Pe care interval din $$[0,2\pi]$$ sinusul crește, iar cosinusul scade?

$$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$

$$\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$$

$$\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]$$

$$\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$$

Câte soluții are sin x = m pe [0, 2π]?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Graficele sin și cos

Numeri punctele în care orizontala $y = m$ taie sinusoida pe $[0, 2 π]$ . Pentru $m \in (0, 1)$ sau $m \in (- 1, 0)$ sunt două soluții; pentru $m = 1$ una, $\frac{π}{2}$ ; pentru $m = - 1$ una, $\frac{3 π}{2}$ ; pentru $m = 0$ trei: $0$ , $π$ și $2 π$ ; pentru $∣ m ∣ > 1$ niciuna. Exemplu: $sin x = 0, 6$ are o soluție în cadranul I și a doua, $π$ minus prima, în cadranul II.

Pe intervalul $[0, 2 π]$ , fiecare număr $x$ primește pe grafic înălțimea $sin x$ sau $cos x$ . Cinci repere împart tura în sferturi: $0$ , $π /2$ , $π$ , $3 π /2$ și $2 π$ . Între două repere vecine, curba se schimbă într-un singur sens, fără salturi.

Sinusul pornește din zero, urcă până la unu în $π /2$ , coboară până la minus unu în $3 π /2$ și revine la zero. Cosinusul pornește de la unu, coboară până la minus unu în $π$ și urcă din nou până la unu. Atenție la capete: cosinusul are maximul în două puncte ale intervalului închis.

Pentru a compara două valori, verifică întâi că argumentele sunt în același interval de monotonie; pe o porțiune care scade, ordinea se inversează. Pentru a număra soluțiile ecuației $f (x) = m$ , numeri intersecțiile graficului cu dreapta orizontală $y = m$ . Numărul lor se citește de pe desen, iar valorile exacte cer calcul.

Într-un model de forma $a + b sin x$ , constanta mută curba pe verticală, iar un coeficient negativ o răstoarnă: maximul ajunge acolo unde funcția de bază are minimul. Într-o aplicație digitală, lucrează în radiani și lasă pe ecran întregul interval de la zero la $2 π$ .

De reținut

$sin x = m$ are două soluții pe $[0, 2 π]$ pentru $0 < ∣ m ∣ < 1$
sinusul crește pe $[0, \frac{π}{2}]$ și pe $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$
cosinusul scade pe $[0, π]$ și crește pe $[π, 2 π]$

Greșeala tipică

Se socotește că ecuația $sin x = 0$ are două soluții pe $[0, 2 π]$ , uitând un capăt; soluțiile sunt trei: $0$ , $π$ și $2 π$ .

Exerciții din această mini-lecție

În ce punct din $[0, 2 π]$ își atinge funcția cosinus valoarea minimă?
- a) $\frac{π}{2}$
- b) $π$
- c) $\frac{3 π}{2}$
- d) $2 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $π$

Cosinusoida coboară până la $- 1$ numai în $π$ , punctul cel mai din stânga al cercului.
Pe care interval din $[0, 2 π]$ sinusul crește, iar cosinusul scade?
- a) $[0, \frac{π}{2}]$
- b) $[\frac{π}{2}, π]$
- c) $[π, \frac{3 π}{2}]$
- d) $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[0, \frac{π}{2}]$

Pe primul sfert de tură punctul urcă pe cerc spre stânga: ordonata crește, abscisa scade.
Câte soluții are ecuația $sin x = - 0, 35$ pe intervalul $[0, 2 π]$ ?
- a) Nicio soluție.
- b) O soluție.
- c) Două soluții.
- d) Trei soluții.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Două soluții.

Valoarea este între $- 1$ și $0$ , deci dreapta orizontală taie „valea” sinusoidei o dată pe coborâre și o dată pe urcare.

Întrebări conexe

Pe ce intervale crește funcția sinus pe $[0, 2 π]$ ?

Sinusul crește pe $[0, \frac{π}{2}]$ , de la $0$ la $1$ , și pe $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$ , de la $- 1$ la $0$ . Pe $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ scade de la $1$ la $- 1$ . Pe cerc, asta corespunde urcării și coborârii punctului.

Cum compar $cos 1$ cu $cos 1, 5$ fără calculator?

Ambele argumente sunt în $[0, π]$ , unde cosinusul este descrescător. Din $1 < 1, 5$ rezultă $cos 1 > cos 1, 5$ . Calculatorul confirmă: $cos 1 \approx 0, 540$ , iar $cos 1, 5 \approx 0, 071$ . Înainte de comparație verifici că argumentele stau pe același interval de monotonie.

Câte soluții are ecuația $cos x = 1$ pe $[0, 2 π]$ ?

Două: $x = 0$ și $x = 2 π$ . Cosinusoida pornește de la $1$ , coboară până la $- 1$ în $π$ și revine la $1$ în capătul drept. Pe intervalul închis, maximul se atinge în ambele capete, deși ele corespund aceluiași punct de pe cerc.

Ce valori ia funcția $2 - cos x$ și unde își atinge maximul?

Cum $- 1 \leq cos x \leq 1$ , expresia ia valori în $[1, 3]$ . Maximul $3$ apare când $cos x = - 1$ , adică la $x = π$ , iar minimul $1$ la $x = 0$ și $x = 2 π$ . Semnul minus răstoarnă cosinusoida, apoi constanta o ridică.

În câte puncte se intersectează graficele lui $sin x$ și $cos x$ pe $[0, 2 π]$ ?

În două puncte, acolo unde sinusul și cosinusul sunt egale: $x = \frac{π}{4}$ , cu valoarea comună $\frac{2}{2}$ , și $x = \frac{5 π}{4}$ , cu valoarea $- \frac{2}{2}$ . Pe cerc, acestea sunt punctele de pe prima bisectoare.

Când are un pendul elongația maximă, dacă $x (t) = 5 cos t$ centimetri?

Elongația are modulul cel mai mare, $5$ cm, când $cos t = \pm 1$ , adică pe $[0, 2 π]$ la $t = 0$ , $t = π$ și $t = 2 π$ . Pendulul trece prin poziția de echilibru, $x = 0$ , la $t = \frac{π}{2}$ și la $t = \frac{3 π}{2}$ , unde cosinusoida taie axa.

Oamenii mai întreabă și: numărul soluțiilor ecuației sin x egal m · câte soluții are ecuația cu sinus · sinusoida și dreapta orizontală · sin x egal 0,6 câte soluții

Câte soluții are sin x = m pe [0, 2π]?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Pe ce intervale crește funcția sinus pe [0,2π]?

Cum compar cos1 cu cos1,5 fără calculator?

Câte soluții are ecuația cosx=1 pe [0,2π]?

Ce valori ia funcția 2−cosx și unde își atinge maximul?

În câte puncte se intersectează graficele lui sinx și cosx pe [0,2π]?

Când are un pendul elongația maximă, dacă x(t)=5cost centimetri?