Ce semn are log₂ x după poziția lui x față de 1?

Graficul trece prin (1,0) și urcă. Pentru 0 1 valorile sunt pozitive, ca log₂ 8=3. Pentru o bază subunitară semnele s-ar inversa.

Ce valori ia log₂ x pe intervalul [1/4,16]?

Funcția este strict crescătoare, deci extremele sunt în capete: log₂ 1/4=-2 și log₂ 16=4. Mulțimea valorilor este [-2,4]. Intervalul de argumente are lungimea aproape 16, iar valorile se întind pe doar 6 unități.

De ce e logaritmul oglinda exponențialei?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Graficul funcției logaritmice

Funcția $lo g_{a} x$ face drumul invers față de $a^{x}$ : dacă $a^{u} = v$ , atunci $lo g_{a} v = u$ . Deci punctul $(u, v)$ al exponențialei devine punctul $(v, u)$ al logaritmului, iar schimbarea coordonatelor între ele înseamnă simetrie față de dreapta $y = x$ . Exemplu cu baza $3$ : $(2, 9)$ trece în $(9, 2)$ , fiindcă $lo g_{3} 9 = 2$ , iar $(- 1, \frac{1}{3})$ trece în $(\frac{1}{3}, - 1)$ .

Funcția logaritmică de bază $a$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , este $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ . Domeniul conține doar numere strict pozitive, iar mulțimea valorilor este $R$ . Graficul trece prin $(1; 0)$ și prin $(a; 1)$ și nu atinge niciodată axa $O y$ , care este asimptotă verticală.

Pentru o bază supraunitară graficul urcă, tot mai încet: înmulțirea argumentului cu baza adaugă o unitate la valoare. Pentru o bază subunitară graficul coboară, iar curba bazei $\frac{1}{a}$ este imaginea în oglindă, față de $O x$ , a curbei bazei $a$ . Semnul funcției îl dă direct desenul: deasupra axei orizontale valorile sunt pozitive, dedesubt sunt negative.

Graficul lui $lo g_{a} x$ este oglinda graficului lui $a^{x}$ față de dreapta $y = x$ : punctului $(u; v)$ al exponențialei îi corespunde punctul $(v; u)$ al logaritmului. Pentru două baze supraunitare, la dreapta punctului comun graficul bazei mai mari este mai jos. Ecuația $lo g_{a} x = m$ are mereu o singură soluție, $x = a^{m}$ , iar punctele comune cu o dreaptă se citesc pe grafic și se confirmă prin calcul. Inecuațiile cu logaritmi rămân pentru clasa a X-a.

De reținut

$(u, v)$ pe graficul lui $a^{x}$ $⟺$ $(v, u)$ pe graficul lui $lo g_{a} x$
graficele lui $a^{x}$ și $lo g_{a} x$ sunt simetrice față de $y = x$
$lo g_{a} x$ trece prin $(1, 0)$ și $(a, 1)$

Greșeala tipică

Se desenează graficul logaritmului ca oglindă a exponențialei față de axa $O x$ sau $O y$ ; oglinda corectă este față de dreapta $y = x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Domeniul funcției $f (x) = lo g_{7} x$ este:
- a) $R$
- b) $[0; + \infty)$
- c) $(0; + \infty)$
- d) $(1; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0; + \infty)$

Argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, deci domeniul este $(0; + \infty)$ ; zero nu face parte din el.
Graficul funcției $f (x) = lo g_{a} x$ trece prin punctul $(\frac{1}{64}; 2)$ . Baza este:
- a) $8$
- b) $\frac{1}{8}$
- c) $\frac{1}{64}$
- d) $64$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{8}$

Condiția este $a^{2} = \frac{1}{64}$ , cu $a > 0$ , deci $a = \frac{1}{8}$ . Un argument subunitar cu valoare pozitivă cere, oricum, o bază subunitară.
Punctul $(2; 225)$ aparține graficului funcției $1 5^{x}$ . Punctul corespunzător de pe graficul funcției $lo g_{15} x$ este:
- a) $(2; 225)$
- b) $(225; 2)$
- c) $(- 2; 225)$
- d) $(225; - 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(225; 2)$

Schimbăm coordonatele între ele: $lo g_{15} 225 = 2$ , pentru că $1 5^{2} = 225$ .

Întrebări conexe

Ce semn are $lo g_{2} x$ după poziția lui $x$ față de $1$ ?

Graficul trece prin $(1, 0)$ și urcă. Pentru $0 < x < 1$ valorile sunt negative, de exemplu $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ ; în $x = 1$ valoarea este $0$ ; pentru $x > 1$ valorile sunt pozitive, ca $lo g_{2} 8 = 3$ . Pentru o bază subunitară semnele s-ar inversa.

Cum arată graficul lui $lo g_{\frac{1}{2}} x$ față de cel al lui $lo g_{2} x$ ?

Cele două grafice sunt simetrice față de axa $O x$ , fiindcă $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ . De exemplu, la $x = 4$ primul dă $- 2$ , iar al doilea $2$ . Ambele trec prin $(1, 0)$ și au axa $O y$ ca asimptotă, dar unul coboară, celălalt urcă.

Câte cicluri de infecție ale unui bacteriofag duc de la un virus la $1 0^{8}$ ?

Dacă la fiecare ciclu numărul virusurilor se înmulțește cu $100$ , după $n$ cicluri ai $10 0^{n}$ . Ceri $10 0^{n} = 1 0^{8}$ , deci $n = lo g_{100} 1 0^{8} = 4$ , pentru că $10 0^{4} = 1 0^{8}$ . Logaritmul numără de câte ori se aplică factorul.

Ce valori ia $lo g_{2} x$ pe intervalul $[\frac{1}{4}, 16]$ ?

Funcția este strict crescătoare, deci extremele sunt în capete: $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ și $lo g_{2} 16 = 4$ . Mulțimea valorilor este $[- 2, 4]$ . Intervalul de argumente are lungimea aproape $16$ , iar valorile se întind pe doar $6$ unități.

Unde intersectează graficul lui $lo g_{a} x$ axele de coordonate?

Axa $O x$ este tăiată o singură dată, în $(1, 0)$ , oricare ar fi baza, pentru că $lo g_{a} 1 = 0$ . Axa $O y$ nu este atinsă niciodată: $0$ nu aparține domeniului, iar $O y$ este asimptotă verticală. Graficul stă în întregime la dreapta axei verticale.

Oamenii mai întreabă și: simetria logaritmului și exponențialei · logaritmul inversa exponențialei · graficul log față de prima bisectoare · de ce graficele log și a la x sunt simetrice

De ce e logaritmul oglinda exponențialei?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce semn are log2​x după poziția lui x față de 1?

Cum arată graficul lui log21​​x față de cel al lui log2​x?

Câte cicluri de infecție ale unui bacteriofag duc de la un virus la 108?

Ce valori ia log2​x pe intervalul [41​,16]?

Unde intersectează graficul lui loga​x axele de coordonate?

Continuă cu

Ce semn are $lo g_{2} x$ după poziția lui $x$ față de $1$ ?

Cum arată graficul lui $lo g_{\frac{1}{2}} x$ față de cel al lui $lo g_{2} x$ ?

Câte cicluri de infecție ale unui bacteriofag duc de la un virus la $1 0^{8}$ ?

Ce valori ia $lo g_{2} x$ pe intervalul $[\frac{1}{4}, 16]$ ?

Unde intersectează graficul lui $lo g_{a} x$ axele de coordonate?