Evenimentele $$A_1,A_2,A_3$$ sunt două câte două incompatibile, cu $$P(A_1)=0{,}2$$, $$P(A_2)=0{,}3$$, $$P(A_3)=0{,}4$$. Formează ele un sistem complet de evenimente?

Nu, pentru că suma probabilităților este $$0{,}9\neq1$$

Da, pentru că sunt incompatibile

Da, pentru că fiecare are probabilitate pozitivă

Legea probabilității totale: pe scurt

Evenimentele $A_{1}, \dots, A_{n}$ formează un sistem complet de evenimente dacă sunt două câte două incompatibile, reuniunea lor este $Ω$ și fiecare are probabilitate pozitivă — consecință de control: $P (A_{1}) + \dots + P (A_{n}) = 1$ .

Legea probabilității totale: pentru orice eveniment $B$ , $P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \cdot P (B ∣ A_{i}) .$ Demonstrația pornește din $B = (B \cap A_{1}) \cup \dots \cup (B \cap A_{n})$ , bucăți disjuncte, apoi $P (B \cap A_{i}) = P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$ .

Rețeta: numești scenariile, verifici că ponderile lor se adună la $1$ , scrii probabilitățile condiționate „ca și cum ai ști sigur” scenariul, aplici formula și controlezi că rezultatul se află între cea mai mică și cea mai mare probabilitate condiționată. Nu amesteca bilele din urne diferite — dă rezultat corect doar dacă urnele au același număr de bile.

Problema inversă — din ce scenariu a provenit rezultatul? — nu cere formulă nouă: $P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{P ( B )}$ , adică un singur termen din sumă, împărțit la suma întreagă.

Cel mai simplu sistem complet este perechea ${A, \overline{A}}$ , un eveniment și contrarul lui. La probleme cu urne alese la întâmplare, scenariile pot fi echiprobabile (fiecare urnă cu aceeași șansă) sau nu (de exemplu, alese printr-un zar sau o monedă), iar formula funcționează identic în ambele cazuri — doar ponderile $P (A_{i})$ diferă.

Exerciții din această mini-lecție

Se alege la întâmplare, cu probabilitatea $\frac{1}{2}$ fiecare, una dintre urnele: $U_{1}$ ( $2$ albe, $3$ negre) sau $U_{2}$ ( $4$ albe, $1$ neagră). Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să fie albă?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{2}{5}$
- d) $\frac{3}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

$P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Amestecarea bilelor ar da tot $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ aici (coincidență, pentru că urnele au același număr de bile), dar rețeta corectă rămâne legea probabilității totale.
Evenimentele $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ sunt două câte două incompatibile, cu $P (A_{1}) = 0, 2$ , $P (A_{2}) = 0, 3$ , $P (A_{3}) = 0, 4$ . Formează ele un sistem complet de evenimente?
- a) Da, pentru că sunt incompatibile
- b) Nu, pentru că suma probabilităților este $0, 9 \neq = 1$
- c) Da, pentru că fiecare are probabilitate pozitivă
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că suma probabilităților este $0, 9 \neq = 1$

Fiind incompatibile, $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9$ . Cum $0, 9 \neq = 1$ , reuniunea nu este evenimentul sigur, deci condiția a doua din definiție nu este îndeplinită — nu formează un sistem complet, oricât ar fi de incompatibile.
Atelierul $A$ produce $70%$ dintre piesele unei fabrici, cu $4%$ rebut; atelierul $B$ produce restul de $30%$ , cu $8%$ rebut. Care este probabilitatea ca o piesă aleasă la întâmplare să fie rebut?
- a) $0, 04$
- b) $0, 08$
- c) $0, 052$
- d) $0, 06$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 052$

$P (R) = 0, 7 \cdot 0, 04 + 0, 3 \cdot 0, 08 = 0, 028 + 0, 024 = 0, 052$ , adică $5, 2%$ — o valoare între $4%$ și $8%$ , mai aproape de $4%$ pentru că atelierul $A$ produce mai mult.

Legea probabilității totale: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu