Când scot un număr de sub modul cu minus?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Modulul: reguli de calcul

Bara de modul răspunde la o singură întrebare: la ce distanță de zero se află numărul, fără să indice direcția. Trei consecințe se citesc direct din definiție — rezultatul nu coboară sub zero, se anulează numai pentru numărul zero, iar două numere opuse primesc aceeași valoare.

Primul gest, la orice expresie de sub bară, este stabilirea semnului dinăuntru. Cu radicali nu te lua după afișajul calculatorului, ci ridică la pătrat: din $7>4$ rezultă $\sqrt{7}>2$, prin urmare $\left|2-\sqrt{7}\right|=\sqrt{7}-2$.

Bara trece peste înmulțire și peste împărțire, $\left|ab\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$, însă o sumă nu i se supune. Puntea către radicali este $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$, adevărată pentru orice $x$ real; ea explică de ce un radical de ordinul al doilea nu poate întoarce o valoare negativă.

Relația $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$ poartă numele de inegalitatea triunghiului. Semnul de egal apare doar dacă cele două numere au același semn sau dacă unul dintre ele se anulează.

Citită ca distanță dintre $x$ și $c$, scrierea $\left|x-c\right|$ preschimbă o inecuație într-un interval: din $\left|x-4\right|\le 3$ iese $x\in [1,7]$. Aceeași scriere măsoară în laborator eroarea absolută, un număr pozitiv, urmat de unitatea lui de măsură.

De reținut

• $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$
• semnul unei expresii cu radical se decide comparând pătratele
• $|a+b|\le |a|+|b|$, iar $|ab|=|a|\cdot |b|$

Greșeala tipică

Se scrie $|\sqrt{10}-4|=\sqrt{10}-4$, fără verificarea semnului, și iese un modul negativ; corect este $4-\sqrt{10}$, pentru că $\sqrt{10}<4$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $-\left|-5\right|$?

   • a) $5$
   • b) $-5$
   • c) $0$
   • d) $25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-5$

   Întâi calculezi modulul: $\left|-5\right|=5$. Minusul din fața barelor rămâne unde este, deci rezultatul e $-5$. Modulul nu are nicio putere asupra semnului scris în afara lui.

2. Cât este $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$?

   • a) $3-\sqrt{11}$
   • b) $\sqrt{11}-3$
   • c) $\sqrt{11}+3$
   • d) $11-9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\sqrt{11}-3$

   $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$, deci rezultatul este $\left|3-\sqrt{11}\right|$. Cum $11>9$, avem $\sqrt{11}>3$, deci paranteza e negativă și modulul ei este $\sqrt{11}-3$. Un radical de ordinul al doilea nu poate ieși negativ, așa că a) e exclusă din start.

3. Ce interval descrie condiția $\left|x-4\right|\le 3$?

   • a) $[1,7]$
   • b) $[-7,-1]$
   • c) $(-\infty ,1]\cup [7,+\infty )$
   • d) $[-3,3]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $[1,7]$

   $\left|x-4\right|$ este distanța dintre $x$ și $4$, deci condiția cere ca $x$ să nu se depărteze de $4$ cu mai mult de $3$: $-3\le x-4\le 3$, adică $x\in [1,7]$. Varianta c) ar fi răspunsul pentru $\left|x-4\right|\ge 3$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: când se schimbă semnul la modul · cum scot de sub modul cu semn schimbat · modulul unui număr negativ · explicitarea modulului