Cum compar 2⁻³ cu 3⁻³ folosind funcția putere?

Funcția x⁻³ este strict descrescătoare pe (0,+∞), deci din 2 3⁻³. Calculul confirmă: 1/8=0,125 și 1/27≈0,037. Exponentul negativ inversează ordinea bazelor pozitive: o bază mai mare dă un rezultat mai mic.

Cum arată graficul lui x la puterea minus unu?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția putere pe grafic

Funcția $f (x) = x^{- 1} = \frac{1}{x}$ este definită pe $R^{*}$ , iar graficul ei este o hiperbolă cu două ramuri, una în cadranul I și una în cadranul al III-lea. Ramurile nu ating axele: acestea sunt asimptotele, $x = 0$ și $y = 0$ . Graficul este simetric față de origine, fiindcă exponentul este impar. Puncte de control: $(2, \frac{1}{2})$ , $(\frac{1}{3}, 3)$ și $(- 4, - \frac{1}{4})$ .

O funcție putere păstrează exponentul fix și lasă baza să se schimbe. Domeniul depinde de exponent: pentru exponenți naturali nenuli este toată axa reală, iar pentru exponentul zero și pentru exponenții negativi numărul zero dispare din domeniu, fiindcă ar apărea o împărțire la zero sau scrierea fără valoare $0^{0}$ .

Paritatea exponentului se recunoaște pe desen. Un exponent par dă o curbă simetrică față de axa verticală, care trece prin $(- 1; 1)$ ; un exponent impar dă o curbă simetrică față de origine, care trece prin $(- 1; - 1)$ . Exponenții pozitivi pari au minimul în origine, cei impari urcă pe toată axa. Exponenții negativi dau două bucăți separate, care nu ating axele: cu exponent par ambele stau deasupra axei orizontale, cu exponent impar una stă în cadranul întâi și una în al treilea.

Numărul soluțiilor ecuației $x^{n} = m$ se citește cu o orizontală, iar soluția găsită se confirmă prin ridicare la putere. O aplicație digitală arată că graficul lui $(x - h)^{n} + k$ este cel al lui $x^{n}$ mutat astfel încât originea ajunge în $(h; k)$ . Legile din științe de forma constantă ori putere, cum este presiunea unui gaz la temperatură constantă, se citesc la fel: exponentul spune forma curbei, iar fiecare valoare are unitatea ei.

De reținut

$x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ , definită doar pentru $x \neq = 0$
exponent par: simetrie față de $O y$ ; exponent impar: simetrie față de origine
pentru exponent negativ, axele de coordonate sunt asimptote

Greșeala tipică

Se scrie $2^{- 3} = - 8$ , ca și cum exponentul negativ ar schimba semnul; corect, $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , iar exponentul negativ înseamnă inversul puterii.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul maxim al funcției $f (x) = x^{- 8}$ ?
- a) $R$
- b) $R^{*}$
- c) $(0, + \infty)$
- d) $[0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $R^{*}$

Exponentul negativ înseamnă $\frac{1}{x ^{8}}$ , iar numitorul se anulează numai în zero. Orice alt număr real, pozitiv sau negativ, este permis.
Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{12}$ , este simetric față de:
- a) axa $O y$
- b) originea
- c) axa $O x$
- d) dreapta $y = x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) axa $O y$

Exponentul doisprezece este par, deci două intrări opuse dau aceeași valoare, iar graficul este o cupă simetrică față de axa verticală.
Câte soluții reale are ecuația $x^{- 6} = 64$ ?
- a) niciuna
- b) una
- c) două
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) două

Un exponent negativ par dă două bucăți deasupra axei $O x$ , simetrice față de $O y$ , iar orizontala de nivel $64$ le taie pe amândouă. Soluțiile sunt $x = \frac{1}{2}$ și $x = - \frac{1}{2}$ , fiindcă $(\frac{1}{2})^{- 6} = 64$ .

Întrebări conexe

Cum scriu legea Boyle–Mariotte ca funcție putere?

La temperatură constantă, $p V$ este constant, deci $p = C \cdot V^{- 1}$ . Dacă un gaz are $100$ kPa la $2$ L, atunci $C = 200$ kPa·L, iar la $5$ L presiunea devine $\frac{200}{5} = 40$ kPa. Graficul presiunii în funcție de volum este ramura din cadranul I a hiperbolei.

Câte soluții reale are ecuația $x^{5} = - 32$ ?

Exponentul impar face funcția $x^{5}$ strict crescătoare pe $R$ , deci orice orizontală o taie o singură dată. Ecuația are soluția $x = - 2$ , fiindcă $(- 2)^{5} = - 32$ . Prin comparație, $x^{4} = - 16$ nu are soluții reale: o putere pară nu dă valori negative.

Ce simetrie are graficul funcției $x^{- 4}$ ?

Exponentul $- 4$ este par, deci $f (- x) = f (x)$ și graficul este simetric față de axa $O y$ . Ambele ramuri stau deasupra axei $O x$ : de exemplu, $f (2) = f (- 2) = \frac{1}{16}$ . Lângă zero valorile cresc foarte mult, iar la capete se apropie de zero.

Cum mut graficul lui $x^{3}$ ca centrul de simetrie să ajungă în $(1, 2)$ ?

Scrii $g (x) = (x - 1)^{3} + 2$ : paranteza mută graficul cu o unitate la dreapta, iar $+ 2$ îl ridică cu două. Centrul trece din origine în $(1, 2)$ . Verificare: $g (1) = 2$ , iar $g (0) = 1$ și $g (2) = 3$ sunt simetrice față de $2$ .

Cum compar $2^{- 3}$ cu $3^{- 3}$ folosind funcția putere?

Funcția $x^{- 3}$ este strict descrescătoare pe $(0, + \infty)$ , deci din $2 < 3$ rezultă $2^{- 3} > 3^{- 3}$ . Calculul confirmă: $\frac{1}{8} = 0, 125$ și $\frac{1}{27} \approx 0, 037$ . Exponentul negativ inversează ordinea bazelor pozitive: o bază mai mare dă un rezultat mai mic.

Oamenii mai întreabă și: graficul funcției 1 supra x · hiperbola x la minus 1 · cum se desenează 1 pe x · funcția putere cu exponent minus unu

Cum arată graficul lui x la puterea minus unu?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum scriu legea Boyle–Mariotte ca funcție putere?

Câte soluții reale are ecuația x5=−32?

Ce simetrie are graficul funcției x−4?

Cum mut graficul lui x3 ca centrul de simetrie să ajungă în (1,2)?

Cum compar 2−3 cu 3−3 folosind funcția putere?

Continuă cu

Câte soluții reale are ecuația $x^{5} = - 32$ ?

Ce simetrie are graficul funcției $x^{- 4}$ ?

Cum mut graficul lui $x^{3}$ ca centrul de simetrie să ajungă în $(1, 2)$ ?

Cum compar $2^{- 3}$ cu $3^{- 3}$ folosind funcția putere?