Cum se înmulțește un vector cu un număr?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vector înmulțit cu un număr

Înmulțind un vector $\vec{u}$ cu un număr real $k$ obții tot un vector: direcția nu se schimbă, modulul devine $|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$, iar sensul este al lui $\vec{u}$ când $k>0$ și contrar când $k<0$. La $k=0$ rezultă $\vec{0}$.

Valoarea absolută din formula modulului nu este decor: $\Vert -3\vec{u}\Vert =3\Vert \vec{u}\Vert$ și niciodată un număr sub zero. Semnul scalarului se citește în sensul vectorului, nu în lungimea lui.

Cele cinci proprietăți — $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$, $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$, $k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}$, $1\vec{u}=\vec{u}$ și $0\vec{u}=\vec{0}$ — îți dau voie să desfaci paranteze ca la numere. Distributivitatea atinge fiecare termen.

Criteriul de coliniaritate: vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}\ne \vec{0}$ sunt coliniari precis atunci când se găsește un $k$ real cu $\vec{u}=k\vec{v}$. Pentru puncte, cu $A\ne C$, coliniaritatea lui $A$, $B$, $C$ revine la $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$. Constatarea de pe desen nu ține loc de argument: scrii efectiv numărul $k$.

Rezultatul poartă săgeată, nu este un număr. Scrierea $3\vec{u}=15$ amestecă două lucruri; pentru o lungime se scrie $\Vert 3\vec{u}\Vert =15$. Tot aici, singura înmulțire definită la clasa a IX-a leagă un număr de un vector — numărul stă în față, iar vectorii se adună doar între ei.

Teorema liniei mijlocii se strânge într-un rând: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ aduce deodată paralelismul și raportul lungimilor.

De reținut

• $k\vec{u}$ are direcția lui $\vec{u}$ și modulul $|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$
• $k>0$ păstrează sensul, $k<0$ îl întoarce, $k=0$ dă $\vec{0}$
• $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ și $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$

Greșeala tipică

Se crede că $-2\vec{u}$ are modulul negativ; semnul lui $k$ schimbă doar sensul, iar modulul este $2\Vert \vec{u}\Vert$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $\Vert -3\vec{u}\Vert$?

   • a) $-3\Vert \vec{u}\Vert$
   • b) $3\Vert \vec{u}\Vert$
   • c) $\Vert \vec{u}\Vert$
   • d) $9\Vert \vec{u}\Vert$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3\Vert \vec{u}\Vert$

   Formula este $\Vert k\vec{u}\Vert =|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$, cu valoarea absolută a scalarului. Varianta a) ar da o lungime negativă, ceea ce e imposibil; semnul lui $-3$ se vede în sensul vectorului, care se inversează.

2. Cum se desface $k\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$?

   • a) $k\vec{u}+\vec{v}$
   • b) $k\vec{u}+k\vec{v}$
   • c) $k\vec{u}\cdot k\vec{v}$
   • d) $(k+1)\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $k\vec{u}+k\vec{v}$

   Distributivitatea atinge fiecare termen, exact ca la numere. Verificarea e imediată: pune $k=2$ și numără vectorii din fiecare membru. Varianta c) ar presupune o înmulțire a doi vectori, care la clasa a IX-a nici nu e definită aici.

3. Cum se scrie, vectorial, că punctele $A$, $B$, $C$ (cu $A\ne C$) sunt coliniare?

   • a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
   • b) există $k$ real cu $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$
   • c) $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$
   • d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) există $k$ real cu $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$

   Coliniaritatea a doi vectori înseamnă că unul este multiplu al celuilalt; numărul $k$ trebuie scris efectiv, obținut prin scoaterea unui factor comun. Varianta a) ar însemna $B=C$, iar c) compară doar lungimi.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea unui vector cu un scalar · produsul dintre un număr și un vector · vector înmulțit cu un număr real · ce înseamnă k ori vectorul u