Funcția putere cu exponent întreg (M2, științe ale naturii)

Un gaz închis într-un cilindru cu piston se comprimă: volumul scade, iar presiunea urcă. Un automobil care merge de două ori mai repede nu doar dublează puterea cerută de rezistența aerului, ci o face de opt ori mai mare. În ambele situații o mărime depinde de alta printr-o putere: la gaz exponentul este minus unu, la rezistența aerului exponentul este trei. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), funcția putere cu exponent întreg se studiază pe grafice, trasate cu o aplicație sau date pe hârtie: citești domeniul, simetria, monotonia și mulțimea valorilor, iar calculul confirmă citirea. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția putere cu exponent natural cel puțin doi, la materia clasei a X-a, dar nu numește exponentul negativ.

Mecanismul prin care un numitor scoate un număr din domeniu este explicat în lecția M2 despre câtul a două funcții, iar felul în care un grafic se apropie de o dreaptă fără s-o atingă este descris în comportamentul asimptotic citit pe grafic. Aici le folosim pe amândouă pentru o familie întreagă de funcții. Dacă regulile de calcul cu puteri negative nu îți mai sunt proaspete, recitește puterile cu exponent întreg din clasa a VII-a. Puterile cu exponent rațional sau real nu fac parte din această lecție: ele apar în suplimentul clasei a X-a, pentru bacalaureatul 2027–2029.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii corect domeniul unei puteri, inclusiv pentru exponentul zero și pentru exponenții negativi.
• Vei ști să recunoști pe un grafic dacă exponentul este par sau impar, pozitiv sau negativ.
• Vei ști să citești pe grafic monotonia, mulțimea valorilor și intersecțiile cu axele, apoi să le confirmi prin calcul.
• Vei ști să numeri soluțiile unei ecuații de forma $x^n=m$ cu o orizontală.
• Vei ști să prevezi unde ajunge punctul special al graficului după o translație făcută într-o aplicație.
• Vei ști să lucrezi cu modele din fizică de forma unei constante înmulțite cu o putere, cu unități și interval de valabilitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce familie de funcții studiem?

Fixăm un număr întreg $n$. Funcția putere cu exponent întreg $n$ este regula prin care fiecărui număr $x$ din domeniul ei îi corespunde numărul $x^n$; domeniul ei maxim este $\mathbb{R}$ când $n\ge 1$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ când $n\le 0$. Exponentul rămâne același pentru toate intrările, iar baza este cea care se schimbă.

De ce dispare zero din domeniu când exponentul nu este pozitiv? Un exponent negativ ascunde o împărțire. De exemplu, $x^{-6}$ înseamnă unu împărțit la $x^6$, iar în zero numitorul ar deveni zero. Împărțirea la zero nu are sens, deci zero nu poate fi intrare. Este exact situația unui numitor care se anulează, pe care ai întâlnit-o la câtul a două funcții.

Exponentul zero este un caz aparte. Pentru orice număr nenul, puterea a zecea împărțită la puterea a zecea dă unu, de aceea convenim că $x^0=1$ când $x\ne 0$. Pentru zero, aceeași împărțire ar fi zero împărțit la zero, deci scrierea $0^0$ nu primește nicio valoare. Funcția cu exponentul zero este constantă, dar domeniul ei este tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Cazurile $n=1$ și $n=2$ îți sunt cunoscute: primul dă funcția identică, al doilea dă parabola cu vârful în origine. Lecția de față privește toată familia și caută ce au în comun graficele ei.

2. Cum arată graficul unei puteri cu exponent par?

Deschide o aplicație de reprezentare grafică și trasează, în același reper, $y=x^2$ și $y=x^6$. Figura A arată ce vezi într-o fereastră îngustă, între minus unu virgulă cinci și unu virgulă cinci.

Ambele curbe au forma unei cupe. Coboară până în origine, unde ating cea mai mică valoare, zero, apoi urcă. Ambele trec prin punctele $(-1;1)$ și $(1;1)$. Dacă îndoi foaia după axa $Oy$, cele două jumătăți ale fiecărei curbe se suprapun: graficul este simetric față de axa verticală. Numeric, simetria înseamnă că două intrări opuse dau aceeași valoare, fiindcă un număr negativ ridicat la o putere pară pierde semnul.

Citirea monotoniei este directă: la stânga originii curba coboară, la dreapta ei urcă. Nicio valoare nu este negativă, iar orice nivel pozitiv este atins, așa că mulțimea valorilor este $[0,+\infty )$. Același tablou îl dă orice exponent par pozitiv: patru, șase, opt. Diferă doar cât de „turtită” este cupa lângă origine și cât de abrupt urcă ramurile.

3. Ce se schimbă când exponentul este impar?

Trasează acum $y=x^5$ împreună cu dreapta $y=x$, pe care o folosim ca reper. Figura B le arată în aceeași fereastră.

Curba nu mai are formă de cupă, ci de treaptă întinsă: vine de jos, din stânga, trece prin origine și continuă în sus, spre dreapta. Ea trece prin $(-1;-1)$ și $(1;1)$. Rotește desenul cu o jumătate de tură în jurul originii și curba se suprapune peste ea însăși: graficul este simetric față de origine. Numeric, două intrări opuse dau valori opuse, fiindcă o putere impară păstrează semnul bazei.

Pe grafic se vede că, mergând spre dreapta, curba urcă peste tot, deci funcția este crescătoare pe $\mathbb{R}$. Valorile negative vin de la intrările negative, cele pozitive de la intrările pozitive, iar singurul zero este originea. Orice orizontală taie curba, așa că mulțimea valorilor este toată axa reală.

4. De ce ordinea curbelor se schimbă în punctul $(1;1)$?

În figurile A și B, între zero și unu curba cu exponentul mai mare stă mai jos, iar după unu stă mai sus. Explicația ține de înmulțirea repetată. Un număr subunitar pozitiv micșorează tot ce înmulțește: $0,9^2=0,81$, iar încă o înmulțire cu același număr dă $0,729$. Un număr mai mare decât unu mărește tot ce înmulțește, deci puterile lui cresc odată cu exponentul.

În punctul de abscisă unu toate puterile dau unu, deci toate graficele trec prin $(1;1)$. Acolo ordinea se inversează. Pentru intrările negative, cu exponenți pari, situația se oglindește față de axa verticală. Nu ai nevoie de un tabel: ajunge să știi de ce parte a lui unu se află baza.

5. Ce aduce un exponent negativ?

Figura C arată două panouri, unul pentru $y=x^{-4}$ și unul pentru $y=x^{-3}$. Fiecare grafic are două bucăți separate, câte una de fiecare parte a axei verticale.

Niciuna dintre curbe nu atinge vreo axă. Pe axa $Oy$ nu poate exista punct, fiindcă zero nu este în domeniu. Pe axa $Ox$ nu poate exista punct, fiindcă o fracție cu numărătorul unu nu este niciodată zero. Lângă zero valorile devin foarte mari în valoare absolută, iar departe de origine se apropie de zero; aceste comportări se citesc exact ca în lecția despre comportamentul asimptotic.

Paritatea exponentului lucrează și aici. Cu exponent negativ par, ambele bucăți stau deasupra axei $Ox$ și sunt simetrice față de $Oy$; mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$. Cu exponent negativ impar, o bucată stă în cadranul întâi, cealaltă în cadranul al treilea, simetrice față de origine; mulțimea valorilor este ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Monotonia se citește pe fiecare bucată separat, pe câte un interval: $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$. Cu exponent par, curba urcă pe primul interval și coboară pe al doilea. Cu exponent impar, coboară pe fiecare dintre ele. Nu scrie o singură concluzie pentru tot domeniul fără să verifici ce se întâmplă când treci peste zero.

6. Exponentul zero: o dreaptă cu un punct lipsă

Funcția $x\mapsto x^0$ are valoarea unu în fiecare punct al domeniului, deci graficul ei stă pe dreapta orizontală de nivel unu. Domeniul fiind ${\mathbb{R}}^{\ast }$, punctul de abscisă zero lipsește de pe această dreaptă. Pe desen se marchează cu un cerc gol.

Regula $a^0=1$ vine împreună cu condiția $a\ne 0$. Cine înlocuiește funcția cu constanta unu fără această condiție pierde informația despre domeniu. Același lucru se întâmplă ori de câte ori baza unei puteri cu exponent zero se anulează într-un punct: acel punct iese din domeniu, exact ca o valoare interzisă de la câtul a două funcții.

7. Numărul soluțiilor ecuației $x^n=m$, citit cu o orizontală

Soluțiile ecuației sunt abscisele punctelor în care orizontala de nivel $m$ taie graficul. Pentru un exponent pozitiv par, orizontalele de deasupra axei $Ox$ taie cupa de două ori, în puncte opuse; axa însăși o atinge o dată, în origine; orizontalele de sub axă nu o întâlnesc. Pentru un exponent pozitiv impar, orice orizontală taie curba exact o dată.

Pentru exponenții negativi tabloul se schimbă, fiindcă nivelul zero nu mai este atins. Cu exponent negativ impar, orice nivel nenul este atins o singură dată. Cu exponent negativ par, nivelurile pozitive sunt atinse de două ori, iar cele negative și zero niciodată. Soluția citită pe grafic se confirmă ridicând-o la puterea dată.

8. Cum mută o aplicație graficul unei puteri?

O aplicație digitală permite să suprapunem graficul lui $x^n$ cu graficul lui $(x-h{)}^n+k$. Scăderea lui $h$ din intrare mută curba orizontal cu $h$ unități, iar adunarea lui $k$ o mută vertical. Forma nu se schimbă, deci punctul special al graficului, adică originea, ajunge în punctul $(h;k)$.

Pentru un exponent pozitiv par, $(h;k)$ devine vârful cupei, iar mulțimea valorilor începe de la $k$. Pentru un exponent pozitiv impar, $(h;k)$ devine centrul de simetrie al treptei. La exponenții negativi, originea nu este pe grafic, dar translația mută și dreptele de care se apropie curba: axa $Oy$ devine verticala $x=h$, iar axa $Ox$ devine orizontala $y=k$. Regulile după care se schimbă mulțimea valorilor la o translație sunt cele din lecția M2 despre mulțimea valorilor; le aplicăm fără să le repetăm.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul lui $x^4$

Figura D reprezintă graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$, într-o fereastră. Precizează mulțimea valorilor și intervalele de monotonie. Câte soluții au ecuațiile $f(x)=3$, $f(x)=0$ și $f(x)=-2$? Încadrează soluția pozitivă a primei ecuații între două numere cu o zecimală. Scrie apoi mulțimea valorilor restricției la intervalul $[-1,2]$.

Rezolvare. Cupa coboară pe $(-\infty ,0]$ și urcă pe $[0,+\infty )$, cu cea mai mică valoare zero, în origine. Ramurile ies din fereastră în sus, iar orice nivel pozitiv este atins, deci $\mathrm{Im}f=[0,+\infty )$.

Orizontala de nivel trei taie cupa de două ori, în puncte opuse; orizontala de nivel zero o atinge numai în origine; orizontala de nivel minus doi trece pe sub ea. Ecuațiile au, în ordine, două soluții, una și niciuna. Pentru încadrare calculăm două puteri: $1,3^4=2,8561$ și $1,4^4=3,8416$. Prima e sub trei, a doua peste, iar funcția urcă pe $[0,+\infty )$, deci soluția pozitivă se află între $1,3$ și $1,4$.

Restricția $r:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $r(x)=x^4$, conține originea, deci cea mai mică valoare este zero. Cea mai mare vine din capătul mai depărtat de origine: $(-1{)}^4=1$ și $2^4=16$. Prin urmare $\mathrm{Im}r=[0,16]$.

Exemplul 2 — O putere negativă și o dreaptă

Figura E arată graficul funcției $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^{-1}$, împreună cu dreptele $y=x$ și $y=2$. Determină punctele comune ale graficului cu fiecare dreaptă și intervalele pe care graficul lui $g$ stă deasupra dreptei $y=x$.

Rezolvare. Pe desen, dreapta $y=x$ taie graficul de două ori, o dată în fiecare cadran în care se află curba. Confirmăm prin calcul: $x^{-1}=x$ înseamnă $\frac{1}{x}=x$, adică $x^2=1$, de unde $x=1$ sau $x=-1$. Punctele comune sunt $(1;1)$ și $(-1;-1)$.

Orizontala de nivel doi taie numai bucata din cadranul întâi. Ecuația $x^{-1}=2$ are soluția $x=\frac{1}{2}$, fiindcă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$. Punctul comun este $\left(\frac{1}{2};2\right)$.

Graficul lui $g$ stă deasupra dreptei pe $(0,1)$, unde valorile mari ale fracției depășesc intrările mici, și pe $(-\infty ,-1)$, unde fracția este negativă, dar mai apropiată de zero decât intrarea. Controlul: ${\left(-2\right)}^{-1}=-\frac{1}{2}$, mai mare decât $-2$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: dreapta fără gaură

Un elev simplifică funcția $u(x)=(x-2{)}^0$ la constanta unu și scrie: „domeniul este $\mathbb{R}$, iar graficul este dreapta $y=1$”. Unde greșește? Desenează graficul corect.

Rezolvare. Pentru orice $x\ne 2$ baza $x-2$ este nenulă, iar puterea ei zero este unu. Pentru $x=2$ baza devine zero, iar $0^0$ nu are valoare. Numărul doi iese din domeniu, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Graficul este dreapta orizontală de nivel unu din care lipsește punctul $(2;1)$, marcat cu un cerc gol, ca în figura F. Mulțimea valorilor are un singur element: $\mathrm{Im}u=\{1\}$. Elevul a folosit regula $a^0=1$ fără condiția $a\ne 0$ care o însoțește; simplificarea a șters valoarea interzisă din enunț.

Exemplul 4 — Translația treptei $x^3$

Într-o aplicație suprapunem graficul lui $x^3$ cu graficul funcției $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $p(x)=(x-1{)}^3+2$ (figura G). Unde a ajuns centrul de simetrie? În ce punct taie graficul axa $Oy$? Rezolvă ecuațiile $p(x)=10$ și $p(x)=-6$.

Rezolvare. Originea, centrul de simetrie al treptei, s-a mutat cu o unitate spre dreapta și cu două în sus, în punctul $(1;2)$. Graficul taie axa $Oy$ în punctul de abscisă zero, unde valoarea este $(0-1{)}^3+2=1$, adică în $(0;1)$.

Pentru $p(x)=10$ rămâne $(x-1{)}^3=8$. Pe graficul lui $x^3$ nivelul opt este atins o singură dată, la intrarea doi, deci $x-1=2$ și $x=3$; controlul este $2^3+2=10$. Pentru $p(x)=-6$ rămâne $(x-1{)}^3=-8$, atins o singură dată, la intrarea minus doi, deci $x=-1$; controlul este $(-2{)}^3+2=-6$. Funcția este crescătoare pe $\mathbb{R}$, ca și treapta din care provine.

Exemplul 5 — Presiunea unui gaz care se comprimă

Un gaz închis într-un cilindru cu piston este comprimat lent, la temperatură constantă. Presiunea lui, în kilopascali, depinde de volum prin $p(V)=\frac{420}{V}$, cu volumul $V$ în litri, $V\in [3,14]$ (figura H). Aceasta este legea Boyle–Mariotte. Între ce valori se află presiunea? La ce volum presiunea este de $60$ kPa? Cu cât crește presiunea când volumul scade de la $10$ L la $7$ L?

Rezolvare. Formula înseamnă $420\cdot V^{-1}$: o putere cu exponent minus unu, înmulțită cu o constantă pozitivă. Pe intervalul dat graficul este bucata de curbă din cadranul întâi, descrescătoare. Capetele dau $p(3)=140$ kPa și $p(14)=30$ kPa, deci presiunea parcurge intervalul $[30,140]$ kPa.

Nivelul de $60$ kPa se atinge o singură dată: $\frac{420}{V}=60$ dă $V=7$ L. La volumul de $10$ L presiunea este $\frac{420}{10}=42$ kPa, iar la $7$ L este $60$ kPa, deci crește cu $18$ kPa. Produsul dintre presiune și volum rămâne $420$ kPa·L în fiecare punct al graficului. Modelul presupune temperatură constantă și un gaz departe de lichefiere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^3-24$. Calculați $f(-1)+f(1)$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Rezolvare. Avem $f(-1)=-3-24=-27$ și $f(1)=3-24=-21$, deci suma este $-48$. Punctul de pe axa $Ox$ are ordonata zero: $3x^3-24=0$ înseamnă $x^3=8$. Funcția cub este crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ia valoarea opt o singură dată, la $x=2$, cu controlul $2^3=8$. Punctul de intersecție este $(2;0)$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Pentru exercițiile cu figură, citește întâi domeniul și marcajele. Unde se cere, confirmă prin calcul o valoare citită.

1. Figura I are patru panouri, fiecare cu graficul unei puteri $x^n$. Pentru fiecare panou, spune dacă exponentul este par sau impar, pozitiv sau negativ, și ce detaliu al desenului te-a convins.

2. Pentru $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^{-2}$, calculează valorile în $-3$, în $\frac{1}{5}$ și în $-1$.

3. Scrie domeniul maxim al fiecărei funcții: $a(x)=x^7$, $b(x)=x^{-9}$, $c(x)=(2x+5{)}^0$.

4. Ecuația $x^4=m$ are soluția $1,5$. Află $m$, scrie cealaltă soluție a ei și spune câte soluții are ecuația $x^5=m$ pentru aceeași valoare a lui $m$.

5. Pentru $r:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $r(x)=(x-3{)}^{-2}$, trasează digital graficul, apoi scrie intervalele de monotonie și mulțimea valorilor. Ce dreaptă verticală nu întâlnește graficul?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $(-0,5;16)$ aparține graficului funcției $h:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^{-4}$.

7. Câte puncte comune au graficul funcției $k:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $k(x)=2x^{-1}$, și dreapta $y=-x$?

8. Pentru $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $q(x)=x^4+1$, scrie mulțimea valorilor, spune dacă graficul taie axa $Ox$ și rezolvă ecuația $q(x)=2$.

9. (Problemă aplicată.) Puterea pe care un automobil o consumă ca să învingă rezistența aerului, la viteza $v$, este $P(v)=\frac{2v^3}{5}$ wați, pentru $v\in [10,30]$ m/s. Calculează puterea la $10$ m/s și la $20$ m/s. La ce viteză puterea este de $3,2$ kW? Între ce valori se află puterea?

10. Accelerația gravitațională la distanța $r$ de centrul Pământului, măsurată în raze terestre, este aproximativ $a(r)=\frac{9,8}{r^2}$ m/s², pentru $r\in [1,10]$. Calculează valorile pentru $r=2$ și $r=7$. La ce distanță accelerația este $0,392$ m/s²?

11. Punctul $(2,5;15,625)$ aparține graficului funcției $x\mapsto x^3$. Fără alt calcul, scrie un punct al graficului cu abscisa negativă. Verifică apoi ordonata dată.

12. Scrie mulțimea valorilor restricției $s:\left[\frac{1}{2},3\right]\to \mathbb{R}$, $s(x)=x^{-2}$.

13. Trasează digital $y=x^2$ și $y=x^{-1}$. Câte puncte comune au graficele? Determină-le și confirmă prin calcul.

14. Pentru $w:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $w(x)=x^{-1}-4$, determină punctul în care graficul taie axa $Ox$ și mulțimea valorilor.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$. Determinați abscisele punctelor graficului funcției $f$ care au ordonata egală cu $81$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$. Calculați $f(-2)\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-2}$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=\frac{25}{4}$.

18. (Provocare.) Pentru ce exponenți întregi $n$ graficul funcției $x\mapsto x^n$ trece prin punctul $(-1;1)$ și nu are niciun punct pe axa $Oy$?

Răspunsuri și explicații

1. Panoul 1: exponent par negativ, fiindcă zero lipsește și ambele bucăți stau deasupra axei $Ox$. Panoul 2: exponent impar pozitiv, fiindcă o singură curbă trece prin origine și coboară sub axă la stânga. Panoul 3: exponent impar negativ, cu bucăți în cadranele întâi și al treilea. Panoul 4: exponent par pozitiv, o cupă cu vârful în origine.

2. Valorile sunt $(-3{)}^{-2}=\frac{1}{9}$, ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=25$ și $(-1{)}^{-2}=1$. Toate sunt pozitive, cum arată graficul unei puteri negative pare.

3. Domeniile sunt $\mathbb{R}$ pentru $a$, ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru $b$ și $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{5}{2}\right\}$ pentru $c$. Exponentul șapte este pozitiv; minus nouă ascunde o împărțire la $x^9$; la $c$ exponentul zero scoate numărul care anulează baza: $2x+5=0$ pentru $x=-\frac{5}{2}$, iar $0^0$ nu are valoare.

4. $m=1,5^4=5,0625$. Exponentul patru este par, deci orizontala de nivel $m$ taie cupa și în punctul opus: cealaltă soluție este $-1,5$, cu controlul $(-1,5{)}^4=5,0625$. Ecuația $x^5=5,0625$ are o singură soluție, fiindcă orice orizontală taie treapta unei puteri impare exact o dată; ea se află între unu și doi, pentru că $1^5=1$ și $2^5=32$.

5. Graficul este cel al lui $x^{-2}$ mutat cu trei unități spre dreapta: două bucăți deasupra axei $Ox$, de o parte și de alta a verticalei $x=3$. Funcția crește pe $(-\infty ,3)$ și scade pe $(3,+\infty )$; controlul: $r(1)=\frac{1}{4}<r(2)=1$ și $r(4)=1>r(5)=\frac{1}{4}$. Mulțimea valorilor este $(0,+\infty )$, iar verticala $x=3$ nu întâlnește graficul, fiindcă trei nu este în domeniu.

6. Adevărat. $(-0,5{)}^{-4}=\frac{1}{(-0,5{)}^4}=\frac{1}{0,0625}=16$. Exponentul negativ a transformat puterea într-o fracție, iar exponentul par a șters semnul bazei, deci punctul stă în cadranul al doilea, pe bucata din stânga.

7. Niciunul. Graficul lui $k$ stă în cadranele întâi și al treilea, iar dreapta $y=-x$ trece prin cadranele al doilea și al patrulea și prin origine, care nu e în domeniu. Algebric, $\frac{2}{x}=-x$ ar cere $x^2=-2$, imposibil.

8. $\mathrm{Im}q=[1,+\infty )$: cupa lui $x^4$ a urcat cu o unitate, iar vârful ei este $(0;1)$. Graficul nu taie axa $Ox$, fiindcă toate valorile sunt cel puțin unu. Ecuația $x^4+1=2$ se reduce la $x^4=1$, cu soluțiile $x=\pm 1$.

9. La $10$ m/s puterea este $\frac{2\cdot 1000}{5}=400$ W, iar la $20$ m/s este $\frac{2\cdot 8000}{5}=3200$ W. Puterea de $3,2$ kW se atinge deci la $20$ m/s, adică $72$ km/h. Pe interval funcția este crescătoare, cu $\frac{2\cdot 27000}{5}=10800$ W la capătul drept, așa că puterea parcurge $[400;10800]$ W.

10. Pentru $r=2$ obținem $\frac{9,8}{4}=2,45$ m/s², iar pentru $r=7$ obținem $\frac{9,8}{49}=0,2$ m/s². Din $\frac{9,8}{r^2}=0,392$ rezultă $r^2=25$ și, cum distanța este pozitivă, $r=5$ raze terestre.

11. Graficul unei puteri impare este simetric față de origine, deci conține punctul $(-2,5;-15,625)$. Ordonata dată este corectă: $2,5^3=15,625$.

12. $\mathrm{Im}s=\left[\frac{1}{9},4\right]$. Pe $(0,+\infty )$ curba coboară, deci cea mai mare valoare vine din capătul stâng, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$, iar cea mai mică din capătul drept, $3^{-2}=\frac{1}{9}$.

13. Un singur punct comun, $(1;1)$. Parabola nu coboară sub axa $Ox$, deci nu întâlnește bucata din cadranul al treilea. Ecuația $x^2=\frac{1}{x}$ devine $x^3=1$, iar funcția cub ia valoarea unu o singură dată, la $x=1$.

14. Graficul taie axa $Ox$ în $\left(\frac{1}{4};0\right)$: din $x^{-1}-4=0$ rezultă $x^{-1}=4$, adică $x=\frac{1}{4}$, cu controlul ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}-4=0$. Mulțimea valorilor este $\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, fiindcă graficul lui $x^{-1}$, care nu atinge nivelul zero, a coborât cu patru unități.

15. $x=-3$ sau $x=3$. Condiția este $x^4=81$. Exponentul par dă două soluții opuse, iar $3^4=81$; controlul pentru cealaltă este $(-3{)}^4=81$.

16. Rezultatul este $1$: $(-2{)}^4=16$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$, iar $16\cdot \frac{1}{16}=1$.

17. $a=-\frac{2}{5}$ sau $a=\frac{2}{5}$. Condiția $\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}$ dă $a^2=\frac{4}{25}$. Orizontala de nivel $\frac{25}{4}$ taie ambele bucăți ale graficului, în puncte opuse; controlul este ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}=\frac{25}{4}$.

18. Exponenții pari mai mici sau egali cu zero: $n=0$, $n=-2$, $n=-4$ și așa mai departe. Trecerea prin $(-1;1)$ cere $(-1{)}^n=1$, adică exponent par. Lipsa punctului de pe $Oy$ cere ca zero să nu fie în domeniu, adică $n\le 0$. Exponentul zero convine și el.

De reținut

• Domeniul lui $x^n$ este $\mathbb{R}$ pentru $n\ge 1$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru $n\le 0$; exponentul zero scoate și el numărul zero.
• Exponentul par dă un grafic simetric față de axa $Oy$, prin $(-1;1)$; exponentul impar dă un grafic simetric față de origine, prin $(-1;-1)$.
• Monotonia se citește pe grafic: puterile impare pozitive urcă pe tot $\mathbb{R}$, cele pare pozitive au minimul în origine, iar cele negative se citesc separat pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$.
• Orizontala de nivel $m$ dă numărul soluțiilor ecuației $x^n=m$; soluția citită se confirmă prin ridicare la putere.
• Translația $(x-h{)}^n+k$ mută punctul special în $(h;k)$, iar într-un model de forma constantă ori putere exponentul decide forma curbei.

Greșeli frecvente

• Scrii domeniul $\mathbb{R}$ pentru o putere cu exponentul zero. Baza care se anulează dă $0^0$, care nu are valoare. Scoate din domeniu punctul în care baza este zero.
• Crezi că un exponent negativ face rezultatul negativ. Exponentul negativ înseamnă o fracție, nu un semn: $2^{-3}$ este $\frac{1}{8}$, nu $-8$. Semnul valorii depinde de bază și de paritate.
• Crezi că exponentul mai mare dă mereu un rezultat mai mare. Între zero și unu ordinea se inversează: o jumătate la cub este mai mică decât o jumătate la pătrat. Înainte să compari două puteri ale aceleiași baze, uită-te de ce parte a lui unu se află baza.
• Citești centrul translației cu semnul schimbat. Pentru $(x-1{)}^3+2$ centrul este $(1;2)$, nu $(-1;2)$: intrarea unu anulează paranteza. Verifică înlocuind abscisa găsită.
• Decizi paritatea exponentului privind doar partea din dreapta a graficului. Pentru intrări pozitive orice putere dă valori pozitive, deci $x^3$ și $x^4$, ca și $x^{-1}$ și $x^{-2}$, arată asemănător în cadranul întâi. Paritatea se vede la stânga axei $Oy$: acolo graficul stă deasupra axei $Ox$ pentru un exponent par și dedesubt pentru unul impar.

Aplică acasă

1. Ține degetul pe ieșirea unei pompe de bicicletă și împinge încet pistonul până la jumătatea cursei, apoi până la un sfert din ea. Descrie cum crește efortul. Legea Boyle–Mariotte spune că presiunea se dublează când volumul se înjumătățește și se împătrește la un sfert din volum. Explică pe graficul lui $\frac{c}{V}$ de ce ultimii centimetri ai cursei cer cel mai mare efort.
2. Într-o aplicație de reprezentare grafică, trasează $y=(x-h{)}^3+k$ cu două glisoare pentru $h$ și $k$. Pentru cinci poziții ale glisoarelor, notează centrul de simetrie citit pe ecran și verifică prin calcul că se află în $(h;k)$. Repetă cu exponentul patru și descrie ce devine centrul.
3. Caută în manualul de fizică sau de chimie trei formule în care o mărime depinde de alta printr-o putere întreagă, de exemplu inversul unui volum sau cubul unei viteze. Pentru fiecare, scrie exponentul, spune dacă pe valorile pozitive ale variabilei graficul urcă sau coboară și desenează-i forma pe o foaie, cu unitățile pe axe.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează familia puterilor ca pe o colecție de grafice care se recunosc după câteva detalii: dacă zero lipsește din domeniu, de ce parte a axei stau bucățile, cum se comportă curba de o parte și de alta a originii. Întrebarea de control potrivită este „ce vezi pe grafic care îți spune exponentul?”, pusă pe patru desene diferite. Un elev care răspunde prin domeniu, simetrie și semnul valorilor la stânga originii a înțeles lecția.

Proprietățile nu se demonstrează aici în general: monotonia și mulțimea valorilor se observă pe grafice trasate digital sau date pe hârtie, iar calculul confirmă punctele citite. Recomandăm lucrul cu glisoare pentru translații și cel puțin un model din fizică tratat complet, cu unități și interval. Demonstrațiile generale ale monotoniei și studiul funcțiilor inversabile aparțin traseului de mate-info și suplimentului clasei a X-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții numește explicit funcția putere cu exponent întreg, iar nota ei cere evidențierea grafică a intersecțiilor cu axele, a monotoniei, a mulțimii valorilor și a soluțiilor ecuațiilor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția putere cu exponent natural cel puțin doi, la materia clasei a X-a, și nu numește exponentul negativ; de aceea exercițiile cu exponent negativ sunt marcate MAT_P2 2030. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții de gradul I, nu una cu funcția putere; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția putere cu exponent întreg. Pentru regulile de calcul cu puteri, revedeți puterile cu exponent întreg din clasa a VII-a. Continuarea firească este funcția radical de ordin 2 la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre funcția putere?

Varianta M2 citește proprietățile pe grafice trasate digital și folosește calculul doar pentru confirmare. Nu demonstrează monotonia prin factorizare și nu studiază injectivitatea sau surjectivitatea. În schimb, lucrează mai mult cu exponentul zero, cu recunoașterea exponentului după desen, cu translațiile făcute în aplicații și cu modele din fizică, fiecare cu unități și interval.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosește funcția putere?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția putere cu exponent natural la materia clasei a X-a. În modelul publicat pentru 2026, Subiectul I are șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a și a X-a, iar cea cu funcții folosește două funcții de gradul I, nu funcția putere. Pentru proba MAT_P2 din 2030, funcția putere cu exponent întreg este în domeniul „Algebră”.

De ce funcția cu exponentul zero nu este definită în zero?

Pentru orice număr nenul, puterea zero este unu, fiindcă este câtul a două puteri egale. În zero, acel cât ar fi zero împărțit la zero, iar o asemenea împărțire nu are rezultat. De aceea $0^0$ nu primește valoare, iar graficul este dreapta de nivel unu fără punctul de abscisă zero.

Cum recunosc pe un grafic că exponentul este negativ?

Caută trei semne. Curba are două bucăți separate de axa verticală, fiindcă zero lipsește din domeniu. Nicio bucată nu atinge axele. Lângă axa verticală valorile cresc foarte mult în valoare absolută, iar departe de ea curbele se apropie de axa orizontală. Paritatea o decizi apoi după poziția bucății din stânga.

De ce graficul lui $x^{-2}$ pare să atingă axa pe ecran?

Departe de origine valorile devin foarte mici, de exemplu o sutime la intrarea zece. La scara ecranului, o asemenea distanță față de axă se pierde sub grosimea liniei. Valoarea rămâne însă strict pozitivă pentru orice intrare, fiindcă este unu împărțit la un pătrat nenul. Felul în care un grafic se apropie de o axă fără s-o atingă este descris în comportamentul asimptotic citit pe grafic.

Unde apar funcțiile putere în științele naturii?

Multe legi din fizică și chimie au forma unei constante înmulțite cu o putere: presiunea unui gaz la temperatură constantă variază cu inversul volumului, puterea necesară contra rezistenței aerului crește cu cubul vitezei, iar atracția gravitațională scade cu pătratul distanței. Recunoașterea exponentului îți spune imediat forma graficului și cum reacționează mărimea la o schimbare.