Metoda inducției matematice (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Imaginează-ți o procedură cu etapele numerotate zero, unu, doi și așa mai departe. Știi că o proprietate este adevărată la început. Mai poți arăta că, ori de câte ori este adevărată la o etapă, rămâne adevărată la următoarea. Aceste două informații permit o concluzie pentru toate etapele, nu doar pentru cele pe care le-ai calculat. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), acesta este mecanismul inducției matematice. Pentru Bacalaureatul M2, studiul ei formează deprinderea de a verifica o demonstrație completă, cu domeniu și punct de pornire corecte.

Lecția explică rolurile diferite ale bazei, ipotezei și pasului inductiv. Folosește validarea unui raționament și se distinge de reducerea la absurd. După ce stăpânești mecanismul, vei construi demonstrații din formule și reguli concrete în aplicațiile simple ale inducției. Nu ai nevoie de un catalog de formule: trebuie să înțelegi exact ce demonstrează fiecare parte a argumentului.

Ce vei învăța

Vei ști să precizezi afirmația $P (n)$ și mulțimea indicilor pentru care trebuie demonstrată.
Vei ști să alegi baza potrivită, inclusiv când numerotarea începe de la zero sau de la un număr mai mare decât unu.
Vei ști să separi ipoteza $P (k)$ de ținta $P (k + 1)$ , fără să presupui concluzia generală.
Vei ști să identifici locul în care ipoteza este folosită într-un calcul.
Vei ști să depistezi o bază falsă, un pas incomplet ori o lacună între rangul de pornire și domeniul pasului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce fel de afirmații verificăm prin inducție?

Inducția matematică este o metodă pentru demonstrarea unor afirmații indexate prin numere naturale consecutive. Scriem $P (n)$ pentru proprietatea care depinde de indicele $n$ . Înaintea demonstrației, precizăm domeniul: de exemplu, $n \in N$ , $n \geq 1$ sau $n \geq 4$ .

Litera $n$ nu reprezintă o valoare pe care o alegem la întâmplare pentru întreaga problemă. Ea descrie toate pozițiile admise. După înlocuirea lui $n$ cu un anumit număr, obținem o propoziție precisă, precum $P (0)$ ori $P (3)$ , pe care o putem verifica direct.

În această lecție folosim convenția $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ . Atunci când enunțul cere numai indici pozitivi, scriem explicit $n \geq 1$ . O sumă cu primii $n$ termeni, de exemplu, poate fi definită de la unu, în timp ce numărul de operații efectuate într-un proces poate începe de la zero.

Metoda nu se aplică automat oricărei propoziții care conține o literă. Numerele reale nu sunt parcurse toate prin adăugarea repetată a lui unu. Dacă variabila este reală, trebuie găsit un alt argument sau trebuie identificat un indice natural care organizează situațiile studiate. Domeniul nu este doar o etichetă din enunț; el explică de ce mecanismul poate acoperi toate cazurile.

2. Ce garantează baza și ce garantează pasul inductiv?

Fie $n_{0}$ primul indice cerut. Pentru a dovedi $P (n)$ la fiecare indice natural $n \geq n_{0}$ , verificăm două lucruri. Mai întâi, arătăm că $P (n_{0})$ este adevărată. Apoi justificăm, pentru fiecare $k \geq n_{0}$ , trecerea de la $P (k)$ la $P (k + 1)$ .

Prima verificare se numește baza inducției. Ea oferă un punct de pornire adevărat. A doua parte se numește pasul inductiv și dovedește transmiterea proprietății între două poziții consecutive, indiferent ce indice admis $k$ alegem.

Parte	Ce trebuie stabilit	Ce nu este suficient
Baza	$P (n_{0})$ este adevărată	O formulă scrisă fără înlocuire și calcul
Pasul	$P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ pentru fiecare $k \geq n_{0}$	O singură trecere numerică, precum de la doi la trei
Încheierea	$P (n)$ pentru toate numerele naturale $n \geq n_{0}$	Extinderea la indici anteriori sau la toate numerele reale

De ce funcționează? Din bază și pasul aplicat la $k = n_{0}$ obținem propoziția următoare. Repetăm argumentul și ajungem la orice indice natural fixat, în finit de multe treceri. Numărul de treceri poate fi mare, dar aceeași justificare generală le acoperă pe toate.

3. Ce presupunem și ce trebuie să demonstrăm în pas?

Fixăm un indice natural $k$ din domeniul cerut. Presupunem temporar că $P (k)$ este adevărată și, folosind această informație, arătăm că $P (k + 1)$ este adevărată. Presupunerea se numește ipoteză de inducție. Ea este punctul de plecare al unei implicații, nu verdictul final despre toate valorile.

Nu presupunem că formula funcționează deja pentru orice indice. Asta ar include tocmai concluzia de demonstrat. Nu presupunem nici $P (k + 1)$ atunci când vrem să o deducem. Ținta poate fi scrisă pentru orientare, dar trebuie etichetată „de demonstrat”, nu folosită ca informație cunoscută.

Indicele $k$ este oarecare, însă rămâne fix în calculul pasului. Nu îl înlocuim cu doi sau cu cinci ca să simplificăm demonstrația. O asemenea înlocuire ar verifica o trecere particulară, în timp ce principiul cere justificarea tuturor trecerilor din domeniu.

Este util să scrii două rânduri separate: „Presupunem…” și „Trebuie să obținem…”. În formule, înlocuiești fiecare apariție a lui $n$ cu $k + 1$ atunci când scrii ținta. Înlocuirea privește și aparițiile ascunse în paranteze, în exponenți sau în numărul termenilor unei sume; o paranteză omisă schimbă expresia. O eroare în țintă poate face un calcul corect să demonstreze altceva.

4. Unde se vede folosirea ipotezei într-un calcul?

Considerăm suma $S_{n}$ a $n$ termeni, fiecare egal cu patru, pentru $n \geq 1$ . Vrem să justificăm $S_{n} = 4 n$ . La primul indice, $S_{1} = 4$ , deci formula este corectă.

Pentru pas, presupunem $S_{k} = 4 k$ . Suma următoare are aceiași $k$ termeni și încă un termen patru, deci $S_{k + 1} = S_{k} + 4$ . Abia acum folosim ipoteza și obținem:

$S_{k + 1} = 4 k + 4 = 4 (k + 1) .$

Rezultatul este exact formula cerută la indicele următor. Ipoteza apare în înlocuirea lui $S_{k}$ prin $4 k$ . Separarea aceasta te ajută să distingi definiția sumei, informația presupusă și simplificarea algebrică.

Nu este obligatoriu ca fiecare problemă să fie o sumă. Dacă o procedură descrie direct cum se trece de la o stare la alta, acea regulă furnizează legătura dintre indici. Dacă problema este o inegalitate, trebuie să verifici și sensul estimărilor. În toate cazurile, concluzia pasului trebuie să fie forma exactă a lui $P (k + 1)$ .

5. Cum alegem un început diferit de unu?

Primul indice vine din enunț și din definițiile folosite. Pentru un proces cu stare inițială înaintea oricărei operații, baza poate fi $P (0)$ . Dacă o proprietate este cerută numai pentru $n \geq 4$ , baza firească este $P (4)$ , iar pasul trebuie demonstrat pentru fiecare $k \geq 4$ .

O verificare la unu nu înlocuiește verificarea la patru atunci când demonstrația pasului funcționează numai de la patru. Ai avea un început adevărat și un mecanism de transmitere care pornește prea târziu. Trecerile intermediare ar rămâne nejustificate.

De asemenea, demonstrarea proprietății pentru fiecare $n \geq 4$ nu spune singură nimic despre indicii zero, unu, doi sau trei. Aceștia pot fi verificați separat dacă problema îi cere. Nu extindem concluzia înaintea bazei numai fiindcă expresia continuă să aibă sens acolo.

Când enunțul propune un domeniu, testează mai întâi baza. Dacă ea este falsă, nu încerca să construiești o demonstrație a enunțului neschimbat. Ai găsit un contraexemplu. Poți studia o variantă corectată, dacă sarcina permite, dar trebuie să precizezi că ai schimbat domeniul și să justifici noul punct de pornire.

La sume, nu introduce un indice zero fără să explici ce reprezintă suma de atunci. Dacă enunțul definește suma numai pentru un număr pozitiv de termeni, baza de la unu este suficientă și naturală. O convenție despre suma fără termeni poate fi utilă în alte contexte, dar nu este necesară pentru a demonstra formula pe domeniul pozitiv. Alegerea bazei trebuie să respecte obiectele efectiv definite.

6. De ce multe verificări nu țin locul pasului?

Afirmația $P (n)$ : „ $n < 6$ ” este adevărată pentru $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Totuși nu este adevărată pentru toate numerele naturale, deoarece eșuează la șase. Șase verificări reușite au descris șase cazuri, fără să justifice transmiterea generală a proprietății.

În acest exemplu, trecerea de la cinci la șase este locul unde s-ar rupe un pretins pas inductiv. Dacă cineva scrie „presupun $k < 6$ , deci $k + 1 < 6$ ”, afirmația nu este validă pentru fiecare $k$ admis. Valoarea cinci verifică ipoteza pasului și infirmă concluzia sa.

Există și eroarea opusă: o trecere poate fi formal corectă, deși baza este falsă. O presupunere falsă nu este reparată prin transmiterea ei. Trebuie să existe atât primul caz adevărat, cât și justificarea fiecărei treceri. Niciuna dintre cele două componente nu poate fi eliminată din metodă.

Calculele pentru câteva valori rămân utile. Ele pot detecta un termen omis, un indice greșit sau o bază nepotrivită înainte să începi demonstrația. Rolul lor este însă de control și explorare. Dovada pentru întregul domeniu provine din bază împreună cu pasul general, nu din numărul de verificări efectuate.

7. Cum redactăm încheierea fără să depășim ce am demonstrat?

După pas, compară rezultatul cu ținta scrisă înaintea calculului. La o egalitate trebuie să coincidă expresiile; la o inegalitate trebuie păstrat sensul și, dacă este cazul, caracterul strict. O estimare apropiată de țintă nu este suficientă dacă nu o implică.

Precizează apoi că baza și pasul permit aplicarea principiului inducției. Încheierea numește exact domeniul, de exemplu „pentru fiecare număr natural $n \geq 2$ ”. Dacă ai pornit de la doi, nu scrie doar „pentru orice $n$ ”, lăsând cititorul să presupună și zero sau unu.

Verifică și modul de numărare. Într-un proces indexat de la zero, $a_{0}$ este valoarea inițială, iar $a_{3}$ apare după trei treceri. Într-o sumă cu $n$ termeni indexați de la unu, ultimul termen este cel de rang $n$ . Aceste convenții pot diferi fără ca vreuna să fie greșită, dar trebuie păstrate consecvent.

Schimbarea indicelui nu înseamnă adăugarea lui unu la valoarea oricărei expresii. Dacă apare $3^{n}$ , forma următoare este $3^{k + 1} = 3 \cdot 3^{k}$ , nu $3^{k} + 1$ . Dacă apare $n^{2}$ , obții $(k + 1)^{2} = k^{2} + 2 k + 1$ . Aceste identități sunt reguli de calcul, separate de ipoteza inductivă. Scrierea lor corectă pregătește pasul, dar folosirea ipotezei trebuie identificată distinct în demonstrația completă.

O redactare bună îi permite cititorului să identifice separat baza, ipoteza, calculul și domeniul concluziei. Nu sunt necesare fraze lungi repetate mecanic. Sunt necesare informațiile matematice care arată că demonstrația pornește, se transmite fără lacune și acoperă exact indicii promiși.

Când citești demonstrația altcuiva, nu te opri la etichetele „bază” și „pas”. Verifică afirmațiile scrise sub ele. O secțiune numită „pas inductiv” poate conține doar un exemplu numeric, iar o încheiere corect formulată poate urma unor calcule nejustificate. Denumirile te orientează; relațiile efectiv demonstrate hotărăsc validitatea argumentului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Alegerea bazei din domeniul cerut

Pentru $P (n)$ : „ $n^{2} \geq 3 n$ ”, enunțul cere $n \geq 3$ . Scrie baza, ipoteza pasului și ținta, fără să confunzi aceste trei roluri.

Baza este $P (3)$ : verificăm $3^{2} \geq 3 \cdot 3$ , adică $9 \geq 9$ , adevărat. În pas fixăm $k \geq 3$ și presupunem $k^{2} \geq 3 k$ . Ținta este $(k + 1)^{2} \geq 3 (k + 1)$ .

Această scriere pregătește demonstrația, dar nu o încheie: încă trebuie dovedită trecerea de la ipoteză la țintă. Nu înlocuim ținta cu $(k + 1)^{2} \geq 3 k$ , deoarece în afirmația inițială toate aparițiile indicelui se modifică. Nici $P (2)$ nu este baza cerută; în plus, ea ar da $4 \geq 6$ , fals.

Exemplul 2. Care termen se adaugă la suma următoare?

Avem afirmația $P (n)$ : $1 + 6 + 11 + \dots + (5 n - 4) = \frac{n ( 5 n - 3 )}{2}$ , pentru $n \geq 1$ . Scrie ipoteza la $k$ , ținta la $k + 1$ și termenul nou.

Ipoteza este $1 + 6 + \dots + (5 k - 4) = \frac{k ( 5 k - 3 )}{2}$ . Termenul următor este $5 (k + 1) - 4 = 5 k + 1$ . Ținta devine:

$1 + 6 + \dots + (5 k - 4) + (5 k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( 5 k + 2 )}{2} .$

Am separat suma veche de termenul nou. Se adaugă $5 k + 1$ , nu $5 k - 4$ încă o dată. Exemplul controlează pregătirea pasului; calculul de încheiere ar compara $\frac{k ( 5 k - 3 )}{2} + (5 k + 1)$ cu ținta. Ambele se dezvoltă în $\frac{5 k ^{2} + 7 k + 2}{2}$ , deci trecerea este corectă. Baza, dacă redactăm demonstrația completă, este egalitatea $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ .

Exemplul 3. Un proces care începe la zero

Un model imaginar are inițial $9$ locuri disponibile. La fiecare etapă sunt adăugate exact $2$ locuri. Notăm prin $a_{n}$ numărul de locuri după $n$ etape, deci $a_{0} = 9$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ . Verifică prin inducție $a_{n} = 9 + 2 n$ pentru $n \geq 0$ .

La zero etape, formula dă $a_{0} = 9$ , în acord cu datele. Presupunem că la un $k \geq 0$ avem $a_{k} = 9 + 2 k$ . Regula procesului dă $a_{k + 1} = a_{k} + 2 = 9 + 2 k + 2 = 9 + 2 (k + 1)$ .

Prin inducție, formula este valabilă la fiecare indice natural. Baza este zero, nu unu. Pentru control, după trei etape sunt $15$ locuri. Acest calcul verifică o consecință a formulei; nu înlocuiește demonstrația că regula o păstrează la toate etapele.

Exemplul 4. O presupunere circulară în pasul inductiv

Pentru $P (n)$ : „ $2^{n} \geq n + 1$ ”, cu $n \geq 0$ , un elev verifică baza, apoi scrie: „ $P (k + 1)$ este adevărată deoarece formula este adevărată pentru toate numerele naturale”. Ce lipsește?

Elevul a folosit chiar concluzia generală pe care trebuie să o demonstreze. Baza este corectă: $2^{0} = 1$ . Dar pasul trebuie justificat din $P (k)$ , nu dintr-o afirmație universală încă nedovedită.

Presupunem $2^{k} \geq k + 1$ . Atunci $2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} \geq 2 k + 2 \geq k + 2$ , ultima inegalitate rezultând din $k \geq 0$ . Am obținut exact $P (k + 1)$ . Acest calcul repară pasul și, împreună cu baza, permite concluzia pentru toate numerele naturale.

Exemplul 5. Un început la patru

Demonstrează prin inducție $n^{2} \geq 2 n + 8$ pentru orice număr natural $n \geq 4$ .

La $n = 4$ , ambele expresii sunt egale cu $16$ . Presupunem $k^{2} \geq 2 k + 8$ pentru un $k \geq 4$ . Atunci:

$(k + 1)^{2} = k^{2} + 2 k + 1 \geq (2 k + 8) + 2 k + 1 = 4 k + 9 \geq 2 k + 10 = 2 (k + 1) + 8.$

Ultima comparație este justificată de $2 k - 1 \geq 7 > 0$ . Prin inducție, inegalitatea este adevărată pe domeniul cerut. Pentru $n = 3$ , ea ar cere $9 \geq 14$ , fals; deci nu putem extinde concluzia înapoi la trei.

Exemplul arată două controale distincte: baza se verifică la patru, iar condiția $k \geq 4$ este folosită în pas. Domeniul din încheiere este același cu cel pentru care aceste două componente au fost justificate.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Demonstrează că $6 + 12 + 18 + \dots + 6 n = 3 n (n + 1)$ pentru fiecare număr natural $n \geq 1$ .

Pentru $n = 1$ , obținem $6 = 3 \cdot 1 \cdot 2$ , deci baza este adevărată. Fixăm $k \geq 1$ și presupunem că suma primilor $k$ termeni este $3 k (k + 1)$ . La trecerea următoare adăugăm $6 (k + 1)$ :

$6 + 12 + \dots + 6 k + 6 (k + 1) = 3 k (k + 1) + 6 (k + 1) = 3 (k + 1) (k + 2) .$

Aceasta este forma cerută pentru indicele $k + 1$ . Prin inducție, egalitatea este demonstrată pentru toate numerele naturale pozitive. Pentru $n = 3$ , controlul direct dă $6 + 12 + 18 = 36 = 3 \cdot 3 \cdot 4$ .

Este un exemplu propriu de antrenament pentru Bacalaureatul M2. Demonstrația include informațiile necesare metodei: primul caz adevărat, folosirea explicită a ipotezei și obținerea relației cerute la indicele următor.

Să exersăm

1. O afirmație este cerută pentru fiecare număr natural $n \geq 2$ . Care este baza firească a inducției?

2. Afirmația $P (n)$ spune: „ $n$ puncte interioare distincte împart un segment în $n + 1$ segmente mai mici”, pentru $n \geq 0$ . Scrie propozițiile $P (0)$ și $P (3)$ și precizează ce numără indicele.

3. Dacă membrul drept din $P (n)$ este $n (n - 2)$ , cum arată el în $P (k + 1)$ , înainte și după desfacerea parantezelor?

4. Pentru $P (n)$ : „ $n - 3 < n$ ”, stabilește de la ce indice natural propoziția are sens și verifică baza la acel indice.

5. Pentru $P (n)$ : „ $(n + 1) (n + 2) > n^{2} + 3 n$ ”, cu $n \geq 0$ , verifică $P (0)$ . Dezvoltă apoi membrul stâng: mai este nevoie de inducție?

6. Adevărat sau fals? „Dacă pasul $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ este demonstrat pentru orice $k \geq 0$ , iar $P (5)$ este falsă, atunci și $P (0)$ este falsă.” Motivează.

7. Expresia $n^{2} + n + 11$ dă numere prime pentru $n = 0, 1, \dots, 9$ . Calculează valoarea ei pentru $n = 10$ . Ce arată rezultatul despre cele zece verificări?

8. Un elev a demonstrat trecerea $P (k + 1) \Rightarrow P (k)$ pentru orice $k \geq 0$ și știe că $P (10)$ este adevărată. Ce indici sunt acoperiți? Sunt acoperiți și indicii mai mari decât zece?

9. Ai verificat numai $P (1)$ , iar pasul este demonstrat numai pentru $k \geq 2$ . Ce legătură lipsește?

10. Două procese pornesc de la $a_{0} = 5$ și $b_{0} = 2$ și au aceeași regulă: la fiecare etapă se adaugă $4$ . Demonstrează prin inducție că $a_{n} - b_{n} = 3$ pentru fiecare $n \geq 0$ .

11. Într-o demonstrație știi $S_{k} = k (k + 4)$ și $S_{k + 1} = S_{k} + 2 k + 5$ . Arată că $S_{k + 1} = (k + 1) (k + 5)$ și identifică egalitatea care folosește ipoteza de inducție.

12. Un robot de laborator așază probe pe rafturi numerotate $1, 2, 3, \dots$ după regula: dacă a pus o probă pe raftul $k$ , pe următoarea o pune pe raftul $k + 2$ . Prima probă este pe raftul $1$ . Pe ce rafturi ajung sigur probe? Primește raftul $10$ vreo probă după această regulă? (Problemă aplicată.)

13. Demonstrează prin inducție că $1 + 2 + \dots + n \leq n^{2}$ pentru fiecare $n \geq 1$ . (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Demonstrează $2 + 6 + 10 + \dots + (4 n - 2) = 2 n^{2}$ pentru fiecare $n \geq 1$ . (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Demonstrează prin inducție că $1 - 3 + 5 - 7 + \dots + (- 1)^{n + 1} (2 n - 1) = (- 1)^{n + 1} n$ pentru fiecare $n \geq 1$ . (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Într-un pas care trebuie să funcționeze pentru $k \geq 0$ , un elev împarte o egalitate la $k$ . De ce operația nu este justificată pentru fiecare indice și ce caz trebuie tratat separat?

17. Un elev verifică $P (2)$ și justifică trecerea la indicele următor numai când indicele curent este par. Este demonstrată proprietatea pentru toți indicii naturali cel puțin egali cu doi? Arată până unde poate continua efectiv argumentul.

18. Sunt cunoscute $P (1)$ , $P (3)$ și pasul $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ pentru fiecare $k \geq 3$ . Ce indici sunt acoperiți sigur? Poți afirma $P (2)$ ? (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Baza este $P (2)$ . Acesta este primul indice al domeniului cerut. Pasul trebuie apoi justificat pentru fiecare $k \geq 2$ .

2. $P (0)$ : fără niciun punct interior, segmentul rămâne o singură bucată. $P (3)$ : trei puncte interioare distincte îl împart în patru bucăți. Indicele numără punctele de împărțire, nu bucățile; de aceea domeniul începe firesc de la zero.

3. Obții $(k + 1) ((k + 1) - 2) = (k + 1) (k - 1)$ , adică $k^{2} - 1$ . Paranteza interioară primește și ea indicele nou; o scriere precum $(k + 1) (k - 2)$ ar amesteca indicele nou cu cel vechi.

4. Radicalul cere $n - 3 \geq 0$ , deci primul indice este trei. Baza este $P (3)$ : $0 = 0 < 3$ , adevărat. Indicii zero, unu și doi nu dau propoziții false, ci expresii fără sens în numere reale; ei nu fac parte din domeniul afirmației.

5. $P (0)$ spune că $2 > 0$ , deci baza este adevărată. Pentru orice $n$ , însă, $(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 3 n + 2$ , care depășește $n^{2} + 3 n$ cu doi. Afirmația rezultă direct, pentru toate valorile deodată; inducția ar fi corectă, dar nu este necesară. Metoda se alege după forma enunțului.

6. Adevărat. Dacă $P (0)$ ar fi adevărată, pasul aplicat de cinci ori ar da pe rând $P (1)$ , $P (2)$ , $P (3)$ , $P (4)$ și $P (5)$ adevărate, în contradicție cu datele. Un caz fals situat după bază arată că baza nu poate fi adevărată împreună cu acest pas.

7. Pentru $n = 10$ obții $100 + 10 + 11 = 121 = 11 \cdot 11$ , număr care nu este prim. Cele zece verificări reușite nu demonstrau afirmația pentru toate numerele naturale: lipsea un pas general, iar afirmația este chiar falsă de la zece.

8. Coborând din zece, pas cu pas, obții $P (9)$ , $P (8)$ și așa mai departe, până la $P (0)$ : sunt acoperiți indicii de la zero la zece. Despre $P (11)$ și indicii următori nu rezultă nimic, fiindcă trecerea demonstrată merge numai în jos.

9. Lipsește justificarea lui $P (2)$ , de exemplu prin trecerea de la $P (1)$ la $P (2)$ . Pasul disponibil nu poate fi aplicat la $k = 1$ .

10. Baza: $a_{0} - b_{0} = 5 - 2 = 3$ . Dacă $a_{k} - b_{k} = 3$ , atunci $a_{k + 1} - b_{k + 1} = (a_{k} + 4) - (b_{k} + 4) = a_{k} - b_{k} = 3$ . Prin inducție, diferența rămâne trei la fiecare etapă, fără să calculăm separat formulele celor două procese.

11. Înlocuim $S_{k}$ prin $k (k + 4)$ : $S_{k + 1} = k^{2} + 4 k + 2 k + 5 = k^{2} + 6 k + 5 = (k + 1) (k + 5)$ . Ipoteza este folosită în prima înlocuire; dezvoltarea și factorizarea de după ea sunt calcule algebrice obișnuite.

12. Baza este raftul unu, iar pasul avansează cu două poziții: se ating rafturile $1, 3, 5, 7, \dots$ , adică toate rafturile cu număr impar. Raftul zece are număr par și nu este atins de lanțul pornit din unu. Pentru rafturile pare ar fi nevoie de o altă bază, de exemplu o probă pusă pe raftul doi.

13. Baza: $1 \leq 1$ . Presupunem $1 + 2 + \dots + k \leq k^{2}$ . Adăugând termenul $k + 1$ , suma nouă este cel mult $k^{2} + k + 1$ , iar $k^{2} + k + 1 \leq k^{2} + 2 k + 1 = (k + 1)^{2}$ , deoarece $k \geq 0$ . Prin inducție, inegalitatea are loc pentru fiecare $n \geq 1$ .

14. Baza dă $2 = 2 \cdot 1^{2}$ . Din ipoteza că suma până la $k$ este $2 k^{2}$ , adăugăm termenul $4 (k + 1) - 2 = 4 k + 2$ și obținem $2 k^{2} + 4 k + 2 = 2 (k + 1)^{2}$ .

15. Baza: la $n = 1$ suma are un singur termen, unu, iar membrul drept este $(- 1)^{2} \cdot 1 = 1$ . Presupunem că suma primilor $k$ termeni este $(- 1)^{k + 1} k$ . Termenul următor este $(- 1)^{k + 2} (2 k + 1)$ , deci suma devine $(- 1)^{k + 1} k + (- 1)^{k + 2} (2 k + 1) = (- 1)^{k + 2} (- k + 2 k + 1) = (- 1)^{k + 2} (k + 1)$ , adică forma cerută la $k + 1$ . Semnul termenului nou se citește din exponentul lui $- 1$ , nu din semnul termenului precedent.

16. La indicele zero, împărțitorul este nul. Calculul propus poate funcționa numai pentru indicii pozitivi. Trebuie justificată separat trecerea de la zero la unu sau găsită o altă transformare care funcționează și acolo.

17. Nu. De la doi, care este par, se poate deduce $P (3)$ . Următoarea trecere pornește însă de la trei, impar, și nu este justificată. Argumentul nu oferă $P (4)$ , deci nu acoperă domeniul promis. Pasul trebuie controlat pentru fiecare indice admis, nu numai pentru unii dintre ei.

18. Sunt acoperiți indicele unu și toți indicii cel puțin egali cu trei. Nu putem deduce $P (2)$ : pasul nu este disponibil nici de la unu spre doi, nici în sens invers de la trei spre doi.

De reținut

Precizezi $P (n)$ și primul indice înainte de verificarea bazei.
Baza oferă o propoziție adevărată de la care poate începe transmiterea.
Ipoteza privește $P (k)$ ; ținta este $P (k + 1)$ , cu toate aparițiile indicelui înlocuite corect.
Pasul trebuie justificat pentru fiecare indice din domeniul său, fără o trecere lipsă după bază.
Încheierea numește exact indicii demonstrați; verificările particulare au rol de control, nu țin locul pasului.

Greșeli frecvente

Pas verificat cu un $k$ particular. Înlocuirea lui $k$ cu doi sau cu cinci controlează o singură trecere; pasul cere calculul cu $k$ oarecare, păstrat ca literă.
Suma nouă scrisă fără suma veche. $S_{k + 1}$ conține toți termenii lui $S_{k}$ și încă unul; nu o înlocui doar cu termenul nou.
Înlocuirea incompletă a indicelui. Calculează separat fiecare expresie din ținta pentru $k + 1$ , înainte de transformări.
Pas valid numai după o lacună. Verifică dacă prima trecere disponibilă pornește chiar de la baza demonstrată.
Extinderea concluziei înaintea bazei. O demonstrație începută la patru nu include automat zero, unu, doi și trei.

Aplică acasă

Ia o demonstrație din lecție și marchează cu trei culori baza, ipoteza pasului și ținta. Subliniază locul exact unde ipoteza este înlocuită într-un calcul.
Inventează o procedură cu stare inițială la indicele zero și o creștere constantă la fiecare etapă. Scrie primele patru stări, apoi verifică dacă formula propusă respectă atât începutul, cât și regula de trecere.
Scrie o propoziție adevărată la primii trei indici naturali pozitivi și falsă la al patrulea. Identifică trecerea care împiedică o demonstrație prin inducție pentru toate numerele naturale pozitive.

Pentru părinți și profesori

La prima lectură, cereți identificarea rolurilor înaintea calculelor. Un elev poate dezvolta corect paranteze și totuși să folosească ținta ca ipoteză sau să înceapă de la un indice nepotrivit. Exemplele de diagnostic fac aceste greșeli vizibile. La sume, cereți calculul separat al termenului nou; la procese, verificați ce stare corespunde indicelui zero.

Programa și examenul. Inducția este numită explicit între metodele de raționament din Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, și intră în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Este inclusă și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu are o cerință distinctă care să impună inducția; prezența metodei în programă nu stabilește frecvența apariției ei în subiecte.

Pagina următoare, inducția matematică: aplicații simple, folosește mecanismul pentru construirea unor demonstrații din date. Separarea în două lecții este o alegere de organizare a învățării. Pentru recapitulare sunt disponibile testul de logică M2 și înmulțirea numerelor naturale din clasa a V-a. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: metoda inducției matematice oferă o comparație între trasee, fără a fi necesară parcurgerii acestei lecții.

Întrebări frecvente

De ce ipoteza de inducție nu înseamnă că presupun concluzia?

În pas verifici o implicație: dacă proprietatea este adevărată la un indice fixat, atunci este adevărată la următorul. Nu declari deja adevărată proprietatea la toate valorile. Baza furnizează separat un caz adevărat, iar principiul combină acel început cu transmiterea generală. Presupunerea tuturor cazurilor sau chiar a țintei următoare ar fi circulară și nu ar dovedi enunțul.

Pot folosi inducția pentru o afirmație despre toate numerele reale?

Nu direct. Inducția parcurge indici naturali consecutivi: pornește de la bază și înaintează prin treceri de câte o unitate. Numerele reale dintre doi indici nu sunt atinse de aceste treceri. O afirmație despre toate numerele reale cere un alt argument, de exemplu o proprietate a operațiilor. Inducția devine utilă numai când situațiile studiate sunt numerotate de un indice natural.

Ce fac dacă formula nu este adevărată la baza indicată?

Ai găsit un contraexemplu la enunțul cu acel domeniu. Verifică întâi calculele și transcrierea formulei. Dacă baza rămâne falsă, nu poți demonstra afirmația neschimbată. Poți studia o variantă corectată numai precizând noul domeniu sau noua formulă; pentru acea variantă sunt necesare din nou atât baza potrivită, cât și pasul general.

Cum arăt, într-o redactare, unde am folosit ipoteza?

Scrie întâi expresia de la indicele $k + 1$ pornind de la definiție, apoi marchează explicit înlocuirea făcută cu ajutorul ipotezei, de exemplu prin mențiunea „din ipoteza de inducție”. Calculele de după această înlocuire sunt algebră obișnuită. Cititorul vede astfel că pasul nu s-a sprijinit nici pe ținta încă nedemonstrată, nici pe verificări numerice.

Cum diferă lecția M2 de prezentarea inducției pentru M1?

Principiul este identic, însă aici accentul cade pe identificarea bazei, a ipotezei și a țintei, pe numerotarea etapelor și pe depistarea demonstrațiilor incomplete. Exemplele folosesc calcule scurte și formule elementare. Nu sunt necesare sume de pătrate sau alte formule mai încărcate pentru a înțelege mecanismul; aplicațiile următoare rămân în limitele materiei M2.

În ce subiect de Bacalaureat M2 apare inducția matematică?

Programa include metoda, dar nu îi fixează o poziție obligatorie în structura subiectelor. Modelul oficial pentru 2026 nu conține o cerință separată de demonstrație prin inducție. Exercițiile marcate în lecție sunt antrenamente proprii pentru redactarea completă a unei dovezi, fără afirmații despre apariții regulate sau punctaje prestabilite ale bazei și ale pasului.