Înmulțirea unui vector cu un scalar (M2, științe ale naturii)

Un mobil se deplasează cu viteză constantă, iar tu vrei să știi unde ajunge după patru secunde. Direcția și sensul rămân cele ale vitezei, se schimbă doar cât de departe ajunge — de patru ori mai mult decât în prima secundă. Operația care face exact asta, păstrând direcția și modificând doar lungimea, este înmulțirea unui vector cu un număr, iar lecția aceasta, din traseul clasei a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), o construiește și îi scoate cea mai folositoare consecință: criteriul după care decizi dacă doi vectori sunt coliniari. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 — ultimele care se dau pe programa veche — coliniaritatea apare la Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte, și stă la baza problemelor de calcul vectorial din geometria plană.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: înmulțirea cu un scalar și condiția de coliniaritate sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a. Pornim de la adunarea vectorilor cu regula triunghiului și a paralelogramului, a doua operație de care avem nevoie, și ajungem la prima demonstrație vectorială completă: linia mijlocie în triunghi.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este produsul dintre un număr real și un vector și cum se schimbă, separat, modulul, direcția și sensul.
• Vei ști să calculezi modulul lui $k\vec{u}$ și să nu uiți valoarea absolută atunci când numărul este negativ.
• Vei ști cele cinci proprietăți de calcul care îți permit să desfaci parantezele într-o expresie vectorială, exact ca la numere.
• Vei ști criteriul de coliniaritate: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul se scrie ca produs dintre un număr și celălalt.
• Vei ști să arăți că trei puncte sunt coliniare și că două drepte sunt paralele, folosind o singură egalitate vectorială.
• Vei ști să demonstrezi vectorial teorema liniei mijlocii și să recunoști tipul de cerință care se dă la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să înmulțești un vector cu un număr?

Produsul dintre un număr real și un vector este tot un vector: pentru numărul real $k$ și vectorul nenul $\vec{u}$, produsul $k\vec{u}$ are modulul egal cu $|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$, aceeași direcție cu $\vec{u}$, sensul lui $\vec{u}$ dacă $k>0$ și sensul contrar dacă $k<0$; dacă $k=0$ sau dacă vectorul de la care pornim este cel nul, produsul este vectorul nul.

Numărul $k$ se numește scalar, iar numele vine tocmai de la efectul lui: scalează vectorul, adică îi schimbă scara, fără să-i schimbe dreapta-suport. Trei observații se rețin de la început.

Modulul se calculează cu valoarea absolută a scalarului: $\Vert k\vec{u}\Vert =|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$. Pentru un vector de modul $10$, atât $3\vec{u}$, cât și $-3\vec{u}$ au modulul $30$ — semnul lui $k$ se vede în sens, nu în lungime. Un modul nu iese niciodată negativ.

Un scalar supraunitar lungește vectorul, unul din intervalul $(0,1)$ îl scurtează, iar unul negativ îl întoarce. Așa se explică și notația pentru opus, întâlnită la adunare: $(-1)\vec{u}=-\vec{u}$.

Rezultatul este tot un vector, niciodată un număr. Scrierea $3\vec{u}=15$ este fără sens, chiar dacă $\Vert \vec{u}\Vert =5$; corect se scrie $\Vert 3\vec{u}\Vert =15$.

2. Ce proprietăți are înmulțirea cu un scalar?

Cinci, și toate spun același lucru: într-o expresie cu vectori și numere se calculează la fel ca într-una cu numere, atât timp cât nu încerci să înmulțești doi vectori între ei.

$$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v},(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u},k(l\vec{u})=(kl)\vec{u},1\vec{u}=\vec{u},0\vec{u}=\vec{0}.$$

Prima se numește distributivitate față de adunarea vectorilor și se citește pe un desen: dacă mărești de $k$ ori laturile unui triunghi, diagonala construită prin regula triunghiului se mărește tot de $k$ ori — figurile sunt asemenea. A doua este distributivitatea față de adunarea numerelor, iar a treia spune că doi factori numerici se pot strânge într-unul singur.

Efectul practic e că poți desface paranteze și reduce termeni asemenea. De exemplu, $2(\vec{u}+3\vec{v})-3(\vec{u}+\vec{v})=2\vec{u}+6\vec{v}-3\vec{u}-3\vec{v}=-\vec{u}+3\vec{v}$. Singura interdicție: nu simplifica niciodată printr-un vector, cum ai face cu un număr — împărțirea la un vector nu există.

Merită spus limpede și de ce lipsește din listă înmulțirea a doi vectori între ei: pentru că nu există o operație care să dea, din doi vectori, tot un vector din plan și care să se comporte rezonabil. Există, în schimb, o operație care dă un număr — produsul scalar, tratat în lecția despre produsul scalar a doi vectori —, iar numele ei spune exact ce iese: un scalar. Până acolo, în orice expresie vectorială numerele stau în fața vectorilor, iar vectorii se adună doar între ei.

3. Când sunt doi vectori coliniari?

În lecția despre segmentul orientat și vectorul în plan am definit coliniaritatea prin direcție: doi vectori nenuli sunt coliniari dacă reprezentanții lor stau pe drepte paralele sau pe aceeași dreaptă. Definiția e clară, dar nu se calculează. Înmulțirea cu un scalar o transformă într-un criteriu:

Doi vectori $\vec{u}$ și $\vec{v}$, cu $\vec{v}\ne \vec{0}$, sunt coliniari dacă și numai dacă există un număr real $k$ astfel încât $\vec{u}=k\vec{v}$.

Într-un sens, afirmația e chiar definiția produsului: $k\vec{v}$ are, prin construcție, aceeași direcție cu $\vec{v}$. În celălalt sens, dacă $\vec{u}$ și $\vec{v}$ au aceeași direcție, alegem $k=\frac{\Vert \vec{u}\Vert }{\Vert \vec{v}\Vert }$ când sensurile coincid și $k=-\frac{\Vert \vec{u}\Vert }{\Vert \vec{v}\Vert }$ când sunt contrare; vectorul $k\vec{v}$ are atunci aceeași direcție, același sens și același modul cu $\vec{u}$, deci este chiar $\vec{u}$.

Condiția $\vec{v}\ne \vec{0}$ nu e o formalitate: vectorul nul este coliniar cu orice vector, dar nu se poate scrie niciun vector nenul ca produs dintre un număr și $\vec{0}$, fiindcă $k\vec{0}=\vec{0}$ pentru orice $k$. De aceea, în criteriu, vectorul cu care comparăm trebuie să fie nenul.

4. Cum arăți că trei puncte sunt coliniare?

Aceasta este o cerință de examen, iar rețeta are doi pași. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari, iar coliniaritatea celor doi vectori se scrie acum cu criteriul de mai sus:

$$\text{Pentru }A\ne C:A,B,C\text{coliniare}⟺\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\text{pentru un numa˘r real }k.$$

Ipoteza $A\ne C$ e cea din criteriul de mai sus, scrisă pentru vectorul $\overrightarrow{AC}$: dacă $A$ și $C$ ar coincide, $\overrightarrow{AC}$ ar fi vectorul nul, cele trei puncte ar fi banal coliniare, dar niciun număr $k$ nu ar da $\overrightarrow{AB}$ dintr-un vector nul, atâta timp cât $B\ne A$. Cu $A\ne C$, cei doi vectori au originea comună $A$, deci dreptele lor suport trec amândouă prin $A$; fiind paralele și având un punct comun, ele coincid, iar cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă. Valoarea lui $k$ spune și cum sunt așezate punctele: dacă $k>1$, punctul $C$ este între $A$ și $B$; dacă $k=1$, punctele $B$ și $C$ coincid; dacă $0<k<1$, punctul $B$ este între $A$ și $C$; dacă $k<0$, punctul $A$ este între celelalte două.

Aceeași idee decide și paralelismul: dacă $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{CD}$ și dreptele $AB$ și $CD$ sunt distincte, atunci $AB\parallel CD$. Diferența față de cazul precedent este exact condiția „drepte distincte" — fără ea, vectorii coliniari pot sta pe una și aceeași dreaptă.

Rețeta de redactare, aceeași la toate problemele de tipul acesta, are trei rânduri: scrii ce vrei să obții (o egalitate de forma $\vec{u}=k\vec{v}$), aduci cei doi vectori la o formă din care se poate scoate factor comun și numești valoarea lui $k$. Fără al treilea rând, demonstrația e considerată neterminată, oricât de evidentă ar fi figura.

5. Cum se demonstrează vectorial teorema liniei mijlocii?

Cu cele două operații avem deja tot ce trebuie pentru o demonstrație completă, iar programa de examen cere explicit trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială. Fie triunghiul $ABC$, $M$ mijlocul laturii $[AB]$ și $N$ mijlocul laturii $[AC]$.

Din faptul că $M$ este mijlocul lui $[AB]$ rezultă $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, iar din faptul că $N$ este mijlocul lui $[AC]$ rezultă $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Aplicăm regula triunghiului pentru drumul $M\to A\to N$ și scoatem factorul comun:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Din egalitatea $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ citim amândouă concluziile teoremei deodată: vectorii sunt coliniari, deci $MN\parallel BC$ (dreptele sunt distincte, pentru că $M$ nu aparține lui $BC$), iar modulele dau $MN=\frac{1}{2}BC$. Comparați cu demonstrația sintetică de la linia mijlocie în triunghi, din clasa a VII-a, care are nevoie de triunghiuri asemenea: calculul vectorial obține ambele concluzii într-un singur rând.

6. Unde apare înmulțirea cu un scalar în științe?

În fizică, de fiecare dată când o mărime vectorială se obține dintr-alta înmulțind cu un număr. Deplasarea unui mobil care se mișcă uniform este $\vec{d}=t\cdot \vec{v}$, unde $t$ este timpul, un scalar pozitiv: direcția și sensul deplasării sunt cele ale vitezei, iar modulul crește proporțional cu timpul. Forța și accelerația sunt legate prin $\vec{F}=m\cdot \vec{a}$, cu masa $m$ drept scalar — de aceea accelerația are întotdeauna sensul forței rezultante.

Scalarii negativi au și ei un sens fizic limpede: o forță $-\vec{F}$ este o forță de aceeași intensitate care trage exact invers, cum se întâmplă cu forța de frecare față de deplasare. Pentru comparație, la mate-info (M1) criteriul de coliniaritate se scrie cu numere complexe, în lecția despre coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe, unde condiția devine o egalitate între afixe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Module și sensuri

Se consideră vectorul $\vec{u}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =6$. Calculați modulele vectorilor $3\vec{u}$, $-2\vec{u}$ și $\frac{1}{2}\vec{u}$ și precizați sensul fiecăruia față de $\vec{u}$.

Rezolvare. Se aplică formula modulului, cu valoarea absolută a scalarului.

Pentru $3\vec{u}$: $\Vert 3\vec{u}\Vert =18$, iar sensul este cel al lui $\vec{u}$, scalarul fiind pozitiv. Pentru $-2\vec{u}$: $\Vert -2\vec{u}\Vert =12$, cu sens contrar lui $\vec{u}$. Pentru $\frac{1}{2}\vec{u}$: $\Vert \frac{1}{2}\vec{u}\Vert =3$, cu același sens, dar de două ori mai scurt.

Toți trei sunt coliniari cu $\vec{u}$, fiindcă toți se obțin din el prin înmulțire cu un număr — exact conținutul criteriului de coliniaritate.

Exemplul 2 — Calcul cu paranteze

Calculați $3(\vec{u}+2\vec{v})-2(\vec{u}+3\vec{v})$.

Rezolvare. Desfacem parantezele cu distributivitatea, apoi reducem termenii asemenea:

$$3(\vec{u}+2\vec{v})-2(\vec{u}+3\vec{v})=3\vec{u}+6\vec{v}-2\vec{u}-6\vec{v}=\vec{u}.$$

Rezultatul nu depinde de $\vec{v}$, deși expresia inițială îl conținea de două ori. Verificarea se face pe module doar în cazuri particulare, nu în general: din $\Vert \vec{u}\Vert$ și $\Vert \vec{v}\Vert$ nu se poate calcula modulul unei sume decât dacă știm cum sunt așezați vectorii.

Exemplul 3 — Coliniaritate decisă prin calcul

Se consideră vectorii $\vec{a}=2\vec{u}-3\vec{v}$ și $\vec{b}=-6\vec{u}+9\vec{v}$, unde $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt doi vectori oarecare. Arătați că $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari.

Rezolvare. Căutăm un număr real $k$ pentru care $\vec{b}=k\vec{a}$. Scoatem factor comun în expresia lui $\vec{b}$:

$$\vec{b}=-6\vec{u}+9\vec{v}=-3(2\vec{u}-3\vec{v})=-3\vec{a}.$$

Am găsit $k=-3$, deci cei doi vectori sunt coliniari, cu sensuri contrare (scalarul e negativ) și cu $\Vert \vec{b}\Vert =3\Vert \vec{a}\Vert$. Metoda e generală: se compară coeficienții, iar dacă raportul lor este același, factorul comun este chiar $k$.

Exemplul 4 — Trei puncte coliniare

Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ pentru care $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$. Arătați că punctele sunt coliniare și precizați poziția lui $C$ față de $A$ și $B$.

Rezolvare. Vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari, fiindcă unul este produsul dintre un număr și celălalt. Având originea comună $A$, dreptele lor suport sunt paralele și au punctul $A$ în comun, deci coincid: punctele $A$, $B$, $C$ se află pe aceeași dreaptă.

Scalarul fiind pozitiv, $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ au același sens, iar $AB=3\cdot AC$, deci $C$ se află între $A$ și $B$, la o treime din drum. Din aceeași egalitate obținem și $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, scriere folosită des în probleme.

Exemplul 5 — Deplasarea unui mobil

Un mobil se mișcă uniform, cu viteza de $15$ m/s, orientată spre nord. Calculați modulul vectorului deplasare după $4$ secunde și precizați direcția și sensul acestuia.

Rezolvare. La mișcare uniformă, deplasarea este $\vec{d}=t\cdot \vec{v}$, deci un produs dintre scalarul $t=4$ s și vectorul viteză.

Modulul este $|4|\cdot 15=60$, adică $60$ de metri. Scalarul fiind pozitiv, deplasarea are exact direcția și sensul vitezei, deci mobilul se află la $60$ de metri spre nord față de punctul de plecare.

Observă că timpul este un scalar, iar deplasarea și viteza sunt vectori: înmulțirea cu un scalar este singura operație care leagă aceste mărimi. Dacă mobilul ar merge cu aceeași viteză spre sud, vectorul viteză ar fi $-\vec{v}$, iar deplasarea după aceleași $4$ secunde ar avea tot modulul $60$ de metri, dar sensul opus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $P$, $Q$ pentru care $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. a) Arătați că $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. b) Arătați că dreptele $PQ$ și $BC$ sunt paralele. c) Știind că $BC=21$, calculați $\Vert \overrightarrow{PQ}\Vert$.

Rezolvare. a) Scriem $\overrightarrow{PQ}$ ca diferență de vectori porniți din $A$ și scoatem factorul comun: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

b) Din egalitatea de mai sus, vectorii $\overrightarrow{PQ}$ și $\overrightarrow{BC}$ sunt coliniari, deci dreptele $PQ$ și $BC$ sunt paralele sau coincid. Punctul $P$ se află în interiorul laturii $[AB]$, deci nu aparține dreptei $BC$: dreptele sunt distincte și, prin urmare, paralele.

c) Modulul unui produs se calculează cu valoarea absolută a scalarului: $\Vert \overrightarrow{PQ}\Vert =\frac{1}{3}\cdot 21=7$. Observă că demonstrația n-a folosit nicăieri numărul $\frac{1}{3}$: același drum, cu un alt raport, dă o întreagă familie de segmente paralele cu $BC$, dintre care linia mijlocie este doar cazul $\frac{1}{2}$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, întreabă-te întâi ce fel de obiect trebuie să iasă: un vector sau un număr. Modulele sunt numere și se calculează cu $|k|$; egalitățile vectoriale se rezolvă scoțând factor comun. Iar la coliniaritate, scrii de la început ce cauți: numărul $k$ din $\vec{u}=k\vec{v}$.

1. Se consideră vectorul $\vec{u}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =5$. Calculează $\Vert 4\vec{u}\Vert$, $\Vert -3\vec{u}\Vert$ și $\Vert \frac{1}{5}\vec{u}\Vert$.

2. Calculează $2(\vec{u}+\vec{v})+3(\vec{u}-\vec{v})$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Doi vectori coliniari care au același modul sunt egali."

4. Se consideră $\vec{a}=3\vec{u}-\vec{v}$ și $\vec{b}=12\vec{u}-4\vec{v}$. Arată că $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari și determină numărul $k$ pentru care $\vec{b}=k\vec{a}$.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele distincte $A$ și $B$ și punctul $M$ pentru care $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. Arată că $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ și precizează unde se află $M$ față de capetele segmentului.

6. Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ pentru care $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}$. Arată că punctele sunt coliniare și precizează care dintre ele se află între celelalte două.

7. Se consideră vectorul $\vec{u}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =7$. Calculează $\Vert -4\vec{u}\Vert$ și precizează sensul lui $-4\vec{u}$ față de $\vec{u}$.

8. Se consideră punctele $A$, $B$, $C$, $D$, cu $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}$, iar punctul $A$ nu aparține dreptei $CD$. Arată că dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele.

9. (Problemă aplicată.) O ambarcațiune se mișcă uniform, cu viteza de $12$ m/s spre est. Calculează modulul vectorului deplasare după $5$ secunde și precizează sensul acestuia.

10. Determină numărul real $k$ pentru care $\vec{a}=k\vec{b}$, unde $\vec{a}=4\vec{u}$ și $\vec{b}=10\vec{u}$, cu $\vec{u}\ne \vec{0}$.

11. Arată că $\vec{u}+\vec{u}=2\vec{u}$, folosind una dintre proprietățile înmulțirii cu un scalar.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A$, $B$, $C$, $D$ din plan. Arată că $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$.

13. Se consideră $\vec{a}=\vec{u}+2\vec{v}$ și $\vec{b}=3\vec{u}+6\vec{v}$. Stabilește dacă vectorii sunt coliniari și, în caz afirmativ, determină scalarul care îi leagă.

14. Asupra unui corp acționează forța $\vec{F}$, de $40$ N. Precizează modulul și sensul forței $-3\vec{F}$.

15. Explică de ce scrierea $\Vert -5\vec{u}\Vert =-5\Vert \vec{u}\Vert$ este greșită și scrie forma corectă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, $M$ mijlocul laturii $[AB]$ și $N$ mijlocul laturii $[AC]$. Știind că $MN=6$, calculează $BC$.

17. Calculează $\frac{1}{3}(6\vec{u}-9\vec{v})+2\vec{v}$.

18. (Provocare.) Fie $ABCD$ un patrulater oarecare, $M$ mijlocul laturii $[AB]$ și $N$ mijlocul laturii $[CD]$. Arată că $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

Răspunsuri și explicații

1. Se folosește $\Vert k\vec{u}\Vert =|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$: $\Vert 4\vec{u}\Vert =20$, $\Vert -3\vec{u}\Vert =15$ (valoarea absolută a lui $-3$ este $3$), iar $\Vert \frac{1}{5}\vec{u}\Vert =1$. Toate trei sunt numere pozitive, oricare ar fi semnul scalarului.

2. Desfacem parantezele și reducem: $2\vec{u}+2\vec{v}+3\vec{u}-3\vec{v}=5\vec{u}-\vec{v}$. Termenii cu $\vec{u}$ se adună între ei, cei cu $\vec{v}$ între ei; nu se amestecă, pentru că nimic nu ne spune că cei doi vectori ar fi coliniari.

3. Fals. Coliniaritatea fixează direcția, iar egalitatea modulelor fixează lungimea, dar sensul rămâne liber. Contraexemplul se scrie cu scalarul: pentru $\vec{v}=-\vec{u}$, cei doi vectori sunt coliniari, au același modul, fiindcă $|-1|=1$, și totuși nu sunt egali, ci opuși. Afirmația devine adevărată doar dacă se adaugă „și au același sens".

4. Scoatem factor comun: $\vec{b}=12\vec{u}-4\vec{v}=4(3\vec{u}-\vec{v})=4\vec{a}$, deci $k=4$. Scalarul fiind pozitiv, cei doi vectori au același sens, iar $\Vert \vec{b}\Vert =4\Vert \vec{a}\Vert$ — de patru ori mai lung, nu întors, cum se întâmplă la un scalar negativ.

5. Prin regula triunghiului, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$. Cum scalarul este pozitiv și subunitar, $\overrightarrow{AM}$ are sensul lui $\overrightarrow{AB}$, deci $M$ se află între $A$ și $B$, la trei sferturi de drum dinspre $A$; bucata rămasă, $MB$, este un sfert din $AB$, adică de trei ori mai scurtă decât $AM$.

6. Egalitatea dată arată că $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari, cu $A\ne C$; având originea comună $A$, dreptele-suport coincid, deci punctele sunt coliniare. Scalarul este negativ, deci $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ au sensuri contrare: plecând din $A$, punctul $B$ și punctul $C$ se află de o parte și de alta, prin urmare $A$ este între $B$ și $C$. În plus, $AB=2\cdot AC$, deci $A$ nu e la mijlocul lui $[BC]$.

7. $\Vert -4\vec{u}\Vert =28$, pentru că valoarea absolută a scalarului este $4$. Sensul lui $-4\vec{u}$ este contrar sensului lui $\vec{u}$, scalarul fiind negativ, iar direcția rămâne aceeași.

8. Egalitatea dată arată că cei doi vectori sunt coliniari, deci dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele sau coincid. A doua posibilitate cade: dacă ar coincide, punctul $A$ ar aparține dreptei $CD$, ceea ce ipoteza exclude. Rămâne $AB\parallel CD$, iar din modul se obține în plus $AB=\frac{3}{2}\cdot CD$.

9. Deplasarea este $\vec{d}=t\cdot \vec{v}$, cu $t=5$ s, deci modulul ei este $5\cdot 12=60$, adică $60$ de metri. Scalarul fiind pozitiv, sensul deplasării este cel al vitezei, deci spre est.

10. Din $4\vec{u}=k\cdot 10\vec{u}$ rezultă $(4-10k)\vec{u}=\vec{0}$, iar cum $\vec{u}\ne \vec{0}$, trebuie ca $4-10k=0$, deci $k=\frac{2}{5}$. Verificare: $\frac{2}{5}\cdot 10=4$.

11. Folosim distributivitatea față de adunarea numerelor: $\vec{u}+\vec{u}=1\vec{u}+1\vec{u}=(1+1)\vec{u}=2\vec{u}$. De aici se vede și de ce $\vec{u}+\vec{u}$ nu poate fi ${\vec{u}}^2$ sau vreun număr: rezultatul unei adunări de vectori este tot un vector.

12. Prin regula triunghiului, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Înmulțind ambii membri cu $2$ și folosind distributivitatea, $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=2\overrightarrow{AC}$.

13. Sunt coliniari: $\vec{b}=3\vec{u}+6\vec{v}=3(\vec{u}+2\vec{v})=3\vec{a}$, deci scalarul este $3$. Cei doi vectori au același sens, iar $\vec{b}$ este de trei ori mai lung decât $\vec{a}$.

14. Modulul este $|-3|\cdot 40=120$, adică $120$ N, iar sensul este contrar sensului lui $\vec{F}$. Direcția rămâne aceeași: o forță de trei ori mai intensă, care trage exact invers.

15. Membrul stâng este un modul, deci un număr pozitiv sau nul, în timp ce membrul drept ar fi un număr negativ (dacă $\vec{u}\ne \vec{0}$) — cele două nu pot fi egale. Scrierea corectă folosește valoarea absolută: $\Vert -5\vec{u}\Vert =5\Vert \vec{u}\Vert$.

16. Din relația liniei mijlocii, modulele se leagă prin $MN=\frac{1}{2}\cdot BC$, valoarea absolută a scalarului fiind $\frac{1}{2}$. Înlocuim $MN=6$ și obținem $6=\frac{1}{2}\cdot BC$, deci $BC=12$. Cerința e inversă față de cea obișnuită: se dă linia mijlocie și se cere latura, iar scalarul se folosește „la întors".

17. Desfacem produsul și reducem: $\frac{1}{3}(6\vec{u}-9\vec{v})+2\vec{v}=2\vec{u}-3\vec{v}+2\vec{v}=2\vec{u}-\vec{v}$. Atenție la al doilea coeficient: $\frac{1}{3}\cdot (-9)=-3$, deci termenul este $-3\vec{v}$, iar împreună cu $2\vec{v}$ dă $-\vec{v}$, nu $-5\vec{v}$.

18. Scriem $\overrightarrow{MN}$ în două feluri, trecând prin $A$ și $D$, respectiv prin $B$ și $C$: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ și $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$. Adunăm cele două egalități: $2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}\right)$. Cum $M$ este mijlocul lui $[AB]$, vectorii $\overrightarrow{MA}$ și $\overrightarrow{MB}$ sunt opuși, deci se anulează; la fel $\overrightarrow{DN}$ și $\overrightarrow{CN}$, pentru că $N$ este mijlocul lui $[CD]$. Rămâne $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

De reținut

• Produsul dintre un număr real $k$ și un vector $\vec{u}$ este un vector cu aceeași direcție, cu modulul $|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$ și cu sensul lui $\vec{u}$ dacă $k>0$, respectiv contrar dacă $k<0$; pentru $k=0$ se obține vectorul nul.
• Modulul se calculează cu valoarea absolută a scalarului, deci nu poate ieși niciodată negativ, iar rezultatul înmulțirii unui vector cu un număr este tot un vector, niciodată un număr.
• Cele cinci proprietăți — $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$, $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$, $k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}$, $1\vec{u}=\vec{u}$ și $0\vec{u}=\vec{0}$ — permit desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea, ca la numere.
• Criteriul de coliniaritate: doi vectori $\vec{u}$ și $\vec{v}\ne \vec{0}$ sunt coliniari dacă și numai dacă există $k$ real cu $\vec{u}=k\vec{v}$; pentru puncte, dacă $A\ne C$, atunci $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$ pentru un număr real $k$.
• Teorema liniei mijlocii se demonstrează într-un rând: dacă $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$, atunci $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, de unde ies deodată paralelismul și raportul lungimilor.

Greșeli frecvente

• Valoarea absolută uitată la modul. Din $\Vert -3\vec{u}\Vert$ se ajunge, din grabă, la $-3\Vert \vec{u}\Vert$, adică la un număr negativ — imposibil pentru o lungime. Semnul scalarului se vede în sensul vectorului, nu în modulul lui; formula corectă poartă întotdeauna $|k|$.
• Vectorul confundat cu modulul lui în scriere. Egalități de tipul $3\vec{u}=15$ amestecă un vector cu un număr. Dacă rezultatul cerut este o lungime, se scrie $\Vert 3\vec{u}\Vert =15$; dacă e un vector, răspunsul trebuie să conțină o săgeată.
• Doi vectori înmulțiți între ei. Într-o expresie apare, din obișnuința de la numere, ceva de tipul $\vec{u}\cdot \vec{v}$ sau ${\vec{u}}^2$, tratat ca un vector. La clasa a IX-a singura înmulțire definită este cea dintre un număr și un vector; un produs a doi vectori există, dar dă un număr și se învață separat. Regula de scris: numărul stă întotdeauna în față, vectorii se adună doar între ei.
• Coliniaritatea anunțată fără scalar. La examen nu e de ajuns „se vede că sunt coliniari": trebuie scris numărul $k$ și egalitatea $\vec{u}=k\vec{v}$. Când vectorii sunt dați prin expresii, $k$ se obține scoțând factor comun, nu comparând desene.
• Scalarul aplicat doar primului termen. La desfacerea parantezei apare scrierea $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+\vec{v}$: numărul a fost uitat pe drum. Distributivitatea cere înmulțirea fiecărui termen, exact ca la numere, iar verificarea e imediată — pune $k=2$ și numără vectorii din fiecare membru.

Aplică acasă

1. Harta unei mișcări uniforme. Alege o viteză constantă și o direcție, apoi desenează la scară vectorii deplasare după $1$, $2$, $3$ și $4$ secunde. Măsoară lungimile obținute și verifică, prin împărțire, că raportul lor este același cu raportul timpilor. Notează la fiecare rezultat unitatea de măsură.

2. Coliniaritate pe o foaie de matematică. Scrie cinci perechi de expresii de forma $\vec{a}=p\vec{u}+q\vec{v}$ și $\vec{b}=r\vec{u}+s\vec{v}$, cu numere alese de tine, și decide pentru fiecare pereche dacă vectorii sunt coliniari, căutând scalarul $k$. Compară apoi rapoartele $\frac{r}{p}$ și $\frac{s}{q}$, acolo unde niciun numitor nu este zero: vei descoperi singur regula pe care o vei învăța formal la lecția despre coordonate.

3. Linia mijlocie, măsurată. Desenează trei triunghiuri diferite, construiește în fiecare linia mijlocie corespunzătoare unei laturi și măsoară cele două segmente. Verifică raportul $\frac{1}{2}$ și scrie, pentru unul dintre triunghiuri, demonstrația vectorială completă, cu fiecare pas justificat.

Pentru părinți și profesori

Înmulțirea cu un scalar pare cea mai simplă operație a capitolului și chiar este, la nivelul calculului; dificultatea reală e de limbaj. Elevul lucrează, în aceeași expresie, cu două feluri de obiecte — numere și vectori — iar greșelile apar exact la granița dintre ele: un modul scris cu semn, un vector egalat cu un număr, o simplificare printr-un vector. Un semn bun că lucrurile merg este că elevul se oprește singur să întrebe „ce trebuie să iasă aici, un vector sau un număr?".

A doua miză este criteriul de coliniaritate, care transformă o observație vizuală într-un calcul. La examen, aproape toate cerințele de acest tip se rezolvă în trei rânduri: se scrie ce se caută, se scoate factor comun, se numește scalarul. De urmărit în caiet: dacă la module apare $|k|$; dacă la coliniaritate este scris efectiv numărul $k$; dacă la paralelism se verifică și faptul că dreptele sunt distincte; dacă rezultatele fizice poartă unitatea de măsură. Întrebări de control: „Ce se schimbă și ce rămâne la înmulțirea cu un număr negativ?"; „De ce vectorul cu care compari trebuie să fie nenul?"; „Cum arăți că trei puncte sunt coliniare?"; „Ce îți dă, într-o singură egalitate, teorema liniei mijlocii?".

Programa și examenul. Înmulțirea unui vector cu un scalar și condiția de coliniaritate nu se află în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și nu apar nici în programa probei MAT_P2 de la bacalaureatul 2030; capitolul de vectori lipsește, de altfel, și din programa nouă a profilului matematică-informatică. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, fiindcă elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care cere la clasa a IX-a „înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate". Tot acolo, la capitolul următor, se cere trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială a unei configurații — exact ce face demonstrația liniei mijlocii din această lecție. Ca număr de ore, programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, față de trei în planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Cum se calculează modulul produsului dintre un număr și un vector? Cu formula $\Vert k\vec{u}\Vert =|k|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$, adică se înmulțește modulul vectorului cu valoarea absolută a numărului. Pentru $\Vert \vec{u}\Vert =6$ și $k=-2$ se obține $12$, nu $-12$: un modul este o lungime, deci nu poate fi negativ. Semnul lui $k$ se citește în sensul vectorului rezultat.

Care este condiția de coliniaritate a doi vectori? Doi vectori $\vec{u}$ și $\vec{v}$, cu $\vec{v}$ nenul, sunt coliniari dacă și numai dacă există un număr real $k$ astfel încât $\vec{u}=k\vec{v}$. Când vectorii sunt dați prin expresii cu alți doi vectori, scalarul se găsește scoțând factor comun. Vectorul nul este considerat coliniar cu orice vector.

Cum arăt că trei puncte sunt coliniare, folosind vectori? Se arată că vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, care au originea comună $A$, sunt coliniari, adică se scrie $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$ pentru un număr real $k$. Dreptele lor suport, fiind paralele și având punctul $A$ în comun, coincid. Valoarea lui $k$ arată și ordinea punctelor pe dreaptă.

Se dă înmulțirea cu un scalar și la M1, și la M2? Ce diferă? Programa de examen din 2014 cere capitolul „Vectori în plan" în aceeași formulare la ambele profiluri, deci conținutul este identic; diferă doar restul probei, construit pe materia fiecărui profil. În programele noi, din 2025, capitolul a fost scos de la amândouă, iar la mate-info coliniaritatea se tratează cu coordonate și cu numere complexe.

La ce subiect apare coliniaritatea vectorilor la bacalaureatul M2? La Subiectul I, alcătuit din șase cerințe scurte de câte cinci puncte, care acoperă materia claselor a IX-a și a X-a, printre care și geometria plană. Formatul este cel scurt: o singură întrebare, rezolvabilă în câteva rânduri, ca exercițiile marcate în lecție. Redactarea contează la fel de mult ca ideea: se scrie egalitatea $\vec{u}=k\vec{v}$, se arată calculul prin care se obține scalarul și se numește valoarea lui — un răspuns care spune doar „sunt coliniari" nu răspunde la cerință.

De ce nu se poate simplifica printr-un vector? Pentru că împărțirea la un vector nu este definită: se poate înmulți un vector cu un număr, dar nu se poate împărți un număr sau un vector la un vector. Dintr-o egalitate de forma $k\vec{u}=l\vec{u}$ se trece la $(k-l)\vec{u}=\vec{0}$ și se folosește faptul că $\vec{u}\ne \vec{0}$, de unde $k=l$.

Cum demonstrez vectorial teorema liniei mijlocii? Se scrie $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$, se înlocuiesc cei doi vectori cu jumătățile lor, $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ și $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, și se scoate factorul $\frac{1}{2}$: rezultă $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. De aici ies simultan paralelismul și faptul că linia mijlocie este jumătate din latura opusă. Pentru paralelism se mai adaugă un rând: dreptele sunt distincte, pentru că $M$, mijlocul laturii $[AB]$, nu se află pe dreapta $BC$.

Ce urmează după înmulțirea cu un scalar? Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari, care arată că orice vector din plan se scrie, într-un singur fel, cu ajutorul a doi vectori dați; o găsești în lecția despre descompunerea unui vector după doi vectori. Pe ea se sprijină apoi vectorul de poziție și demonstrațiile de concurență din restul unității.