Funcții periodice: perioada citită pe grafic (M2, științe ale naturii)

Un electrocardiograf desenează, pe banda de hârtie, același tipar de vârfuri și de văi de aproximativ optzeci de ori pe minut. Un termometru lăsat într-o seră scrie, zi după zi, aceeași curbă a temperaturii, cu minimul înainte de răsărit și maximul după-amiaza. Un ceas cu reacție chimică oscilantă schimbă culoarea soluției din galben în albastru și înapoi, la intervale egale, atâta timp cât are ce consuma. Toate aceste grafice au în comun un singur lucru: o bucată de desen care se repetă, nemodificată, din nou și din nou. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum se numește proprietatea, cum se citește lungimea tiparului direct de pe grafic și ce câștigi din ea. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 periodicitatea este trecută în programa de examen la materia clasei a IX-a, printre proprietățile citite pe grafic; la proba MAT_P2 din 2030 ea face parte din domeniul Algebră.

În lecția anterioară de pe traseu, despre simetria graficului față de o dreaptă sau un punct, o bucată de desen se obținea din alta prin oglindire sau prin rotație. Acum ea se obține prin mutare: iei tiparul și îl împingi la dreapta cu o lungime potrivită, iar el se așază exact peste ce urmează. E o economie și mai mare decât la simetrie. Acolo, cunoașterea unei jumătăți de grafic îți dădea cealaltă jumătate; aici, cunoașterea unei singure bucăți, oricât de scurte, îți dă graficul întreg, pe toată dreapta reală.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă că o funcție se repetă din $T$ în $T$ și cum se scrie această proprietate cu valori.
• Vei ști să citești perioada direct de pe un grafic sau dintr-un tabel de măsurători, alegând tiparul care se repetă, nu doar valorile egale.
• Vei ști ce este perioada principală și de ce unele funcții periodice nu au niciuna.
• Vei ști să calculezi valoarea unei funcții periodice într-un număr mare, aducând argumentul înapoi într-un interval de lungimea perioadei.
• Vei ști să recunoști funcții periodice care nu vin din trigonometrie, precum partea fracționară sau semnalele desenate pe bucăți.
• Vei ști să folosești periodicitatea ca să interpretezi date din biologie, fizică sau chimie și să faci previziuni scurte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție periodică?

O funcție periodică este o funcție ale cărei valori se reiau, identic, la intervale de aceeași lungime: există un număr $T>0$ astfel încât valoarea în orice punct coincide cu valoarea în punctul mutat cu $T$ spre dreapta. Scris scurt, pentru funcția $f$ definită pe mulțimea $D$:

$$f(x+T)=f(x),\text{oricare ar fi }x\in D.$$

Numărul $T$ se numește perioadă a funcției. Ca egalitatea să aibă sens, mulțimea $D$ trebuie să conțină odată cu fiecare punct și punctele mutate cu $T$ la dreapta și la stânga; de aceea o funcție definită numai pe un interval mărginit, cum ar fi $[0,10]$, nu poate fi periodică — mutarea o scoate din domeniu.

Un lucru de reținut din prima: perioada nu este unică. Dacă mutarea cu $T$ suprapune graficul peste el însuși, atunci și mutarea cu $2T$ face același lucru, fiindcă ea se poate face în doi pași:

$$f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x).$$

La fel pentru $3T$, $4T$ și pentru orice multiplu întreg pozitiv al lui $T$. O funcție periodică are, așadar, o infinitate de perioade, iar întrebarea care contează este alta: care este cea mai scurtă dintre ele?

2. Cum citesc perioada direct de pe grafic?

Metoda are trei pași. Întâi alegi pe grafic un punct ușor de recunoscut — un vârf, o vale, locul unde curba taie axa urcând. Apoi cauți următorul punct care arată la fel, adică are aceeași valoare și aceeași comportare în jurul lui (tot vârf, tot urcare). În sfârșit, măsori distanța dintre abscisele celor două puncte: aceasta este perioada.

Pe banda unui electrocardiograf, punctul ușor de recunoscut este vârful ascuțit al fiecărei bătăi. Dacă hârtia se derulează cu $25$ mm pe secundă și distanța dintre două vârfuri consecutive este de $20$ mm, perioada este $20:25=0,8$ secunde, adică $75$ de bătăi pe minut. Legătura cu frecvența este imediată: numărul de repetări într-o unitate de timp este $\frac{1}{T}$.

3. De ce nu ajunge ca două valori să fie egale?

Aici se ascunde greșeala cea mai frecventă. Din faptul că $f(1)=f(4)$ nu rezultă că funcția are perioada $3$. Egalitatea a două valori spune ceva despre două puncte; periodicitatea cere ca mutarea cu $T$ să funcționeze pentru toate punctele deodată.

Un exemplu lămurește imediat. Fie o funcție cu $f(1)=f(4)=5$, dar cu $f(2)=1$ și $f(5)=7$. Dacă $3$ ar fi perioadă, ar trebui ca $f(5)=f(2)$, adică $7=1$ — fals. Prin urmare funcția nu are perioada $3$, deși prima pereche de valori părea încurajatoare.

Regula practică pentru grafice este aceeași: nu compara două înălțimi, ci două bucăți de desen. Două puncte pot sta la aceeași înălțime și pe o curbă care urcă neîncetat, fără nicio repetare.

4. Perioada principală: cea mai scurtă repetare

Dintre toate perioadele unei funcții, cea mai mică valoare pozitivă — atunci când există — se numește perioadă principală. Ea este cea care se citește pe grafic, fiindcă tocmai ea măsoară tiparul, nu un pachet de două sau trei tipare puse cap la cap.

Nu orice funcție periodică are perioadă principală. Cazul de manual este o funcție constantă, de pildă $f(x)=7$ pentru orice $x$ real: mutarea cu orice număr, oricât de mic, lasă graficul neschimbat, deci orice număr pozitiv este perioadă. Cum printre numerele pozitive nu există unul mai mic decât toate celelalte, o astfel de funcție nu are cea mai scurtă repetare. Este singura situație pe care o vei întâlni la acest nivel; pentru toate celelalte exemple din lecție perioada principală există și se citește de pe desen.

Cum se arată că un număr $T$ este chiar perioada principală? Se verifică mai întâi că este perioadă, apoi se presupune că ar exista o perioadă $T^{\prime }$ mai mică și se caută o valoare a lui $x$ pentru care egalitatea cade. Vei vedea procedeul la primul exemplu rezolvat.

5. Cum calculez valoarea într-un număr mare?

Aceasta este aplicația cea mai des cerută. Dacă $f$ are perioada $T$ și îi cunoști valorile pe un interval de lungime $T$, atunci valoarea în orice punct se află mutând punctul, din $T$ în $T$, până cade în intervalul cunoscut. Pe scurt: împarți cu rest.

Fie $f$ periodică de perioadă $4$, cu $f(x)=x^2-2x$ pentru $x\in [0,4)$. Pentru a calcula $f(10)$ scriem $10=4\cdot 2+2$, deci mutăm de două ori câte o perioadă înapoi și ajungem în $2$:

$$f(10)=f(2)=4-4=0.$$

Pentru $f(2026)$ facem aceeași împărțire cu rest, învățată încă din gimnaziu la teorema împărțirii cu rest: $2026=4\cdot 506+2$, deci $f(2026)=f(2)=0$. Pentru un argument negativ mergem în sens invers, adunând perioade până intrăm în interval: $f(-3)=f(-3+4)=f(1)=1-2=-1$.

Reține numai regula: contează restul împărțirii la perioadă, nu câtul. Toate punctele cu același rest au aceeași valoare.

6. Funcții periodice care nu vin din trigonometrie

Primele exemple de funcții periodice pe care le întâlnește oricine sunt cele trigonometrice: graficele sinusului și cosinusului, desenate în clasa a IX-a pe o singură tură, $[0,2\pi ]$, se repetă din $2\pi$ în $2\pi$ odată ce funcțiile sunt definite pe toate numerele reale. Dar periodicitatea nu e o specialitate a lor.

Pentru comparație, la mate-info (M1) periodicitatea se învață exact așa, ca proprietate a funcțiilor trigonometrice, cu demonstrația perioadelor principale. Suplimentul tău de clasa a IX-a are o lecție proprie pe aceeași temă, funcția cotangentă și periodicitatea, unde definiția generală servește la reducerea argumentelor trigonometrice. Aici ea este o proprietate a oricărei funcții numerice, citită pe grafic.

Partea fracționară. Pentru un număr real $x$, partea întreagă $[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$, iar partea fracționară este $\{x\}=x-[x]$. Când $x$ crește cu $1$, și partea întreagă crește cu $1$, deci diferența rămâne neschimbată: $\{x+1\}=\{x\}$. Graficul este o succesiune de segmente care urcă de la $0$ la $1$ și cad brusc înapoi — un „dinte de fierăstrău" cu perioada $1$.

Semnalele definite pe bucăți. Iei o bucată de grafic pe intervalul $[0,T)$ și o copiezi, identic, la dreapta și la stânga, din $T$ în $T$. Orice desen devine astfel o funcție periodică: undă dreptunghiulară, triunghiulară, în trepte. Așa sunt modelate semnalele din electronică și tot așa se construiesc exercițiile de examen, cu o formulă dată pe un singur interval.

Fenomenele care se repetă. Fazele Lunii, mareele, alternanța zi–noapte, ciclul de administrare a unui medicament — toate se descriu cu funcții periodice, chiar dacă formula lor nu se scrie niciodată explicit.

7. Ritmuri din științe: la ce folosește periodicitatea

Într-un laborator de biologie, temperatura corpului unui subiect se măsoară din patru în patru ore, timp de trei zile. Valorile obținute se repetă aproximativ din $24$ în $24$ de ore: ritmul circadian este, în limbaj matematic, o periodicitate cu $T=24$. Consecința practică e imediată — dacă ai valorile dintr-o singură zi, poți prezice, cu bună aproximație, valoarea de mâine la aceeași oră, fără altă măsurătoare.

La fel se citesc și datele de mediu: nivelul apei într-un port urcă și coboară cu o perioadă de aproximativ $12$ ore, deci într-o zi apar două maxime. Iar în chimie, la reacțiile oscilante, culoarea soluției revine la aceeași nuanță după un număr constant de secunde, iar perioada se măsoară cu cronometrul, exact ca pe grafic. Merită observat și ce nu e periodic: o mărime care crește de la o repetare la alta, cum e amplitudinea unei rezonanțe, are un grafic care seamănă cu el însuși, dar nu se suprapune — iar suprapunerea este singurul criteriu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Partea fracționară și perioada ei principală

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{x\}$, este periodică și că perioada ei principală este $1$.

Rezolvare. Mai întâi arătăm că $1$ este perioadă. Pentru orice $x$ real avem $[x+1]=[x]+1$, pentru că adunarea unei unități mută atât numărul, cât și cel mai mare întreg de sub el. Atunci

$$f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-[x]-1=x-[x]=f(x).$$

Rămâne de arătat că nicio valoare mai mică nu funcționează. Presupunem că ar exista $T^{\prime }$ cu $0<T^{\prime }<1$ perioadă și luăm $x=0$. Atunci $f(T^{\prime })=f(0)=0$, adică $T^{\prime }-[T^{\prime }]=0$. Dar pentru $0<T^{\prime }<1$ avem $[T^{\prime }]=0$, deci relația devine $T^{\prime }=0$, în contradicție cu $T^{\prime }>0$. Prin urmare perioada principală este $1$.

Exemplul 2 — Valori calculate prin reducere la o perioadă

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $5$ și $f(x)=x^2-4x$ pentru orice $x\in [0,5)$. Calculați $f(12)$, $f(2026)$ și $f(-2)$.

Rezolvare. Împărțim fiecare argument la $5$ și păstrăm restul, care este singurul care contează.

Pentru $12$: din $12=5\cdot 2+2$ rezultă restul $2$, deci $f(12)=f(2)=4-8=-4$.

Pentru $2026$: din $2026=5\cdot 405+1$ obținem restul $1$, deci $f(2026)=f(1)=1-4=-3$.

Pentru $-2$: adunăm o perioadă până intrăm în interval, $-2+5=3$, deci $f(-2)=f(3)=9-12=-3$.

Atenție la ultimele două rezultate: $f(2026)$ și $f(-2)$ au ieșit amândouă $-3$, dar nu din periodicitate. Cele două argumente se reduc la puncte diferite, $1$ și $3$, iar valorile coincid doar fiindcă funcția de bază ia aceeași valoare în ele: $1-4=-3$ și $9-12=-3$. Periodicitatea garantează egalitatea numai pentru argumente cu același rest.

Exemplul 3 — Perioada citită dintr-un tabel de măsurători

Nivelul apei într-un port, măsurat din două în două ore și exprimat în metri, a dat valorile: la ora $0$ — $1,2$; la ora $2$ — $2,1$; la ora $4$ — $2,8$; la ora $6$ — $2,1$; la ora $8$ — $1,2$; la ora $10$ — $0,5$; la ora $12$ — $1,2$; la ora $14$ — $2,1$. Determinați perioada aproximativă a fenomenului și estimați nivelul apei la ora $16$.

Rezolvare. Căutăm nu valori egale, ci tipare care se repetă. Șirul de la ora $0$ la ora $10$ este $1,2$; $2,1$; $2,8$; $2,1$; $1,2$; $0,5$, iar de la ora $12$ începe din nou cu $1,2$; $2,1$ — aceleași valori, în aceeași ordine. Prin urmare perioada este de aproximativ $12$ ore.

Pentru ora $16$ folosim reducerea: $16-12=4$, deci nivelul estimat este cel de la ora $4$, adică $2,8$ m. Atenție la o capcană din tabel: și la ora $0$, și la ora $8$ nivelul este $1,2$ m, dar cele două momente nu sunt echivalente — la ora $0$ apa urcă, la ora $8$ coboară. Valorile egale singure nu dau perioada.

Exemplul 4 — Un semnal citit de pe grafic

Figura de mai jos arată graficul unei funcții periodice $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Citiți perioada, apoi determinați $f(4)$ și $f(-1)$ și arătați că $f(x+12)=f(x)$ pentru orice $x$ real.

Rezolvare. Perioada. Tiparul se reia la fiecare cădere a graficului, iar căderile sunt la $\dots ,-6,0,6,12,\dots$ — distanța dintre două consecutive este $6$, deci $T=6$.

Valorile. Pe intervalul $[0,6)$ graficul este un segment care pornește din $(0,-2)$ și urcă cu o unitate pe fiecare unitate de abscisă; punctul de abscisă $x$ se află, așadar, la înălțimea $x-2$. Citim direct $f(4)=2$. Pentru $-1$, punctul cade în dintele din stânga: adunăm o perioadă, $-1+6=5$, și citim $f(5)=3$.

Ultima cerință. Orice multiplu al unei perioade este tot perioadă, deci aplicăm de două ori definiția:

$$f(x+12)=f((x+6)+6)=f(x+6)=f(x).$$

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev afirmă: „Funcția $f$ are $f(1)=f(4)$, deci este periodică de perioadă $3$." Arătați, printr-un exemplu, că raționamentul este greșit.

Rezolvare. Luăm o funcție cu valorile $f(1)=5$, $f(2)=1$, $f(4)=5$ și $f(5)=7$ — de exemplu una definită printr-un tabel de măsurători. Ipoteza elevului, $f(1)=f(4)$, este îndeplinită. Dacă $3$ ar fi perioadă, atunci ar trebui ca $f(2+3)=f(2)$, adică $f(5)=f(2)$, adică $7=1$, ceea ce este fals.

Greșeala de raționament este de tip logic: definiția cere egalitatea pentru orice $x$ din domeniu, iar elevul a verificat-o pentru un singur $x$. O singură pereche nu confirmă niciodată o perioadă — dar, ca aici, o singură pereche o poate desființa.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, periodică de perioadă $3$, cu $f(x)=x^2-x$ pentru orice $x\in [0,3)$. a) Calculați $f(2)$. b) Arătați că $f(11)=f(2)$. c) Calculați suma $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(11)$.

Rezolvare. a) Argumentul $2$ aparține intervalului $[0,3)$, deci se folosește direct formula: $f(2)=4-2=2$.

b) Din $11=3\cdot 3+2$ rezultă că $11$ și $2$ dau același rest la împărțirea cu $3$, deci se ajunge de la unul la celălalt prin trei mutări de câte o perioadă: $f(11)=f(8)=f(5)=f(2)=2$.

c) Suma are $12$ termeni, adică exact patru grupe de câte trei argumente consecutive. Valorile pe o perioadă sunt $f(0)=0$, $f(1)=1-1=0$ și $f(2)=2$, cu suma $0+0+2=2$. Cum $f(3)=f(0)$, $f(4)=f(1)$ și așa mai departe, fiecare grupă de trei termeni dă tot $2$. Prin urmare suma cerută este

$$4\cdot 2=8.$$

Să exersăm

La fiecare exercițiu, notează întâi perioada și intervalul pe care se cunoaște formula. Pentru un argument din afara intervalului, adună sau scade perioade până intri în el; abia apoi calculează. Când ți se cere să decizi dacă o funcție e periodică, caută o pereche care strică egalitatea, nu una care o confirmă.

1. Funcția $f$ este periodică de perioadă $5$ și $f(2)=7$. Calculează $f(12)$ și $f(-3)$.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $4$ și $f(x)=2x+1$ pentru $x\in [0,4)$. Calculează $f(6)$ și $f(9)$.

3. Calculează partea fracționară a numerelor $5,2$ și $-1,4$, apoi arată, folosind periodicitatea, că ele coincid cu valorile funcției parte fracționară în $0,2$, respectiv în $0,6$.

4. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $6$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\in [0,6)$. Calculează $f(14)$ și $f(-4)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x+7)=f(x)$ pentru orice număr real $x$, atunci $7$ este perioada principală a funcției $f$."

6. O funcție are perioada $3$. Este și $9$ perioadă a ei? Dar $1,5$? Poate o funcție cu perioada $3$ să aibă domeniul $[0,+\infty )$? Justifică fiecare răspuns.

7. Un semnal luminos repetă același tipar din $0,4$ secunde în $0,4$ secunde. Câte repetări complete se produc într-o secundă?

8. Un medicament se administrează din $8$ în $8$ ore, iar concentrația lui în sânge este o funcție periodică de perioadă $8$ ore. Dacă la ora $9:00$ concentrația este de $4$ mg/L, la ce alte ore ale zilei are aceeași valoare?

9. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $2$ și $f(x)=3-x$ pentru $x\in [0,2)$. Calculează suma $f(0)+f(1)+\dots +f(9)$.

10. (Problemă aplicată.) Nivelul apei într-un port este o funcție periodică de perioadă $12$ ore, iar un maxim se atinge la ora $6:00$. La ce ore se ating următoarele două maxime și câte maxime are fenomenul într-un interval de $24$ de ore?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, periodică de perioadă $4$, cu $f(x)=x^2-3x$ pentru $x\in [0,4)$. a) Calculează $f(1)$. b) Arată că $f(9)=f(1)$. c) Calculează $f(0)+f(1)+f(2)+f(3)$.

12. Arată că, dacă $T$ este perioadă a funcției $f$, atunci $f(x-T)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu — adică mutarea cu o perioadă spre stânga lasă și ea valorile neschimbate.

13. Arată că o funcție periodică, de perioadă $T$, nu poate fi strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

14. Determină perioada principală a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{2x\}$, unde acoladele notează partea fracționară.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, periodică de perioadă $5$, cu $f(x)=2x$ pentru $x\in [0,5)$. a) Calculează $f(3)$. b) Arată că $f(23)=f(3)$. c) Determină toate numerele $x\in [0,15)$ pentru care $f(x)=6$.

16. Măsurătorile temperaturii din oră în oră, într-o seră, au dat valorile $18$, $20$, $23$, $21$, $18$, $20$, $23$, $21$, $18$. Care este perioada aparentă a datelor și ce valoare este de așteptat la următoarea măsurătoare?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, periodică de perioadă $5$, cu $f(x)=3-x$ pentru $x\in [0,5)$. a) Calculează $f(7)$. b) Calculează $f(-2)$. c) Arată că $f(x+10)=f(x)$, pentru orice număr real $x$.

18. (Provocare.) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $4$, iar graficul ei este simetric față de dreapta $x=1$. Arată că graficul este simetric și față de dreapta $x=3$.

Răspunsuri și explicații

1. Argumentul $12$ se reduce scăzând două perioade: $12-10=2$, deci $f(12)=f(2)=7$. Argumentul $-3$ se reduce adunând o perioadă: $-3+5=2$, deci $f(-3)=f(2)=7$.

2. $6-4=2$, deci $f(6)=f(2)=2\cdot 2+1=5$. Apoi $9-8=1$, deci $f(9)=f(1)=3$.

3. Partea fracționară a lui $5,2$ este $5,2-5=0,2$, iar a lui $-1,4$ este $-1,4-(-2)=0,6$ (cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $-1,4$ este $-2$, nu $-1$). Periodicitatea explică rezultatele fără niciun calcul: $5,2=0,2+5\cdot 1$ și $-1,4=0,6-2\cdot 1$, iar mutarea cu un număr întreg de perioade nu schimbă valoarea.

4. $14-12=2$, deci $f(14)=f(2)=4$. Apoi $-4+6=2$, deci $f(-4)=f(2)=4$. Cele două rezultate coincid pentru că ambele argumente se reduc la același punct.

5. Fals. Din ipoteză rezultă doar că $7$ este o perioadă, nu că e cea mai scurtă. Contraexemplu: funcția parte fracționară verifică $\{x+7\}=\{x\}$ pentru orice $x$, dar perioada ei principală este $1$. Ca să numești $7$ perioadă principală, trebuie arătat în plus că niciun număr din intervalul $(0,7)$ nu este perioadă.

6. Numărul $9$ este perioadă, fiind multiplul $3\cdot 3$ al unei perioade: mutarea cu $9$ se face în trei pași de câte $3$. Numărul $1,5$ nu este, în general, perioadă — el ar fi o repetare mai deasă decât cea dată, iar din enunț nu rezultă nimic despre ea. De pildă, funcția parte fracționară a lui $\frac{x}{3}$ are perioada $3$, dar mutarea cu $1,5$ îi schimbă valorile. Domeniul $[0,+\infty )$ nu se potrivește: definiția cere ca domeniul să conțină, odată cu fiecare punct, și punctul mutat cu o perioadă spre stânga, iar pentru $x\in [0,3)$ punctul $x-3$ lipsește din el. Fără acel punct, egalitatea demonstrată la exercițiul $12$ nici nu s-ar putea scrie.

7. Într-o secundă intră $\frac{1}{0,4}=2,5$ perioade, deci se produc două repetări complete și jumătate dintr-a treia. Numărul $\frac{1}{T}$ se numește frecvența semnalului.

8. Se adună și se scad perioade de câte $8$ ore: $9+8=17$, deci ora $17:00$; $9-8=1$, deci ora $1:00$. Într-o zi, aceeași valoare apare la orele $1:00$, $9:00$ și $17:00$.

9. Suma are $10$ termeni, adică cinci perioade complete. Pe o perioadă, $f(0)=3$ și $f(1)=2$, cu suma $5$. Prin urmare rezultatul este $5\cdot 5=25$.

10. Următoarele maxime se ating la $6+12=18$, deci la ora $18:00$, și la $18+12=30$, adică la ora $6:00$ din ziua următoare. Într-un interval de $24$ de ore încap două perioade, deci apar două maxime.

11. a) $f(1)=1-3=-2$. b) $9-8=1$, deci $f(9)=f(1)=-2$. c) $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=4-6=-2$, $f(3)=9-9=0$; suma este $0-2-2+0=-4$.

12. Egalitatea $f(y+T)=f(y)$ are loc pentru orice $y$ din domeniu, deci o putem scrie și pentru $y=x-T$, punct care aparține domeniului tocmai fiindcă domeniul rămâne neschimbat la mutarea cu $T$. Obținem $f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T)$, ceea ce trebuia arătat. Aici se ascunde regula folosită la argumentele negative: se poate aduna o perioadă la fel de bine cum se poate scădea una.

13. Presupunem că ar fi strict crescătoare. Pentru orice număr real $x$ avem $x<x+T$, fiindcă $T>0$, deci creșterea strictă ar da $f(x)<f(x+T)$. Dar periodicitatea spune că $f(x+T)=f(x)$, adică $f(x)<f(x)$ — fals. Prin urmare nicio funcție periodică nu este strict crescătoare; același raționament exclude și stricta descreștere.

14. Avem $f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\{2x+1\}=\{2x\}=f(x)$, deci $\frac{1}{2}$ este perioadă. Că e chiar cea mai scurtă se vede pe grafic: pe fiecare interval de lungime $\frac{1}{2}$ valorile urcă o singură dată, de la $0$ până aproape de $1$, apoi cad; un tipar întreg are deci exact lungimea $\frac{1}{2}$, iar mai des de atât nu se reia. Perioada principală este $\frac{1}{2}$.

15. a) $f(3)=6$. b) $23=5\cdot 4+3$, deci restul este $3$ și $f(23)=f(3)=6$. c) Pe $[0,5)$ ecuația $2x=6$ dă $x=3$; în intervalul $[0,15)$ încap trei perioade, deci soluțiile sunt $3$, $3+5=8$ și $8+5=13$.

16. Tiparul $18$, $20$, $23$, $21$ se reia din patru în patru măsurători, deci perioada este de $4$ ore. A noua valoare, $18$, confirmă reluarea; următoarea măsurătoare, a zecea, ar trebui să dea $20$.

17. a) $7-5=2$, deci $f(7)=f(2)=3-2=1$. b) $-2+5=3$, deci $f(-2)=f(3)=3-3=0$. c) $f(x+10)=f((x+5)+5)=f(x+5)=f(x)$, folosind de două ori periodicitatea.

18. Simetria față de dreapta $x=1$ înseamnă $f(2-x)=f(x)$ pentru orice $x$ real. Vrem să arătăm că $f(6-x)=f(x)$, adică simetria față de $x=3$, fiindcă $2\cdot 3=6$. Scriem $6-x=(2-x)+4$ și folosim periodicitatea cu $T=4$:

$$f(6-x)=f((2-x)+4)=f(2-x)=f(x).$$

Prin urmare graficul este simetric și față de dreapta $x=3$. Rezultatul e firesc: mutând oglinda din $x=1$ cu o perioadă întreagă, ea cade în $x=5$; dreapta $x=3$ apare la jumătatea distanței, ca a doua oglindă a tiparului.

De reținut

• O funcție este periodică de perioadă $T>0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice punct al domeniului, iar domeniul rămâne neschimbat la mutarea cu $T$ în ambele sensuri.
• Odată cu $T$, orice multiplu întreg pozitiv al său este tot perioadă; cea mai mică perioadă pozitivă, dacă există, se numește perioadă principală și este cea care se citește pe grafic.
• Perioada se citește alegând pe grafic un punct recunoscut și măsurând distanța până la următorul punct care arată la fel; două valori egale nu sunt o dovadă de periodicitate.
• Valoarea într-un punct oarecare se află prin reducere: contează restul împărțirii argumentului la perioadă, nu câtul.
• Funcțiile constante sunt periodice, dar nu au perioadă principală; o funcție definită pe un interval mărginit nu poate fi periodică.

Greșeli frecvente

• Perioada dedusă din două valori egale. Pe un grafic care urcă și coboară, aceeași înălțime apare de multe ori, în situații diferite: o dată când curba urcă, altă dată când coboară. Compară tipare, nu înălțimi, și verifică pe mai multe puncte.
• Reducerea făcută cu câtul, nu cu restul. La o funcție de perioadă $4$, pentru $f(2026)$ elevul scrie uneori $f(506)$, adică folosește câtul împărțirii. Corect este restul: $2026=4\cdot 506+2$, deci $f(2026)=f(2)$.
• Argumentele negative reduse în direcția greșită. Pentru $f(-3)$ la o perioadă de $4$, se scade încă o perioadă și se ajunge la $-7$, tot în afara intervalului. La stânga intervalului se adună perioade, până cazi în el.
• Confuzia dintre perioadă și perioadă principală. Un număr poate fi perioadă fără să fie cea mai mică: la o funcție cu perioada principală $3$, și $6$, și $9$ sunt perioade. Când enunțul cere „perioada principală", răspunsul trebuie să fie cel mai mic număr pozitiv care funcționează, cu justificarea că nimic mai mic nu merge.
• Formula aplicată în afara intervalului pe care e dată. Dacă se spune „$f(x)=x^2-2x$ pentru $x\in [0,4)$", atunci $f(10)$ nu se calculează înlocuind $x$ cu $10$ în formulă. Întâi reduci argumentul în interval, apoi folosești formula.

Aplică acasă

1. Jurnalul de douăzeci și patru de ore. Măsoară-ți pulsul, în repaus, la șase ore fixe dintr-o zi (de exemplu la $7$, $11$, $15$, $19$, $23$ și $3$) și repetă a doua zi la aceleași ore. Așază valorile într-un tabel cu două rânduri și compară-le pe coloane: cu cât cele două rânduri seamănă mai mult, cu atât se vede mai bine periodicitatea cu $T=24$ de ore a ritmului tău circadian.

2. Calendarul ca funcție periodică. Zilele săptămânii formează o funcție cu perioada $7$. Află în ce zi a săptămânii vei fi peste $1000$ de zile, folosind restul împărțirii lui $1000$ la $7$, apoi verifică rezultatul pe un calendar digital. Repetă socoteala pentru $365$ de zile și explică de ce ziua se mută cu exact o poziție de la un an obișnuit la următorul.

3. Tiparul desenat de trei ori. Alege o linie frântă oarecare pe hârtie milimetrică, desenată pe intervalul de la $0$ la $3$, cu aceeași înălțime la capete. Copiaz-o identic pe intervalele de la $3$ la $6$ și de la $-3$ la $0$. Verifică apoi, în cinci puncte alese de tine, egalitatea dintre valoarea citită și valoarea din punctul mutat cu $3$ — ai construit, cu mâna, o funcție periodică.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un singur nod de dificultate, dar unul real: cuantificatorul. Periodicitatea cere ca egalitatea să fie adevărată pentru toate punctele domeniului, iar elevii verifică, aproape instinctiv, un singur punct și trag concluzia. De aceea exemplele cu contraexemple, în care o pereche de valori egale nu produce nicio periodicitate, contează mai mult decât cele în care totul iese. Al doilea punct sensibil este reducerea argumentului: dacă elevul a înțeles că împărțirea cu rest din clasa a V-a este exact mecanismul folosit aici, calculele cu argumente mari nu îi mai pun probleme.

La profilul științe ale naturii proprietatea se introduce prin lectură grafică, nu prin demonstrații, iar registrul de exemple e generos: semnale, date de laborator, ritmuri biologice, fenomene de mediu. De urmărit în caiet: dacă elevul scrie perioada înainte de a calcula, dacă reduce argumentul cu restul (nu cu câtul) și dacă, la argumente negative, adună perioade în loc să scadă. Întrebări bune de control: „Ce trebuie verificat, pe lângă egalitatea valorilor, ca o funcție să fie periodică?"; „De ce nu se poate defini o funcție periodică pe un interval mărginit?"; „Care e diferența dintre o perioadă și perioada principală?"; „De ce o funcție constantă nu are perioadă principală?". Semn că a înțeles: la un argument din afara intervalului dat nu atinge formula până nu reduce. Pasul următor de pe traseu, monotonia funcției afine, reia lectura grafică pe cea mai simplă familie de funcții.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Funcții" de clasa a X-a, printre proprietățile introduse prin lectură grafică. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde periodicitatea este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a IX-a, în capitolul despre funcții și lecturi grafice, alături de paritate și de simetria față de drepte de forma $x=m$. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum citesc perioada unei funcții direct de pe grafic? Alegi un punct ușor de recunoscut — un vârf, o vale, o intersecție cu axa în urcare — și cauți următorul punct care arată la fel, nu doar care are aceeași înălțime. Distanța dintre abscisele celor două puncte este perioada. Dacă graficul e un semnal, măsori distanța dintre două tipare consecutive.

Cum calculez valoarea unei funcții periodice într-un număr mare? Împarți argumentul la perioadă și păstrezi restul, apoi calculezi valoarea în rest. La o funcție de perioadă $4$ cu formula dată pe $[0,4)$, din $2026=4\cdot 506+2$ rezultă că valoarea în $2026$ este cea din $2$. Pentru argumente negative aduni perioade până intri în interval.

Orice funcție periodică are perioadă principală? Nu. Funcțiile constante admit drept perioadă orice număr pozitiv, oricât de mic, iar printre acestea nu există unul minim, deci nu au o cea mai scurtă repetare. În toate celelalte situații întâlnite la acest nivel perioada principală există și este chiar lungimea tiparului care se vede pe desen.

Poate o funcție definită pe un interval mărginit să fie periodică? Nu. Egalitatea dintre valoarea într-un punct și valoarea în punctul mutat cu $T$ cere ca amândouă să existe, deci domeniul trebuie să conțină și punctele mutate. Pe un interval mărginit, mutarea iese din domeniu, așa că proprietatea nu poate fi formulată. Domeniile potrivite sunt nemărginite în ambele sensuri.

De ce nu ajunge ca două valori să fie egale? Pentru că definiția cere egalitatea în toate punctele, nu într-unul singur. O curbă care urcă neîncetat poate trece de două ori prin aceeași înălțime fără să repete nimic. Regula practică: o pereche de valori egale nu confirmă niciodată o perioadă, dar o pereche potrivită o poate infirma pe loc.

Se studiază funcțiile periodice și la mate-info (M1)? Ce diferă? Da, dar altfel. La matematică-informatică noțiunea apare în clasa a IX-a doar ca proprietate a funcțiilor trigonometrice, cu demonstrația perioadelor principale ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Aici este o proprietate generală a oricărei funcții numerice, introdusă prin lectură grafică. Tema trigonometrică o găsești în lecția de mate-info (M1) și, în suplimentul tău de clasa a IX-a, în funcția cotangentă și periodicitatea.

La ce subiect apare periodicitatea la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 o trece la materia clasei a IX-a, între proprietățile funcțiilor citite pe grafic. Programa spune însă unde se învață tema, nu la ce subiect se cere: în modelul oficial de subiect M_șt-nat, periodicitatea nu apare ca cerință separată. Din 2030, la proba MAT_P2, tema este în domeniul Algebră, la capitolul „Funcții" de clasa a X-a.

Unde întâlnesc funcții periodice în biologie și în fizică? În biologie, în ritmul cardiac, în ritmul respirator și în ciclul circadian al temperaturii corpului; în fizică, în oscilații, în unde și în curentul alternativ; în chimie, la reacțiile oscilante, unde culoarea soluției revine la intervale egale. În toate, perioada se măsoară cronometrând două repetări consecutive ale aceluiași tipar.