Funcțiile arctangentă și arccotangentă (M2, științe ale naturii)

Privește apusul reflectat de suprafața unui lac: există un unghi de incidență la care lumina reflectată și cea care intră în apă merg perpendicular una pe alta. Fizicianul David Brewster a arătat că la acest unghi tangenta lui este egală cu indicele de refracție al apei, adică aproximativ $1,33$. Instrumentul îți dă un raport, iar tu vrei unghiul: trebuie să întorci calculul și să obții arcul din tangenta lui. Această lecție de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), construiește funcțiile care fac acest drum, arctangenta și arccotangenta, și le citește pe cercul trigonometric și pe grafic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcțiile trigonometrice directe și inverse; varianta-model publicată pentru 2026 nu are nicio cerință cu funcții inverse, iar trigonometria ei stă într-un triunghi dreptunghic.

Punctul de plecare este tangenta studiată în clasa a IX-a pe o singură tură, unde ea a apărut ca pantă a dreptei $OM$, împreună cu funcția inversă la M2, unde ai văzut când se poate întoarce o funcție. Lecția-soră, despre funcțiile arcsinus și arccosinus la M2, face același lucru pentru sinus și cosinus.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce tangenta nu are inversă pe tot domeniul ei și ce ramură alegem ca s-o întoarcem.
• Vei ști să calculezi $\mathrm{arctg}a$ și $\mathrm{arcctg}a$ pentru valorile de tabel, inclusiv pentru argumente negative, fără calculator.
• Vei ști să citești graficele celor două funcții: domeniul, mulțimea valorilor, monotonia și dreptele de care graficul se apropie.
• Vei ști să folosești legătura $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$ și să o argumentezi pe cerc.
• Vei ști să calculezi o compunere, ca $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)$ sau $\cos (\mathrm{arctg}a)$, și să recunoști când nu se „simplifică”.
• Vei ști să scrii un unghi din științe, dat printr-un raport, cu arctangenta și să-l treci în grade.

Hai să descoperim împreună

1. Cum întoarcem tangenta pe o singură ramură?

În clasa a X-a, funcțiile trigonometrice se studiază pe toată axa reală: fiecărui număr real îi corespunde un punct pe cercul trigonometric, iar punctele numerelor negative și relația $\mathrm{tg}(-t)=-\mathrm{tg}t$ sunt cele din lecția despre arcsinus și arccosinus la M2. Tangenta există pentru orice $x$ cu $\cos x\ne 0$, adică pentru $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ număr întreg, și se repetă din $\pi$ în $\pi$.

Ca s-o întoarcem, păstrăm numai numerele din intervalul deschis $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$: punctele lor ocupă semicercul din dreapta, fără capetele de sus și de jos. Arctangenta unui număr real $a$ este numărul din intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ care are tangenta egală cu $a$; un asemenea număr există pentru orice $a$ și este unul singur, iar notația lui este $\mathrm{arctg}a$. Funcția $\mathrm{arctg}:\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ este definită pentru orice număr real, fără nicio condiție asupra lui $a$.

Rețeta are doi pași: cauți un număr cu tangenta cerută, apoi verifici că el stă în intervalul ales. Pentru $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})$: știi că $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, deci, cu relația de mai sus, $\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$. Cum $-\frac{\pi }{3}$ se află între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, rezultatul este $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$.

2. De ce tocmai intervalul de la −π/2 la π/2?

Pe toată axa, tangenta ia fiecare valoare de o infinitate de ori. Dreapta dusă prin origine și prin $M(x)$ întâlnește cercul și în punctul diametral opus, iar cele două puncte au aceeași pantă, deci aceeași tangentă. De exemplu, $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$: numerele diferă prin $\pi$. O funcție care ia aceeași valoare în două puncte nu este injectivă, deci nu are inversă, așa cum ai văzut la funcția inversă.

Semicercul din dreapta rezolvă problema. Pe el, fiecare dreaptă neverticală prin origine taie cercul într-un singur punct, deci fiecărei pante îi corespunde un singur număr. Urmărește intersecția dreptei $OM$ cu axa tangentelor, adică cu dreapta $x=1$: ea urcă neîntrerupt când $x$ crește de la $-\frac{\pi }{2}$ la $\frac{\pi }{2}$ și trece prin orice înălțime. Tangenta este, așadar, strict crescătoare pe acest interval și atinge orice valoare reală: restricția ei este bijectivă, deci inversabilă.

Am fi putut alege și altă ramură, de pildă intervalul de la $\frac{\pi }{2}$ la $\frac{3\pi }{2}$. Convenția universală este însă intervalul care conține numărul $0$ și e simetric față de el, pentru că pe acesta unghiurile mici au tangente mici, cu același semn, ca în triunghiul dreptunghic din gimnaziu.

3. Valorile de tabel și simetria față de origine

Valorile exacte provin din tabelul tangentei, parcurs de la rezultat spre argument: pentru fiecare număr $a$ cauți arcul din interval care are tangenta $a$.

Pentru argumentele negative nu e nevoie de alt tabel: rezultatele sunt opusele celor de mai sus. Dacă $\alpha =\mathrm{arctg}a$, atunci $-\alpha$ este tot în interval și, cu relația $\mathrm{tg}(-t)=-\mathrm{tg}t$ din lecția despre arcsinus și arccosinus, are tangenta $-a$. Prin unicitate, $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$ pentru orice $a$ real: arctangenta este o funcție impară.

Pentru argumentele care nu sunt în tabel, răspunsul exact rămâne scris cu arctangentă, iar calculatorul dă o aproximare în radiani. Monotonia te ajută să-l încadrezi între două valori de tabel fără niciun calcul. Scrierea $\mathrm{arctg}5$ este un număr la fel de bine definit ca $\sqrt{5}$: nu e o etapă neterminată, ci forma exactă a rezultatului, iar o zecimală aproximativă se adaugă doar când problema o cere.

4. Cum se citește graficul arctangentei?

Graficul unei funcții inverse este simetricul graficului funcției față de prima bisectoare, dreapta $y=x$, cum ai văzut în lecția despre funcția inversă. Oglindim deci ramura tangentei de pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Pe figură citești toate proprietățile. Domeniul este $\mathbb{R}$, iar valorile rămân strict între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$: funcția este mărginită. Curba urcă de la stânga la dreapta, deci arctangenta este strict crescătoare. Trece prin origine și este simetrică față de ea, semnul imparității. Cele două drepte verticale de care se apropie ramura tangentei devin, prin oglindire, două drepte orizontale, $y=\frac{\pi }{2}$ și $y=-\frac{\pi }{2}$. Graficul arctangentei se apropie oricât de mult de ele pentru argumente foarte mari în valoare absolută, fără să le atingă vreodată; asemenea drepte se numesc asimptote orizontale.

Tot de pe grafic citești semnul: curba este sub axa $Ox$ la stânga originii și deasupra ei la dreapta, deci arctangenta unui număr are semnul acelui număr. Iar o dreaptă orizontală taie graficul o dată dacă stă în banda dintre cele două asimptote și niciodată dacă stă în afara ei.

Figura este o fereastră: arată argumentele dintre $-4,4$ și $4,4$, deși funcția continuă la nesfârșit în ambele sensuri. Chiar și la $a=6$, în afara ferestrei, valoarea este departe de capăt, cam $1,41$, față de $\frac{\pi }{2}\approx 1,571$.

5. Arccotangenta: aceeași rețetă, pe semicercul de sus

Cotangenta este raportul $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, definit acolo unde sinusul nu se anulează, adică pentru $x\ne k\pi$. Programa nouă a clasei a X-a vorbește despre „funcții trigonometrice directe și inverse” fără să numească cotangenta, pe care programa de bacalaureat din 2014 o cere explicit; o găsești studiată pe larg în lecția de supliment despre cotangentă și periodicitate. Aici îți trebuie doar definiția de mai sus.

De ce nu păstrăm semicercul din dreapta și aici? Pentru că pe el cotangenta nu există în $0$, unde sinusul se anulează, iar de o parte și de alta a lui $0$ valorile ei au semne opuse și sar peste zero: restricția n-ar mai fi o bucată întreagă de grafic. Pentru cotangentă alegem deci semicercul de sus, intervalul deschis $(0,\pi )$, unde ordonata punctului este strict pozitivă. Pe el, raportul dintre abscisă și ordonată scade continuu de la valori foarte mari la valori foarte mici și trece prin orice număr real. Arccotangenta unui număr real $a$ este numărul din $(0,\pi )$ care are cotangenta egală cu $a$; și el există pentru orice $a$ și e unul singur, iar notația lui este $\mathrm{arcctg}a$. Funcția $\mathrm{arcctg}:\mathbb{R}\to (0,\pi )$ este strict descrescătoare, iar rezultatele ei sunt întotdeauna strict pozitive.

Simetria de aici este alta. Punctele lui $\beta$ și $\pi -\beta$ se oglindesc unul în celălalt față de axa $Oy$: aceeași ordonată, abscisa opusă, deci cotangenta opusă. Rezultă $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$. Pe un exemplu: $\mathrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}$, deci $\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, un număr din cadranul al doilea, cum cere semnul negativ al cotangentei.

6. De ce arctg a + arcctg a = π/2?

Compară, pentru același argument, valorile din cele două tabele: sumele dau mereu $\frac{\pi }{2}$. Pe cerc, explicația este o oglindă. Simetria față de prima bisectoare, folosită pentru arcele din primul sfert de tură în lecția despre formulele cu π/2, schimbă între ele coordonatele unui punct și duce, acum pe tot cercul, punctul lui $\alpha$ în punctul lui $\frac{\pi }{2}-\alpha$: arcul măsurat de la $A(1,0)$ devine arcul măsurat înapoi de la $B(0,1)$. Noul punct are ca abscisă ordonata vechiului punct și invers.

Fie $\alpha =\mathrm{arctg}a$, deci $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$ și $\mathrm{tg}\alpha =a$. Numărul $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$ satisface $0<\beta <\pi$, iar cotangenta lui, raportul coordonatelor schimbate, este raportul inițial citit invers: $\mathrm{ctg}\beta =\mathrm{tg}\alpha =a$. Numărul $\beta$ îndeplinește cele două condiții din definiția arccotangentei, deci $\beta =\mathrm{arcctg}a$, adică $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a$ real. Control pe o coloană: $-\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$.

Practic, al doilea tabel se obține din primul prin scădere din $\frac{\pi }{2}$, iar pe un calculator fără tastă pentru arccotangentă calculezi $\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}a$.

7. De ce nu se simplifică orice compunere?

Din definiție, $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a$ pentru orice $a$ real și $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}a)=a$ la fel. Invers, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$ numai când $x$ se află deja în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Altfel scazi sau aduni multipli de $\pi$ până intri în interval: tangenta nu se schimbă, iar rezultatul trebuie să fie acolo. De pildă, $\mathrm{tg}\frac{7\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}$ e în interval, deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{7\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}$. La arccotangentă ținta este $(0,\pi )$.

Sinusul și cosinusul unei arctangente vin din relația ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$, obținută în clasa a IX-a, când ai aflat o funcție trigonometrică din valoarea alteia. Pentru $\alpha =\mathrm{arctg}a$, punctul stă pe semicercul din dreapta, unde cosinusul este pozitiv, deci

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\sin (\mathrm{arctg}a)=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}.$$

A doua formulă vine din $\sin \alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha$; semnul sinusului urmează semnul lui $a$. Control cu o valoare de tabel: $\cos \left(\mathrm{arctg}\sqrt{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2}$, adică exact $\cos \frac{\pi }{3}$.

8. Unghiul lui Brewster: arctangenta în optică

Când lumina trece din aer într-un material transparent, o parte se reflectă, iar o parte se refractă. Brewster a observat că, la un anumit unghi de incidență ${\theta }_B$, raza reflectată și raza refractată sunt perpendiculare, iar lumina reflectată are atunci o proprietate specială de polarizare, folosită în fotografie și în laboratoarele de optică. Din legea refracției rezultă că $\mathrm{tg}{\theta }_B=n$, unde $n$ este indicele de refracție al materialului, deci ${\theta }_B=\mathrm{arctg}n$.

Modelul e valabil pentru lumina care vine din aer (indicele aerului luat egal cu $1$) și pentru materiale transparente, omogene. Indicele de refracție depinde puțin de culoarea luminii, așa că unghiul lui Brewster al unei sticle diferă cu fracțiuni de grad între lumina roșie și cea albastră; în exerciții folosim o singură valoare a indicelui, dată în enunț. Cum $n>1$, unghiul lui Brewster este mereu între $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{2}$, iar unghiul razei refractate, complementul lui, este exact arccotangenta aceluiași indice, după identitatea din secțiunea 6.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori de tabel și simetrii

Calculați $A=\mathrm{arcctg}(-1)-2\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $B=3\mathrm{arctg}(-1)+\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Rezolvare. Prin simetria față de $Oy$, $\mathrm{arcctg}(-1)=\pi -\mathrm{arcctg}1=\frac{3\pi }{4}$, iar $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6}$. Deci $\mathrm{arcctg}(-1)-2\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{12}$. Scrie fracțiile cu numitorul $12$ abia la final: $\frac{9\pi }{12}-\frac{4\pi }{12}$.

Pentru $B$: prin imparitate, $\mathrm{arctg}(-1)=-\mathrm{arctg}1=-\frac{\pi }{4}$, iar $\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Rezultă $3\mathrm{arctg}(-1)+\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{3\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi }{12}$. O combinație poate ieși negativă, deși arccotangenta singură nu poate; fiecare termen se calculează întâi cu regula lui de simetrie.

Exemplul 2 — Citește graficul

Folosind graficul arctangentei din secțiunea 4 și monotonia ei: a) încadrați $\mathrm{arctg}1,5$ între două valori exacte; b) are ecuația $\mathrm{arctg}x=1,58$ soluții? Dar ecuația $\mathrm{arctg}x=-1,57$?

Rezolvare. a) Avem $1<1,5<\sqrt{3}\approx 1,732$, iar arctangenta păstrează ordinea, deci $\frac{\pi }{4}<\mathrm{arctg}1,5<\frac{\pi }{3}$. Pe grafic, punctul de abscisă $1,5$ stă între punctele marcate $(1,\frac{\pi }{4})$ și $(\sqrt{3},\frac{\pi }{3})$.

b) Graficul nu urcă niciodată până la dreapta $y=\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$, iar $1,58$ este deasupra ei: orizontala $y=1,58$ nu taie curba, deci prima ecuație nu are soluții. În schimb, $-1,57>-1,5708$, deci orizontala $y=-1,57$ se află în interiorul benzii și taie graficul o dată. Soluția este $x=\mathrm{tg}(-1,57)\approx -1255,77$: un număr uriaș în modul, fiindcă $-1,57$ este foarte aproape de capătul benzii, iar graficul ajunge acolo abia foarte departe spre stânga.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: un maxim care nu există

Un elev scrie: „Arctangenta este mărginită de $\frac{\pi }{2}$, deci valoarea ei maximă este $\frac{\pi }{2}$, atinsă pentru numere foarte mari.” Unde greșește?

Rezolvare. Dacă ar exista un număr $a$ cu $\mathrm{arctg}a=\frac{\pi }{2}$, ar trebui ca $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=a$; dar tangenta lui $\frac{\pi }{2}$ nu există. Deci $\frac{\pi }{2}$ nu este o valoare a funcției, oricât de mare ar fi argumentul: $\mathrm{arctg}200\approx 1,5658$ și $\mathrm{arctg}2000\approx 1,5703$ se apropie de $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$, dar rămân sub el.

Mai mult, arctangenta nu are nicio valoare maximă. Fiind strict crescătoare, pentru orice număr $a$ avem $\mathrm{arctg}(a+1)>\mathrm{arctg}a$: oricare valoare ar părea cea mai mare, există una și mai mare. Funcția este mărginită, dar marginea de sus nu este atinsă; de aceea mulțimea valorilor se scrie cu paranteze rotunde. Graficul arată același lucru: curba se apropie de asimptota orizontală fără s-o atingă.

Exemplul 4 — Coordonatele punctului unei arctangente

Calculați $\cos \left(\mathrm{arctg}\left(-\frac{24}{7}\right)\right)$ și $\sin \left(\mathrm{arctg}\left(-\frac{24}{7}\right)\right)$, apoi verificați suma pătratelor lor.

Rezolvare. Cu $a=-\frac{24}{7}$ avem $1+a^2=1+\frac{576}{49}=\frac{625}{49}$, deci $\sqrt{1+a^2}=\frac{25}{7}$. Rezultă $\cos \left(\mathrm{arctg}\left(-\frac{24}{7}\right)\right)=\frac{7}{25}$, pozitiv, și $\sin \left(\mathrm{arctg}\left(-\frac{24}{7}\right)\right)=-\frac{24}{25}$, negativ ca argumentul. Punctul stă pe semicercul din dreapta, jos, în cadranul al patrulea. Controlul: $\frac{49}{625}+\frac{576}{625}=1$.

Exemplul 5 — Unghiul lui Brewster

a) Un cristal are indicele de refracție $n=\sqrt{3}$. Aflați unghiul lui Brewster și unghiul razei refractate. b) O sticlă de laborator are $n=1,6$. Aflați unghiul lui Brewster în radiani și în grade, cu o zecimală.

Rezolvare. a) ${\theta }_B=\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, adică $60^{\circ }$. Raza refractată face cu normala unghiul $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$, adică exact $\mathrm{arcctg}\sqrt{3}$, cum anunța secțiunea 8. Control cu legea refracției: $\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\cdot \sin \frac{\pi }{6}$, adică $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) ${\theta }_B=\mathrm{arctg}1,6\approx 1,0122$ radiani. În grade, $1,0122\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 58,0^{\circ }$. Rezultatul este între $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{2}$, cum cere un indice mai mare decât $1$, și mai mare decât la apă, fiindcă sticla are indicele mai mare. Unghiul este fără unitate în radiani, ca orice număr real, iar în grade poartă semnul ${}^{\circ }$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $\mathrm{arcctg}1-\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{5\pi }{12}$. b) Arătați că $\cos (\mathrm{arctg}2\sqrt{2})=\frac{1}{3}$. c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arctg}(2x-1)=-\frac{\pi }{4}$.

Rezolvare. a) $\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$ și, prin imparitate, $\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi }{6}$, deci $\mathrm{arcctg}1-\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{12}$.

b) Cu $a=2\sqrt{2}$: $1+a^2=9$, iar cosinusul unei arctangente este pozitiv, deci $\cos (\mathrm{arctg}2\sqrt{2})=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$.

c) Membrul drept, $-\frac{\pi }{4}$, este în mulțimea valorilor arctangentei, deci ecuația are exact o soluție. Aplicând tangenta, $2x-1=\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$, de unde $x=0$. Verificare: $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$. Deci $S=\{0\}$. Enunțul este construit pentru exercițiu, în stilul cerințelor scurte ale bacalaureatului M2.

Să exersăm

Rezultatele se scriu în radiani, în formă exactă; aproximările și gradele doar când sunt cerute. Notează, la fiecare calcul, intervalul în care trebuie să cadă rezultatul.

1. Calculează $2\mathrm{arctg}\sqrt{3}-\mathrm{arcctg}0$.

2. Calculează $\mathrm{arctg}1+2\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Arată că $\mathrm{arcctg}(-5)+\mathrm{arcctg}5=\pi$, fără să calculezi termenii.

4. Ordonează crescător, fără calculator, numerele $\mathrm{arctg}(-2,5)$, $\mathrm{arcctg}(-2,5)$ și $\mathrm{arctg}0,4$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a>0$, atunci $\mathrm{arcctg}a<\frac{\pi }{2}$.”

6. Calculează $\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\frac{2}{7}\right)+\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(-3))$.

7. Numărul real $a$ are $\mathrm{arctg}a<0$ și $\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{2}{3}$. Află $a$.

8. Calculează $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{9\pi }{7}\right)$.

9. Calculează $\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{8}\right)$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arctg}(2x+5)=-\mathrm{arctg}3$, folosind imparitatea arctangentei.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{arctg}(x^2-3)=\frac{\pi }{4}$.

12. (Problemă aplicată.) O minge este aruncată orizontal cu viteza de $8$ m/s. După $t$ secunde, componenta orizontală a vitezei este tot $8$ m/s, iar cea verticală este $9,8t$ m/s, dacă neglijăm rezistența aerului. Unghiul făcut de viteză cu orizontala este $\alpha (t)=\mathrm{arctg}\frac{9,8t}{8}$. După cât timp este acest unghi $\frac{\pi }{4}$? De ce nu poate ajunge la $\frac{\pi }{2}$?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\mathrm{arcctg}(-9)-\mathrm{arctg}9=\frac{\pi }{2}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{7\pi }{5}\right)+\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{5}\right)=\frac{4\pi }{5}$.

15. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{arcctg}x-\frac{\pi }{2}$, este impară. Ce simetrie are, prin urmare, graficul arccotangentei?

16. Fără calculator, stabilește semnul soluției ecuației $\mathrm{arcctg}x=2,2$ și al soluției ecuației $\mathrm{arcctg}x=1,3$. Justifică prin monotonia arccotangentei și prin comparația cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$.

17. Pe graficul arccotangentei din secțiunea 5, pentru ce numere reale $x$ valoarea $\mathrm{arcctg}x$ este mai mare decât $1$? Justifică prin monotonie și dă pragul cu două zecimale.

18. (Provocare.) Arată că $\sin (\mathrm{arcctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ pentru orice număr real $a$.

Răspunsuri și explicații

1. $2\mathrm{arctg}\sqrt{3}-\mathrm{arcctg}0=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$. Al doilea termen vine din $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=0$, cu $\frac{\pi }{2}\in (0,\pi )$.

2. $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, cu $\frac{\pi }{3}\in (0,\pi )$, deci $\mathrm{arctg}1+2\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{12}$.

3. Din simetria față de $Oy$, $\mathrm{arcctg}(-5)=\pi -\mathrm{arcctg}5$, deci $\mathrm{arcctg}(-5)+\mathrm{arcctg}5=\pi$. Termenii nu sunt valori de tabel, dar suma lor este exactă; numeric, $\mathrm{arcctg}5\approx 0,1974$ și $\mathrm{arcctg}(-5)\approx 2,9442$.

4. $\mathrm{arctg}(-2,5)<\mathrm{arctg}0,4<\mathrm{arcctg}(-2,5)$. Primul număr este negativ, fiindcă argumentul e negativ și funcția e impară și crescătoare. Al doilea este între $0$ și $\frac{\pi }{4}$, pentru că $0<0,4<1$. Al treilea este între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$, fiindcă arccotangenta unui număr negativ trece de $\frac{\pi }{2}$.

5. Adevărat. Arccotangenta este strict descrescătoare, iar $\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$; pentru $a>0$ urmează $\mathrm{arcctg}a<\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$. Pe cerc: o cotangentă pozitivă cere un punct cu ambele coordonate pozitive, deci din primul cadran, adică un arc din $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

6. Compunerile de acest fel sunt sigure: $\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\frac{2}{7}\right)+\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}(-3))=\frac{2}{7}-3=-\frac{19}{7}$.

7. Fie $\alpha =\mathrm{arctg}a$, cu $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$. Din $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ și ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+a^2}$ rezultă $1+a^2=\frac{9}{4}$, deci $a^2=\frac{5}{4}$. Pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ tangenta este negativă, deci $a=-\frac{\sqrt{5}}{2}$; la fel, $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, iar $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ confirmă rezultatul.

8. $\frac{9\pi }{7}$ nu e în interval; scăzând $\pi$ obții $\frac{2\pi }{7}$, care este. Deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{9\pi }{7}\right)=\frac{2\pi }{7}$.

9. Scăzând $\pi$: $\frac{11\pi }{8}-\pi =\frac{3\pi }{8}\in (0,\pi )$, deci $\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{8}\right)=\frac{3\pi }{8}$.

10. Arctangenta este impară, deci $-\mathrm{arctg}3=\mathrm{arctg}(-3)$. Ecuația devine $\mathrm{arctg}(2x+5)=\mathrm{arctg}(-3)$, iar arctangenta este injectivă, deci $2x+5=-3$ și $x=-4$. Deci $S=\{-4\}$.

11. $\frac{\pi }{4}$ este în mulțimea valorilor, deci $x^2-3=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$, adică $x^2=4$. Deci $S=\{-2;2\}$. Verificare: pentru ambele valori argumentul arctangentei este $1$.

12. $\alpha (t)=\frac{\pi }{4}$ cere $\frac{9,8t}{8}=1$, adică $t=\frac{8}{9,8}\approx 0,82$ s. Unghiul nu ajunge la $\frac{\pi }{2}$ pentru că arctangenta ia doar valori mai mici decât $\frac{\pi }{2}$: viteza nu devine verticală, fiindcă mingea își păstrează mereu componenta orizontală de $8$ m/s. Modelul e valabil până când mingea atinge solul.

13. Din simetria față de $Oy$, $\mathrm{arcctg}(-9)=\pi -\mathrm{arcctg}9$, iar din identitatea cu $\frac{\pi }{2}$, $\mathrm{arcctg}9=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}9$. Deci $\mathrm{arcctg}(-9)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{arctg}9$, adică $\mathrm{arcctg}(-9)-\mathrm{arctg}9=\frac{\pi }{2}$. Niciun termen nu e valoare de tabel, dar diferența este exactă.

14. $\frac{7\pi }{5}-\pi =\frac{2\pi }{5}$ se află atât în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, cât și în $(0,\pi )$, iar tangenta și cotangenta nu se schimbă la o deplasare cu $\pi$. Deci $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{7\pi }{5}\right)+\mathrm{arcctg}\left(\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{5}\right)=\frac{2\pi }{5}+\frac{2\pi }{5}=\frac{4\pi }{5}$.

15. Cu relația $\mathrm{arcctg}(-x)=\pi -\mathrm{arcctg}x$: $f(-x)=\pi -\mathrm{arcctg}x-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcctg}x=-f(x)$, pentru orice $x$ real, deci $f$ este impară. Graficul lui $f$ este simetric față de origine, iar graficul arccotangentei, urcat cu $\frac{\pi }{2}$, este simetric față de punctul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, ca în lecția despre simetria graficului unei funcții. De altfel, $f(x)=-\mathrm{arctg}x$, după identitatea cu $\frac{\pi }{2}$.

16. Ambele valori sunt în $(0,\pi )$, deci fiecare ecuație are o singură soluție: $x=\mathrm{ctg}2,2$, respectiv $x=\mathrm{ctg}1,3$. Arccotangenta este strict descrescătoare și $\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$. Cum $2,2>\frac{\pi }{2}$, soluția primei ecuații este mai mică decât $0$, deci negativă; cum $1,3<\frac{\pi }{2}$, soluția celei de-a doua este pozitivă. Calculatorul confirmă: $\mathrm{ctg}2,2\approx -0,73$ și $\mathrm{ctg}1,3\approx 0,28$.

17. Arccotangenta este strict descrescătoare, iar $1$ este în $(0,\pi )$, deci $\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}1)=1$. Valoarea e mai mare decât $1$ exact pentru argumentele mai mici decât $\mathrm{ctg}1$, adică pentru $x<\mathrm{ctg}1\approx 0,64$; pe grafic, porțiunea din stânga acestui punct stă deasupra orizontalei $y=1$. Pragul se lasă scris exact, cu cotangentă, ca orice valoare care nu e de tabel.

18. Fie $\beta =\mathrm{arcctg}a$, deci $\beta \in (0,\pi )$ și $\mathrm{ctg}\beta =a$. Împărțind formula fundamentală la ${\sin }^2\beta$, nenul, obții $1+{\mathrm{ctg}}^2\beta =\frac{1}{{\sin }^2\beta }$, deci ${\sin }^2\beta =\frac{1}{1+a^2}$. Pe $(0,\pi )$ sinusul este pozitiv, deci $\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$. Control: $\sin \left(\mathrm{arcctg}\sqrt{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+3}}$.

De reținut

• Semicercul din dreapta dă arctangenta, cu valori în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar semicercul de sus dă arccotangenta, cu valori în $(0,\pi )$; ambele primesc orice număr real.
• Arctangenta este strict crescătoare, impară și mărginită, cu graficul între dreptele $y=-\frac{\pi }{2}$ și $y=\frac{\pi }{2}$; arccotangenta este strict descrescătoare, cu valori strict pozitive, și $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.
• Pentru orice $a$ real, $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$: al doilea tabel se obține din primul prin scădere.
• $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a$ mereu, dar $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$ doar în intervalul principal; altfel reduci cu multipli de $\pi$.
• $\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ este mereu pozitiv, iar un unghi dat printr-un raport, ca unghiul lui Brewster, se scrie $\mathrm{arctg}$ din acel raport.

Greșeli frecvente

• Tratezi arctangenta ca pe o înmulțire. Din $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ nu rezultă „$\mathrm{arctg}4=\pi$”: funcția nu scoate factorii în față, iar $\pi$ nici nu se află în mulțimea valorilor ei. Încadrează: $\mathrm{arctg}4$ este între $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{2}$.
• Citești tasta tan⁻¹ ca pe „unu supra tangentă”. Pe calculator, exponentul $-1$ de lângă numele funcției înseamnă funcția inversă, adică arctangenta. Numărul $\frac{1}{\mathrm{tg}x}$ este cotangenta, o cu totul altă mărime.
• Reduci cu o tură întreagă în loc de o jumătate de tură. La $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{11\pi }{10}\right)$ se scade $2\pi$ și se obține $-\frac{9\pi }{10}$, un număr care nu e în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Tangenta se repetă din $\pi$ în $\pi$, deci scazi $\pi$ și obții $\frac{\pi }{10}$, care e în interval.
• Confunzi arccotangenta cu inversul arctangentei. „$\mathrm{arcctg}a=\frac{1}{\mathrm{arctg}a}$” este fals: pentru $a=1$ ar da $\frac{4}{\pi }$ în loc de $\frac{\pi }{4}$. Legătura corectă este cea cu suma $\frac{\pi }{2}$.
• Măsori unghiul lui Brewster față de suprafață. Pentru o sticlă cu $n=1,5$ scrii că reflexia dispare când raza face $\mathrm{arctg}1,5\approx 56,3^{\circ }$ cu suprafața. Unghiul de incidență se măsoară însă față de normală; față de suprafață raza face $90^{\circ }-56,3^{\circ }\approx 33,7^{\circ }$, adică $\mathrm{arcctg}1,5$, după identitatea cu $\frac{\pi }{2}$.

Aplică acasă

1. Graficul mutat, pe ecran. Într-o aplicație de grafice gratuită scrie funcțiile atan(x) și atan(x-2)+1, adică $y=\mathrm{arctg}x$ și $y=\mathrm{arctg}(x-2)+1$. Citește pe ecran punctul față de care a doua curbă este simetrică și cele două asimptote orizontale ale ei. Explică, cu simetria graficului unei funcții, de ce centrul de simetrie s-a mutat din origine în $(2,1)$.
2. Cât de aproape de π/2? Cu calculatorul în radiani, calculează arctangenta numerelor $1$, $10$, $100$, $1000$ și $10000$. Scrie în dreptul fiecăreia diferența până la $1,5708$ și observă de câte ori scade diferența atunci când argumentul crește de zece ori. Repetă pentru argumentele negative.
3. Brewster acasă. Privește reflexia unei lămpi pe apa dintr-un vas, sub unghiuri diferite, printr-o lentilă polarizantă, de exemplu cea a unor ochelari de soare. Estimează unghiul de incidență la care reflexia aproape dispare și compară-l cu $\mathrm{arctg}1,33\approx 53^{\circ }$, unghiul lui Brewster pentru apă. Scrie de ce estimarea ta nu poate fi mai precisă de câteva grade.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește două funcții inverse pe un traseu care nu are încă formulele de adunare: totul se argumentează pe cercul trigonometric, prin simetrii. Simetria față de axa $Ox$ dă imparitatea arctangentei, simetria față de $Oy$ dă relația pentru $\mathrm{arcctg}(-a)$, iar simetria față de prima bisectoare dă legătura cu $\frac{\pi }{2}$. Merită verificat că elevul poate spune, pentru fiecare rezultat, în ce interval trebuie să cadă și de ce, înainte de orice calcul. Un elev care scrie „$\mathrm{arcctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$” nu a reținut intervalul, nu formula.

Calculatorul merită discutat explicit la clasă. Tasta notată tan⁻¹ dă arctangenta, nu cotangenta, iar rezultatul apare în grade sau în radiani după modul ales; cele mai multe calculatoare nu au o tastă pentru arccotangentă, care se obține din identitatea cu $\frac{\pi }{2}$. Un exercițiu scurt, cu aceeași valoare calculată în ambele moduri, previne confuzia dintre grade și radiani.

Întrebări utile la finalul orei: „De ce nu are tangenta inversă pe tot domeniul ei?”; „Ce se întâmplă cu graficul arctangentei pentru argumente foarte mari?”; „Cum afli arccotangenta cu un calculator care nu o are?”; „De ce cosinusul unei arctangente nu poate fi negativ?”. Semne că elevul a înțeles: încadrează singur o arctangentă între două valori de tabel și nu acceptă un rezultat în afara intervalului.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții numește „funcții trigonometrice directe și inverse: definire, proprietăți”, fără să numească cotangenta. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde „funcții trigonometrice directe și inverse” și definește cotangenta; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”, inclusiv la exercițiile cu arccotangentă. Varianta-model publicată pentru 2026 nu are cerințe cu funcții trigonometrice inverse; exercițiile marcate aici sunt construite pentru antrenament. Adunarea a două arctangente, prezentă la mate-info, nu intră în lecția de bază M2: ea cere formula tangentei unei sume, care la științe ale naturii există doar în suplimentul clasei a IX-a.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcțiile arctangentă și arccotangentă, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuațiile trigonometrice elementare la M2, unde arctangenta dă soluțiile ecuației $\mathrm{tg}x=a$, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre arctangentă și arccotangentă?

Varianta M2 argumentează totul pe cercul trigonometric, prin simetrii, fără formula tangentei unei sume, pe care traseul de bază al științelor nu o are. De aceea lipsește adunarea a două arctangente. În schimb, lecția insistă pe citirea graficului, pe condiția pe care o pune mulțimea valorilor și pe unghiuri din optică și mecanică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea arctangenta și arccotangenta?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcțiile trigonometrice directe și inverse, deci un calcul de valori sau o ecuație simplă cu ele poate fi cerut. Varianta-model publicată pentru 2026 nu folosește însă funcții inverse, așa că nu arată în ce parte a lucrării ar apărea; singura ei cerință de trigonometrie privește un triunghi dreptunghic. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

De ce tasta tan⁻¹ a calculatorului dă un unghi și nu cotangenta?

Pentru că notația $f^{-1}$ desemnează funcția inversă, nu inversul numărului. Tasta primește un raport și întoarce numărul din intervalul de la $-\frac{\pi }{2}$ la $\frac{\pi }{2}$ care are acea tangentă, în radiani sau în grade, după modul ales. Cotangenta unui număr se calculează separat, ca $1$ împărțit la tangenta lui.

De ce învăț arccotangenta, dacă programa nouă nu numește cotangenta?

Programa nouă spune doar „funcții trigonometrice directe și inverse”, fără listă. Programa de bacalaureat din 2014, după care dau examenul elevii de azi din clasele X–XII, definește însă explicit cotangenta. Arccotangenta se construiește exact ca arctangenta, pe alt semicerc, iar legătura cu $\frac{\pi }{2}$ îți permite să o calculezi din tabelul arctangentei.

De ce alegem pentru arctangentă tocmai semicercul din dreapta?

Pe el, fiecare pantă corespunde unui singur punct, deci unui singur număr, iar intervalul conține originea și e simetric față de ea. Astfel un raport pozitiv dă un unghi pozitiv și unul negativ dă un unghi negativ, ca în triunghiul dreptunghic. Orice altă ramură ar funcționa matematic, dar ar da rezultate deplasate cu multipli de $\pi$.

Cum trec rezultatul unei arctangente din radiani în grade?

Înmulțești numărul de radiani cu $\frac{180}{\pi }$ și adaugi semnul de grad. De exemplu, $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ devine $45^{\circ }$. Pe calculator verifică modul înainte de a apăsa tasta: în modul grade vei primi direct gradele, iar a le amesteca apoi cu numere în radiani este o greșeală frecventă de redactare.