Acasă · Matematică M2 clasa a IX-a · Înțelegerea inducției

De la ce număr pornește inducția matematică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Înțelegerea inducției

Inducția pornește de la primul număr pentru care se cere proprietatea, iar pasul trebuie demonstrat pentru toți indicii de la acel număr încolo. Exemplu: $2^{n} > n^{2}$ este falsă pentru $n = 2, 3, 4$ , căci $4 = 4$ , $8 < 9$ , $16 = 16$ , dar pentru $n = 5$ avem $32 > 25$ . Baza se verifică la $n = 5$ , iar pasul pentru $k \geq 5$ . Concluzia privește numai indicii $n \geq 5$ .

Inducția justifică o proprietate pentru indicii naturali de la un început precizat încolo. Verificarea valorii inițiale oferă primul caz adevărat. Demonstrarea transmiterii de la un indice arbitrar la succesorul său permite continuarea argumentului până la orice poziție din domeniul cerut.

În etapa de transmitere se admite temporar proprietatea la indicele $k$ . Folosind-o împreună cu definițiile problemei, se obține proprietatea la $k + 1$ . Această presupunere locală nu înseamnă că formula este deja cunoscută pentru toate valorile. Rezultatul urmărit nu poate fi introdus printre informațiile disponibile fără justificare.

Citește atent primul indice. Starea de dinaintea operațiilor poate fi numerotată cu zero, iar o sumă de termeni poate începe la unu sau mai târziu. Baza trebuie să corespundă punctului din care funcționează și pasul. Dacă între început și prima transmitere rămâne un gol, nu ai acoperit întregul domeniu.

La revizie, marchează rândul unde este utilizată ipoteza și compară rezultatul cu formula țintă. Înlocuirea indicelui se face în toate aparițiile lui, păstrând parantezele. Testele numerice ajută la găsirea erorilor, însă nu înlocuiesc dovada generală. Încheierea numește indicii efectiv acoperiți; nu extinde automat rezultatul la indici anteriori sau la numere reale.

De reținut

baza se verifică la primul indice cerut, nu neapărat la $0$ sau $1$
pasul $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ se demonstrează pentru orice $k$ de la bază încolo
concluzia privește numai indicii acoperiți de bază și de pas

Greșeala tipică

Se pornește inducția de la $n = 1$ pentru $2^{n} > n^{2}$ și se declară adevărată pentru toți $n$ ; la $n = 2, 3, 4$ inegalitatea nu are loc, deci baza corectă este $n = 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

O proprietate trebuie demonstrată pentru fiecare număr natural $n \geq 6$ . Care este baza corespunzătoare acestui domeniu?
- a) $P (0)$
- b) $P (1)$
- c) $P (6)$
- d) $P (k + 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $P (6)$

Primul indice cerut este șase. Verifici $P (6)$ , apoi demonstrezi transmiterea pentru fiecare $k \geq 6$ .
Care descriere exprimă ipoteza folosită într-un pas de inducție?
- a) Formula este presupusă pentru toate numerele reale.
- b) Proprietatea este admisă temporar la indicele k, pentru a o deduce la următorul.
- c) Concluzia de la indicele următor este presupusă adevărată.
- d) Este verificată numai trecerea de la unu la doi.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Proprietatea este admisă temporar la indicele k, pentru a o deduce la următorul.

Ipoteza permite demonstrarea unei implicații pentru un indice arbitrar admis. Nu oferă direct verdictul general și nu autorizează presupunerea țintei.
Dacă formula propusă este $S_{n} = n (3 n + 4)$ , ce expresie trebuie obținută pentru $S_{k + 1}$ ?
- a) $(k + 1) (3 k + 7)$
- b) $(k + 1) (3 k + 4)$
- c) $k (3 k + 7)$
- d) $k (3 k + 4) + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(k + 1) (3 k + 7)$

Înlocuiești fiecare apariție a lui $n$ cu $k + 1$ : $(k + 1) (3 (k + 1) + 4) = (k + 1) (3 k + 7)$ .

Întrebări conexe

Cum arăt prin inducție că $5^{n} - 1$ se divide cu $4$ ?

Baza, pentru $n = 1$ : $5 - 1 = 4$ , care se divide cu $4$ . Pasul folosește ipoteza pentru un $k$ oarecare: dacă $5^{k} - 1 = 4 t$ , atunci $5^{k + 1} - 1 = 5 (5^{k} - 1) + 4 = 20 t + 4 = 4 (5 t + 1)$ , un multiplu de $4$ . Deci proprietatea are loc pentru orice $n \geq 1$ ; de exemplu, $5^{3} - 1 = 124 = 4 \cdot 31$ .

Ce se întâmplă dacă sar peste verificarea bazei la inducție?

Poți „demonstra” afirmații false. Pentru $P (n)$ : „ $n = n + 1$ ”, pasul funcționează formal: din $k = k + 1$ rezultă $k + 1 = k + 2$ . Dar $P (1)$ spune $1 = 2$ , fals. Fără bază, lanțul de implicații nu are de unde porni.

Ce se întâmplă dacă baza este adevărată, dar pasul nu merge?

Proprietatea poate cădea mai departe. Afirmația „ $n^{2} < 10$ ” este adevărată pentru $n = 1, 2, 3$ , dar pasul de la $3$ la $4$ eșuează, fiindcă $16 > 10$ . Câteva cazuri verificate nu înlocuiesc pasul pentru un $k$ oarecare.

Cum aplic inducția doar pentru numerele pare?

Ai două variante. Poți demonstra proprietatea pentru $2 n$ , cu $n$ natural, folosind inducția obișnuită după $n$ . Sau poți verifica baza la primul număr par și demonstra trecerea de la $k$ la $k + 2$ , care sare de la un par la următorul.

Cum scriu ipoteza și ținta pentru formula $S_{n} = n (n + 1)$ ?

Ipoteza de inducție este $S_{k} = k (k + 1)$ , pentru un $k$ fixat. Ținta se obține înlocuind $n$ cu $k + 1$ peste tot: $S_{k + 1} = (k + 1) (k + 2)$ . Scrierea explicită a țintei arată de la început ce expresie trebuie obținută.

Oamenii mai întreabă și: rangul de pornire la inducție · baza inducției · inducție de la zero sau de la unu · de unde încep inducția

🚩 am găsit o greșeală

Continuă cu lecțiile M2 →

Deschide în aplicație, pe profilul Științe ale naturii (M2) →

Continuă cu

Lecția completă