Modulul unui număr real: reguli de calcul (M2, științe ale naturii)

Trei elevi cântăresc aceeași probă de sare și notează $8,17$ g, $8,26$ g și $8,20$ g, iar valoarea adevărată, aflată mai târziu, este $8,20$ g. Care măsurătoare a fost cea mai bună? Întrebarea nu se pune cu semne: o abatere de trei sutimi în minus este exact la fel de mare ca una de trei sutimi în plus, iar ceea ce contează este cât de departe a căzut rezultatul de valoarea adevărată. Matematica are un simbol care spune exact „cât de departe", fără să spună „în ce parte", și acela este modulul. Lecția, a treia din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), îl tratează ca pe o proprietate a numărului și îți dă regulile după care se calculează cu el. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 modulul unui număr real este trecut explicit în programa de examen, la materia clasei a IX-a, și apare la Subiectul I, în cerințele scurte de calcul cu numere reale; din 2030, la proba MAT_P2, este în domeniul Algebră, la capitolul despre mulțimea numerelor reale.

Ai întâlnit noțiunea în gimnaziu, la modulul ca distanță pe axa numerelor, în clasa a 7-a, unde lucrai cu numere întregi și cu fracții simple. Liceul aduce două lucruri noi: numerele de sub modul sunt acum oricare numere reale, deci și iraționale, iar regulile de calcul se folosesc împreună cu radicalii. Vei vedea că ele se deduc toate din aceeași citire geometrică — distanța — și că se verifică în câteva secunde.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești modulul ca distanță pe axa numerelor și să scrii cu el condiții de forma „nu se depărtează de… cu mai mult de…".
• Vei ști să scoți de sub modul o expresie cu radical, decizând mai întâi semnul ei.
• Vei ști regulile de calcul: modulul unui produs, al unui cât și legătura dintre modul și radicalul unui pătrat.
• Vei ști să folosești inegalitatea triunghiului și să spui când în ea apare egalitate.
• Vei ști să traduci o inegalitate cu modul într-un interval și înapoi.
• Vei ști să calculezi eroarea absolută a unei măsurători și să o folosești ca să compari două rezultate de laborator.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este modulul unui număr real?

Modulul unui număr real $x$ este numărul care măsoară cât de departe se află $x$ de zero pe axa numerelor, fără să spună în ce parte; el coincide cu $x$ atunci când $x$ nu este negativ și cu opusul lui $x$ atunci când $x$ este negativ, iar notația lui este $\left|x\right|$.

Din definiție ies imediat trei fapte pe care le vei folosi la fiecare exercițiu: modulul nu este niciodată negativ, se anulează numai pentru zero, iar două numere opuse au același modul, fiindcă sunt la fel de depărtate de zero. Nimic nu se schimbă când numărul este irațional: $\left|-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}$, pentru că $\sqrt{5}$ este pozitiv.

Merită observat că definiția are două ramuri, dar o singură idee. Ramurile apar doar pentru că nu putem scrie „ia numărul fără semn" într-o formulă; matematica nu are o operație de „ștergere a semnului", așa că spune același lucru în două cazuri. Odată înțeleasă ideea, ramurile devin o formalitate.

2. De ce modulul nu poate fi negativ?

Pentru că este o distanță, iar distanțele se măsoară, nu se orientează. Confuzia vine de la scrierea celei de-a doua ramuri: mulți citesc „opusul lui $x$" ca „un număr negativ". Or, când $x$ este deja negativ, opusul lui este pozitiv. Ia $x=-\sqrt{3}$: opusul lui este $\sqrt{3}$, adică un număr pozitiv, și acesta este modulul.

De aceea, prima întrebare la orice modul este „ce semn are expresia dinăuntru?", nu „ce scriu în față?". Dacă expresia este pozitivă sau nulă, modulul o lasă neschimbată; dacă este negativă, modulul îi schimbă semnul. Regula are o singură formă și nu admite excepții.

3. Cum se calculează modulul unui produs sau al unui cât?

Se calculează termen cu termen, spre deosebire de sumă. Pentru orice numere reale:

$$\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$$

Justificarea este scurtă și merită făcută pe cazuri. Dacă amândouă numerele sunt pozitive, produsul e pozitiv și ambii membri sunt chiar produsul. Dacă unul e negativ, produsul e negativ, deci membrul stâng este opusul produsului; în dreapta, un singur factor își schimbă semnul, deci se obține același lucru. Dacă amândouă sunt negative, produsul e pozitiv, iar în dreapta cele două schimbări de semn se anulează. Aceeași socoteală merge la cât, cu condiția ca numitorul să fie nenul.

Cu suma, în schimb, regula nu funcționează: modulul unei sume nu este suma modulelor. Se vede pe un singur exemplu: $\left|4+(-9)\right|=5$, în timp ce $\left|4\right|+\left|-9\right|=13$. Când termenii au semne opuse, ei se compensează parțial înainte de a fi măsurată distanța, iar rezultatul iese mai mic.

4. Ce spune inegalitatea triunghiului?

Că, oricum ar fi alese două numere reale, modulul sumei nu poate depăși suma modulelor:

$$\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$$

Numele vine din geometrie, unde spune că un drum direct nu este mai lung decât unul cu ocol. Pe axă, citirea e și mai simplă: mergi întâi $\left|a\right|$ pași, apoi $\left|b\right|$ pași; dacă mergi de fiecare dată în aceeași direcție, ajungi cel mai departe posibil, iar dacă te întorci din drum, ajungi mai aproape de origine. De aici și răspunsul la întrebarea „când avem egalitate?": exact atunci când cele două numere au același semn sau când măcar unul dintre ele este zero.

Verificarea e de zece secunde și merită făcută pe trei perechi. La $8$ și $9$, ambele pozitive, obținem $17$ și $17$ — egalitate. La $8$ și $-9$, cu semne diferite, obținem $1$ și $17$ — inegalitate strictă. La $-8$ și $-9$ obținem din nou egalitate, $17$ și $17$. Tiparul e limpede: semne la fel înseamnă egalitate, semne diferite înseamnă că partea stângă scade.

5. De ce radicalul unui pătrat este modulul, și nu numărul?

Pentru că radicalul de ordinul al doilea dă, prin definiție, un rezultat care nu poate fi negativ, iar numărul de la care ai pornit poate fi. Regula corectă, valabilă pentru orice număr real, este

$$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$$

Ia $x=-6$: pătratul este $36$, radicalul lui este $6$, iar $6$ este chiar $\left|-6\right|$. Dacă ai scrie $\sqrt{x^2}=x$, ai obține pentru $x=-6$ răspunsul $-6$, adică un radical negativ — o imposibilitate.

Regula se folosește mereu împreună cu cea din lecția precedentă. De pildă, $\sqrt{{\left(4-\sqrt{19}\right)}^2}$ nu este $4-\sqrt{19}$, ci $\left|4-\sqrt{19}\right|$, iar cum $\sqrt{19}$ este mai mare decât $4$, expresia dinăuntru e negativă, deci rezultatul este $\sqrt{19}-4$. Comparația $4<\sqrt{19}$ se face ridicând la pătrat: $16<19$.

6. Cum se citește $\left|x-c\right|$ și ce înseamnă o inegalitate cu modul?

Ca distanță între două puncte. Dacă $\left|x\right|$ este distanța de la $x$ la origine, atunci $\left|x-c\right|$ este distanța dintre punctele de abscise $x$ și $c$ — numărul $c$ ia locul originii. Ordinea nu contează: $\left|x-c\right|$ și $\left|c-x\right|$ sunt egale, fiindcă cele două diferențe sunt opuse.

De aici, o inegalitate cu modul se traduce direct în interval. „Distanța de la $x$ la origine este cel mult $4$" înseamnă că $x$ se află între $-4$ și $4$, adică în intervalul închis cu aceste capete. Pentru orice număr pozitiv $r$, inegalitatea $\left|x\right|\le r$ este echivalentă cu $-r\le x\le r$, iar $\left|x-c\right|\le r$ înseamnă că $x$ se află în intervalul cu centrul $c$ și „raza" $r$.

Aici se oprește ce cere programa de clasa a IX-a la profilul științe ale naturii: modulul ca proprietate a numărului și traducerea unei inegalități în interval. Rezolvarea sistematică a ecuațiilor și a inecuațiilor cu module — scrierea pe ramuri, discuția pe cazuri, metoda intervalelor și graficul în formă de V — aparține traseului de matematică-informatică. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția modul, cu grafic, ecuații și inecuații le tratează pe toate, iar tu poți citi acolo, dacă ești curios; la examenul tău nu se cer.

7. Ce este eroarea absolută a unei măsurători?

Este modulul diferenței dintre valoarea măsurată și valoarea adevărată — cu alte cuvinte, distanța dintre cele două, pe axa mărimii măsurate. Se notează cu aceeași bară verticală și se exprimă în unitatea de măsură a mărimii: dacă o masă adevărată este de $5,40$ g, iar cântarul arată $5,35$ g, eroarea absolută este de $0,05$ g. Aici ne oprim: erorile de aproximare, compararea lor și eroarea relativă sunt materia lecției despre ordonarea și aproximarea numerelor reale; lecția de față dă doar instrumentul care le măsoară, modulul.

Motivul pentru care fizica și chimia folosesc modulul, și nu diferența simplă, este că o comparație între măsurători trebuie să pună laolaltă abaterile în plus și pe cele în minus. Dacă ai compara diferențele cu semn, o cântărire prea mare ar părea „mai bună" decât una prea mică la fel de depărtată, doar fiindcă are semnul plus. Cu module, fiecare abatere contează cât valorează, indiferent de direcție.

Specificația unui aparat se citește tot cu modul, și atunci secțiunea precedentă intră direct în joc. „Precizie de $0,02$ g" înseamnă că distanța dintre indicația cântarului și valoarea adevărată nu depășește $0,02$ g, adică modulul diferenței dintre ele este cel mult $0,02$. Tradus în interval, exact ca la punctul 6: dacă valoarea adevărată este $5,40$ g, atunci indicația se află în intervalul $[5,38;5,42]$. O măsurătoare din afara acestui interval nu mai poate fi pusă pe seama aparatului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul cu module și ordinea operațiilor

Calculați $A=\left|-5\right|+\left|2-9\right|-\left|-2\right|\cdot \left|4\right|$.

Rezolvare. Fiecare modul se calculează separat, înainte de orice altă operație: $\left|-5\right|=5$; expresia $2-9$ este negativă, deci $\left|2-9\right|=7$; apoi $\left|-2\right|=2$ și $\left|4\right|=4$. Rămâne un calcul obișnuit, cu înmulțirea făcută înaintea adunării:

$$A=5+7-2\cdot 4=12-8=4$$

Exemplul 2 — Modulul unui produs, cu radicali

Arătați că $\left|\sqrt{13}-5\right|\cdot \left|\sqrt{13}+5\right|=12$.

Rezolvare. Folosim regula produsului în sens invers: produsul modulelor este modulul produsului. Iar produsul celor două paranteze este o diferență de pătrate:

$$\left|\sqrt{13}-5\right|\cdot \left|\sqrt{13}+5\right|=\left|13-25\right|=\left|-12\right|=12$$

Observă economia: n-a fost nevoie să aflăm semnul niciunei paranteze. Dacă am fi lucrat pe rând, ar fi trebuit să constatăm întâi că $\sqrt{13}<5$, deci prima paranteză e negativă, și apoi să înmulțim $\left(5-\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13}+5\right)$ — același rezultat, în trei pași în loc de unul.

Exemplul 3 — Radicalul unui pătrat

Calculați $\sqrt{{\left(2-\sqrt{7}\right)}^2}$.

Rezolvare. Radicalul unui pătrat este modulul, deci expresia este $\left|2-\sqrt{7}\right|$. Decidem semnul dinăuntru comparând $2$ cu $\sqrt{7}$: ridicând la pătrat, $4<7$, deci $2<\sqrt{7}$, iar diferența este negativă. Modulul îi schimbă semnul:

$$\sqrt{{\left(2-\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt{7}-2$$

Control zecimal: $\sqrt{7}$ este puțin peste $2,645$, deci rezultatul este aproape $0,645$ — un număr pozitiv, cum se cuvine pentru un radical.

Exemplul 4 — Inegalitatea triunghiului, verificată

Fie numerele $-8$ și $5$. Verificați inegalitatea triunghiului pentru ele și comparați apoi modulul sumei cu diferența modulelor.

Rezolvare. Suma este $-3$, deci modulul sumei este $3$. Suma modulelor este $8+5=13$, iar $3\le 13$: inegalitatea se verifică, și încă larg, pentru că numerele au semne diferite.

A doua comparație: diferența modulelor este $8-5=3$, iar modulul sumei este tot $3$, deci aici avem egalitate. Nu e o coincidență — când numerele au semne diferite, cel mai mare în modul „învinge", iar ce rămâne este exact diferența modulelor.

Exemplul 5 — Trei cântăriri, comparate prin eroarea absolută

Valoarea adevărată a masei unei probe este $8,20$ g. Trei cântăriri au dat $8,17$ g, $8,26$ g și $8,20$ g. Calculați eroarea absolută a fiecăreia și spuneți care măsurătoare este cea mai bună.

Rezolvare. Eroarea absolută este modulul diferenței dintre valoarea măsurată și cea adevărată:

$$\left|8,17-8,20\right|=0,03,\left|8,26-8,20\right|=0,06,\left|8,20-8,20\right|=0$$

Erorile sunt de $0,03$ g, $0,06$ g și $0$ g. Cea mai bună este a treia, care a nimerit exact; dintre primele două, prima este de două ori mai precisă, deși abaterea ei e „în minus", iar a celei de-a doua „în plus". Fără modul, comparația n-ar fi avut sens: $-0,03$ nu este „mai mic" decât $0,06$ în sensul care ne interesează aici.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că numărul $N=\left|\sqrt{3}-2\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|$ este întreg.

Rezolvare. Decidem semnul fiecărei paranteze, comparând prin ridicare la pătrat. Din $3<4$ rezultă $\sqrt{3}<2$, deci prima paranteză este negativă și modulul îi schimbă semnul: $\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}$. Din $1<3$ rezultă $1<\sqrt{3}$, deci a doua paranteză este tot negativă: $\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$.

Adunăm cele două rezultate și observăm că radicalii se reduc:

$$N=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$$

Așadar $N=1$, număr întreg. Tiparul acesta — module de expresii cu radical, alese astfel încât radicalii să se anuleze la adunare — este o cerință scurtă, de tipul celor șase de la Subiectul I; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată modulului, dar tema e trecută în programa de examen la materia clasei a IX-a, căreia îi este rezervat acest subiect.

Să exersăm

Regula casei, la fiecare modul: stabilește întâi semnul expresiei dinăuntru, în scris, și abia apoi scoate modulul. Când înăuntru apare un radical, compară ridicând la pătrat, nu din memorie.

1. Calculează $\left|-13\right|$, $\left|6-6\right|$, $\left|0,4-1\right|$ și $-\left|-5\right|$.

2. Calculează $\left|-3\right|\cdot \left|8\right|$ și $\left|(-3)\cdot 8\right|$, apoi spune ce regulă se verifică.

3. Calculează $\left|\sqrt{2}-1\right|$ și $\left|1-\sqrt{2}\right|$. Ce observi și de ce?

4. Calculează $\sqrt{(-6{)}^2}$ și $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$.

5. Ordonează crescător numerele $\left|-2\right|$, $\left|4-\sqrt{15}\right|$ și $\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice numere reale $x$ și $y$ are loc egalitatea $\left|x-y\right|=\left|x\right|-\left|y\right|$."

7. Arată că $\left|\frac{\sqrt{5}-3}{2}\right|=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

8. Verifică inegalitatea triunghiului pentru numerele $-6$ și $11$, apoi pentru $-6$ și $-11$. În care caz apare egalitate?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că numărul $\left|\sqrt{15}-4\right|+\sqrt{15}$ este natural.

10. Scrie ca interval mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $\left|x\right|\le 3$, apoi pe cea pentru care $\left|x-1\right|\le 3$.

11. (Problemă aplicată.) Un incubator de laborator trebuie să țină cultura la $37,0$ grade Celsius, cu o abatere de cel mult $0,3$ grade. Scrie condiția cu modul, determină intervalul temperaturilor admise și spune dacă o citire de $37,4$ grade este acceptată.

12. Calculează $\left|\sqrt{3}-\sqrt{7}\right|+\left|\sqrt{7}-\sqrt{3}\right|$.

13. Arată că $\left|-x\right|=\left|x\right|$ pentru orice număr real $x$, folosind interpretarea cu distanțe.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul $x=\sqrt{6}-3$. a) Arată că $\left|x\right|=3-\sqrt{6}$. b) Calculează $\left|x\right|+x$.

15. Calculează $\left|\frac{-15}{4}\right|$ și $\frac{\left|-15\right|}{\left|4\right|}$, apoi spune ce regulă se verifică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\sqrt{{\left(5-\sqrt{21}\right)}^2}+\sqrt{{\left(5+\sqrt{21}\right)}^2}=10$.

17. Determină numerele reale aflate la distanța $5$ de numărul $2$ pe axă, apoi scrie ca interval mulțimea numerelor aflate la distanță cel mult $5$ de $2$.

18. (Provocare.) Verifică pe trei perechi de numere cu semne diferite că $\left|x\right|+\left|y\right|\ge \left|x+y\right|$ și că $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$, apoi explică de ce a doua inegalitate rezultă din prima, scriind $x$ ca sumă dintre $x+y$ și $-y$.

Răspunsuri și explicații

1. $\left|-13\right|=13$; $\left|6-6\right|=0$, singurul caz în care modulul se anulează; $\left|0,4-1\right|=0,6$, fiindcă diferența este negativă; $-\left|-5\right|=-5$, pentru că minusul din față rămâne în afara modulului.

2. Amândouă dau $24$. Se verifică regula produsului: modulul unui produs este produsul modulelor, deci nu contează dacă înmulțești întâi și iei modulul apoi, sau invers.

3. Amândouă sunt egale cu $\sqrt{2}-1$. Expresiile $\sqrt{2}-1$ și $1-\sqrt{2}$ sunt numere opuse, iar numerele opuse au același modul, fiind egal depărtate de origine. Cum $\sqrt{2}>1$, forma pozitivă este prima.

4. $\sqrt{(-6{)}^2}=\left|-6\right|=6$. Apoi, din $9<11$ rezultă $3<\sqrt{11}$, deci paranteza este negativă și $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}=\sqrt{11}-3$.

5. Scoatem fiecare modul: $\left|-2\right|=2$; din $15<16$ rezultă $\sqrt{15}<4$, deci $\left|4-\sqrt{15}\right|=4-\sqrt{15}$, adică aproximativ $0,127$; din $2<3$ rezultă $\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$, adică aproximativ $0,318$. Ordinea crescătoare este $\left|4-\sqrt{15}\right|$, apoi $\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|$, apoi $\left|-2\right|$.

6. Fals. Pentru $x=2$ și $y=5$, membrul stâng este $\left|2-5\right|=3$, iar cel drept $2-5=-3$. Egalitatea ar cere ca un modul să fie negativ, ceea ce este imposibil. Relația corectă între cele două este o inegalitate, cea de la exercițiul 18.

7. Modulul unui cât este câtul modulelor, iar numitorul $2$ este pozitiv, deci rămâne neschimbat. Din $5<9$ rezultă $\sqrt{5}<3$, deci numărătorul este negativ și $\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}$. Prin urmare câtul cerut este $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

8. Pentru $-6$ și $11$: suma este $5$, cu modulul $5$, iar suma modulelor este $17$; inegalitatea e strictă, fiindcă numerele au semne diferite. Pentru $-6$ și $-11$: suma este $-17$, cu modulul $17$, egal cu suma modulelor; aici apare egalitatea, pentru că numerele au același semn.

9. Din $15<16$ rezultă $\sqrt{15}<4$, deci paranteza este negativă și $\left|\sqrt{15}-4\right|=4-\sqrt{15}$. Adunând, $4-\sqrt{15}+\sqrt{15}=4$, număr natural.

10. Prima mulțime este intervalul $[-3,3]$: numerele aflate la distanță cel mult $3$ de origine. A doua este $[-2,4]$: numerele aflate la distanță cel mult $3$ de $1$, adică intervalul cu centrul în $1$.

11. Condiția se scrie ca „distanța dintre temperatura măsurată și $37,0$ nu depășește $0,3$", adică modulul diferenței este cel mult $0,3$. Rezultă intervalul $[36,7;37,3]$. Citirea de $37,4$ grade nu este acceptată: abaterea ei este $\left|37,4-37,0\right|=0,4$, peste limita admisă.

12. Cele două expresii sunt opuse, deci au același modul. Din $3<7$ rezultă $\sqrt{3}<\sqrt{7}$, deci modulul comun este $\sqrt{7}-\sqrt{3}$, iar suma cerută este $2\sqrt{7}-2\sqrt{3}$.

13. Punctele de abscise $x$ și $-x$ sunt simetrice față de origine, deci se află la aceeași distanță de ea. Cum modulul este chiar acea distanță, cele două module sunt egale. Verificare pe un caz: la $x=-4$, ambele module dau $4$.

14. a) Din $6<9$ rezultă $\sqrt{6}<3$, deci $x$ este negativ, iar modulul îi schimbă semnul: $\left|x\right|=3-\sqrt{6}$. b) Adunând, $\left|x\right|+x=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=0$. Rezultatul era de așteptat: pentru orice număr negativ, modulul este opusul lui, iar suma dintre un număr și opusul lui este zero.

15. Amândouă dau $\frac{15}{4}$. Se verifică regula câtului: modulul unui cât este câtul modulelor, cu condiția ca numitorul să fie diferit de zero.

16. Din $21<25$ rezultă $\sqrt{21}<5$, deci prima paranteză e pozitivă și primul radical dă $5-\sqrt{21}$. A doua paranteză este evident pozitivă, deci al doilea radical dă $5+\sqrt{21}$. Suma este $10$, radicalii anulându-se.

17. Numerele aflate la distanța $5$ de $2$ sunt $-3$ și $7$, adică $2-5$ și $2+5$. Mulțimea celor aflate la distanță cel mult $5$ este intervalul $[-3,7]$, cu centrul în $2$. Condiția se scrie cu modulul diferenței dintre număr și $2$.

18. Pe perechile $(3,-8)$, $(-2,6)$ și $(10,-4)$ obținem, pentru prima inegalitate, $11\ge 5$, $8\ge 4$ și $14\ge 6$; pentru a doua, $5\ge -5$, $4\ge -4$ și $6\ge 6$. Justificarea celei de-a doua: scriem numărul $x$ ca sumă dintre $x+y$ și $-y$ și aplicăm prima inegalitate acestor doi termeni; obținem că modulul lui $x$ nu depășește suma dintre modulul lui $x+y$ și modulul lui $y$, de unde, scăzând, rezultă exact ce trebuia.

De reținut

• Modulul unui număr real măsoară cât de departe se află numărul de zero, fără să spună în ce parte: nu e niciodată negativ, se anulează doar pentru zero, iar două numere opuse au același modul.
• Înainte de a scoate ceva de sub modul, decide semnul expresiei dinăuntru; când apare un radical, compară ridicând la pătrat.
• Modulul se „împrăștie" peste produs și peste cât — $\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$ —, dar niciodată peste sumă.
• Inegalitatea triunghiului, $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$, devine egalitate exact când cele două numere au același semn sau unul dintre ele este zero.
• $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$ pentru orice număr real, iar $\left|x-c\right|$ se citește ca distanța dintre $x$ și $c$, ceea ce transformă orice inegalitate cu modul într-un interval.

Greșeli frecvente

• Modulul scos fără a decide semnul. A răspunde că modulul lui $5-\sqrt{30}$ ar fi chiar $5-\sqrt{30}$ este greșit: din $25<30$ rezultă că $\sqrt{30}$ este mai mare decât $5$, deci paranteza e negativă, iar un modul nu poate fi negativ. Semnul se stabilește întâi, printr-o comparație scrisă, și abia apoi se scoate modulul.
• Minusul din fața modulului mutat înăuntru. $-\left|-5\right|$ este $-5$, nu $5$. Modulul se calculează primul, iar semnul din fața lui rămâne unde este; el nu are nicio putere asupra a ceea ce se află între bare.
• Radicalul unui pătrat scris ca număr negativ. La $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$ mulți răspund $3-\sqrt{11}$. Rezultatul unui radical de ordinul al doilea nu poate fi negativ; răspunsul corect este $\sqrt{11}-3$, adică modulul expresiei.
• Semnul ghicit, fără comparație. Ca să afli semnul lui $\sqrt{15}-4$ nu te baza pe memorie sau pe calculator: ridică la pătrat, compară $15$ cu $16$ și trage concluzia. Comparația scrisă nu e un calcul auxiliar, ci chiar pasul de rezolvare: fără ea, ce urmează e o ghicire cu noroc.
• Eroare absolută raportată cu semn. O eroare absolută este un număr pozitiv, însoțit de unitatea de măsură: „$0,03$ g", nu „$-0,03$ g". Semnul spune doar în ce parte a căzut măsurătoarea și se discută separat, ca abatere, nu ca eroare.

Aplică acasă

1. Cât de constant măsori. Măsoară de cinci ori același obiect cu același instrument — lungimea unei cărți cu rigla, masa unui măr pe un cântar de bucătărie — și notează valorile. Calculează media lor, apoi, pentru fiecare măsurătoare, modulul diferenței dintre ea și medie; aceasta este abaterea față de medie, nu eroarea absolută, fiindcă media nu este valoarea adevărată. Adună cele cinci abateri și împarte la cinci: numărul obținut spune cât de împrăștiate sunt măsurătorile tale, adică cât de constant lucrezi, nu cât de aproape ești de adevăr.

2. Semnul, decis fără calculator. Scrie șase expresii de forma „radical dintr-un număr, minus un întreg", de pildă $\sqrt{17}-4$ sau $\sqrt{30}-6$, și decide semnul fiecăreia doar prin compararea pătratelor. Scrie apoi modulul fiecăreia și verifică la sfârșit, cu calculatorul, toate cele șase rezultate deodată.

3. Când apare egalitatea. Alege zece perechi de numere, jumătate cu semne la fel, jumătate cu semne diferite, și verifică pentru fiecare inegalitatea triunghiului, notând valorile celor doi membri într-un tabel. Marchează rândurile cu egalitate și formulează, cu cuvintele tale, regula pe care o vezi.

Pentru părinți și profesori

Modulul este locul unde se vede cel mai repede dacă un elev calculează mecanic sau cu înțeles. Greșeala tipică nu este de aritmetică, ci de ordine: se scoate modulul înainte de a se stabili semnul expresiei dinăuntru. La profilul științe ale naturii tema are un avantaj pe care traseul de matematică-informatică nu îl exploatează la clasa a IX-a: aici modulul intră ca proprietate a numărului, alături de erorile de măsurare, iar elevul îl întâlnește simultan la fizică și la chimie, unde eroarea absolută se calculează exact așa. Când cele două ore se leagă, bara verticală încetează să fie un simbol de manual.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă semnul expresiei dinăuntru a fost stabilit în scris, printr-o comparație; dacă la expresiile cu radical comparația s-a făcut ridicând la pătrat; dacă minusul din fața modulului a rămas afară; dacă la o mărime măsurată răspunsul poartă unitate de măsură. Întrebări bune de control: „Ce semn are $\sqrt{15}-4$ și de unde știi?"; „De ce modulul nu se împrăștie peste o sumă?"; „Când devine egalitate inegalitatea triunghiului?"; „Ce înseamnă, pe axă, o distanță cel mult egală cu $2$ față de $7$?". Semn că elevul a înțeles: scrie comparația înainte de a scoate modulul și nu mai este surprins când un modul iese zero.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale", unde „modulul unui număr real" este scris explicit. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde modulul unui număr real este trecut în programa de examen la materia clasei a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", și apare la Subiectul I, în cerințele scurte de calcul. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum scot de sub modul o expresie care conține un radical? Stabilești întâi semnul expresiei dinăuntru, comparând radicalul cu numărul de lângă el prin ridicare la pătrat. Dacă expresia iese pozitivă, o scrii neschimbată; dacă iese negativă, îi schimbi semnul, fiindcă modulul nu poate fi negativ. De exemplu, din $3<4$ rezultă $\sqrt{3}<2$, deci paranteza e negativă și $\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}$.

Cum știu dacă expresia dintre bare este pozitivă sau negativă? Compari cei doi termeni. La numere raționale comparația e imediată; la expresii cu radical, ridici ambele părți la pătrat, pentru că amândouă sunt pozitive și ridicarea la pătrat păstrează ordinea. Scrie comparația pe caiet: la o cerință de acest fel, ea este pasul de rezolvare, nu un calcul auxiliar.

Ce diferă la modul între M1 și M2? La științe ale naturii modulul este o proprietate a numărului: distanță pe axă, reguli de calcul, inegalitatea triunghiului și traducerea unei inegalități în interval. La mate-info se studiază funcția modul: graficul în formă de V, scrierea pe ramuri, ecuațiile și inecuațiile cu module, rezolvate prin metoda intervalelor. Aceleași bare verticale, două obiective diferite.

La ce subiect apare modulul la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte de câte cinci puncte. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 trece modulul unui număr real la materia clasei a IX-a, iar acestei materii îi este rezervat Subiectul I; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare însă o cerință dedicată modulului, așa că nu putem vorbi despre o formulare consacrată.

Cât face modulul unui produs de două numere? Este produsul modulelor: $\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$, indiferent de semnele celor două numere. Aceeași regulă merge la cât, cu condiția ca numitorul să nu fie zero. La sumă, în schimb, regula nu se aplică: modulul unei sume poate fi mai mic decât suma modulelor, iar cât de mic poate fi spune inegalitatea triunghiului.

Ce înseamnă scrierea $\left|x-5\right|$? Distanța dintre numărul $x$ și numărul $5$, măsurată pe axă. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă cele două diferențe posibile sunt opuse și au același modul. De aceea o condiție ca „nu se depărtează de $5$ cu mai mult de $2$" se scrie ca o inegalitate cu acest modul.

Ce este eroarea absolută a unei măsurători? Este modulul diferenței dintre valoarea măsurată și valoarea adevărată, exprimat în unitatea de măsură a mărimii. Se folosește modulul, și nu diferența cu semn, ca abaterile în plus și cele în minus să poată fi comparate și adunate. Ideea se leagă direct de raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată, unde rotunjirile se fac tot la sfârșit, și de ordonarea și aproximarea numerelor reale.