Ce valori ia o parabolă pe un interval dat?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Valorile atinse, citite pe grafic

Mulțimea valorilor strânge toate ordonatele pe care graficul le atinge efectiv. O citim proiectând curba pe axa verticală: fiecare punct își trimite înălțimea pe axă, iar urmele formează un interval sau, la un domeniu finit, o listă.

Un număr $m$ este valoare a funcției exact când orizontala de nivel $m$ întâlnește graficul. Numărul punctelor comune este numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ și se schimbă doar la înălțimea vârfului și la înălțimile capetelor.

Pe întreaga axă reală, parabola dă o semidreaptă care începe, inclusiv, la înălțimea vârfului. Pe un interval, marginile se iau din vârf, când acesta stă înăuntru, și din capete. Marcajul gol de la un capăt scoate înălțimea lui din imagine doar când niciun alt punct plin nu ajunge acolo.

Mutarea graficului pe verticală mută imaginea cu aceeași cantitate, iar schimbarea semnului o oglindește. O deplasare orizontală nu schimbă imaginea pe toată axa, dar o poate schimba pe un interval fixat. Într-un model din științe, imaginea primește unitatea mărimii și este valabilă numai pe intervalul declarat.

De reținut

• pe $\mathbb{R}$: $\left[-\frac{\Delta }{4a},+\infty \right)$ pentru $a>0$ și $\left(-\infty ,-\frac{\Delta }{4a}\right]$ pentru $a<0$
• pe un interval: vârful, dacă e admis, și valorile din capete
• un capăt exclus poate scoate o valoare din imagine

Greșeala tipică

Se calculează doar valorile din capete și se uită vârful aflat în interval; pentru $x^2-2x-3$ pe $[-2,2]$ ar rezulta $[-3,5]$ în loc de $[-4,5]$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este o parabolă cu ramurile în sus și vârful $V(3,-2)$. Care este mulțimea valorilor?

   • a) $[-2,+\infty )$
   • b) $(-\infty ,-2]$
   • c) $[3,+\infty )$
   • d) $(-2,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $[-2,+\infty )$

   Ramurile urcă nelimitat, iar cel mai jos punct este vârful, atins. Imaginea pornește de la ordonata lui, cu paranteză dreaptă.

2. Fie $u:[0,5]\to \mathbb{R}$, $u(x)=(x-2{)}^2+7$. Care este mulțimea valorilor?

   • a) $[11,16]$
   • b) $[7,11]$
   • c) $[7,16]$
   • d) $[0,16]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $[7,16]$

   Vârful, de abscisă doi, este în interval și dă $7$. Capetele dau $11$ și $16$; marginea de sus vine din capătul mai depărtat.

3. Fie $h:\{-1,0,3,4\}\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^2-3x+11$. Care este mulțimea valorilor?

   • a) $[11,15]$
   • b) $\{11,15\}$
   • c) $\{-1,0,3,4\}$
   • d) $\{11,13,15\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\{11,15\}$

   Valorile sunt $15$, $11$, $11$ și $15$. Domeniul finit dă o listă de valori distincte, nu un interval.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: imaginea funcției de gradul doi pe un interval · mulțimea valorilor pe o restricție · valorile unei parabole pe un segment · minimul și maximul pe interval la funcția pătratică