuația $f(x)=g(x)$ are soluțiile $1$ și $3$.

Între cele două puncte dreapta este deasupra curbei: în $x=2$ avem $3^2=9<15=12\cdot 2-9$. În afara intervalului $[1,3]$ curba trece deasupra. În $x=0$, curba este la $1$, iar dreapta la $-9$; în $x=4$, curba este la $81$, iar dreapta abia la $39$. Dreapta urcă în pași egali, în timp ce exponențiala își mărește pasul la fiecare unitate, motiv pentru care, după un timp, o depășește definitiv.

Exemplul 5 — Lumina printr-o soluție colorată

O soluție colorată lasă să treacă, pe fiecare centimetru, $80\%$ din lumina care ajunge la ea. Procentul din lumina incidentă care iese după grosimea $d$, în centimetri, este $I(d)=100\cdot 0,8^d$, pentru $d\in [0,6]$. Calculează $I(1)$, $I(3)$ și $I(4)$, aproximează $I(0,5)$ și spune între ce grosimi întregi scade intensitatea sub jumătate.

Rezolvare. Avem $I(1)=100\cdot 0,8=80$, $I(3)=100\cdot 0,512=51,2$ și $I(4)=100\cdot 0,4096=40,96$, toate în procente. Pentru o jumătate de centimetru, calculatorul dă $I(0,5)\approx 89,44$ procente: prima jumătate de centimetru oprește puțin mai mult de jumătate din ce oprește primul centimetru întreg, adică aproximativ $10,56$ procente față de $20$.

Cum $I(3)>50$ și $I(4)<50$, iar funcția scade pe tot intervalul, intensitatea trece sub jumătate între grosimile de trei și patru centimetri. Pe grafic, orizontala de cincizeci la sută taie curba puțin după trei centimetri. Modelul este cel al legii Beer–Lambert pentru o lumină de o singură culoare și are sens numai pentru grosimi pozitive, pe intervalul declarat; intensitatea nu devine niciodată zero.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$. a) Determinați punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ și arătați că punctul $B(-2;9)$ aparține graficului. b) Comparați numerele $f\left(\sqrt{2}\right)$ și $f(1)$.

Rezolvare. a) Pe axa $Oy$ abscisa este zero, iar $f(0)=1$, deci punctul este $(0;1)$. Apoi $f(-2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9$, deci $B$ aparține graficului.

b) Baza $\frac{1}{3}$ este între zero și unu, deci funcția este strict descrescătoare. Cum $\sqrt{2}>1$, rezultă $f\left(\sqrt{2}\right)<f(1)$, adică $f\left(\sqrt{2}\right)<\frac{1}{3}$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Pentru exercițiile cu figură, citește întâi baza sau punctele marcate, apoi confirmă prin calcul.

1. Calculează $0,1^{-3}$, ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2$, $7^0$ și $20^{-1}$.

2. Tabelul de mai jos ar trebui să conțină valori ale unei funcții $f(x)=a^x$, dar unul dintre numere a fost copiat greșit. Găsește-l, precizează baza și scrie valoarea corectă.

3. Figura X3 arată graficul unei funcții exponențiale $f(x)=a^x$ pe un caroiaj; este marcat numai punctul de abscisă $-1$, cu ordonata $\frac{5}{3}$. Află baza fără să citești punctul de abscisă unu, apoi calculează $f(2)$ și verifică valoarea pe figură.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $(-2;16)$ aparține graficului funcției $f(x)=0,25^x$.

5. Figura E1 din Exemplul 1 arată graficul lui $f(x)=2,5^x$. Citește pe ea, aproximativ, $f(1,5)$ și $f(-0,5)$, apoi calculează cele două valori cu un calculator și rotunjește-le la două zecimale.

6. Figura X6 arată, punctat, graficul lui $2^x$ și, plin, graficul funcției $g(x)=2^{x-3}$. Cu câte unități și în ce sens a fost mutată curba? Ce puncte ale graficului lui $g$ corespund punctelor $(0;1)$ și $(1;2)$ ale graficului lui $2^x$? Se schimbă mulțimea valorilor?

7. Fără calculator, stabilește care dintre numerele $0,85^2$, $1,45^{-0,5}$, $4,5^{0,1}$ și $0,65^{-2}$ sunt mai mari decât $1$.

8. Pentru $f(x)=2^x$, calculatorul dă $f(2,3)\approx 4,925$. Fără calculator, află $f(3,3)$, $f(4,3)$ și $f(1,3)$, rotunjite la două zecimale.

9. Arată că funcția $f(x)=2^x\cdot 8^x$ este o funcție exponențială, precizează-i baza și monotonia, apoi verifică rezultatul în $x=-1$ și în $x=2$.

10. Explică de ce ecuația $0,3^x=x$ are exact o soluție și încadreaz-o între $0,5$ și $0,6$ calculând cu un calculator valorile potrivite.

11. (Problemă aplicată.) În atmosfera joasă, presiunea aerului la altitudinea $h$, în kilometri, este aproximată prin $p(h)=1013\cdot 0,88^h$ hectopascali, pentru $h\in [0,10]$. a) Calculează $p(0)$ și $p(1)$. b) Între ce altitudini întregi presiunea scade sub jumătate din valoarea de la nivelul mării?

12. Precizează mulțimea valorilor funcției $f:[-2,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=10^x$.

13. Între ce numere naturale consecutive se află soluția ecuației $1,1^x=2$? Folosește calculatorul pentru puterile potrivite.

14. Într-o aplicație de grafice, desenează $f(x)=1,5^x$ și dreapta $y=10$. Citește cu instrumentul de intersecție abscisa punctului comun, rotunjită la două zecimale, și verifică rezultatul calculând $1,5$ la acea putere.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=8^x$. Calculați $f(-1)+f(1)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={\left(\frac{5}{4}\right)}^x$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu dreapta de ecuație $y=\frac{64}{125}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x-8$. Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

18. (Provocare.) Pentru ce valori ale lui $m$ are ecuația $4^x=m$ o soluție negativă? Justifică pe grafic.

Răspunsuri și explicații

1. Obținem $0,1^{-3}=1000$, ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$, $7^0=1$ și $20^{-1}=\frac{1}{20}=0,05$. Exponentul negativ inversează baza, nu schimbă semnul rezultatului.

2. Din $a^{-1}=\frac{1}{a}=0,8$ rezultă $a=1,25$. Verificăm celelalte valori: $1,25^{-2}=0,64$, $1,25^0=1$ și $1,25^2=1,5625$ se potrivesc. Greșită este valoarea din $x=1$: acolo trebuie să apară chiar baza, $1,25$, nu $1,2$. Dacă baza ar fi fost $1,2$, trei dintre celelalte valori nu s-ar fi potrivit.

3. Din $a^{-1}=\frac{1}{a}=\frac{5}{3}$ rezultă $a=\frac{3}{5}=0,6$. Atunci $f(2)=0,6^2=0,36$, iar pe figură curba trece, în dreptul lui $x=2$, puțin sub gradația $0,4$. Baza fiind subunitară, funcția este descrescătoare; de aceea punctul marcat, aflat la stânga axei $Oy$, este deasupra nivelului unu.

4. Adevărat. Calculăm $0,25^{-2}=\frac{1}{0,0625}=16$, deci punctul de abscisă minus doi al graficului are ordonata șaisprezece.

5. Pe figură, la $x=1,5$ curba este între gradațiile trei și patru, mai aproape de patru, iar la $x=-0,5$ este puțin deasupra jumătății de unitate. Calculatorul dă $2,5^{1,5}\approx 3,95$ și $2,5^{-0,5}\approx 0,63$, în acord cu citirea.

6. Graficul lui $g$ este graficul lui $2^x$ mutat cu trei unități spre dreapta: valoarea pe care $2^x$ o avea în zero apare acum abia la intrarea trei. Punctele corespunzătoare sunt $(3;1)$ și $(4;2)$; verificăm: $g(3)=2^0=1$ și $g(4)=2^1=2$. Mulțimea valorilor rămâne $(0,+\infty )$, pentru că o mutare pe orizontală nu schimbă înălțimile, iar axa $Ox$ rămâne asimptotă orizontală.

7. Comparăm fiecare putere cu $a^0=1$, a aceleiași baze. Baza $0,85$ dă o funcție descrescătoare și $2>0$, deci $0,85^2<1$. Baza $1,45$ dă o funcție crescătoare și $-0,5<0$, deci $1,45^{-0,5}<1$. Baza $4,5$ dă o funcție crescătoare și $0,1>0$, deci $4,5^{0,1}>1$. Baza $0,65$ dă o funcție descrescătoare și $-2<0$, deci $0,65^{-2}>1$. Mai mari decât unu sunt $4,5^{0,1}$ și $0,65^{-2}$.

8. Când exponentul crește cu unu, valoarea se înmulțește cu baza: $2^{3,3}=2\cdot 2^{2,3}\approx 9,85$ și $2^{4,3}=4\cdot 2^{2,3}\approx 19,70$. Când exponentul scade cu unu, valoarea se împarte la bază: $2^{1,3}=\frac{2^{2,3}}{2}\approx 2,46$. Pe grafic, fiecare pas de o unitate spre dreapta dublează înălțimea, oricare ar fi punctul de pornire.

9. Două puteri cu același exponent se înmulțesc înmulțind bazele: $2^x\cdot 8^x=(2\cdot 8{)}^x=16^x$. Baza este $16>1$, deci funcția este strict crescătoare. Verificăm: $f(-1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{16}=16^{-1}$ și $f(2)=4\cdot 64=256=16^2$.

10. Funcția $0,3^x$ scade, iar funcția $x$ crește, deci graficele lor se pot întâlni cel mult o dată; în $x=0$ exponențiala e deasupra, iar în $x=1$ dreapta e deasupra, deci se întâlnesc exact o dată. Calculatorul dă $0,3^{0,5}\approx 0,548>0,5$ și $0,3^{0,6}\approx 0,486<0,6$, deci soluția este între $0,5$ și $0,6$.

11. a) $p(0)=1013$ hPa și $p(1)=1013\cdot 0,88=891,44$ hPa. b) Jumătate înseamnă $506,5$ hPa. Calculatorul dă $p(5)\approx 534,59$ hPa, peste prag, și $p(6)\approx 470,44$ hPa, sub prag. Presiunea scade sub jumătate între $5$ și $6$ km, în acord cu măsurătorile, care dau în jur de $5,5$ km.

12. Funcția este strict crescătoare pe interval, deci valorile merg de la $10^{-2}=0,01$ la $10^1=10$: mulțimea valorilor este $[0,01;10]$.

13. Calculatorul dă $1,1^7\approx 1,95$ și $1,1^8\approx 2,14$. Cum funcția crește, soluția se află între $7$ și $8$.

14. Aplicația dă $x\approx 5,68$. Verificăm: $1,5^{5,68}\approx 10,0$. Controlul prin exponenți întregi confirmă poziția: $1,5^5\approx 7,59$ și $1,5^6\approx 11,39$ încadrează nivelul zece. Valoarea exactă a soluției se scrie cu logaritmi, în lecțiile următoare.

15. Calculăm $f(-1)=8^{-1}=\frac{1}{8}$ și $f(1)=8$, deci $f(-1)+f(1)=\frac{1}{8}+8=\frac{65}{8}$.

16. Avem $\frac{64}{125}={\left(\frac{4}{5}\right)}^3={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-3}$, deci exponentul căutat este $-3$, iar punctul este $\left(-3;\frac{64}{125}\right)$. Orizontala taie graficul o singură dată, fiindcă nivelul ei este pozitiv.

17. Valorile lui $2^x$ acoperă intervalul $(0,+\infty )$, iar scăderea lui opt coboară fiecare valoare cu opt unități. Mulțimea valorilor lui $f$ este $(-8,+\infty )$; valoarea minus opt nu este atinsă.

18. Pentru $x<0$ graficul lui $4^x$ se află între axa $Ox$ și nivelul unu, fără să atingă vreunul dintre ele. Ecuația are o soluție negativă exact când $0<m<1$. Pentru $m=1$ soluția este zero, iar pentru $m>1$ soluția este pozitivă.

De reținut

• Funcția exponențială de bază $a$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, este $f(x)=a^x$, definită pe $\mathbb{R}$, cu mulțimea valorilor $(0,+\infty )$.
• Toate graficele trec prin $(0;1)$, iar punctul de abscisă unu are ordonata egală cu baza.
• Baza mai mare decât unu dă o funcție strict crescătoare, baza între zero și unu una strict descrescătoare; bazele $a$ și $\frac{1}{a}$ dau grafice simetrice față de $Oy$.
• Axa $Ox$ este asimptotă orizontală: curba se apropie de ea într-un sens, fără să o atingă, și urcă peste orice nivel în celălalt.
• Orizontala $y=m$ întâlnește graficul lui $a^x$ o singură dată când $m>0$ și deloc când $m\le 0$; soluțiile citite se confirmă prin calcul.

Greșeli frecvente

• Citești baza din punctul de pe axa $Oy$. Acolo toate graficele sunt la unu, oricare ar fi baza. Baza se citește în dreptul abscisei unu.
• Crezi că dublarea exponentului dublează valoarea. Din $3^2=9$ nu rezultă că $3^4$ este dublul lui $9$; valoarea se ridică la pătrat și devine $81$. Calculează puterea nouă, nu înmulți rezultatul vechi cu doi.
• Confunzi graficul lui ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ cu graficul lui $-a^x$. Primul este oglinda față de axa $Oy$ și rămâne deasupra axei $Ox$; al doilea este oglinda față de $Ox$ și are numai valori negative.
• Crezi că baza mai mare dă mereu valoarea mai mare. Afirmația e adevărată numai pentru exponenți pozitivi. Pentru exponenți negativi ordinea se inversează; compară, de exemplu, valorile în minus unu.
• Păstrezi mulțimea valorilor $(0,+\infty )$ după ce aduni o constantă. Adunarea constantei $c$ mută toate valorile, deci capătul intervalului devine $c$. Scrie mulțimea după translație, nu pe cea a funcției de pornire.

Aplică acasă

1. Pornește lanterna unui telefon și măsoară lumina cu o aplicație de luxmetru instalată pe alt telefon, așezat la aceeași distanță. Pune între ele, pe rând, una, două, trei și patru folii transparente colorate identice. Notează valorile, calculează raportul dintre două măsurători consecutive și verifică dacă este aproximativ constant, cum cere un model exponențial.
2. Într-o aplicație de grafice, desenează $a^x$ cu un glisor pentru $a$ între $0,1$ și $5$. Alege șase valori ale bazei și notează într-un tabel punctul de abscisă unu citit pe ecran și monotonia observată. Încheie cu o propoziție despre ce se întâmplă când glisorul trece prin unu.
3. Calculează cu un calculator valorile lui $1,2^x$ din jumătate în jumătate, pentru $x$ de la $-2$ la $3$, și desenează-le pe hârtie milimetrică. Compară apoi desenul tău cu graficul trasat de o aplicație și marchează locurile în care curba ta se abate cel mai mult.

Pentru părinți și profesori

Lecția prezintă funcția exponențială ca obiect grafic: elevul citește pe desen semnul valorilor, punctul comun $(0;1)$, baza în dreptul abscisei unu, monotonia după bază, comportamentul la capete și numărul soluțiilor ecuației $a^x=m$. Calculul servește la confirmarea citirilor, nu la rezolvarea algebrică a ecuațiilor exponențiale, care aparține clasei a X-a. O întrebare bună de control este „ce se schimbă pe grafic dacă înlocuim baza cu inversa ei?”; elevul care răspunde „se oglindește față de axa verticală” și dă un exemplu numeric a înțeles legătura dintre bază și monotonie.

O confuzie frecventă la început este amestecul dintre funcția putere și funcția exponențială, adică între o formulă cu variabila la bază și una cu variabila la exponent. Merită cerut elevilor să spună, pentru fiecare formulă scrisă pe tablă, care număr rămâne fix și care se schimbă. Recomandăm cel puțin o explorare digitală cu glisor pentru bază și una în care elevul citește cu instrumentul de intersecție soluția unei ecuații $a^x=m$. Contextele din fizică și chimie, cum ar fi lumina printr-o soluție sau presiunea atmosferică, pregătesc lecția următoare despre modelele de creștere și de scădere.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții numește funcția exponențială și cere observarea proprietăților, inclusiv a comportamentului asimptotic, pe grafice furnizate sau desenate digital. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția exponențială și ecuațiile exponențiale la conținuturile clasei a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o ecuație logaritmică, nu una exponențială, iar exponențiala apare la Subiectul al III-lea într-o problemă de analiză matematică; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția exponențială. Pentru legătura cu clasa a VII-a, revedeți puterile cu exponent întreg. Continuarea firească este creșterea exponențială la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre funcția exponențială?

Varianta M2 lucrează cu grafice furnizate sau desenate digital și folosește calculul pentru confirmare. Nu construiește puterile cu exponent real prin aproximări succesive și nu rezolvă ecuații exponențiale. În schimb, insistă pe citirea bazei, pe punctele comune cu o dreaptă, pe limitele ecranului și pe modele din fizică și chimie, cu unități.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea funcția exponențială?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția exponențială și ecuațiile exponențiale la clasa a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 folosește exponențiala la Subiectul al III-lea, într-o problemă de analiză, iar la Subiectul I are o ecuație logaritmică. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Cum aflu baza unei funcții exponențiale dacă am doar graficul?

Caută punctul de abscisă unu: ordonata lui este chiar baza, pentru că orice număr la puterea unu rămâne neschimbat. Verifică apoi citirea într-un al doilea punct, de exemplu în abscisa doi, unde trebuie să găsești pătratul bazei. Dacă punctul de abscisă unu nu e clar pe desen, folosește un alt punct marcat și ridică baza bănuită la puterea potrivită.

Cum obțin valoarea lui $a^x$ când $x$ nu este un număr întreg?

Cu un calculator științific sau cu o aplicație de grafice, care folosesc tasta ori funcția de putere. Rezultatul este de obicei un număr cu multe zecimale, pe care îl rotunjești la precizia cerută. La clasa a IX-a nu construim aceste valori de mână; clasa a X-a arată cum se definesc riguros puterile cu exponent real.

Prin ce puncte poate trece graficul unei funcții exponențiale?

Prin punctul $(0;1)$ trece întotdeauna. Prin niciun punct cu ordonata zero sau negativă nu trece, iar un punct de forma $(p;1)$ cu $p\ne 0$ nu apare pe niciun grafic, fiindcă baza unu este exclusă. Prin orice alt punct $(p;q)$, cu $p\ne 0$ și $q>0$, trece exact o funcție exponențială: baza ei este numărul pozitiv care, ridicat la puterea $p$, dă $q$.

Este funcția exponențială pară sau impară?

Niciuna dintre ele. O funcție pară ar avea graficul simetric față de axa $Oy$, dar $2^{-1}=\frac{1}{2}$, pe când $2^1=2$. Nici simetria față de origine nu apare, fiindcă toate valorile sunt pozitive, deci un punct $(p;q)$ al graficului nu poate avea pereche $(-p;-q)$. Oglinda față de $Oy$ a graficului lui $a^x$ este graficul altei funcții, cea cu baza $\frac{1}{a}$.