Monotonia funcției afine (M2, științe ale naturii)

Un indicator arată un nivel mai mic la o citire mai târzie. Dacă graficul întregului interval este un segment de dreaptă, putem descrie toate comparațiile dintre momente, fără să calculăm fiecare indicație. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), învățăm să citim acest sens de variație din grafice date. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține monotonia funcției de gradul I.

Ai nevoie de forma funcției afine la M2 și de citirea unui grafic la M2. Compararea numerelor folosește ordonarea numerelor reale din clasa a VII-a. În această lecție, desenul ne oferă mai întâi informația; formula și raportul variațiilor o controlează. Nu sunt necesare derivate.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii sensul de variație al unui segment de grafic, cu domeniul precizat.
• Vei ști să deosebești creșterea strictă, descreșterea strictă și cazul constant.
• Vei ști să legi sensul de variație de coeficientul argumentului într-o formulă afină.
• Vei ști să compari valori și să interpretezi un raport al variațiilor.
• Vei ști să verifici dacă valorile de la marginile desenului sunt efectiv atinse.
• Vei ști să exprimi o rată de variație folosind unitățile potrivite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce comparăm când citim monotonia?

Începe cu axa argumentului. Alege un punct al graficului, apoi unul situat mai la dreapta. Al doilea are abscisa mai mare. Dacă are și ordonata mai mare, cele două valori păstrează ordinea argumentelor; dacă ordonata este mai mică, ordinea valorilor se inversează. Pentru monotonie trebuie ca aceeași relație să fie valabilă pentru oricare două argumente admise, nu doar pentru perechea aleasă.

O funcție strict crescătoare pe un domeniu este o funcție pentru care, oricare ar fi $x_1<x_2$ din acel domeniu, avem $f(x_1)<f(x_2)$. O funcție **strict descrescătoare** pe un domeniu este una pentru care din aceeași ordine a argumentelor rezultă $f(x_1)>f(x_2)$. Precizarea domeniului face parte din afirmație. Ea spune unde avem dreptul să alegem cele două numere.

Pe un grafic format dintr-un segment oblic, toate perechile urmează același sens: segmentul urcă sau coboară când îl parcurgem spre dreapta. Putem citi astfel proprietatea întregului segment. Când enunțul dă numai câteva puncte ale unei funcții necunoscute, desenarea unei drepte printre ele nu adaugă automat informații despre argumentele lipsă.

Un răspuns complet spune, de exemplu, că funcția este strict descrescătoare pe intervalul declarat. Formularea „scade” poate fi utilă în conversație, dar omite unde se întâmplă și dacă sunt permise valori egale. La redactare adăugăm aceste precizări, mai ales când domeniul are capete excluse.

2. Ce înseamnă variație nestrictă și caz constant?

Pentru creștere în sens larg cerem $f(x_1)\le f(x_2)$ atunci când $x_1<x_2$. Pentru descreștere în sens larg cerem $f(x_1)\ge f(x_2)$. Cuvintele „în sens larg” permit egalitatea valorilor. În unele enunțuri apare doar „crescătoare”; trebuie urmărită convenția precizată la clasă, iar aici folosim inegalitatea nestrictă pentru acest cuvânt fără „strict”.

O funcție constantă are aceeași valoare în toate argumentele admise. Oricare două valori sunt egale, așa că ambele inegalități nestricte sunt adevărate. Ea îndeplinește deci ambele cerințe nestricte, și pe cea de creștere, și pe cea de descreștere. Pe un domeniu cu cel puțin două argumente, nu este strict monotonă. Această condiție asupra domeniului evită interpretări formale inutile pentru un domeniu cu un singur element.

Dacă graficul este orizontal, nu există o direcție de urcare sau de coborâre a valorilor. Într-o descriere practică scriem „rămâne constantă”. La întrebarea matematică despre monotonia în sens larg adăugăm explicația bazată pe egalitate. Cele două moduri de exprimare sunt compatibile, dacă păstrăm sensul termenilor.

Pentru o funcție constantă pe un interval nevid, aceeași valoare este și minimă, și maximă. Este atinsă în fiecare argument din interval, nu într-un singur punct privilegiat. Deschiderea unuia dintre capetele intervalului nu schimbă această concluzie cât timp rămân argumente admise.

3. Cum confirmă formula lectura grafică?

Pentru o regulă afină $f(x)=ax+b$, diferența valorilor la două argumente este $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$. Dacă al doilea argument este mai mare, diferența argumentelor este pozitivă. Astfel, semnul diferenței valorilor este semnul coeficientului $a$. Termenul liber dispare din această comparație deoarece este același la ambele valori.

Tabelul se aplică și atunci când valorile funcției sunt negative. Poziția față de axa orizontală și variația ordonatelor răspund la întrebări diferite. Putem avea o succesiune de valori negative care devin tot mai mari. Pentru a decide sensul, comparăm numerele în ordinea lor, nu distanțele până la zero.

La M2 folosim această egalitate scurtă drept justificare a criteriului, apoi revenim la informația din grafic. Nu trebuie să refacem o demonstrație lungă pentru fiecare segment. Dacă se cere explicit justificarea, menționăm domeniul, semnul coeficientului și concluzia corespunzătoare. Când formula lipsește, proprietatea poate fi citită din graficul complet furnizat.

4. Cum folosim raportul variațiilor?

Pentru două argumente diferite, raportul $[f(x_2)-f(x_1)]/(x_2-x_1)$ este coeficientul $a$. Numărătorul este variația valorii, iar numitorul este variația argumentului. Dacă ambele diferențe sunt scrise în aceeași ordine, schimbarea simultană a ordinii nu schimbă raportul. Acest control este util când datele sunt prezentate într-un tabel în ordine neobișnuită.

O variație totală negativă spune că valoarea finală este mai mică decât cea inițială. Rata spune cu cât se schimbă valoarea pentru o unitate de argument, în modelul afin. Cele două numere coincid numai când variația argumentului este o unitate. Pentru intervale de lungimi diferite, comparația ratelor cere împărțirea la lungimea fiecărui interval.

Unitatea raportului provine din cele două axe. Dacă ordonata este un nivel în centimetri, iar abscisa este timpul în minute, rata se măsoară în centimetri pe minut. Trecerea la secunde modifică valoarea numerică a ratei, dar nu schimbă creșterea în descreștere. Schimbarea unităților se face prin factori pozitivi.

Rata constantă descrie exact modelul declarat afin. Câteva măsurători cu mici abateri pot doar sugera un model aproximativ. Într-un exercițiu cu segment de dreaptă dat și coordonate exacte, lucrăm cu date exacte. Într-o măsurătoare fizică rotunjită, precizia concluziei trebuie să rămână la nivelul preciziei datelor.

5. Ce valori putem compara fără a le calcula?

Odată stabilită monotonia, ordinea argumentelor decide ordinea valorilor. Pentru un segment descrescător, punctul aflat mai la dreapta are ordonata mai mică. Putem compara astfel două valori chiar dacă abscisele sunt fracții incomode. Primul pas este compararea argumentelor, iar al doilea este aplicarea sensului de variație.

Toate argumentele folosite trebuie să aparțină domeniului. O comparație despre un segment definit între două momente nu spune nimic despre un moment din afara observației, chiar dacă formula ar putea fi prelungită. Prelungirea poate fi studiată ca altă funcție, dar nu se introduce fără precizare în răspunsul la problema inițială.

Monotonia permite și o informație despre valorile intermediare. Pentru o funcție strict crescătoare și un argument dintre două capete admise, valoarea se află strict între valorile din capete. Pentru o funcție strict descrescătoare, ordinea acelor două valori este inversă. Această observație ajută la verificarea unui rezultat calculat: el trebuie să se încadreze corect.

Nu deducem dintr-o rată mai mare că o funcție are întotdeauna valori mai mari decât alta. Două grafice pot porni de la niveluri diferite. Rata compară variațiile pentru același pas al argumentului, în timp ce compararea valorilor cere citirea ordonatelor la același argument. Exemplele de mai jos separă cele două întrebări.

6. Cum citim extremele fără să uităm capetele?

Pe un interval închis, valorile unei funcții afine strict monotone se așază între valorile celor două capete. Una este cea mai mică, cealaltă cea mai mare. Graficul arată atât ordonatele extreme, cât și abscisele unde sunt atinse. Putem scrie separat valoarea și argumentul corespunzător, pentru a răspunde exact cerinței.

Pe un interval cu un capăt exclus, trebuie citit și cerculețul gol. Ordonata acelui punct nu este furnizată de capătul exclus. În cazul strict monoton, nicio altă abscisă nu poate produce aceeași valoare. Prin urmare, funcția poate să nu aibă minim sau să nu aibă maxim, deși toate valorile ei se află între două numere finite.

A spune că valorile se apropie de un număr nu înseamnă că îl ating. Pentru un segment crescător cu extremitatea dreaptă exclusă, oricare punct admis poate fi urmat de un alt punct admis cu ordonata mai mare. Astfel nu există o valoare care să fie cea mai mare. Argumentul folosește doar forma segmentului, fără noțiuni de analiză.

Pe întreaga axă reală, o funcție afină neconstantă nu are nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare: pentru orice valoare atinsă găsim, în sensul potrivit, un argument cu valoare mai mare și unul cu valoare mai mică. Când graficul ei apare doar pe o porțiune de ecran, domeniul se citește din enunț, ca în lectura grafică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O comparație citită pe segment

Graficul dat unește $A(-5;7)$ cu $B(3;-3)$, ambele capete incluse. Descriem monotonia și comparăm valorile în argumentele minus trei și unu.

Parcurs de la stânga spre dreapta, segmentul coboară. Funcția este strict descrescătoare pe $[-5,3]$. Cum $-3<1$, rezultă $f(-3)>f(1)$. Nu trebuie să citim sau să calculăm ordonatele exacte pentru această comparație.

Controlul numeric dă raportul $(-3-7)/(3-(-5))=-5/4$. Formula compatibilă este $f(x)=-5x/4+3/4$. Ea dă $f(-3)=9/2$ și $f(1)=-1/2$, în ordinea prevăzută. Graficul și calculul răspund aceleiași cerințe, prin două reprezentări ale aceleiași relații.

Exemplul 2. Creștere mai rapidă, valori mai mici

În același reper sunt date graficele lui $f(x)=x/4-3$ și $g(x)=3x/4-8$, pe $[-4,8]$. Comparăm variația celor două funcții și valorile lor la argumentul zero.

Ambele segmente urcă, deci funcțiile sunt strict crescătoare pe domeniul dat. La o creștere a argumentului cu patru, prima valoare crește cu unu, iar a doua cu trei. Ratele sunt $1/4$ și $3/4$; a doua variație este mai rapidă pentru același pas.

Totuși, $f(0)=-3$ și $g(0)=-8$, deci în zero a doua funcție are valoarea mai mică. Rata mai mare nu stabilește singură ordinea valorilor. Nici valorile negative nu împiedică cele două funcții să crească.

Exemplul 3. Un singur nivel, multe argumente

Graficul funcției $h$ este segmentul orizontal de ordonată $-9/4$, pentru argumente din $[-2,3]$. Ce afirmații de monotonie și de extrem putem face?

Pentru oricare două argumente, valorile sunt egale. Funcția este constantă: inegalitățile nestricte de creștere și de descreștere sunt ambele adevărate. Nu este strict crescătoare și nici strict descrescătoare, deoarece putem alege două argumente distincte și obținem egalitate.

Valoarea minimă și valoarea maximă coincid: ambele sunt $-9/4$. Sunt atinse în fiecare argument admis. Faptul că segmentul este sub axa orizontală nu schimbă niciuna dintre aceste concluzii.

Exemplul 4. Capătul gol schimbă existența maximului

Se dă graficul lui $u(x)=7x/6-2$ pe $[-3,6)$. Stabilim monotonia, valorile extreme și mulțimea valorilor.

Segmentul urcă. Valoarea din stânga este $u(-3)=-11/2$, iar capătul este inclus, deci acesta este minimul, atins la minus trei. Punctul din dreapta ar avea ordonata $5$, dar argumentul șase nu aparține domeniului.

Funcția nu are maxim. Valorile sunt strict mai mici decât cinci, iar pentru oricare dintre ele există una mai mare pe segment. Mulțimea valorilor este $[-11/2,5)$. Înlocuirea cerculețului gol cu un punct plin ar schimba această ultimă paranteză și existența maximului.

Exemplul 5. Rata scăderii unui nivel

Pe durata unei observații, nivelul unui lichid este descris exact de modelul $H(t)=18-5t/2$, cu timpul în minute, nivelul în centimetri și $t\in [0,6]$. Comparăm citirile de la două și cinci minute.

Avem $H(2)=13$ și $H(5)=11/2$. Variația nivelului este $11/2-13=-15/2$, iar durata este $5-2=3$ minute. Raportul este $(-15/2)/3=-5/2$ centimetri pe minut. Nivelul a coborât cu șapte centimetri și jumătate, cu o rată de scădere de doi centimetri și jumătate pe minut.

Funcția este strict descrescătoare pe intervalul declarat. Nu confundăm scăderea nivelului cu o scădere procentuală și nici centimetrii cu litrii: modelul descrie înălțimea, nu volumul lichidului.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

O funcție afină pe $\mathbb{R}$ satisface $f(-4)=9$ și $f(2)=-9$. Stabilim sensul de variație și calculăm diferența $f(x+2)-f(x)$, pentru orice număr real $x$.

Rata rezultată din condițiile date este $(-9-9)/(2-(-4))=-3$. Funcția este strict descrescătoare. Pentru un pas de două unități al argumentului, diferența valorilor este $-3\cdot 2=-6$.

Dacă dorim un control, condiția din argumentul doi dă termenul liber minus trei, deci $f(x)=-3x-3$. Atunci $f(4)=-15$ și $f(2)=-9$, iar $-15-(-9)=-6$. Calculul particular confirmă rezultatul general obținut din rata modelului.

Să exersăm

La fiecare grafic, citește domeniul înainte de concluzie. Când folosești un coeficient sau un raport, explică legătura dintre semnul său și proprietatea cerută.

1. Graficul dat este segmentul dintre $P(-2;-5)$ și $Q(4;-1)$, cu capetele incluse. Descrie monotonia și explică dacă valorile negative împiedică această proprietate.

2. Funcția $f(x)=(7-4x)/3$ este definită pe $\mathbb{R}$. Stabilește sensul de variație după identificarea coeficientului argumentului.

3. Graficul complet al unei funcții definite pe $[-2,8]$ este linia frântă prin $(-2;-3)$, $(2;-1)$, $(5;-1)$ și $(8;4)$. Este funcția crescătoare în sens larg? Este strict crescătoare?

4. O funcție afină pe $\mathbb{R}$ are $f(-1)=9$ și $f(5)=0$. Calculează rata variației și compară $f(2)$ cu $f(4)$.

5. Pe intervalul $[0,4]$ se dau $f(x)=7x/5-2$ și $g(x)=3-x/4$. Care funcție crește, care scade și cum variază diferența $f(x)-g(x)$?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2-k)x+3$, este strict descrescătoare pentru $k=3/2$.

7. Se dă $f(x)=2x/7-4$ pe $(-7,14]$. Precizează dacă există minim și maxim și dă valorile care sunt atinse.

8. Se dă $f(x)=-7x/3+2$ pe $[-3,0)$. Stabilește monotonia și existența extremelor.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $f(x)=9x/4-100$, definită pe $\mathbb{R}$, compară valorile $f(11/10)$ și $f(9/8)$ fără să le calculezi.

10. Pentru $f(x)=(3m+6)x-5$, definită pe $\mathbb{R}$, determină parametrii reali pentru care funcția este crescătoare în sens larg. Include cazul constant.

11. Modelul $g(x)=-6x/5+9$ este definit pe $[-1,4]$. Calculează variația de la argumentul zero la argumentul $5/2$ și rata corespunzătoare.

12. Graficul dat unește $P(-2;5)$, exclus, cu $Q(2;-9)$, inclus. Citește sensul de variație și precizează dacă există minim și maxim.

13. O funcție afină definită pe $[-3,3]$ are $f(-3)=6$, iar valoarea ei minimă este $-4$. Scrie formula funcției și argumentul în care este atins minimul.

14. (Problemă aplicată.) Nivelul apei din vasul $A$ scade uniform cu $3$ cm pe minut. Nivelul din vasul $B$, descris de un model afin, este $40$ cm la minutul $2$ și $29$ cm la minutul $6$. Din care vas scade nivelul mai repede?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O funcție afină pe $\mathbb{R}$ satisface $f(-2)=-7$ și $f(4)=11$. Fără să determini formula, arată că $f(x)\in [-7,11]$ pentru orice $x\in [-2,4]$ și precizează dacă funcția ia valoarea $12$ pe acest interval.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(q-1)x+6$, verifică $f(2)=f(9)+3$. Determină numărul real $q$ și monotonia funcției.

17. Se dă $f(x)=-2x/5+11/5$ numai pe $D=\{-5,0,10\}$. Stabilește monotonia pe acest domeniu și scrie cele trei valori în ordinea argumentelor. Graficul conține și punctele dintre ele?

18. (Provocare.) O funcție afină pe $\mathbb{R}$ verifică $f(1)=f(6)$. Poate fi strict monotonă? Ce rezultă despre toate celelalte valori ale ei?

Răspunsuri și explicații

1. Funcția este strict crescătoare pe $[-2,4]$: ordonatele urcă atunci când abscisele cresc. Toate sunt negative, dar minus unu este mai mare decât minus cinci. Semnul valorilor nu înlocuiește compararea lor.

2. Coeficientul este $-4/3<0$, deci funcția este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. Împărțirea la trei afectează și coeficientul argumentului, și termenul liber; niciunul nu trebuie citit din numărător fără împărțire.

3. Este crescătoare în sens larg, dar nu strict crescătoare. Pe cele trei porțiuni ordonata urcă cu o jumătate pe unitate, rămâne la minus unu, apoi urcă cu cinci treimi pe unitate, deci nicio porțiune nu coboară. Pe $[2,5]$, însă, două argumente distincte au aceeași valoare, minus unu, ceea ce exclude creșterea strictă. Funcția nu este afină, dar monotonia se citește la fel, spre dreapta.

4. Rata este $-3/2$, calculată din $(0-9)/(5-(-1))=-3/2$. Funcția este strict descrescătoare, așadar $f(2)>f(4)$. Ambele argumente sunt admise și sunt deja scrise în ordine crescătoare.

5. Funcția $f$ este strict crescătoare (coeficientul $7/5$ este pozitiv), iar $g$ este strict descrescătoare (coeficientul $-1/4$ este negativ). Diferența este $7x/5-2-3+x/4=33x/20-5$, o funcție afină cu coeficient pozitiv, deci strict crescătoare pe $[0,4]$: o funcție care crește minus una care scade dă o diferență care crește.

6. Fals. Pentru $k=3/2$ coeficientul argumentului este $2-3/2=1/2$, un număr pozitiv, deci funcția este strict crescătoare. Ar fi strict descrescătoare numai pentru $k>2$, când coeficientul devine negativ.

7. Funcția este strict crescătoare și nu are minim: capătul stâng este exclus. Maximul este $f(14)=0$, atins la paisprezece. Valoarea minus șase ar corespunde capătului exclus și nu este atinsă în alt argument.

8. Funcția este strict descrescătoare. Maximul este $f(-3)=9$, iar funcția nu are minim. Valorile rămân strict mai mari decât doi, care ar corespunde argumentului zero exclus din domeniu.

9. Avem $11/10<9/8$, deoarece $88<90$ la aducerea la același numitor pozitiv. Coeficientul $9/4$ este pozitiv, deci $f(11/10)<f(9/8)$. Termenul liber mare în valoare absolută nu schimbă această comparație.

10. Condiția este $3m+6\ge 0$, deci $m\ge -2$. La egalitate funcția este constantă, ceea ce este permis de cerința nestrictă. Pentru un parametru mai mare decât minus doi, creșterea este strictă.

11. Variația este $-3$, iar rata este $-6/5$. Avem $g(0)=9$ și $g(5/2)=6$; împărțim diferența valorilor la pasul de două unități și jumătate al argumentului. Diferența și rata au roluri distincte.

12. Funcția este strict descrescătoare pe $(-2,2]$. Minimul este $-9$, atins la doi; funcția nu are maxim. Ordonata cinci nu este valoare a graficului, deoarece singurul punct care ar avea-o este exclus; formula de control este $-7x/2-2$.

13. Formula este $f(x)=-5x/3+1$, iar minimul este atins la trei. Minimul nu poate fi în minus trei, unde valoarea este șase, mai mare decât minus patru; o funcție afină neconstantă pe un interval închis își atinge extremele în capete, deci $f(3)=-4$. Raportul este $(-4-6)/(3-(-3))=-5/3$, iar termenul liber rezultă din $f(-3)=5+b=6$.

14. Nivelul scade mai repede în vasul $A$. Rata vasului $B$ este $(29-40)/(6-2)=-11/4$ cm pe minut, adică o scădere de doi centimetri și trei sferturi pe minut, mai mică decât trei centimetri pe minut. Comparăm ratele, nu nivelurile: vasul $B$ poate avea în continuare mai multă apă.

15. Rata este $(11-(-7))/(4-(-2))=3$, pozitivă, deci funcția este strict crescătoare. Pentru $-2\le x\le 4$ rezultă $f(-2)\le f(x)\le f(4)$, adică $f(x)\in [-7,11]$. Valoarea doisprezece depășește cea mai mare valoare de pe interval, deci nu este atinsă acolo; pe toată axa reală ar fi atinsă, dar la un argument mai mare decât patru.

16. Obținem $q=4/7$, iar funcția este strict descrescătoare. Diferența valorilor este $f(9)-f(2)=(q-1)\cdot 7$, iar condiția spune că ea este $-3$; deci $q-1=-3/7$. Coeficientul argumentului, $-3/7$, este negativ, ceea ce se vede și din condiție: valoarea în doi este mai mare decât valoarea în nouă.

17. Funcția este strict descrescătoare, cu valorile $f(-5)=21/5$, $f(0)=11/5$ și $f(10)=-9/5$. Graficul are numai trei puncte. Comparația valorilor este valabilă pe domeniul finit, fără să transformăm acest domeniu într-un interval.

18. Nu poate fi strict monotonă. Raportul dintre diferența nulă a valorilor și $6-1=5$ dă coeficientul zero. Funcția este constantă, iar toate valorile sale sunt egale cu valoarea comună din cele două argumente date.

De reținut

• Citește monotonia în ordinea crescătoare a argumentelor și precizează domeniul.
• Pentru modelul afin, coeficientul pozitiv înseamnă creștere strictă, cel negativ descreștere strictă, iar cel nul constanță.
• Raportul variațiilor este constant; variația totală este produsul dintre acest raport și pasul argumentului.
• Monotonia permite compararea valorilor, dar nu spune singură dacă acestea sunt pozitive.
• Un capăt exclus poate împiedica atingerea unei valori extreme, chiar dacă valorile rămân între două numere.

Greșeli frecvente

• Parcurgi segmentul în sensul invers al argumentelor. Dacă citești spre stânga, impresia de urcare se inversează. Identifică întâi sensul pozitiv al axei argumentului și descrie variația în acel sens.
• Folosești variația totală drept rată. Când abscisa crește cu mai multe unități, diferența ordonatelor trebuie împărțită la acest pas. Scrie ambele diferențe înaintea raportului.
• Atribui un extrem unui capăt gol. Valoarea vizibilă la margine poate să nu fie atinsă. Verifică includerea punctului și dacă o altă abscisă admisă ar putea avea aceeași ordonată.
• Numești o funcție constantă strict crescătoare. Pe un domeniu cu două argumente distincte, egalitatea valorilor contrazice inegalitatea strictă. Păstrează precizarea „în sens larg” când egalitatea este admisă.
• Compari o valoare din afara domeniului. Formula prelungită poate permite calculul, dar funcția studiată nu are acea valoare. Verifică admiterea ambelor argumente înainte de aplicarea monotoniei.

Aplică acasă

1. Ordinea datelor. Scrie două citiri ale unui model afin, apoi inversează ordinea rândurilor. Calculează raportul variațiilor în ambele prezentări, păstrând aceeași ordine în numărător și numitor. Explică de ce sensul modelului rămâne același.
2. Capăt inclus sau exclus. Desenează un segment crescător și pregătește două copii: în prima incluzi ambele capete, în a doua excluzi capătul drept. Notează exact care afirmații despre monotonie, valori și maxim se schimbă.
3. Aceeași observație, altă unitate. Reprezintă două citiri ale unui nivel în centimetri, cu timpul întâi în minute și apoi în secunde. Compară ratele și sensul de variație. Nu schimba fenomenul atunci când schimbi etichetele unităților.

Pentru părinți și profesori

Elevul ar trebui să poată explica o comparație de valori direct pe segmentul furnizat, apoi să o controleze prin coeficient sau raport. O evaluare utilă cere domeniul, sensul de variație și o justificare scurtă. Capetele goale și funcția constantă verifică dacă elevul înțelege condițiile, nu doar aspectul unei drepte.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, unde proprietățile funcțiilor se observă pe grafice date sau realizate digital. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie; pentru elevii care încep liceul în 2026, programa probei MAT_P2 (Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) include tema în domeniul „Algebră”, iar monotonia funcției afine și semnul raportului variațiilor sunt reluate în programa clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă cuprinde monotonia funcției de gradul I. Modelul oficial 2026, Subiectul I, cerința 2, verifică operarea cu funcții afine și nu formulează o cerință de monotonie. Exercițiile marcate aici sunt antrenament propriu în limitele programei.

Pagina este scrisă astfel încât să poată fi reluată și în clasa a X-a, unde programa revine la monotonia funcției afine. În Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: monotonia funcției afine accentul cade și pe demonstrații și ramuri; aici păstrăm lectura segmentelor și interpretarea ratelor. Continuarea este semnul funcției afine la M2, iar evaluarea unității este testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Cum este adaptată tema pentru științe ale naturii față de M1?

La M2 pornim de la grafice furnizate, cu domenii și capete precizate, și explicăm comparațiile observate. Folosim coeficientul și raportul variațiilor ca verificări ale lecturii. Exemplele urmăresc intervale deschise, rate cu unități și limitele unui model, fără să transforme lecția într-un șir de demonstrații algebrice sau într-un studiu al funcțiilor pe ramuri.

La ce subiect al bacalaureatului M2 ajunge monotonia funcției afine?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde monotonia funcției de gradul I. În modelul oficial 2026, funcțiile apar la Subiectul I, cerința 2, printr-o relație numerică între două funcții afine, fără o cerință de monotonie. Deprinderea te ajută să compari valori și să controlezi un rezultat. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

Poate un segment mărginit să nu aibă o valoare maximă?

Da, dacă funcția urcă strict și capătul drept este exclus. Orice punct admis are la dreapta un alt punct admis cu o ordonată mai mare. Ordonata cerculețului gol descrie marginea valorilor, dar nu este valoare atinsă. De aceea o mulțime de valori poate fi limitată fără să conțină un element maxim.

De ce se schimbă rata când trec de la minute la secunde?

Rata exprimă variația pentru o unitate de timp, iar minutul și secunda nu reprezintă aceeași durată. Aceeași variație totală se împarte la numere diferite de unități. Valoarea numerică a ratei se schimbă, însă semnul ei rămâne același, deoarece factorul conversiei este pozitiv; creșterea sau descreșterea fenomenului se păstrează.

O scădere de nivel cu doi centimetri înseamnă o scădere cu doi la sută?

Nu. Centimetrii exprimă o variație absolută a nivelului, iar procentul compară variația cu un nivel de referință precizat. Fără acel nivel inițial, procentul nu poate fi stabilit. Într-un model afin cu timp, rata în centimetri pe minut spune cât se schimbă nivelul pentru fiecare minut, nu ce procent din nivel dispare.

De ce contează ordinea capetelor la o funcție descrescătoare?

Când domeniul este un interval închis, valorile extreme ale unei funcții afine neconstante se află în capete, dar care capăt dă maximul depinde de sens. La o funcție crescătoare maximul este în capătul drept; la una descrescătoare este în capătul stâng, iar minimul în cel drept. Dacă scrii mecanic „maximul la capătul mare”, greșești exact la funcțiile descrescătoare.