Este partea fracționară o funcție periodică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Perioada unei funcții

Da. Funcția $f (x) = {x} = x - [x]$ verifică ${x + 1} = {x}$ pentru orice $x$ real, deci are perioada $1$ , iar orice număr natural nenul este tot perioadă. Graficul e un „dinte de fierăstrău” care urcă de la $0$ spre $1$ pe fiecare interval $[k, k + 1)$ . Exemple: ${3, 7} = {4, 7} = 0, 7$ , iar ${- 1, 2} = 0, 8$ , fiindcă $- 1, 2 = - 2 + 0, 8$ .

Periodicitatea nu este rezervată funcțiilor trigonometrice: la M2 ea se citește pe un grafic sau într-un tabel de măsurători, iar de acolo se ajunge la valoarea funcției într-un argument oricât de mare.

Definiția. Spunem că $f$ este periodică de perioadă $T > 0$ dacă $f (x + T) = f (x)$ în fiecare punct al domeniului, iar domeniul nu se schimbă când îl muți cu $T$ într-un sens sau în celălalt. Iată de ce un domeniu care este un interval mărginit exclude din start periodicitatea. Alături de $T$ , fiecare multiplu întreg pozitiv al lui este tot perioadă; cea mai mică dintre ele, dacă există, se numește perioadă principală, și ea se citește pe desen. Constantele sunt periodice, însă rămân fără perioadă principală.

Reducerea. Pentru un argument oarecare împarți la perioadă și reții restul, nu câtul: cu $T = 4$ , din $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ iese $f (2026) = f (2)$ . La argumente negative adaugi perioade până nimerești în intervalul cunoscut.

Capcanele. Două valori egale nu dovedesc o perioadă — aceeași înălțime apare și pe urcare, și pe coborâre, deci compari tipare, nu înălțimi. Iar o formulă dată pe un interval nu se aplică în afara lui: reduci întâi argumentul, calculezi după aceea.

De reținut

$f$ are perioada $T > 0$ dacă $f (x + T) = f (x)$ în orice punct al domeniului
${x}$ are perioada $1$ ; ${k x}$ are perioada $\frac{1}{k}$ , pentru $k > 0$
pentru un argument mare se păstrează restul împărțirii la perioadă

Greșeala tipică

Se crede că ${- 1, 2} = 0, 2$ ; partea fracționară este mereu în $[0, 1)$ și se obține scăzând partea întreagă, $- 2$ , deci ${- 1, 2} = 0, 8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : R \to R$ este periodică de perioadă $5$ și $f (2) = 7$ . Cât este $f (12)$ ?
- a) $7$
- b) $12$
- c) $35$
- d) nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7$

$12 - 5 - 5 = 2$ , deci $12$ și $2$ se reduc la același punct: $f (12) = f (2) = 7$ . Periodicitatea nu înmulțește valoarea, ci o repetă.
Funcția $f : R \to R$ este periodică de perioadă $4$ și $f (x) = x^{2} - 2 x$ pentru orice $x \in [0, 4)$ . Cât este $f (10)$ ?
- a) $80$
- b) $0$
- c) $- 1$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Din $10 = 4 \cdot 2 + 2$ rezultă $f (10) = f (2) = 4 - 4 = 0$ . Varianta a) aplică formula direct în $10$ , deși ea e dată doar pe $[0, 4)$ , iar c) este $f (1)$ , adică o reducere greșită.
Funcția $f$ are perioada principală $3$ . Care dintre numerele următoare nu este perioadă a lui $f$ ?
- a) $6$
- b) $9$
- c) $4$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Perioadele sunt multiplii întregi pozitivi ai perioadei principale: $6$ , $9$ , $12$ sunt $2 \cdot 3$ , $3 \cdot 3$ și $4 \cdot 3$ . Numărul $4$ nu este multiplu al lui $3$ , deci mutarea cu $4$ nu suprapune graficul peste el însuși.

Întrebări conexe

Ce perioadă principală are funcția $f (x) = {3 x}$ ?

Are perioada $\frac{1}{3}$ : $f (x + \frac{1}{3}) = {3 x + 1} = {3 x}$ . Graficul face un „dinte” complet, de la $0$ spre $1$ , între $0$ și $\frac{1}{3}$ , deci o deplasare mai mică nu poate suprapune graficul peste el însuși.

Cum aflu valoarea unei funcții periodice într-un argument negativ?

Adaugi perioade întregi până când argumentul ajunge în intervalul pe care cunoști formula funcției. Dacă $f$ are perioada $3$ și $f (x) = x^{2} + 1$ pe $[0, 3)$ , atunci $- 7 + 3 \cdot 3 = 2$ , deci $f (- 7) = f (2) = 5$ .

Poate o funcție strict crescătoare să fie periodică?

Nu. Dacă $f$ ar fi strict crescătoare și periodică de perioadă $T > 0$ , din $x + T > x$ ar rezulta $f (x + T) > f (x)$ , dar periodicitatea cere $f (x + T) = f (x)$ . Contradicția arată că o funcție periodică neconstantă trebuie să urce și să coboare.

Dacă $4$ și $6$ sunt perioade ale unei funcții, este și $2$ perioadă?

Da. Din $f (x + 6) = f (x)$ și $f (x + 4) = f (x)$ obții $f (x + 2) = f (x + 2 + 4) = f (x + 6) = f (x)$ , cu domeniul $R$ . Diferența pozitivă a două perioade e tot perioadă, deci pentru $4$ și $6$ rezultă perioada $2$ .

Ce perioadă are bătaia inimii la $75$ de pulsații pe minut?

Un minut are $60$ de secunde, iar în el încap $75$ de cicluri, deci perioada este $\frac{60}{75} = 0, 8$ s. Pe o electrocardiogramă, tiparul complet al unei bătăi se repetă la fiecare $0, 8$ s.

Cum calculez o sumă de valori ale unei funcții periodice?

Grupezi termenii câte o perioadă. Dacă $f$ are perioada $4$ și $f (1) = 2$ , $f (2) = - 1$ , $f (3) = 0$ , $f (4) = 5$ , fiecare grup de patru termeni consecutivi are suma $6$ . Pentru $f (1) + \dots + f (20)$ sunt $5$ grupe, deci suma este $30$ .

Oamenii mai întreabă și: partea fracționară este periodică · perioada părții fracționare · graficul funcției parte fracționară · funcția x minus partea întreagă a lui x · dinte de fierăstrău funcție periodică