Funcția logaritmică și graficul ei (M2, științe ale naturii)

Un bacteriofag este un virus care infectează bacterii: dintr-o bacterie infectată ies, după un ciclu, în jur de o sută de virusuri noi. Un microbiolog vrea să știe câte cicluri de infecție sunt necesare pentru ca într-o cultură să apară zece mii sau un milion de virusuri. La fiecare înmulțire cu o sută a numărului de virusuri se adaugă un singur ciclu: o asemenea dependență este descrisă de o funcție logaritmică. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), o studiezi pe grafice date sau trasate digital: domeniul, valorile, monotonia, semnul și legătura ei cu exponențiala. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei numește „funcția logaritmică”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția logaritmică și ecuațiile logaritmice, la materia clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o ecuație logaritmică.

Lecția pornește de la definiția logaritmului la M2 și de la graficul funcției exponențiale. Vocabularul asimptotelor citite pe grafic vine din lecția despre comportamentul asimptotic, iar exponențiala cu baza $e$ din lecția despre numărul e. Pentru cum se citește un grafic în general poți reciti graficul unei funcții și lectura grafică.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția logaritmică și să explici de ce domeniul ei este mulțimea numerelor strict pozitive.
• Vei ști să construiești graficul din câteva puncte cu valori exacte și să citești pe el mulțimea valorilor și monotonia.
• Vei ști să recunoști, după aspectul graficului, dacă baza este supraunitară sau subunitară și să afli baza dintr-un punct.
• Vei ști să explici de ce graficul logaritmului și cel al exponențialei cu aceeași bază sunt simetrice față de dreapta $y=x$.
• Vei ști să compari graficele pentru două baze și să citești semnul funcției pe desen.
• Vei ști să citești pe grafic soluția unei ecuații ${\log }_{a}x=m$ și punctele comune cu o dreaptă.

Hai să descoperim împreună

1. Cum devine logaritmul o funcție?

În lecția precedentă ai calculat logaritmi ca numere. Fixăm acum baza, de exemplu $a=5$, și lăsăm argumentul să varieze. Fiecărui număr strict pozitiv $x$ îi corespunde un singur exponent $c$ cu $5^c=x$, deci regula „$x$ merge în ${\log }_{5}x$” este o funcție.

Funcția logaritmică de bază $a$, unde $a>0$ și $a\ne 1$, este funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$. Domeniul este intervalul numerelor strict pozitive, pentru că argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv. Codomeniul este $\mathbb{R}$, pentru că exponentul poate fi orice număr real.

Numerele zero și negative nu au imagine: nu există puncte ale graficului pe axa $Oy$ sau în stânga ei. Orice desen al unei funcții logaritmice trebuie să rămână, așadar, în semiplanul din dreapta axei verticale.

2. Cum arată graficul pentru o bază supraunitară?

Alegem pentru baza $5$ argumente care sunt puteri ale bazei, ca valorile să fie exacte:

Tabelul are un ritm pe care merită să-l observi: de la o coloană la următoarea argumentul se înmulțește cu cinci, iar valoarea crește cu unu. Pe axa orizontală, pașii devin tot mai lungi spre dreapta, în timp ce pe axa verticală rămân egali. De aceea graficul urcă tot mai încet.

Alegerea argumentelor nu este întâmplătoare. Pentru un argument oarecare, de exemplu șapte, valoarea nu este un număr întreg și ai avea nevoie de calculator; pentru puterile bazei, valorile se citesc din definiție. Un grafic desenat de mână pornește de obicei de la aceste puncte cu valori exacte, iar restul curbei se completează neted între ele. O aplicație de grafice face același lucru, dar cu mii de puncte.

Figura A arată graficul lui ${\log }_{5}x$ pentru $x$ între aproape zero și douăzeci și șase. Curba vine de jos, foarte aproape de axa $Oy$, taie axa $Ox$ în $(1;0)$, trece prin $(5;1)$ și continuă să urce, din ce în ce mai lin. Pentru $x$ mic, apropiat de zero, valorile sunt negative și mari în valoare absolută.

3. Ce proprietăți se citesc pe grafic?

Pentru o bază supraunitară, desenul spune următoarele. Domeniul este $(0,+\infty )$: toate punctele graficului stau la dreapta axei $Oy$. Mulțimea valorilor este $\mathbb{R}$: orice dreaptă orizontală taie curba, oricât de sus sau de jos ar fi. Funcția este strict crescătoare: un argument mai mare are o valoare mai mare.

Două puncte aparțin graficului pentru orice bază: $(1;0)$, pentru că ${\log }_{a}1=0$, și $(a;1)$, pentru că ${\log }_{a}a=1$. Graficul nu intersectează axa $Oy$, iar când $x$ se apropie de zero, curba coboară fără limită, tot mai aproape de axă. Spunem, ca în lecția despre comportamentul asimptotic, că axa $Oy$ este asimptotă verticală.

Semnul se citește la fel de direct: pe intervalul $(0;1)$ graficul este sub axa $Ox$, deci valorile sunt negative; în $x=1$ valoarea este zero; pe $(1;+\infty )$ graficul este deasupra axei, deci valorile sunt pozitive. Nu ai nevoie de niciun calcul: poziția curbei față de axa orizontală este chiar semnul funcției.

4. Cum arată graficul când baza este între 0 și 1?

Luăm baza $\frac{1}{5}$. Pentru că ${\left(\frac{1}{5}\right)}^c=5^{-c}$, exponentul care produce un număr în baza $\frac{1}{5}$ este opusul celui din baza $5$. Tabelul nou se obține schimbând semnul valorilor: în $\frac{1}{25}$ valoarea este $2$, în $\frac{1}{5}$ este $1$, în $1$ este $0$, în $5$ este $-1$ și în $25$ este $-2$.

Figura B arată cele două grafice în același reper. Ele sunt simetrice față de axa $Ox$: unul urcă, celălalt coboară. Graficul lui ${\log }_{\frac{1}{5}}x$ păstrează domeniul, mulțimea valorilor, punctul $(1;0)$ și asimptota verticală, dar este strict descrescător. Semnul se inversează: valorile sunt pozitive pe $(0;1)$ și negative pe $(1;+\infty )$.

Din desen poți afla deci dacă baza este supraunitară sau subunitară fără să o cunoști: dacă graficul urcă, baza este mai mare decât unu; dacă graficul coboară, baza este între zero și unu. Punctul în care graficul are ordonata unu îți spune apoi chiar baza.

5. De ce este graficul oglinda exponențialei față de dreapta y = x?

Definiția logaritmului spune că $v=a^u$ și $u={\log }_{a}v$ sunt aceeași informație. Așadar punctul $(u;v)$ este pe graficul exponențialei $a^x$ exact atunci când punctul $(v;u)$ este pe graficul lui ${\log }_{a}x$. Cele două puncte au coordonatele schimbate între ele.

Punctele $(u;v)$ și $(v;u)$ se așază simetric față de dreapta $y=x$, prima bisectoare: dreapta aceasta este mediatoarea segmentului care le unește. Prin urmare, graficul lui ${\log }_{a}x$ este imaginea în oglindă a graficului lui $a^x$ față de dreapta $y=x$. Se spune că fiecare dintre cele două funcții este inversa celeilalte; noțiunea de funcție inversă o vei studia mai târziu, aici îți ajunge schimbarea coordonatelor.

Figura C arată exponențiala naturală $e^x$ și logaritmul în baza $e$, notat $\ln x$, desenate cu aceeași unitate pe ambele axe. Punctul $(0;1)$ al exponențialei corespunde punctului $(1;0)$ al logaritmului, iar $(1;e)$ corespunde lui $(e;1)$. Logaritmul în baza $e$ are un nume propriu, logaritm natural, pe care îl vei folosi în lecția despre logaritmul natural și cel zecimal.

Oglinda explică toate proprietățile dintr-o singură privire. Domeniul exponențialei, $\mathbb{R}$, devine mulțimea valorilor logaritmului; mulțimea valorilor exponențialei, $(0;+\infty )$, devine domeniul logaritmului; asimptota orizontală $Ox$ a exponențialei devine asimptota verticală $Oy$ a logaritmului.

6. Cum se compară graficele pentru două baze supraunitare?

Luăm bazele $3$ și $9$ și argumentul $6561$. Din $3^8=6561$ rezultă ${\log }_{3}6561=8$, iar din $9^4=6561$ rezultă ${\log }_{9}6561=4$. Baza mai mare ajunge la același argument cu un exponent mai mic, așa că, pentru argumentele mai mari decât unu, graficul bazei mai mari stă sub graficul bazei mai mici.

Ambele grafice trec prin $(1;0)$, iar la dreapta acestui punct cel cu baza mai mare urcă mai încet. Ce se întâmplă la stânga lui unu, unde valorile sunt negative, vei descoperi singur într-un exercițiu: gândește-te la exponenții negativi.

Comparația are și o formă practică. Dacă pe același desen vezi două curbe logaritmice crescătoare fără etichete, cea care la dreapta punctului comun stă mai jos are baza mai mare. Invers, dacă îți trebuie o funcție logaritmică ce crește mai repede, alegi o bază supraunitară mai apropiată de unu. Aceasta este o observație pe grafic, nu o regulă de calcul, și se verifică mereu pe un argument concret.

7. Cum citim pe grafic ecuația log_a x = m?

O ecuație ${\log }_{a}x=m$ cere argumentul la care graficul are ordonata $m$. Dreapta orizontală $y=m$ taie graficul exact o dată, pentru că funcția e strict monotonă, iar mulțimea valorilor ei este $\mathbb{R}$. Prin urmare, ecuația are o singură soluție, oricare ar fi numărul real $m$, iar din definiție soluția este $x=a^m$.

Pe figura A, dreapta $y=-2$ taie graficul în punctul de abscisă $\frac{1}{25}$, adică soluția ecuației ${\log }_{5}x=-2$. Dreapta $y=1,5$ taie graficul între abscisele $5$ și $25$, mai aproape de cinci: citim aproximativ $11$. Valoarea exactă cere o putere cu exponent neîntreg, pe care o calculezi cu calculatorul sau o lași ca încadrare.

Aceeași idee servește pentru punctele comune ale graficului cu o altă curbă sau cu o dreaptă oblică. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$, iar numărul lor se vede pe desen. Calculul confirmă o citire doar atunci când coordonatele sunt numere frumoase; în rest, răspunsul corect este o încadrare, însoțită de precizarea că a fost citită pe grafic.

8. Ce lăsăm pentru clasa a X-a?

Pe grafic citim semnul funcției și comparăm valori, dar nu rezolvăm algoritmic inecuații cu logaritmi. Tot în clasa a X-a vin proprietățile de calcul ale logaritmilor și ecuațiile logaritmice rezolvate algebric. Aici folosim definiția, monotonia citită pe desen și simetria cu exponențiala.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Baza dintr-un punct al graficului

Graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, trece prin punctul $A\left(\frac{1}{64};3\right)$. Aflați baza $a$, spuneți dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare și calculați valorile în $\frac{1}{4}$ și în $256$.

Rezolvare. Punctul pe grafic înseamnă ${\log }_a\frac{1}{64}=3$, adică $a^3=\frac{1}{64}$. Cum ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$ și baza trebuie să fie pozitivă, $a=\frac{1}{4}$. Baza este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare; se vedea și din punct: un argument subunitar are valoare pozitivă.

Valorile cerute: ${\log }_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=1$ și ${\log }_{\frac{1}{4}}256=-4$, pentru că ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-4}=4^4=256$. Ordinea $1>-4$ confirmă monotonia: argumentul a crescut, valoarea a scăzut.

Un singur punct, altul decât $(1;0)$, determină complet funcția. Dacă punctul ar fi avut ordonata pară, de exemplu doi, ecuația pentru bază ar fi avut și o soluție negativă, pe care o elimini imediat, pentru că baza trebuie să fie pozitivă.

Exemplul 2 — Citește graficul lui log în baza 6

Figura D arată graficul funcției $f(x)={\log }_{6}x$ pe intervalul $(0;40]$, cu punctele marcate $\left(\frac{1}{6};-1\right)$, $(6;1)$ și $(36;2)$ și cu dreapta $y=1,5$. Citiți semnul funcției și soluția aproximativă a ecuației $f(x)=1,5$.

Rezolvare. Graficul este sub axa $Ox$ la stânga punctului $(1;0)$ și deasupra ei la dreapta, deci $f(x)<0$ pentru $x\in (0;1)$ și $f(x)>0$ pentru $x>1$. Punctele marcate confirmă: $6^{-1}=\frac{1}{6}$, $6^1=6$ și $6^2=36$.

Dreapta $y=1,5$ taie graficul între abscisele $6$ și $36$, la jumătatea înălțimii dintre ordonatele unu și doi, dar mult mai aproape de șase decât de treizeci și șase. Citim aproximativ $15$. Calculatorul dă $6^{1,5}\approx 14,7$, deci citirea este bună. Observă că jumătatea pe verticală nu corespunde jumătății pe orizontală.

Exemplul 3 — Comparații fără calcul

Comparați ${\log }_{0,8}3$ cu ${\log }_{0,8}5$ și ${\log }_{2,5}0,7$ cu ${\log }_{2,5}0,9$.

Rezolvare. Baza $0,8$ este subunitară, deci funcția ${\log }_{0,8}x$ este strict descrescătoare: din $3<5$ rezultă ${\log }_{0,8}3>{\log }_{0,8}5$. Graficul coboară, iar punctul cu abscisa mai mare este mai jos.

Baza $2,5$ este supraunitară, deci funcția este strict crescătoare și păstrează ordinea: din $0,7<0,9$ rezultă ${\log }_{2,5}0,7<{\log }_{2,5}0,9$. Ambele valori sunt negative, pentru că argumentele sunt subunitare, dar a doua este mai aproape de zero.

Exemplul 4 — Oglinda unor drepte, pentru baza 11

Dreapta orizontală $y=121$ taie graficul funcției $g(x)=11^x$ într-un punct. În oglinda față de dreapta $y=x$, în ce dreaptă se transformă ea și în ce punct taie această dreaptă graficul funcției $f(x)={\log }_{11}x$? Ce devine, în aceeași oglindă, asimptota orizontală a lui $g$?

Rezolvare. Dreapta $y=121$ taie graficul lui $g$ în $(2;121)$, pentru că $11^2=121$. Oglinda schimbă coordonatele între ele, deci toate punctele de ordonată $121$ devin puncte de abscisă $121$: dreapta orizontală devine dreapta verticală $x=121$. Ea taie graficul lui $f$ în $(121;2)$; verificare: ${\log }_{11}121=2$.

Asimptota orizontală a lui $g$ este axa $Ox$, adică dreapta $y=0$. Prin schimbarea coordonatelor ea devine dreapta $x=0$, adică axa $Oy$, asimptota verticală a lui $f$. Oglinda transformă deci orizontalele în verticale și invers, iar un punct de intersecție într-un punct de intersecție.

Aceeași regulă funcționează pentru orice dreaptă orizontală $y=c$ cu $c>0$: ea devine verticala $x=c$, iar punctul comun cu graficul lui $f$ are ordonata ${\log }_{11}c$.

Exemplul 5 — Ciclurile de infecție ale unui bacteriofag

Într-o cultură cu bacterii din belșug, o bacterie infectată eliberează, la sfârșitul unui ciclu de infecție, aproximativ o sută de bacteriofagi noi, care infectează fiecare câte o bacterie. Pornind de la un singur virus, numărul de cicluri necesare pentru a ajunge la $V$ virusuri este modelat prin $n(V)={\log }_{100}V$, pentru $V\ge 1$. Calculați $n(10000)$ și $n(1000000)$, încadrați $n(50000)$ și descrieți cum crește numărul de cicluri.

Rezolvare. Din $100^2=10000$ rezultă $n(10000)=2$, iar din $100^3=1000000$ rezultă $n(1000000)=3$. Pentru cincizeci de mii, $100^2=10000<50000<1000000=100^3$, deci $2<{\log }_{100}50000<3$: după două cicluri încă nu sunt destule virusuri, după trei sunt deja mai multe.

Numărul de virusuri se înmulțește cu o sută de la un ciclu la altul, iar valoarea funcției crește de fiecare dată cu unu. Graficul lui $n$ urcă mereu, dar din ce în ce mai încet: ca să adaugi un ciclu, trebuie să înmulțești ținta cu o sută. În realitate, numărul de cicluri este natural, așa că răspunsul practic este cel mai mic număr natural cel puțin egal cu valoarea funcției.

Constanta o sută, numită de biologi „mărimea exploziei”, diferă de la un tip de virus la altul, iar odată cu ea se schimbă și baza logaritmului: pentru un virus care eliberează cincizeci de copii, funcția ar fi ${\log }_{50}V$. Graficul unei baze mai mici urcă mai repede, deci ciclurile necesare sunt mai multe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{\frac{1}{7}}x$. a) Arătați că $f\left(\frac{1}{49}\right)-f(7)=3$. b) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a;-2)$ aparține graficului funcției $f$. c) Arătați că $f(x)<0$ pentru orice $x>1$.

Rezolvare. a) $f\left(\frac{1}{49}\right)=2$, pentru că ${\left(\frac{1}{7}\right)}^2=\frac{1}{49}$, iar $f(7)=-1$, pentru că ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-1}=7$. Diferența este $2-(-1)=3$.

b) Condiția $f(a)=-2$ înseamnă $a={\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}=49$.

c) Baza este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar $f(1)=0$. Pentru $x>1$ rezultă $f(x)<f(1)=0$. Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte despre funcții, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Desenează o schiță a graficului la fiecare exercițiu; o schiță cu punctul $(1;0)$ și sensul curbei previne cele mai multe greșeli.

1. Completează tabelul funcției $f(x)={\log }_{8}x$ pentru $x\in \left\{\frac{1}{8},1,8,512,32768\right\}$.

2. Scrie coordonatele punctelor în care graficul funcției $f(x)={\log }_{20}x$ intersectează dreptele $y=-1$, $y=0$ și $y=2$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $(0,09;2)$ aparține graficului funcției $f(x)={\log }_{0,3}x$.

4. Figura E arată graficul funcției $g(x)={\log }_{0,4}x$ și punctele de abscise $0,4$ și $2,5$. Scrie intervalele pe care $g$ are semn constant, citește $g(0,4)$ și $g(2,5)$, apoi compară $g(3)$ cu $-1$.

5. Compară ${\log }_{1,5}0,8$ cu ${\log }_{0,5}0,8$ fără calculator.

6. Punctul $(3125;5)$ aparține graficului funcției ${\log }_{5}x$. Fără calcul nou, scrie punctul graficului lui ${\log }_{\frac{1}{5}}x$ care are aceeași abscisă și punctul graficului lui $5^x$ care îi corespunde în oglinda față de dreapta $y=x$. Spune ce simetrie ai folosit în fiecare caz.

7. Calculează ${\log }_5\frac{1}{15625}$ și ${\log }_{125}\frac{1}{15625}$. Care grafic este mai sus în punctul de abscisă $\frac{1}{15625}$? Compară cu ce ai văzut în lecție pentru argumente mai mari decât unu.

8. Rezolvă ecuația ${\log }_{0,1}x=3$ și verifică soluția prin ridicare la putere.

9. Figura F arată graficul funcției $f(x)={\log }_{3}x$ și dreapta $y=\frac{x-1}{2}$. Câte puncte comune au? Citește-le și verifică prin calcul că aparțin ambelor grafice.

10. (Problemă aplicată.) După fecundare, celula-ou se divide: din una se fac două, apoi patru și așa mai departe, până în jurul stadiului de morulă. Numărul de diviziuni necesare pentru a ajunge la $N$ celule este $g(N)={\log }_{2}N$. Calculează $g(32)$. Dacă o diviziune durează în medie în jur de douăzeci de ore, după cât timp embrionul are treizeci și două de celule? Cu cât crește valoarea lui $g$ când numărul de celule se înmulțește cu opt?

11. Determină mulțimea valorilor funcției $f(x)={\log }_{\frac{2}{3}}x$ pe intervalul $\left[\frac{4}{9};\frac{27}{8}\right]$.

12. Pot aparține punctele $A(9;2)$ și $B(27;3)$ graficului aceleiași funcții logaritmice? Dar punctele $A(9;2)$ și $C(16;2)$? Justifică fiecare răspuns.

13. Pentru ce valori ale bazei $a$ este ${\log }_{a}5$ negativ? Justifică pe grafic.

14. Pe figura C, punctul exponențialei naturale de abscisă $0,7$ are ordonata $e^{0,7}\approx 2,014$. Scrie punctul corespunzător de pe graficul lui $\ln x$ și spune între ce puncte marcate pe figură se află el.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3-x$. Arătați că punctul $A(2;1)$ aparține ambelor grafice și că este singurul lor punct comun.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$. Determinați baza $a$, știind că $f(289)=-2$, apoi calculați $f(17)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$. Determinați abscisele punctelor graficului funcției $f$ care au ordonata număr întreg din intervalul $[-2;3]$.

18. (Provocare.) Graficul lui $f(x)={\log }_{2}x$ se reflectă întâi față de dreapta $y=x$, apoi față de axa $Ox$. Graficul obținut este al unei funcții $h$. Scrie formula lui $h$ și două puncte ale graficului ei.

Răspunsuri și explicații

1. ${\log }_8\frac{1}{8}=-1$, ${\log }_{8}1=0$, ${\log }_{8}8=1$, ${\log }_{8}512=3$ și ${\log }_{8}32768=5$. Valorile vin din $8^3=512$ și $8^5=32768$.

2. Punctele sunt $\left(\frac{1}{20};-1\right)$, $(1;0)$ și $(400;2)$, pentru că $20^{-1}=\frac{1}{20}$, $20^0=1$ și $20^2=400$.

3. Adevărat. $0,3^2=0,09$, deci ${\log }_{0,3}0,09=2$. Punctul are argumentul subunitar și valoarea pozitivă, cum trebuie pentru o bază subunitară.

4. Graficul coboară: $g(x)>0$ pe $(0;1)$ și $g(x)<0$ pe $(1;+\infty )$. $g(0,4)=1$ și $g(2,5)=-1$, pentru că $0,4^{-1}=2,5$. Cum $3>2,5$ și funcția este descrescătoare, $g(3)<-1$.

5. ${\log }_{1,5}0,8<0$, pentru că baza este peste unu și argumentul sub unu. ${\log }_{0,5}0,8>0$, pentru că baza și argumentul sunt amândouă sub unu. Deci ${\log }_{1,5}0,8<{\log }_{0,5}0,8$.

6. Pe graficul lui ${\log }_{\frac{1}{5}}x$: $(3125;-5)$, prin simetria față de axa $Ox$, pentru că bazele $5$ și $\frac{1}{5}$ dau valori opuse. Pe graficul lui $5^x$: $(5;3125)$, prin schimbarea coordonatelor. Verificări: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-5}=3125$ și $5^5=3125$.

7. ${\log }_5\frac{1}{15625}=-6$ și ${\log }_{125}\frac{1}{15625}=-2$, pentru că $5^6=125^2=15625$. În abscisa $\frac{1}{15625}$ graficul bazei $125$ este mai sus. Pentru argumente subunitare ordinea graficelor se inversează față de cea de la argumentele supraunitare.

8. Din definiție, $x=0,1^3=0,001$. Verificare: $0,1\cdot 0,1\cdot 0,1=0,001$, iar argumentul subunitar cu valoare pozitivă se potrivește cu o bază subunitară.

9. Două puncte comune, $(1;0)$ și $(3;1)$. Verificare: ${\log }_{3}1=0=\frac{1-1}{2}$ și ${\log }_{3}3=1=\frac{3-1}{2}$. Între ele logaritmul este deasupra dreptei, în afara lor dreapta este deasupra.

10. $g(32)=5$, pentru că $2^5=32$: cinci diviziuni, adică aproximativ $5\cdot 20=100$ de ore, puțin peste patru zile. Când numărul de celule se înmulțește cu opt, adică cu $2^3$, valoarea lui $g$ crește cu $3$, oricare ar fi numărul de pornire. Modelul presupune diviziuni sincrone, ceea ce în embrionul real este adevărat doar în primele cicluri.

11. Funcția este descrescătoare, deci capetele se inversează: $f\left(\frac{4}{9}\right)=2$ și $f\left(\frac{27}{8}\right)=-3$. Mulțimea valorilor este $[-3;2]$.

12. Da pentru $A$ și $B$: baza $3$ le potrivește pe amândouă, pentru că $3^2=9$ și $3^3=27$. Nu pentru $A$ și $C$: au aceeași ordonată la abscise diferite, iar o funcție strict monotonă ia fiecare valoare o singură dată. Altfel spus, $A$ cere baza $3$, iar $C$ cere baza $4$.

13. Pentru $0<a<1$. Argumentul $5$ este peste unu, iar logaritmul unui argument supraunitar este negativ doar când graficul coboară, adică pentru o bază subunitară.

14. Schimbăm coordonatele: punctul este aproximativ $(2,014;0,7)$, adică $\ln 2,014\approx 0,7$. El se află pe graficul lui $\ln x$ între punctele $(1;0)$ și $(e;1)$, pentru că $1<2,014<e$ și $0<0,7<1$.

15. $f(2)={\log }_{2}2=1$ și $g(2)=3-2=1$, deci $A(2;1)$ este pe ambele grafice. $f$ este strict crescătoare, iar $g$ este strict descrescătoare, deci diferența lor își schimbă semnul o singură dată: nu mai există alt punct comun.

16. Condiția $f(289)=-2$ înseamnă $a^{-2}=289$, adică $a^2=\frac{1}{289}$. Baza fiind pozitivă, $a=\frac{1}{17}$. Atunci $f(17)={\log }_{\frac{1}{17}}17=-1$, pentru că ${\left(\frac{1}{17}\right)}^{-1}=17$.

17. Ordonatele întregi din interval sunt $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, iar abscisele corespunzătoare sunt puterile lui doi: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $1$, $2$, $4$ și $8$.

18. Reflexia față de dreapta $y=x$ dă graficul lui $2^x$, iar reflexia față de axa $Ox$ schimbă semnul ordonatelor: $h(x)=-2^x$. Două puncte: $(0;-1)$ și $(1;-2)$.

De reținut

• Funcția $f(x)={\log }_{a}x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, are domeniul $(0;+\infty )$ și mulțimea valorilor $\mathbb{R}$; graficul trece prin $(1;0)$ și $(a;1)$.
• Pentru $a>1$ graficul urcă, iar pentru $0<a<1$ coboară; graficele bazelor $a$ și $\frac{1}{a}$ sunt simetrice față de axa $Ox$.
• Axa $Oy$ este asimptotă verticală: graficul se apropie de ea când $x$ se apropie de zero, fără să o atingă.
• Graficele lui $a^x$ și ${\log }_{a}x$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$, pentru că punctului $(u;v)$ al unuia îi corespunde punctul $(v;u)$ al celuilalt.
• Ecuația ${\log }_{a}x=m$ are, pentru orice $m$ real, o singură soluție, $x=a^m$, citită ca abscisa punctului de ordonată $m$.

Greșeli frecvente

• Simetrizezi față de axa $Oy$ în loc de dreapta $y=x$. Oglinda exponențialei este prima bisectoare. Schimbă între ele coordonatele, nu semnul abscisei.
• Păstrezi domeniul exponențialei când treci la logaritm. Oglinda schimbă rolurile: domeniul lui $a^x$, $\mathbb{R}$, devine mulțimea valorilor lui ${\log }_{a}x$, iar mulțimea valorilor $(0;+\infty )$ devine domeniu. Scrie întâi ce se schimbă, apoi desenează.
• Așezi puterile bazei la distanțe egale pe axa $Ox$. Punctele $1$, $5$, $25$ ale tabelului nu sunt echidistante; dacă le desenezi la pași egali, curba iese o dreaptă. Pe axa orizontală distanțele cresc, pe cea verticală rămân egale.
• Nu inversezi capetele la o bază subunitară. Pe un interval, funcția descrescătoare duce capătul stâng în valoarea cea mai mare. Scrie mulțimea valorilor în ordine crescătoare.
• Crezi că ecuația ${\log }_{a}x=m$ nu are soluție pentru $m$ negativ. Mulțimea valorilor este $\mathbb{R}$, deci orice dreaptă orizontală taie graficul. Pentru ${\log }_{6}x=-2$ soluția este $x=\frac{1}{36}$, un număr pozitiv subunitar.

Aplică acasă

1. Într-o foaie de calcul, scrie în coloana A numerele $1,3,9,\dots$, fiecare triplul celui de deasupra, până la zece rânduri, iar în coloana B logaritmul lor în baza trei, cu funcția foii de calcul. Observă cu cât crește coloana B de la un rând la altul, apoi fă din cele două coloane un grafic de puncte și spune de ce punctele nu sunt echidistante pe orizontală.
2. Ia tabelul de valori al lui $3^x$ pentru exponenții de la $-2$ la $3$, scrie-l pe două coloane și apoi inversează coloanele. Desenează punctele noi pe hârtie milimetrică, unește-le printr-o curbă netedă și verifică, prin ridicare la putere, că fiecare punct aparține graficului lui ${\log }_{3}x$.
3. Într-o aplicație de grafice, trasează ${\log }_{2}x$, ${\log }_{4}x$ și ${\log }_{\frac{1}{2}}x$ în același reper. Scrie trei proprietăți comune tuturor și două care le deosebesc, apoi explică fiecare deosebire prin bază.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește funcția logaritmică din definiția logaritmului și o studiază pe grafice: domeniul, mulțimea valorilor, monotonia, semnul, asimptota verticală. Simetria cu exponențiala este explicată prin schimbarea coordonatelor, fără teoria funcțiilor inverse, care nu aparține acestei clase. Inecuațiile cu logaritmi nu se rezolvă; semnul funcției se citește pe desen, iar comparațiile se fac prin monotonie.

Figurile sunt date gata desenate, dar merită ca elevul să le refacă într-o aplicație de grafice și să verifice punctele marcate. Programa de științe cere explicit observarea proprietăților pe reprezentări tipărite sau obținute digital. Contextul bacteriofagilor arată că un model logaritmic poate descrie și date din biologie, nu doar din fizică: numărul de pași necesari într-un proces care se multiplică.

Întrebări bune de control: „Cum știi, doar privind graficul, dacă baza este mai mică decât unu?”; „De ce graficul nu intersectează axa $Oy$?”; „Ce punct al lui ${\log }_{11}x$ corespunde punctului $(2;121)$ al lui $11^x$?”. Semnul că elevul a înțeles: află baza dintr-un punct, inversează corect capetele la o bază subunitară și desenează oglinda față de prima bisectoare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește la unitatea de funcții „Funcția logaritmică (logaritmi, logaritm natural, logaritm zecimal)” și cere, pentru fiecare funcție, intersecțiile cu axele, monotonia, mulțimea valorilor și soluțiile ecuațiilor citite pe grafic; aceeași programă reia în clasa a X-a funcția logaritmică, monotonia ei și ecuațiile logaritmice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția logaritmică $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, și ecuațiile logaritmice la materia clasei a X-a. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o ecuație logaritmică; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii, limitate la citirea graficului, valori și domenii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția logaritmică și graficul ei. Lecția precedentă a traseului este definiția logaritmului, lecția următoare este logaritmul natural și cel zecimal, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre funcția logaritmică?

Aici graficul este instrumentul principal: citești pe el semnul, monotonia, baza și punctele comune cu o dreaptă, iar calculul confirmă. Inecuațiile cu logaritmi lipsesc, iar simetria cu exponențiala se explică prin schimbarea coordonatelor. Exemplele vin din științe, ca ciclurile de infecție ale unui virus. Varianta M1 rezolvă și inecuații citite pe grafic și leagă simetria de funcția inversă.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosește funcția logaritmică?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția logaritmică și ecuațiile logaritmice, la materia clasei a X-a. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o ecuație logaritmică, iar condiția de existență a logaritmului face parte din rezolvare. Pentru MAT_P2 din 2030, funcția logaritmică aparține domeniului „Algebră”.

De ce pornesc graficul de la puterile bazei și nu de la numerele 1, 2, 3, 4?

Pentru că în puterile bazei valorile sunt numere întregi, citite direct din definiție, fără calculator. În $2$, $3$ sau $4$ logaritmul în baza cinci nu este întreg, deci l-ai putea doar încadra. În plus, puterile acoperă o porțiune mare a axei cu puține puncte, iar curba dintre ele se completează neted.

De ce nu rezolvăm aici inecuații cu logaritmi?

Programa clasei a IX-a cere ca proprietățile să fie observate pe grafice, iar algoritmul inecuațiilor logaritmice aparține clasei a X-a. Semnul funcției îl citești totuși pe desen, ca poziție a curbei față de axa $Ox$. Diferența este că descrii ce vezi, fără să transformi inegalitatea prin reguli de calcul.

Ce este ln x din figura cu exponențiala naturală?

Este logaritmul în baza $e$, adică funcția al cărei grafic este oglinda lui $e^x$ față de dreapta $y=x$. Are toate proprietățile unei funcții logaritmice cu bază supraunitară: trece prin $(1;0)$ și $(e;1)$ și este crescătoare. Notația și folosirea lui cu calculatorul sunt tema lecției următoare.

Cum se compară graficele pentru două baze mai mari decât unu?

Amândouă trec prin $(1;0)$ și urcă. La dreapta acestui punct, graficul bazei mai mari este mai jos, pentru că îi trebuie un exponent mai mic ca să ajungă la același argument. Pentru o verificare rapidă, alege un argument care este putere a ambelor baze și compară cei doi exponenți; în rest, citește poziția curbelor pe desen.