Funcția $$f(x)=(2-5x)/4$$ este definită pe $$\mathbb{R}$$. Cum este ea?

crescătoare numai pentru argumente negative

Un grafic dat este segmentul dintre $$P(-3;-6)$$ și $$Q(1;-2)$$, ambele capete incluse. Ce afirmație este corectă?

Funcția este strict crescătoare pe $$[-3,1]$$.

Funcția este descrescătoare, fiindcă toate valorile sunt negative.

Funcția este constantă pe $$[-3,1]$$.

Monotonia nu se poate stabili fără formulă.

Funcția $$f(x)=-4x/3+5$$ este definită pe $$(-3,6]$$. Ce afirmație este adevărată?

Minimul este $$-3$$, atins la șase, iar maxim nu există.

Minimul este $$-3$$, iar maximul este $$9$$.

Unde își atinge extremele o funcție afină?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Monotonia funcției afine

Pe un interval, o funcție afină neconstantă își atinge minimul și maximul numai în capete, și doar în capetele incluse. Când crește strict, minimul stă în capătul stâng și maximul în cel drept; când descrește, invers. Exemplu: $f (x) = 5 - 2 x$ pe $[- 1, 4]$ descrește, deci maximul este $f (- 1) = 7$ , iar minimul este $f (4) = - 3$ . Pe $R$ întreg, dacă nu e constantă, funcția nu are nici minim, nici maxim.

Monotonia descrie cum se compară valorile când argumentele cresc. O funcție este strict crescătoare pe un domeniu dacă, pentru orice două argumente ordonate, valorile păstrează ordinea; este strict descrescătoare dacă o inversează. Domeniul face parte din afirmație și trebuie scris.

Pentru o regulă afină, diferența a două valori este produsul dintre coeficientul argumentului și diferența argumentelor. De aici vine criteriul: coeficient pozitiv înseamnă creștere strictă, coeficient negativ înseamnă descreștere strictă, iar coeficientul zero dă o funcție constantă, crescătoare și descrescătoare doar în sens larg. Termenul liber nu influențează sensul.

Pe grafic, parcurgi segmentul de la stânga spre dreapta. Poziția sub axa orizontală nu înseamnă scădere: valori negative pot crește. Raportul variațiilor este rata constantă a modelului; variația totală pe un pas este rata înmulțită cu pasul.

Extremele unei funcții afine strict monotone pe un interval se află în capete, dar numai dacă acele capete sunt incluse. Un cerculeț gol poate face ca minimul sau maximul să lipsească, deși valorile rămân între două numere. Pe toată axa reală, o funcție afină care nu e constantă nu își atinge nici minimul, nici maximul. Într-un model cu unități, rata se exprimă, de exemplu, în centimetri pe minut.

De reținut

$a > 0$ : strict crescătoare; $a < 0$ : strict descrescătoare; $a = 0$ : constantă
pe un interval, extremele unei funcții afine neconstante stau în capetele incluse
$f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1})$

Greșeala tipică

Se spune că o funcție afină descrescătoare are maximul în capătul drept, pentru că acolo argumentul e mai mare; la descreștere, maximul este în capătul stâng.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f (x) = (2 - 5 x) /4$ este definită pe $R$ . Cum este ea?
- a) strict crescătoare
- b) strict descrescătoare
- c) constantă
- d) crescătoare numai pentru argumente negative
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) strict descrescătoare

Coeficientul argumentului este $- 5/4 < 0$ , deci funcția este strict descrescătoare pe tot domeniul.
Un grafic dat este segmentul dintre $P (- 3; - 6)$ și $Q (1; - 2)$ , ambele capete incluse. Ce afirmație este corectă?
- a) Funcția este descrescătoare, fiindcă toate valorile sunt negative.
- b) Funcția este constantă pe $[- 3, 1]$ .
- c) Funcția este strict crescătoare pe $[- 3, 1]$ .
- d) Monotonia nu se poate stabili fără formulă.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Funcția este strict crescătoare pe $[- 3, 1]$ .

Spre dreapta ordonata urcă de la $- 6$ la $- 2$ . Semnul valorilor nu decide sensul de variație.
Funcția $f (x) = - 4 x /3 + 5$ este definită pe $(- 3, 6]$ . Ce afirmație este adevărată?
- a) Maximul este $9$ .
- b) Minimul este $- 3$ , iar maximul este $9$ .
- c) Funcția nu are nici minim, nici maxim.
- d) Minimul este $- 3$ , atins la șase, iar maxim nu există.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Minimul este $- 3$ , atins la șase, iar maxim nu există.

Funcția este strict descrescătoare. Capătul drept este inclus și dă $- 3$ ; valoarea $9$ ar corespunde capătului stâng, care este exclus.

Întrebări conexe

Ce înseamnă o rată de $- 3$ cm pe minut pentru nivelul apei dintr-un vas?

Înseamnă că nivelul scade cu $3$ cm în fiecare minut, deci funcția este strict descrescătoare. Cu $N (t) = 60 - 3 t$ , după $5$ minute nivelul este $45$ cm, iar vasul se golește la $t = 20$ , când $N = 0$ . După acest moment modelul nu mai are sens, fiindcă nivelul nu poate fi negativ.

Pentru ce valori ale lui $m$ este $f (x) = (2 m + 4) x - 3$ strict crescătoare?

Coeficientul lui $x$ trebuie să fie pozitiv: $2 m + 4 > 0$ , adică $m > - 2$ . Pentru $m = - 2$ funcția devine constantă, $f (x) = - 3$ , care nu este strict monotonă. Pentru $m < - 2$ coeficientul este negativ și funcția descrește strict. Termenul liber $- 3$ nu influențează răspunsul.

De ce o funcție afină cu valori negative poate fi crescătoare?

Monotonia compară valorile între ele, nu cu zero. Funcția $f (x) = x - 10$ pe $[0, 5]$ are toate valorile între $- 10$ și $- 5$ , deci sub axa orizontală, dar ele urcă de la stânga la dreapta: $f (0) = - 10 < f (5) = - 5$ . Poziția sub axă spune ceva despre semn, nu despre sensul de variație.

Cum arăt cu diferența valorilor că $f (x) = 3 x - 7$ este strict crescătoare?

Iei două argumente oarecare $x_{1} < x_{2}$ și calculezi $f (x_{2}) - f (x_{1}) = 3 x_{2} - 7 - 3 x_{1} + 7 = 3 (x_{2} - x_{1})$ . Paranteza este pozitivă, iar $3 > 0$ , deci diferența este pozitivă și $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Raționamentul acoperă orice pereche, nu doar câteva valori încercate, cum cere o demonstrație.

Ce monotonie are suma a două funcții afine?

Suma este tot afină, iar coeficientul ei este suma coeficienților. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = - 5 x + 3$ obții $(f + g) (x) = - 3 x + 4$ , strict descrescătoare, deși $f$ crește. Decide semnul lui $2 + (- 5) = - 3$ , nu monotonia fiecărei funcții luate separat.

Oamenii mai întreabă și: minimul și maximul funcției afine · extremele funcției afine pe interval · valoarea maximă a unei funcții de gradul întâi · maximul funcției afine pe un segment