Graficele funcțiilor sinus și cosinus (M2, științe ale naturii)

Un osciloscop din laboratorul de fizică nu afișează formule, ci o curbă care urcă, coboară și revine. Cine știe să citească acea curbă află rapid unde este valoarea cea mai mare, când semnalul trece prin zero și câte momente dintr-un ciclu îndeplinesc o condiție. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), studiem graficele funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$, așa cum cere programa. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus definite pe $[0,2\pi ]$, în capitolul „Elemente de trigonometrie”; modelul oficial publicat are o cerință de trigonometrie la Subiectul I.

Pornim de la sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric, unde fiecare număr din $[0,2\pi ]$ primește un punct pe cerc, și de la valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază. Lecția de față nu adaugă valori noi. Ea le așază pe o axă, astfel încât proprietățile să se vadă dintr-o privire și să poată fi folosite fără calcule lungi.

Ce vei învăța

• Vei construi graficele sinusului și cosinusului din cele cinci puncte-cheie ale unei ture și vei ști ce arată fiecare porțiune.
• Vei citi de pe desen punctele de maxim și de minim, intersecțiile cu axa $Ox$ și intervalele pe care fiecare funcție crește sau scade.
• Vei compara două valori fără calculator, folosind intervalul pe care funcția păstrează sensul de variație.
• Vei număra soluțiile unei ecuații de forma $\sin x=m$ sau $\cos x=m$, fără să le calculezi, și vei ști când capătul $2\pi$ contează.
• Vei alege o fereastră potrivită într-o aplicație digitală și vei deosebi ce se citește sigur de ce se estimează.
• Vei interpreta un model din fizică sau din tehnică în care o mărime variază după sinus sau cosinus.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să desenăm graficul funcției sinus?

Pe cercul trigonometric, punctul asociat numărului $x$ are ordonata $\sin x$ și abscisa $\cos x$. Informația există, dar este împrăștiată pe un cerc. Pentru a urmări cum se schimbă ordonata în timp ce punctul avansează, punem numărul $x$ pe o axă orizontală și valoarea corespunzătoare pe verticală.

Graficul funcției sinus pe intervalul $[0,2\pi ]$ este mulțimea punctelor din plan de forma $(x,\sin x)$, unde $x$ parcurge intervalul $[0,2\pi ]$. Analog, graficul funcției cosinus pe același interval este mulțimea punctelor $(x,\cos x)$. Fiecare număr din interval dă exact un punct al graficului.

Drumul de la un număr la un punct al graficului are doi pași. Localizezi punctul pe cerc, iar ordonata lui devine înălțimea punctului de pe grafic. Pentru un număr care nu este o valoare de bază, înălțimea se obține cu un instrument digital setat în radiani. De exemplu, pentru $x=2,4$, aflat între $\pi /2$ și $\pi$, calculatorul dă $\sin 2,4\approx 0,6755$, deci graficul trece prin punctul $(2,4;0,6755)$, deasupra axei.

Axa orizontală este gradată în radiani. Numerele $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$ și $2\pi$ sunt așezate la distanțe egale, pentru că reprezintă sferturi de tură. Valoarea aproximativă a lui $2\pi$ este $6,28$, deci o tură completă ocupă pe axă puțin peste șase unități.

2. Ce puncte fixează forma curbei?

Cinci numere împart tura în sferturi: $0$, $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$ și $2\pi$. În aceste puncte, punctul de pe cerc stă pe o axă de coordonate, deci ambele valori sunt $-1$, $0$ sau $1$.

Între două puncte-cheie vecine, punctul de pe cerc parcurge un sfert de tură fără să schimbe cadranul. Ordonata și abscisa se schimbă atunci într-un singur sens, fără salturi. Așa se explică forma netedă a celor două curbe. Valorile de bază din primul cadran completează desenul: ele dau înălțimi intermediare și permit un contur mai precis.

Figura este o fereastră pe intervalul $[0,2\pi ]$; capetele curbelor sunt marcate cu puncte pline, fiindcă ambele capete aparțin intervalului de studiu. Ce se întâmplă în afara ferestrei nu face parte din această lecție.

3. Ce citim de pe graficul sinusului?

Sinusoida pornește din origine, urcă până la înălțimea $1$ în $\pi /2$, coboară până la $-1$ în $3\pi /2$ și revine la zero în $2\pi$. Intersecțiile cu axa $Ox$ sunt punctele de abscisă $0$, $\pi$ și $2\pi$. Pe intervalul închis, ambele capete se numără.

Valoarea maximă este $1$ și este atinsă într-un singur punct al intervalului, $x=\pi /2$. Valoarea minimă este $-1$, atinsă numai în $x=3\pi /2$. Curba nu iese din banda dintre dreptele orizontale $y=-1$ și $y=1$ și trece prin fiecare înălțime din această bandă. De aceea mulțimea valorilor sinusului pe $[0,2\pi ]$ este intervalul $[-1,1]$.

Sensul de variație se citește de la stânga la dreapta. Funcția sinus crește pe $[0,\pi /2]$, scade pe $[\pi /2,3\pi /2]$ și crește din nou pe $[3\pi /2,2\pi ]$. Intervalul de scădere acoperă două sferturi de tură, pentru că punctul de pe cerc coboară continuu din vârful cercului până la baza lui.

Semnul funcției se vede ca poziție față de axă și coincide cu regula semnelor pe cadrane la M2. Aici îl folosim, nu îl mai demonstrăm: curba este deasupra axei pentru $x$ între $0$ și $\pi$ și dedesubt pentru $x$ între $\pi$ și $2\pi$.

4. Ce citim de pe graficul cosinusului?

Cosinusoida pornește de sus, din punctul $(0,1)$, coboară până la $-1$ în $\pi$ și urcă din nou până la $1$ în $2\pi$. Ea intersectează axa $Ox$ numai în $\pi /2$ și $3\pi /2$. Capetele intervalului nu sunt intersecții, pentru că acolo cosinusul valorează unu.

Particularitatea care cere atenție este maximul. Valoarea $1$ apare în două puncte ale intervalului, $x=0$ și $x=2\pi$, deoarece faza zero și faza $2\pi$ trimit la aceeași poziție pe cerc, punctul $(1,0)$. Minimul $-1$ apare o singură dată, în $x=\pi$.

Funcția cosinus scade pe $[0,\pi ]$ și crește pe $[\pi ,2\pi ]$. Sunt doar două intervale de monotonie, de lungimi egale. Mulțimea valorilor este tot $[-1,1]$.

Dacă suprapui cele două curbe, observi că au aceeași formă. Orice reper al cosinusoidei îl precede pe cel al sinusoidei cu $\pi /2$: maximul la $0$ în loc de $\pi /2$, zeroul la $\pi /2$ în loc de $\pi$. Deocamdată este o observație vizuală. Formula care o exprimă exact aparține lecției despre formulele cu π/2.

5. Cum comparăm două valori fără să le calculăm?

Când două numere se află în același interval de monotonie, ordinea valorilor rezultă din ordinea argumentelor. Pe un interval de creștere, argumentul mai mare dă valoarea mai mare. Pe un interval de scădere, ordinea se inversează.

Regula are o condiție care nu se sare: ambele argumente trebuie să fie în același interval de monotonie. Dacă unul este înainte de $\pi /2$ și celălalt după, sinusul a crescut și apoi a scăzut, iar comparația nu mai rezultă din ordinea argumentelor. Atunci ai nevoie de valori, de o simetrie sau de o citire mai atentă a desenului.

Pentru argumente fără $\pi$ scris, compară-le întâi cu reperele $\pi /2\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$ și $3\pi /2\approx 4,71$. Așa afli în ce interval de monotonie se află, iar abia apoi aplici regula. Pasul acesta de localizare este cel pe care îl verifică un corector.

6. Cum numărăm soluțiile unei ecuații de forma cos x = m?

Soluțiile ecuației $\cos x=m$ din $[0,2\pi ]$ sunt abscisele punctelor în care dreapta orizontală $y=m$ întâlnește cosinusoida. Nu le calculăm; le numărăm pe desen, apoi, dacă este nevoie, căutăm valorile exacte.

Mutăm dreapta de sus în jos. Pentru $m>1$ ea trece deasupra curbei și nu există nicio soluție. Pentru $m=1$ atinge curba în ambele capete, deci sunt două soluții, $0$ și $2\pi$. Pentru $m$ între $-1$ și $1$, dreapta taie o dată ramura descendentă și o dată pe cea ascendentă, deci sunt două soluții. Pentru $m=-1$ atinge numai punctul cel mai de jos, iar pentru $m<-1$ trece pe sub curbă.

Metoda este aceeași pentru orice funcție al cărei grafic îl ai. Contează însă intervalul. Dacă o problemă descrie o singură tură „de la pornire până chiar înainte de revenire”, intervalul este $[0,2\pi )$ și capătul drept nu se mai numără. Citește intervalul din enunț înainte de a număra.

Numărul de soluții și valorile lor sunt informații diferite. Pentru $m=\sqrt{2}/2$, desenul arată două intersecții; una este în $\pi /4$, valoare de bază, iar cealaltă se află pe ramura ascendentă și va fi calculată după ce învățăm formulele de reducere.

7. Ce fereastră alegem într-o aplicație digitală?

Programa recomandă reprezentarea graficelor cu instrumente digitale. O aplicație precum GeoGebra sau Desmos desenează corect, dar arată doar ce încape în fereastra aleasă. Pentru o tură completă, axa orizontală trebuie să cuprindă cel puțin intervalul de la $0$ la aproximativ $6,3$, iar cea verticală cel puțin de la $-1$ la $1$, cu o mică margine.

Unitatea unghiurilor se alege în radiani, ca în lecția despre sinus și cosinus pe cerc; abia atunci reperele $\pi /2$, $\pi$ și $2\pi$ apar pe axă unde le aștepți.

Ce citești sigur de pe ecran: forma, numărul de intersecții, poziția aproximativă a unui punct. Ce nu citești sigur: valoarea exactă a unei soluții care nu cade pe o gradație. O coordonată afișată cu patru zecimale este o aproximare, iar în redactare o scrii cu semnul $\approx$.

8. Ce se schimbă pe grafic într-un model de forma a + b · sin x?

Multe mărimi periodice din științe se descriu prin expresii ca $a+b\sin x$ sau $a+b\cos x$, unde $x$ este faza unui ciclu, măsurată în radiani. Adunarea constantei $a$ ridică sau coboară întreaga curbă, fără să mute punctele de maxim și de minim pe orizontală. Înmulțirea cu $b$ pozitiv întinde sau strânge curba pe verticală.

Când $b$ este negativ, curba se răstoarnă: unde sinusul avea maximul, modelul are minimul. De aceea, înainte să spui unde este valoarea cea mai mare, verifică semnul coeficientului. Intervalul valorilor unui astfel de model a fost calculat în lecția despre sinus și cosinus pe cerc; aici ne interesează unde sunt atinse extremele și cum se citesc pe desen.

Unitățile rămân ale mărimii modelate. Dacă modelul dă o lungime în centimetri, maximul se scrie în centimetri. Faza $x$ nu este neapărat un timp: ea spune ce parte dintr-un ciclu s-a parcurs, iar o tură întreagă corespunde unui ciclu complet.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul: pistonul unei pompe dozatoare

O pompă de laborator are un mecanism cu culisă care transformă rotația unui motor în mișcarea înainte și înapoi a unui piston. Distanța pistonului față de capătul cilindrului este $d(x)=5-3\cos x$, în centimetri, unde $x\in [0,2\pi ]$ este faza unui ciclu. Folosind figura, precizează distanța minimă și pe cea maximă, fazele la care se ating, fazele la care pistonul este la mijlocul cursei și intervalul pe care pistonul se îndepărtează de capăt.

Rezolvare. Curba pornește de la înălțimea $2$, urcă până la vârful de înălțime $8$ și revine la $2$. Vârful corespunde fazei $\pi$, unde $\cos \pi =-1$ și $d(\pi )=5+3=8$ cm. Minimul, $d(0)=d(2\pi )=5-3=2$ cm, apare în ambele capete. Cursa pistonului este $8-2=6$ cm.

Mijlocul cursei înseamnă $d=5$ cm, adică $\cos x=0$. Dreapta orizontală de la înălțimea $5$ taie curba în două puncte, la fazele $\pi /2$ și $3\pi /2$. Pistonul se îndepărtează de capăt cât timp distanța crește, adică pe $[0,\pi ]$, și revine pe $[\pi ,2\pi ]$.

Coeficientul negativ al cosinusului a răsturnat curba: cosinusul are minimul în $\pi$, iar modelul are acolo maximul. Distanța rămâne între $2$ și $8$ cm, deci pistonul nu lovește capătul cilindrului, cum se potrivește unui mecanism real, care păstrează un spațiu de siguranță.

Exemplul 2 — Găsește greșeala: o soluție pierdută

Un elev scrie: „Cosinusul este descrescător, deci ecuația $\cos x=-1/2$ are pe $[0,2\pi ]$ un singur punct în care cosinusul ia valoarea $-1/2$.” Unde greșește și care este numărul corect de soluții?

Rezolvare. Cosinusul scade numai pe $[0,\pi ]$. Pe această porțiune coboară de la $1$ la $-1$ și trece o dată prin $-1/2$. Pe $[\pi ,2\pi ]$ cosinusul crește de la $-1$ înapoi la $1$ și trece încă o dată prin $-1/2$.

Dreapta $y=-1/2$ taie deci cosinusoida o dată pe fiecare ramură: ecuația are două soluții. Elevul a aplicat o proprietate valabilă pe jumătate de interval întregului interval. Valorile exacte ale celor două soluții se află cu formulele de reducere; numărul lor se citește încă de acum.

Exemplul 3 — Comparații fără calculul valorilor

Compară $\sin 1,2$ cu $\sin 1,4$, apoi $\cos 1,9$ cu $\cos 2,8$. Verifică rezultatele cu un instrument digital setat în radiani.

Rezolvare. Ambele argumente ale primei perechi sunt mai mici decât $\pi /2\approx 1,5708$, deci se află în $[0,\pi /2]$, unde sinusul crește. Din $1,2<1,4$ rezultă $\sin 1,2<\sin 1,4$.

Argumentele celei de-a doua perechi sunt între $\pi /2$ și $\pi \approx 3,1416$, pe un interval pe care cosinusul scade. Ordinea se inversează: $\cos 1,9>\cos 2,8$.

Controlul digital confirmă: $\sin 1,2\approx 0,9320$ și $\sin 1,4\approx 0,9854$, iar $\cos 1,9\approx -0,3233$ și $\cos 2,8\approx -0,9422$. Ambele valori ale cosinusului sunt negative; cea mai apropiată de zero este cea mai mare.

Exemplul 4 — Numărarea soluțiilor pe grafic

Câte soluții are pe $[0,2\pi ]$ fiecare dintre ecuațiile $\sin x=-0,6$, $\cos x=0,98$ și $\cos x=-1,5$?

Rezolvare. Pentru prima ecuație, valoarea $-0,6$ este între $-1$ și $0$. Dreapta orizontală taie „valea” sinusoidei, aflată între $\pi$ și $2\pi$, în două puncte: pe coborâre și pe urcare. Sunt două soluții.

Pentru a doua, valoarea $0,98$ este puțin sub maximul cosinusului. Dreapta taie ramura descendentă aproape de $0$ și ramura ascendentă aproape de $2\pi$: tot două soluții, apropiate de capete, dar diferite de ele.

Pentru a treia, $-1,5<-1$, iar dreapta trece pe sub curbă. Ecuația nu are nicio soluție; niciun calcul suplimentar nu schimbă concluzia.

Exemplul 5 — Tensiunea din rețea

Tensiunea instantanee din rețeaua electrică poate fi modelată prin $u(x)=325\sin x$, în volți, unde $x\in [0,2\pi )$ este faza unei perioade. De câte ori într-o perioadă tensiunea este $200$ V? De câte ori este $-325$ V? Pe ce interval tensiunea scade?

Rezolvare. Ecuația $325\sin x=200$ înseamnă $\sin x=200/325$, un număr între $0$ și $1$. Dreapta orizontală taie „dealul” sinusoidei de două ori: tensiunea are valoarea $200$ V în două momente ale perioadei.

Valoarea $-325$ V corespunde lui $\sin x=-1$, atinsă numai în $x=3\pi /2$. Tensiunea scade cât timp sinusul scade, adică pe $[\pi /2,3\pi /2]$, de la $325$ V la $-325$ V.

Semnul negativ nu înseamnă lipsa curentului, ci sensul opus al tensiunii. Modelul descrie o perioadă; intervalul este deschis la dreapta, iar faza $2\pi$ ar fi începutul perioadei următoare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-3\sin x$. a) Arătați că $1\le f(x)\le 7$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$. b) Determinați punctul în care $f$ își atinge valoarea maximă. c) Determinați numărul soluțiilor ecuației $4-3\sin x=4$ din intervalul $[0,2\pi ]$.

Rezolvare. a) Din $-1\le \sin x\le 1$, prin înmulțire cu $-3$, obținem $-3\le -3\sin x\le 3$, deci $1\le 4-3\sin x\le 7$. Înmulțirea cu un număr negativ a inversat sensul inegalităților.

b) Valoarea $7$ se obține când $\sin x=-1$, adică pentru $x=3\pi /2$. Punctul de maxim al graficului este $(3\pi /2,7)$: coeficientul negativ a mutat maximul acolo unde sinusul are minimul.

c) Ecuația devine $\sin x=0$. Pe intervalul închis, sinusul se anulează în $0$, $\pi$ și $2\pi$, deci ecuația are trei soluții. Capătul $2\pi$ se numără, fiindcă aparține domeniului funcției. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte ale probei, fără a prezice un subiect anume.

Să exersăm

Pentru fiecare exercițiu, desenează o schiță a graficului pe intervalul cerut, marchează cele cinci puncte-cheie și scrie intervalul înainte de concluzie. Valorile aproximative se scriu cu semnul $\approx$.

1. Pentru funcția $y=2\cos x$ pe $[0,2\pi ]$, scrie coordonatele punctelor de maxim ale graficului și ale punctelor în care graficul intersectează axa $Ox$.

2. Determină intervalul din $[0,2\pi ]$ pe care funcțiile sinus și cosinus sunt simultan descrescătoare.

3. Determină intervalul din $[0,2\pi ]$ pe care funcțiile sinus și cosinus sunt simultan crescătoare.

4. Compară $\sin 0,4$ cu $\sin 0,9$, justificând prin monotonie.

5. Compară $\cos 3,5$ cu $\cos 4,5$, justificând prin monotonie.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pe intervalul $[0,2\pi ]$, graficele funcțiilor sinus și cosinus au un singur punct comun.

7. Câte soluții are ecuația $\cos x=m$ pe intervalul $\left[\frac{\pi }{2},2\pi \right]$ pentru $m=-1$, pentru $m=0$ și pentru $m=1$?

8. Determină valoarea cea mai mică și valoarea cea mai mare pe care le ia $\sin x$ când $x$ parcurge intervalul $\left[\frac{\pi }{6},\pi \right]$, precum și punctele în care se ating.

9. Câte soluții are ecuația $2\sin x=\sqrt{3}$ pe intervalul $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$?

10. Explică de ce, pe intervalul $[0,\pi ]$, ecuația $\cos x=m$ are cel mult o soluție. Pentru ce valori ale lui $m$ are exact una?

11. Pentru $g:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $g(x)=5+2\cos x$, determină mulțimea valorilor și punctele în care se ating extremele.

12. (Problemă aplicată.) Termostatul unui acvariu menține temperatura apei după modelul $T(x)=24+0,5\sin x$, în grade Celsius, unde $x\in [0,2\pi ]$ este faza unui ciclu de încălzire. Care sunt temperaturile maximă și minimă și la ce faze se ating? La ce faze temperatura este exact $24$ °C? Pe ce interval este peste $24$ °C?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-\sin x$. a) Arătați că $f(x)\ge 2$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$. b) Determinați numărul soluțiilor ecuației $3-\sin x=4$ din $[0,2\pi ]$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul soluțiilor ecuației $2\cos x=\sqrt{3}$ din intervalul $[0,2\pi ]$ și precizați soluția care este valoare de bază.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(\sin x-3)(\cos x+2)<0$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$.

16. Pe ce interval din $[0,2\pi ]$ sinusul este simultan negativ și crescător?

17. Într-o aplicație, fereastra are $x$ de la $-1$ la $7$ și $y$ de la $-1,5$ la $1,5$. Cuprinde ea o tură completă a sinusoidei cu ambele extreme? Dar o fereastră cu $x$ de la $0$ la $6$ și $y$ de la $-1$ la $1$?

18. (Provocare.) Determină valorile lui $m$ pentru care ecuația $1+2\sin x=m$ are exact o soluție în $[0,2\pi ]$.

Răspunsuri și explicații

1. Înmulțirea cu $2$ întinde curba pe verticală, fără să mute punctele pe orizontală. Punctele de maxim sunt $(0,2)$ și $(2\pi ,2)$, iar intersecțiile cu axa $Ox$ sunt $(\pi /2,0)$ și $(3\pi /2,0)$. Ambele capete ale intervalului dau puncte de maxim.

2. Sinusul scade pe $[\pi /2,3\pi /2]$, iar cosinusul pe $[0,\pi ]$. Porțiunea comună este $[\pi /2,\pi ]$, unde ambele coboară: sinusul de la $1$ la $0$, cosinusul de la $0$ la $-1$.

3. Sinusul crește pe $[3\pi /2,2\pi ]$, iar cosinusul pe $[\pi ,2\pi ]$; pe primul sfert, $[0,\pi /2]$, cosinusul scade. Rămâne intervalul $[3\pi /2,2\pi ]$.

4. Ambele argumente sunt mai mici decât $\pi /2\approx 1,57$, pe un interval de creștere. Din $0,4<0,9$ rezultă $\sin 0,4<\sin 0,9$; controlul digital dă $\sin 0,4\approx 0,3894$ și $\sin 0,9\approx 0,7833$.

5. Ambele argumente sunt între $\pi \approx 3,14$ și $2\pi \approx 6,28$, unde cosinusul crește. Din $3,5<4,5$ rezultă $\cos 3,5<\cos 4,5$; valorile sunt $\cos 3,5\approx -0,9365$ și $\cos 4,5\approx -0,2108$.

6. Fals. Curbele se întâlnesc de două ori. Primul punct comun este la $\pi /4$, unde ambele valori sunt $\sqrt{2}/2$. Al doilea este între $\pi$ și $3\pi /2$, unde ambele funcții sunt negative, iar sinusul, care scade, ajunge sub cosinusul, care crește.

7. Pe $\left[\frac{\pi }{2},2\pi \right]$ cosinusul coboară de la $0$ la $-1$, până în $\pi$, apoi urcă de la $-1$ la $1$. Pentru $m=-1$ există o soluție, fiindcă valoarea $-1$ apare numai în $\pi$. Pentru $m=0$ sunt două: capătul $\frac{\pi }{2}$, care aparține intervalului, și $\frac{3\pi }{2}$. Pentru $m=1$ există o soluție, capătul $2\pi$; valoarea $1$ din $0$ nu se mai numără, fiindcă $0$ nu e în interval.

8. Pe $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul crește de la $\frac{1}{2}$ la $1$, iar pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ scade de la $1$ la $0$. Valoarea cea mai mare este $1$, în $\frac{\pi }{2}$; cea mai mică este $0$, în $\pi$, fiindcă valoarea din capătul stâng, $\frac{1}{2}$, e mai mare. Pe acest interval, valorile formează $[0,1]$.

9. Ecuația înseamnă $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, o valoare pozitivă. Pe $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ sinusul nu e pozitiv, iar pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ scade de la $1$ la $0$ și trece o singură dată prin $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Există o soluție; cealaltă soluție de pe tura întreagă, $\frac{\pi }{3}$, este în afara intervalului.

10. Pe $[0,\pi ]$, cosinusul scade de la $1$ la $-1$, deci nu ia aceeași valoare de două ori. Pentru orice $m\in [-1,1]$ există exact o soluție; pentru $m$ în afara acestui interval nu există niciuna.

11. Din $-1\le \cos x\le 1$ rezultă $3\le 5+2\cos x\le 7$, deci valorile lui $g$ formează intervalul $[3,7]$. Valoarea cea mai mare, $7$, apare în două puncte, $0$ și $2\pi$, unde cosinusul valorează unu; cea mai mică, $3$, apare în $\pi$.

12. Temperatura maximă este $24,5$ °C, în faza $\pi /2$, iar minima este $23,5$ °C, în faza $3\pi /2$. Temperatura este $24$ °C unde sinusul se anulează: la $0$, $\pi$ și $2\pi$. Ea este peste $24$ °C pe $(0,\pi )$, unde sinusul este pozitiv.

13. a) Din $\sin x\le 1$ rezultă $3-\sin x\ge 2$. b) Ecuația devine $\sin x=-1$, cu soluția $3\pi /2$: există o soluție, punctul cel mai de jos al sinusoidei.

14. Ecuația înseamnă $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, un număr între $0$ și $1$. Dreapta $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ taie cosinusoida o dată pe ramura descendentă și o dată pe cea ascendentă, deci sunt două soluții. Valoarea de bază este $\pi /6$; cealaltă soluție este pe urcare, între $3\pi /2$ și $2\pi$, unde cosinusul e din nou pozitiv.

15. Primul factor este cel mult $1-3=-2$, deci negativ. Al doilea este cel puțin $-1+2=1$, deci pozitiv. Produsul unui număr negativ cu unul pozitiv este negativ pentru orice $x$ din interval.

16. Sinusul este negativ pe $(\pi ,2\pi )$ și crește pe $[3\pi /2,2\pi ]$. Condițiile au loc simultan pe $[3\pi /2,2\pi )$; în $2\pi$ valoarea este zero, deci nu mai este negativă.

17. Prima fereastră este potrivită: $2\pi \approx 6,28<7$, iar extremele $\pm 1$ se află în interiorul intervalului vertical. A doua nu cuprinde tura: $6<6,28$, iar extremele cad chiar pe marginea ferestrei, unde pot fi tăiate.

18. Ecuația înseamnă $\sin x=\frac{m-1}{2}$. Dreapta orizontală de înălțime $\frac{m-1}{2}$ atinge sinusoida într-un singur punct numai la înălțimile $1$ și $-1$, adică în vârf și în punctul cel mai de jos; la înălțimea $0$ sunt trei puncte, iar între $-1$ și $1$, în rest, câte două. Din $\frac{m-1}{2}=1$ rezultă $m=3$, iar din $\frac{m-1}{2}=-1$ rezultă $m=-1$. Răspuns: $m\in \{-1,3\}$.

De reținut

• Graficul se citește de la stânga la dreapta, pe intervalul din enunț; capetele $0$ și $2\pi$ se numără numai dacă intervalul este închis acolo.
• Sinusul are maximul în $\pi /2$ și minimul în $3\pi /2$; cosinusul are maximul în ambele capete și minimul în $\pi$.
• Comparația prin monotonie cere ca ambele argumente să fie în același interval de creștere sau de scădere; localizarea se face cu $\pi /2\approx 1,57$ și $\pi \approx 3,14$.
• Numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ este numărul intersecțiilor graficului cu dreapta $y=m$; valorile lor exacte sunt o altă întrebare.
• Într-un model $a+b\sin x$ sau $a+b\cos x$, semnul lui $b$ decide unde este maximul, iar rezultatul primește unitatea mărimii modelate.

Greșeli frecvente

• O monotonie scrisă pe o reuniune de intervale. Sinusul crește pe fiecare dintre intervalele $[0,\pi /2]$ și $[3\pi /2,2\pi ]$, dar nu pe reuniunea lor: valoarea din $\pi /2$ este mai mare decât cele de la începutul celui de-al doilea interval. Scrie intervalele separat.
• Valori exacte citite „la ochi” de pe ecran. O intersecție care nu cade pe o gradație dă numai o aproximare. Numără soluțiile de pe grafic, iar valorile exacte le obții prin calcul sau le scrii cu $\approx$.
• Maximul modelului pus unde este maximul funcției de bază. În $5-3\cos x$, coeficientul negativ răstoarnă curba: vârful este acolo unde cosinusul are minimul.
• Comparație între argumente aflate în intervale de monotonie diferite. Înainte de a aplica regula, verifică unde se află fiecare număr față de reperele $\pi /2$, $\pi$ și $3\pi /2$.
• Punctele-cheie unite cu rigla. Cele cinci puncte unite prin segmente dau o linie frântă, nu sinusoida: la $\pi /6$, segmentul de la $(0,0)$ la $(\pi /2,1)$ are înălțimea $\frac{1}{3}$, iar $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Între puncte, curba se rotunjește.

Aplică acasă

1. Explorare digitală. Desenează într-o aplicație, pe același ecran, graficele sinusului și cosinusului pe $[0,2\pi ]$. Folosește instrumentul de intersecție și notează abscisele tuturor punctelor comune. Pentru fiecare, citește și ordonata, apoi verifică cu calculatorul că sinusul și cosinusul au acolo aceeași valoare.
2. Folia transparentă. Desenează sinusoida pe o foaie cu pătrățele, cu $\pi /2$ reprezentat de trei pătrățele. Copiază cosinusoida pe o folie transparentă, la aceeași scară, și glisează folia spre dreapta până când curbele coincid. Notează cu câte pătrățele ai mutat-o și ce fracțiune de tură reprezintă.
3. Tonul pe ecran. Cu o aplicație care generează un sunet pur și cu una de tip osciloscop, pe telefon sau pe calculator, afișează semnalul și oprește imaginea. Marchează pe un singur ciclu pornirea, vârful, trecerea prin zero, valea și revenirea, apoi compară-le cu cele cinci puncte-cheie ale sinusoidei pe $[0,2\pi ]$.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția de pe cerc într-un instrument de citire. Un răspuns complet la o cerință de acest tip conține intervalul pe care se lucrează, reperele $0$, $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$, $2\pi$ și justificarea prin monotonie sau prin numărarea intersecțiilor. Merită insistat pe diferența dintre „câte soluții” și „care sunt soluțiile”: prima întrebare se rezolvă aici, pe grafic; a doua cere formulele de reducere din lecțiile următoare. Pentru elevii care au nevoie de o reluare a lecturii grafice, lecția de clasa a VIII-a despre lecturi grafice este un bun punct de plecare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; conținutul „studiul funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$” este scris explicit în unitatea IX.7, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la „Elemente de trigonometrie”, cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus definite pe $[0,2\pi ]$ cu valori în $[-1,1]$. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de trigonometrie de la Subiectul I este una de geometrie a triunghiului; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: graficele funcțiilor sinus și cosinus are alt parcurs și alte exemple. Continuarea firească la M2 este formula fundamentală a trigonometriei, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 despre grafice față de lecția M1 pe aceeași temă?

Proprietățile citite sunt aceleași, dar accentul cade pe lectura unor modele din științe, pe numărarea soluțiilor fără calculul lor, pe capătul intervalului dintr-un ciclu și pe folosirea corectă a unei aplicații digitale. Toate definițiile de care ai nevoie sunt pe această pagină. Lecția de mate-info rămâne o comparație opțională, nu o sursă din care alegi materia.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 pot apărea graficele sinus și cosinus?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 conține funcțiile sinus și cosinus pe $[0,2\pi ]$ în capitolul de trigonometrie. În modelul oficial publicat pentru 2026, trigonometria apare într-o cerință scurtă de la Subiectul I, despre un triunghi. Cititul graficului te ajută oricând trebuie să știi semnul sau extremele unei expresii cu sinus sau cosinus.

Pot folosi GeoGebra sau Desmos la clasă pentru aceste grafice?

Da, programa recomandă explicit instrumentele digitale pentru reprezentarea funcțiilor trigonometrice. Setează unitatea în radiani, alege o fereastră care cuprinde o tură întreagă și marchează reperele $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$. Ce afișează aplicația ca număr cu zecimale este o aproximare; la redactare o scrii cu semnul aproximativ.

De ce pe axa orizontală scriem π/2 și π, și nu 90 și 180?

Funcțiile sinus și cosinus au ca argument numere reale, iar axa graficului este o axă de numere. Gradele sunt o unitate pentru unghiuri, nu pentru coordonata unui punct pe axă. Cu radiani, $\pi \approx 3,14$ se află chiar la acea distanță de origine, iar graficul are forma cunoscută.

Graficul îmi dă și valoarea exactă a unei soluții?

Numai când soluția cade pe un reper cunoscut, de exemplu $\pi$ sau $3\pi /2$. În rest, graficul îți spune câte soluții există și în ce interval se află fiecare. Valoarea exactă se obține prin calcul, cu valorile de bază și cu formulele de reducere, pe care le vei învăța în lecțiile următoare ale unității.

Ce se întâmplă cu graficele după 2π și trebuie să știu asta în clasa a IX-a?

Programa clasei a IX-a de la științe ale naturii cere studiul pe intervalul $[0,2\pi ]$, adică pe o singură tură. Faptul că desenul se repetă după fiecare tură este studiat în clasa a X-a, odată cu funcțiile trigonometrice definite pe toate numerele reale. Deocamdată lucrezi corect dacă respecți intervalul din enunț.