Care este mulțimea valorilor funcției $$\operatorname{arcctg}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$?

$$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$$

Cât face cos(arctg 3/4)?

Numărul t= arctg 3/4 este în (- π/2, π/2), unde cosinusul e pozitiv. Folosind cos t= 1/(√(1+ tg²t)), obții 1/(√(1+ 9/16))= 1/(5/4)= 4/5. Același rezultat dă triunghiul dreptunghic cu catetele 3 și 4, în care ipotenuza este 5, iar cosinusul unghiului opus catetei 3 este 4/5.

Ce mulțime de valori are funcția f(x)=2 arctgx- π/2?

Pornești de la - π/2< arctgx< π/2. Înmulțind cu 2: -π<2 arctgx<π, iar scăzând π/2: - 3π/2<f(x)< π/2. Mulțimea valorilor este (- 3π/2, π/2). Capetele intervalului nu sunt atinse, pentru că nici arctangenta nu își atinge marginile. Valoarea - π/2 se obține pentru x=0.

Ce valori ia funcția arccotangentă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Arctangenta și arccotangenta pe cerc și pe grafic

Arccotangenta primește orice număr real și dă un rezultat strict între $0$ și $π$ , fără capete, pentru că întoarce cotangenta restrânsă la intervalul $(0, π)$ . Valorile sunt deci mereu pozitive, chiar pentru argumente negative, unde se folosește $arcctg (- a) = π - arcctg a$ . Exemplu: $arcctg 3 = \frac{π}{6}$ , iar $arcctg (- 3) = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . Graficul coboară de la $π$ spre $0$ fără să atingă aceste valori.

Pe toată axa, aceeași tangentă revine din jumătate în jumătate de tură, așa că funcția nu se poate întoarce. Păstrăm doar semicercul din dreapta, adică numerele dintre $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ , fără capete: acolo fiecare pantă aparține unui singur punct. Arctangenta lui $a$ este numărul din acest interval care are tangenta $a$ ; ea primește orice număr real și dă mereu un rezultat strict între $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ .

Pentru cotangentă se folosește semicercul de sus, intervalul $(0, π)$ . Arccotangenta dă numai rezultate pozitive, iar pentru argumente opuse se folosește relația $arcctg (- a) = π - arcctg a$ ; arctangenta, în schimb, este impară. Oglinda față de prima bisectoare leagă cele două funcții: suma lor este $\frac{π}{2}$ pentru orice $a$ .

Graficul arctangentei urcă mereu și se apropie de dreptele orizontale $y = \pm \frac{π}{2}$ fără să le atingă, iar al arccotangentei coboară între $π$ și $0$ . Compunerea $tg (arctg a)$ dă mereu $a$ , dar $arctg (tg x)$ dă $x$ doar în intervalul ales; altfel se scad multipli de $π$ . Cosinusul unei arctangente este $\frac{1}{1 + a ^{2}}$ , întotdeauna pozitiv. În optică, unghiul lui Brewster se scrie ca arctangenta indicelui de refracție, iar în mecanică unghiul vitezei se scrie ca arctangenta raportului componentelor ei.

De reținut

$arcctg a \in (0, π)$ pentru orice $a$ real
$arcctg (- a) = π - arcctg a$ , iar $arctg (- a) = - arctg a$
$arctg a + arcctg a = \frac{π}{2}$

Greșeala tipică

Se tratează arccotangenta ca o funcție impară și se scrie $arcctg (- 3) = - \frac{π}{6}$ ; valoarea negativă nu poate fi o arccotangentă, iar rezultatul corect este $\frac{5 π}{6}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $arctg (- \frac{3}{3}) + arcctg 0$ ?
- a) $\frac{2 π}{3}$
- b) $\frac{π}{3}$
- c) $- \frac{π}{3}$
- d) $\frac{π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{π}{3}$

$arctg (- \frac{3}{3}) = - \frac{π}{6}$ , prin imparitate, iar $arcctg 0 = \frac{π}{2}$ ; suma este $\frac{π}{3}$ .
Care este mulțimea valorilor funcției $arcctg : R \to R$ ?
- a) $[0, π]$
- b) $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
- c) $(0, π)$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(0, π)$

Arccotangenta dă numărul din $(0, π)$ cu cotangenta dată; capetele $0$ și $π$ nu se ating, fiindcă acolo cotangenta nu există.
Cât este $tg (arcctg \frac{3}{4})$ ?
- a) $\frac{4}{3}$
- b) $\frac{3}{4}$
- c) $- \frac{4}{3}$
- d) $\frac{3}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4}{3}$

Numărul $β = arcctg \frac{3}{4}$ este în $(0, π)$ și are cotangenta $\frac{3}{4}$ ; cotangenta fiind pozitivă, $β$ e în primul cadran, unde tangenta există și este inversul cotangentei: $tg β = \frac{4}{3}$ .

Întrebări conexe

Cât face $arctg a + arcctg a$ pentru orice $a$ real?

Suma este mereu $\frac{π}{2}$ . De exemplu, $arctg 1 + arcctg 1 = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ , iar $arctg (- 1) + arcctg (- 1) = - \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} = \frac{π}{2}$ . Din această relație, arccotangenta se calculează din arctangentă prin scădere, ceea ce ajută pe un calculator care nu are tastă pentru ea.

Cum calculez unghiul lui Brewster pentru o sticlă cu indicele $1, 5$ ?

Unghiul lui Brewster, la care lumina reflectată de sticlă este complet polarizată, este $θ_{B} = arctg n$ pentru lumina venită din aer. Cu $n = 1, 5$ , calculatorul dă $arctg 1, 5 \approx 56, 3^{\circ}$ . Rezultatul este între $4 5^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ , fiindcă $1 < 1, 5 < 3$ .

Cum aflu unghiul vitezei unei mingi aruncate orizontal?

Viteza are componenta orizontală $v_{x}$ constantă și componenta verticală $v_{y} = g t$ . Unghiul față de orizontală este $arctg \frac{v _{y}}{v _{x}}$ . Pentru $v_{x} = 5$ m/s, după $0, 5$ s, cu $g = 10$ m/s², $v_{y} = 5$ m/s, deci unghiul este $arctg 1 = 4 5^{\circ}$ , sub orizontală.

Cât face $cos (arctg \frac{3}{4})$ ?

Numărul $t = arctg \frac{3}{4}$ este în $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , unde cosinusul e pozitiv. Folosind $cos t = \frac{1}{1 + tg ^{2} t}$ , obții $\frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$ . Același rezultat dă triunghiul dreptunghic cu catetele $3$ și $4$ , în care ipotenuza este $5$ , iar cosinusul unghiului opus catetei $3$ este $\frac{4}{5}$ .

Ce mulțime de valori are funcția $f (x) = 2 arctg x - \frac{π}{2}$ ?

Pornești de la $- \frac{π}{2} < arctg x < \frac{π}{2}$ . Înmulțind cu $2$ : $- π < 2 arctg x < π$ , iar scăzând $\frac{π}{2}$ : $- \frac{3 π}{2} < f (x) < \frac{π}{2}$ . Mulțimea valorilor este $(- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2})$ . Capetele intervalului nu sunt atinse, pentru că nici arctangenta nu își atinge marginile. Valoarea $- \frac{π}{2}$ se obține pentru $x = 0$ .

Oamenii mai întreabă și: mulțimea valorilor arccotangentei · arcctg de un număr negativ · între ce valori este arccotangenta · imaginea funcției arcctg

Ce valori ia funcția arccotangentă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât face arctga+arcctga pentru orice a real?

Cum calculez unghiul lui Brewster pentru o sticlă cu indicele 1,5?

Cum aflu unghiul vitezei unei mingi aruncate orizontal?

Cât face cos(arctg43​)?

Ce mulțime de valori are funcția f(x)=2arctgx−2π​?

Continuă cu

Cât face $arctg a + arcctg a$ pentru orice $a$ real?

Cum calculez unghiul lui Brewster pentru o sticlă cu indicele $1, 5$ ?

Cât face $cos (arctg \frac{3}{4})$ ?

Ce mulțime de valori are funcția $f (x) = 2 arctg x - \frac{π}{2}$ ?