Mulțimea valorilor funcției de gradul doi (M2, științe ale naturii)

O dronă de cercetare coboară spre acoperișul unei sere, se oprește o clipă deasupra lui și apoi urcă din nou. Întrebarea „la ce altitudini s-a aflat?” nu cere un moment anume, ci toate numerele atinse de mărimea urmărită. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), acest răspuns se numește mulțimea valorilor funcției și se citește pe grafic, privind ordonatele punctelor lui. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei numește explicit mulțimea valorilor și soluțiile ecuației $f(x)=m$. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține imaginea unei mulțimi printr-o funcție și proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa $Oy$; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu funcții, dar nu una despre mulțimea valorilor.

Vârful și simetria parabolei sunt descrise în lecția M2 despre vârful parabolei, iar cea mai mică și cea mai mare valoare pe un interval sunt tratate în monotonia și extremul parabolei la M2. Aici strângem toate valorile, nu doar marginile lor. Dacă notația intervalelor nemărginite nu îți mai este familiară, recitește intervalele nemărginite din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești mulțimea valorilor ca ordonatele tuturor punctelor unui grafic furnizat sau trasat digital.
• Vei ști să decizi dacă un număr este valoare a funcției, legând întrebarea de ecuația $f(x)=m$.
• Vei ști să numeri soluțiile ecuației $f(x)=m$ cu o orizontală, inclusiv pe un domeniu restrâns.
• Vei ști să tratezi capetele incluse, capetele excluse și domeniile finite fără scurtături greșite.
• Vei ști să prevezi cum se schimbă mulțimea valorilor după o translație, o simetrie sau o dilatare verticală.
• Vei ști să formulezi răspunsul în unitățile unui model din științe, pe intervalul lui de valabilitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce valori atinge o funcție?

Mulțimea valorilor (sau imaginea) funcției $f:D\to B$ este mulțimea tuturor numerelor $f(x)$ obținute când $x$ parcurge domeniul $D$; o notăm $\mathrm{Im}f$. Ea se află în interiorul codomeniului și adesea ocupă doar o parte din el. Codomeniul este declarat de enunț, iar imaginea este descoperită din funcție.

O formulare echivalentă este foarte utilă: un număr $m$ aparține mulțimii valorilor exact atunci când ecuația $f(x)=m$ admite măcar o soluție printre intrările permise. Întrebarea „este $m$ o valoare?” devine astfel întrebarea „există o intrare care produce $m$?”. Nu contează câte intrări îl produc; una singură este suficientă.

Să privim funcția $r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $r(x)=x^2-12x+38$, desenată cu o aplicație. Graficul arată cel mai jos punct la înălțimea doi, deasupra abscisei șase, iar ramurile urcă nelimitat. Pentru nivelul unu, orizontala trece complet pe sub curbă, deci ecuația $r(x)=1$ nu are soluție. Pentru orice nivel de la doi în sus, orizontala întâlnește curba. Mulțimea valorilor se obține strângând toate aceste niveluri atinse.

2. Cum se citește imaginea pe grafic?

Fiecare punct $(x,f(x))$ al graficului are o ordonată. Dacă ducem din fiecare punct o orizontală până la axa $Oy$, marcăm pe axă înălțimea lui. Toate aceste mărci formează proiecția graficului pe axa ordonatelor, iar proiecția este chiar mulțimea valorilor. Domeniul se citește pe axa orizontală, imaginea pe axa verticală.

În figura A este desenat arcul funcției $s:[-1,5]\to \mathbb{R}$, $s(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2+2$. Cel mai jos punct este vârful, la înălțimea doi. Cel mai înalt punct este capătul drept, la înălțimea zece. Capătul stâng stă la înălțimea patru, deci nu este o margine a imaginii. Arcul este o curbă neîntreruptă, astfel încât proiecția lui acoperă tot segmentul vertical dintre doi și zece: $\mathrm{Im}s=[2,10]$.

Proiecția nu spune de câte ori este atins un nivel. Înălțimile dintre doi și patru sunt atinse de două ori, o dată pe fiecare parte a vârfului. Înălțimile de peste patru sunt atinse o singură dată, pe ramura din dreapta. Această informație suplimentară este exact numărul de soluții ale ecuației $s(x)=m$, pe care îl citim în subsecțiunea următoare.

3. Ce ne spune o orizontală despre ecuația $f(x)=m$?

Soluțiile ecuației $f(x)=m$ sunt abscisele punctelor în care orizontala de nivel $m$ întâlnește graficul. Mișcăm orizontala de jos în sus și numărăm punctele comune. Numărul lor se schimbă numai la nivelurile speciale: înălțimea vârfului și înălțimile capetelor domeniului.

Pe o parabolă completă, cu ramurile în sus, orizontalele de sub vârf nu întâlnesc curba, orizontala prin vârf o atinge într-un punct, iar cele de deasupra o taie în două puncte simetrice. Cu ramurile în jos, ordinea se inversează. Rezultă că pe $\mathbb{R}$ imaginea este mereu o semidreaptă închisă, pornind de la ordonata vârfului.

Pe un domeniu restrâns apar și nivelurile capetelor. Când vârful este în interiorul domeniului, deasupra capătului mai jos una dintre ramuri s-a terminat, iar orizontala nu mai găsește decât un punct. Deasupra capătului mai înalt, nu mai găsește niciunul. Nu desenăm în gând parabola completă: numărăm numai punctele care aparțin graficului dat.

Un capăt exclus, marcat cu cerc gol, nu se numără. O intersecție care cade exact într-un asemenea cerc nu este soluție. Pentru nivelurile speciale este bine să confirmi prin calcul o valoare citită, înlocuind abscisa în formula funcției.

4. Ce schimbă o porțiune de domeniu?

Pe un interval închis, imaginea este segmentul vertical dintre cel mai jos și cel mai înalt punct al arcului. Dacă vârful se află în interiorul intervalului, el dă una dintre margini, iar cealaltă margine vine de la capătul mai depărtat de vârf pe verticală. Dacă vârful este în afara intervalului, arcul este pe o singură ramură și marginile vin din cele două capete.

Un cerc gol la un capăt al domeniului exclude punctul marcat. Valoarea lui dispare din imagine numai dacă nu este atinsă în altă parte. Pentru decizie trasăm orizontala prin cercul gol: dacă ea mai întâlnește un punct plin al graficului, valoarea rămâne în imagine și paranteza este dreaptă. Dacă nu întâlnește niciun alt punct, capătul imaginii rămâne deschis.

Aceeași verificare se aplică vârfului exclus. Dacă domeniul începe chiar în abscisa vârfului, cu capăt deschis, ordonata vârfului nu este atinsă, iar imaginea începe cu paranteză rotundă. Funcția nu are atunci o cea mai mică valoare, deși are o margine inferioară clară pe desen.

5. Cum se mișcă imaginea când mutăm graficul?

O aplicație de reprezentare grafică permite să suprapunem graficul lui $f$ cu cel al lui $f+c$. Adunarea constantei ridică fiecare punct cu $c$ unități, dacă $c$ este pozitiv, sau îl coboară, dacă $c$ este negativ. Toată proiecția pe axa verticală se deplasează cu aceeași cantitate. Dacă $\mathrm{Im}f=[a,b]$, atunci imaginea lui $f+c$ este intervalul de capete $a+c$ și $b+c$.

Schimbarea semnului, trecerea la $-f$, oglindește graficul față de axa orizontală. Capătul de jos devine capăt de sus, iar parantezele își schimbă locul odată cu capetele. Înmulțirea cu o constantă pozitivă dilată sau comprimă graficul pe verticală și înmulțește ambele capete ale imaginii cu acea constantă.

Deplasarea pe orizontală se comportă altfel. Pe $\mathbb{R}$, graficul lui $f(x-h)$ are aceleași înălțimi ca graficul lui $f$, doar mutate lateral, deci imaginea nu se schimbă. Pe un interval fixat însă, deplasarea aduce în fereastra domeniului altă porțiune a parabolei, iar imaginea se poate schimba complet. Aici vârful poate intra sau ieși din interval.

6. De ce un domeniu finit dă o listă, nu un interval?

Dacă domeniul are câteva elemente, graficul este format din câteva puncte izolate, ca în lecția M2 despre noțiunea de funcție. Proiecția lor pe axa verticală este tot o mulțime de puncte izolate. Imaginea se scrie ca listă între acolade, cu valorile distincte, fiecare o singură dată.

Numerele dintre două valori ale listei nu sunt atinse. Chiar dacă punctele par să urmeze o parabolă, ele nu sunt unite prin curbă, iar ordonatele intermediare nu corespund niciunei intrări din domeniu. Scrierea unui interval între cea mai mică și cea mai mare valoare ar adăuga numere care nu provin din funcție.

Două intrări simetrice față de axa parabolei dau aceeași valoare. Într-o listă, valoarea comună apare o singură dată. Această observație permite și un control rapid: dacă ai calculat valori egale în două intrări, verifică dacă ele sunt egal depărtate de abscisa vârfului.

7. Ce verificăm când graficul vine dintr-o aplicație?

Ecranul arată o fereastră, adică un dreptunghi ales pentru afișare. Marginea de sus a ferestrei nu este un maxim al funcției, iar marginea de jos nu este un minim. Ramurile unei parabole pe $\mathbb{R}$ continuă în afara imaginii, iar lipsa unui capăt desenat nu înseamnă că imaginea se termină acolo. Citește domeniul declarat înainte de marginea desenului.

Coordonatele unui vârf citite de pe ecran pot fi aproximative. Pentru un control exact folosim relațiile din lecția despre vârf: abscisa vârfului este $-\frac{b}{2a}$, iar ordonata lui este valoarea funcției în această abscisă. Calculul confirmă lectura, nu o înlocuiește: graficul arată forma, iar formula dă numărul exact.

Când graficul modelează o mărime fizică, imaginea primește unitatea mărimii. Scriem „altitudinile atinse formează intervalul de la patru la douăzeci de metri”, nu doar un interval de numere. Intervalul de timp pe care modelul este valabil este domeniul funcției și trebuie precizat înaintea oricărei concluzii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul și decide ce niveluri sunt atinse

Figura B reprezintă graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+3$. Scrie mulțimea valorilor. Precizează câte soluții au ecuațiile $f(x)=3$, $f(x)=5$ și $f(x)=6$.

Rezolvare. Ramurile coboară, iar cel mai înalt punct este vârful, pe care îl citim în $V(2,5)$. Controlul exact: abscisa vârfului este $-\frac{2}{2\cdot (-1/2)}=2$, iar valoarea este $-2+4+3=5$. Nicio orizontală de deasupra nu întâlnește curba, deci $\mathrm{Im}f=(-\infty ,5]$.

Orizontala de nivel trei taie ambele ramuri, în punctele de abscise zero și patru: $f(0)=3$ și $-8+8+3=3$. Nivelul cinci este atins numai în vârf, deci ecuația $f(x)=5$ are o soluție. Nivelul șase este deasupra vârfului, iar ecuația $f(x)=6$ nu are soluții.

Exemplul 2 — Arcul pe care vârful e în interior

Funcția $g:[-3,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+2x-11$, este reprezentată în figura C. Determină mulțimea valorilor.

Rezolvare. Vârful are abscisa minus unu, care aparține intervalului, și valoarea $1-2-11=-12$. Capetele dau $9-6-11=-8$ și $4+4-11=-3$. Cel mai jos punct al arcului este vârful, iar cel mai înalt este capătul drept.

Arcul este neîntrerupt, deci proiecția lui acoperă tot segmentul dintre minus doisprezece și minus trei: $\mathrm{Im}g=[-12,-3]$. Toate valorile funcției sunt negative, deși domeniul conține și numere pozitive. Semnul intrărilor și semnul valorilor sunt informații diferite.

Exemplul 3 — Găsește greșeala de la capătul exclus

Funcția $w:[0,4)\to \mathbb{R}$, $w(x)=2x^2-8x+7$, este reprezentată în figura D, cu cerc gol în capătul drept. Un elev scrie mulțimea valorilor ca $[-1,7)$, motivând că „patru este exclus”. Unde greșește?

Rezolvare. Vârful are abscisa doi și valoarea $8-16+7=-1$, atinsă, deci capătul de jos este închis. Cercul gol din dreapta se află la înălțimea $32-32+7=7$. Orizontala de nivel șapte mai întâlnește însă graficul în capătul stâng, plin: $w(0)=7$.

Valoarea șapte este atinsă de intrarea zero, deci aparține imaginii. Răspunsul corect este $\mathrm{Im}w=[-1,7]$. Elevul a eliminat o valoare pentru că una dintre intrările care o produc lipsește, fără să caute celelalte intrări.

Exemplul 4 — Câte soluții, după nivel, pe o restricție

Funcția $v:[1,7]\to \mathbb{R}$, $v(x)=x^2-6x+15$, este reprezentată în figura E. Discută numărul soluțiilor ecuației $v(x)=m$ după valorile reale ale lui $m$.

Rezolvare. Nivelurile speciale sunt vârful și capetele. Vârful dă $9-18+15=6$, capătul stâng $1-6+15=10$, capătul drept $49-42+15=22$. Pentru $m<6$ orizontala trece pe sub arc: nicio soluție. Pentru $m=6$ atinge vârful: o soluție.

Pentru $6<m\le 10$ orizontala taie arcul de o parte și de alta a vârfului: două soluții. Pentru $10<m\le 22$ ramura stângă s-a terminat în capătul de nivel zece, deci rămâne o singură soluție, pe ramura dreaptă. Pentru $m>22$ nu mai există soluții. Imaginea este $[6,22]$, dar numărul soluțiilor diferă în interiorul ei.

Exemplul 5 — Altitudinile atinse de o dronă

O dronă de cercetare se deplasează numai pe verticală, cu accelerație constantă. Altitudinea ei față de sol este $h(t)=t^2-8t+20$, în metri, pentru $t\in [0,6]$, în secunde (figura F). La ce altitudini s-a aflat? A trecut prin altitudinea de opt metri? Dar prin cea de doisprezece metri, și de câte ori?

Rezolvare. Drona pornește de la altitudinea $h(0)=20$ m, coboară și se oprește la momentul patru, la altitudinea $16-32+20=4$ m, apoi urcă. La final este la $36-48+20=8$ m. Altitudinile atinse formează intervalul $[4,20]$ m.

Altitudinea de opt metri este atinsă la momentele în care $t^2-8t+12=0$, adică $(t-2)(t-6)=0$: la $t=2$ și la $t=6$, deci de două ori. Altitudinea de doisprezece metri cere $t^2-8t+8=0$, adică $(t-4{)}^2=8$, de unde $t-4=-2\sqrt{2}$ sau $t-4=2\sqrt{2}$. Dintre momentele $t=4-2\sqrt{2}$ și $t=4+2\sqrt{2}$, numai primul, aproximativ $1,17$ s, aparține intervalului de observație, deci trecerea are loc o dată. Modelul descrie mișcarea verticală cu accelerație constantă numai între zero și șase secunde, iar altitudinea rămâne pozitivă pe tot acest interval.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+18$. Arătați că numărul $-6$ aparține mulțimii valorilor funcției $f$ și determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=-6$. Există numere reale $a$ pentru care $f(a)=-8$?

Rezolvare. Condiția $f(a)=-6$ se scrie $a^2-10a+24=0$, adică $(a-4)(a-6)=0$, cu soluțiile $a=4$ și $a=6$. Controlul: $16-40+18=-6$ și $36-60+18=-6$. Existența unei soluții arată că $-6$ aparține mulțimii valorilor.

Pentru $f(a)=-8$ privim vârful: abscisa lui este cinci, iar ordonata $25-50+18=-7$. Parabola are ramurile în sus, deci $f(x)=(x-5{)}^2-7\ge -7$ pentru orice $x$ real. Nivelul minus opt este sub vârf, așa că nu există niciun număr $a$ cu $f(a)=-8$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Pentru exercițiile cu figură, citește întâi domeniul și marcajele capetelor. Unde se cere, confirmă prin calcul o valoare citită.

1. Figura G reprezintă graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{7}{2}$. Citește vârful și scrie mulțimea valorilor.

2. Pentru funcția din exercițiul 1, câte soluții are ecuația $f(x)=m$ pentru $m=-5$, $m=-4$ și $m=4$? În ultimul caz, citește soluțiile și verifică-le.

3. Restrânge funcția din exercițiul 1 la intervalul $[-3,1]$. Scrie mulțimea valorilor acestei restricții.

4. Fie $g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=-\frac{1}{2}(x+1{)}^2+9$, reprezentată în figura H1. Scrie mulțimea valorilor și explică de ce vârful nu dă o margine.

5. Funcția $h$ are domeniul $D=\{-1,0,2,5,6\}$, codomeniul real și formula $h(x)=x^2-5x+11$. Scrie mulțimea valorilor.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+4x-1$, are mulțimea valorilor $[-1,15]$.

7. Despre o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ știm că $\mathrm{Im}f=[-2,+\infty )$. Scrie mulțimile valorilor funcțiilor $f+5$, $-f$ și $3f$.

8. Fie $k:(1,3]\to \mathbb{R}$, $k(x)=2x^2-4x+9$, reprezentată în figura H2. Determină mulțimea valorilor. Are funcția o cea mai mică valoare?

9. Fie $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $p(x)=-5x^2+10x+2$. Un grafic trasat digital arată vârful în punctul $V(1,7)$. Confirmă vârful prin calcul și decide dacă numerele $7$ și $8$ sunt valori ale funcției.

10. Fie $q:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $q(x)=-2(x-1{)}^2+6$, reprezentată în figura H3. Câte soluții are ecuația $q(x)=m$ pentru $m=6$, $m=5$, $m=0$ și $m=7$?

11. (Problemă aplicată.) Secțiunea unui jgheab are forma unei parabole: o bilă aflată la distanța orizontală $x$ de punctul cel mai jos stă la înălțimea $h(x)=\frac{x^2}{10}$ centimetri, pentru $x\in [-4,6]$ (figura H4). Ce înălțimi poate avea bila? Pentru ce înălțimi există două poziții posibile?

12. Trasează digital funcțiile $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2$ și $g(x)=\frac{1}{2}(x-6{)}^2$, ambele restrânse la $[1,3]$. Scrie cele două mulțimi de valori și explică de ce deplasarea orizontală a schimbat imaginea.

13. O funcție de gradul al doilea definită pe $\mathbb{R}$ are mulțimea valorilor $[-3,+\infty )$. Pentru ce valori ale lui $m$ are ecuația $f(x)=m$ două soluții? Dar una singură? Dar niciuna?

14. Trasează digital $u(x)=\frac{x^2}{2}-3$ și $v(x)=3-\frac{x^2}{2}$, ambele restrânse la $[-2,4]$. Scrie cele două mulțimi de valori și explică legătura dintre ele.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+14x+52$. Determină mulțimea valorilor funcției $f$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-4x^2+8x+1$. Pentru ce valoare a lui $m$ admite ecuația $f(x)=m$ o singură soluție reală?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-4x+11$. Determină mulțimea valorilor funcției $f$.

18. (Provocare.) Pentru $f(x)=x^2$, găsește două intervale închise diferite pe care restricția lui $f$ are mulțimea valorilor $[1,4]$. De ce niciunul dintre ele nu poate conține numărul zero?

Răspunsuri și explicații

1. Vârful este $V(-1,-4)$, iar ramurile urcă: $\mathrm{Im}f=[-4,+\infty )$. Controlul exact dă $\frac{1}{2}-1-\frac{7}{2}=-4$. Orice nivel de la minus patru în sus este atins, iar nivelurile de sub el nu sunt atinse.

2. Numerele de soluții sunt $0$, $1$ și $2$. Nivelul minus cinci este sub vârf, iar nivelul minus patru atinge doar vârful. Pentru nivelul patru se citesc abscisele $-5$ și $3$; controlul este $\frac{25}{2}-5-\frac{7}{2}=4$ și $\frac{9}{2}+3-\frac{7}{2}=4$.

3. Mulțimea valorilor restricției este $[-4,-2]$. Vârful, de abscisă minus unu, este în interval, iar cele două capete, egal depărtate de el, dau aceeași valoare: $\frac{9}{2}-3-\frac{7}{2}=-2$ și $\frac{1}{2}+1-\frac{7}{2}=-2$.

4. $\mathrm{Im}g=[1,\frac{17}{2}]$. Vârful are abscisa minus unu, în afara intervalului, deci arcul este pe ramura descendentă. Marginile vin din capete: $g(0)=-\frac{1}{2}+9=\frac{17}{2}$ și $g(3)=-8+9=1$.

5. $\mathrm{Im}h=\{5,11,17\}$. Valorile sunt, în ordinea intrărilor, $17$, $11$, $5$, $11$, $17$. Valorile repetate apar o singură dată în listă, iar numerele dintre ele nu sunt atinse.

6. Fals. Capetele dau $f(-2)=8-8-1=-1$ și $f(2)=8+8-1=15$, dar vârful, de abscisă $-\frac{4}{2\cdot 2}=-1$, aparține intervalului și coboară mai jos: $f(-1)=2-4-1=-3$. Prin urmare $\mathrm{Im}f=[-3,15]$.

7. Mulțimile sunt $[3,+\infty )$, $(-\infty ,2]$ și $[-6,+\infty )$. Adunarea lui cinci mută capătul în sus, schimbarea semnului oglindește semidreapta în jos, iar înmulțirea cu trei triplează capătul.

8. $\mathrm{Im}k=(7,15]$. Domeniul începe chiar în abscisa vârfului, cu capăt deschis, iar orizontala de nivel șapte nu întâlnește alt punct al graficului. Funcția nu are o cea mai mică valoare; cea mai mare este $18-12+9=15$, atinsă în trei.

9. $\mathrm{Im}p=(-\infty ,7]$. Controlul: abscisa vârfului este $-\frac{10}{2\cdot (-5)}=1$ și $-5+10+2=7$. Numărul $7$ aparține imaginii, fiind atins în vârf. Numărul $8$ nu aparține, fiind deasupra vârfului unei parabole cu ramurile în jos.

10. Numerele de soluții sunt $1$, $2$, $1$ și $0$. Nivelul șase atinge numai vârful. Nivelul cinci este deasupra ambelor capete, deci taie ambele ramuri în interiorul intervalului. Nivelul zero este sub capătul drept, de înălțime $q(2)=-2+6=4$, dar deasupra capătului stâng, de înălțime $q(-1)=-8+6=-2$, deci este atins o singură dată. Nivelul șapte este deasupra vârfului.

11. Înălțimile formează intervalul $[0,3,6]$ cm. Pentru înălțimile din $(0,1,6]$ cm există două poziții, una de fiecare parte a punctului cel mai jos. Capetele dau $\frac{16}{10}=1,6$ și $\frac{36}{10}=3,6$. Peste $1,6$ cm partea stângă s-a terminat, iar înălțimea zero are o singură poziție.

12. Pentru prima funcție imaginea este $\left[\frac{1}{2},\frac{9}{2}\right]$, iar pentru a doua $\left[\frac{9}{2},\frac{25}{2}\right]$. Pe $\mathbb{R}$ cele două funcții au aceeași imagine, dar pe intervalul fixat a doua arată o porțiune mai înaltă a ramurii descendente.

13. Ecuația are două soluții pentru $m>-3$, o singură soluție pentru $m=-3$ și nicio soluție pentru $m<-3$. Singurul nivel cu o soluție este cel al vârfului, iar ramurile urcă nelimitat.

14. $\mathrm{Im}u=[-3,5]$ și $\mathrm{Im}v=[-5,3]$. A doua funcție este opusa primei, deci imaginea ei este oglinda primei imagini față de zero: capetele își schimbă semnul și locul.

15. $\mathrm{Im}f=[3,+\infty )$. Abscisa vârfului este $-\frac{14}{2}=-7$, iar valoarea este $49-98+52=3$. Ramurile urcă, deci orice nivel de la trei în sus este atins.

16. Numărul este $5$. Parabola are ramurile în jos, iar singurul nivel atins o singură dată este cel al vârfului: abscisa $-\frac{8}{2\cdot (-4)}=1$ și valoarea $-4+8+1=5$.

17. $\mathrm{Im}f=[9,17]$. Vârful, de abscisă unu, este în interval, cu valoarea $2-4+11=9$. Capetele dau $11$ și $18-12+11=17$, iar marginea de sus vine din capătul mai depărtat de vârf.

18. Două intervale potrivite sunt $[1,2]$ și $[-2,-1]$. Pe fiecare, funcția este monotonă și trece de la unu la patru. Dacă intervalul ar conține zero, valoarea $0^2=0$ ar intra în imagine, care nu ar mai fi $[1,4]$.

De reținut

• Mulțimea valorilor strânge ordonatele tuturor punctelor graficului; se citește pe axa verticală, nu pe cea orizontală.
• Un număr este valoare exact când orizontala lui întâlnește graficul, adică atunci când ecuația $f(x)=m$ are soluție în domeniu.
• Pe o restricție, marginile vin din vârf, dacă e în interior, și din capete; un cerc gol elimină o valoare numai dacă ea nu e atinsă în altă parte.
• Adunarea unei constante mută imaginea, schimbarea semnului o oglindește, iar pe un interval fix și deplasarea orizontală o poate schimba.
• Un domeniu finit dă o listă de valori distincte, iar un model din științe dă un interval cu unitate, valabil pe domeniul declarat.

Greșeli frecvente

• Scrii intervalul absciselor în locul celui al ordonatelor. Imaginea privește înălțimile punctelor. Proiectează graficul pe axa verticală și citește numerele de acolo.
• Iei marginea ferestrei digitale drept capăt al imaginii. O ramură care iese din ecran continuă. Verifică domeniul declarat și mărește fereastra înainte de concluzie.
• Numeri intersecții cu partea nedesenată a parabolei. Pe o restricție, orizontala poate tăia parabola completă de două ori, dar graficul dat o singură dată. Numără numai punctele care aparțin domeniului.
• Presupui că o deplasare orizontală nu schimbă niciodată imaginea. Afirmația este adevărată pe $\mathbb{R}$, dar pe un interval fix intră în domeniu altă porțiune a curbei. Recalculează vârful și capetele.
• Unești punctele unui domeniu finit și scrii un interval. Valorile dintre puncte nu provin din nicio intrare. Scrie lista valorilor distincte între acolade.

Aplică acasă

1. Într-o aplicație de reprezentare grafică, introdu o parabolă și un glisor pentru o constantă adunată funcției. Notează într-un tabel, pentru cinci poziții ale glisorului, capătul imaginii citit pe ecran. Apoi adaugă un glisor pentru o deplasare orizontală și restrânge funcția la un interval fix; descrie în trei propoziții de ce al doilea glisor schimbă imaginea abia după restricție.
2. Tipărește sau desenează pe caiet graficul unei parabole restrânse la un interval, cu capete marcate. Așază o riglă orizontală sub grafic și ridic-o treptat. Notează nivelurile la care se schimbă numărul punctelor de intersecție și numărul de soluții între ele. Compară lista ta cu nivelul vârfului și cu înălțimile capetelor.
3. Rostogolește o bilă în sus pe o pantă ușoară și filmează mișcarea lângă o riglă. Din film, notează poziția la fiecare jumătate de secundă, până când bila revine. Scrie intervalul pozițiilor ocupate și marchează pozițiile prin care bila a trecut de două ori. Precizează ce parte a concluziei depinde de precizia filmării.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă trei reprezentări ale aceleiași informații: proiecția graficului pe axa verticală, lista sau intervalul valorilor și numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$. O întrebare bună de control este „câte intrări produc acest număr?”, pusă pentru un nivel sub vârf, pentru vârf, pentru un nivel între capete și pentru unul deasupra capătului mai înalt. Elevul care răspunde corect la toate patru a înțeles și imaginea, și rolul restricției.

Recomandăm ca elevii să traseze digital cel puțin o parabolă restrânsă la un interval și să o compare cu parabola completă. Diferența dintre cele două imagini devine vizibilă înaintea oricărui calcul. Calculul vârfului rămâne un control al citirii, conform notei din programa de științe, care cere observarea proprietăților pe reprezentări grafice.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: nota unității de funcții cere evidențierea grafică a mulțimii valorilor și a soluțiilor ecuației $f(x)=m$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care include imaginea unei mulțimi printr-o funcție și imaginile unor intervale prin funcția de gradul al doilea. Modelul oficial publicat pentru 2026 are funcții la Subiectul I, fără o cerință despre mulțimea valorilor; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea. Pentru legătura cu clasa a VIII-a, revedeți valoarea unei funcții într-un punct și imaginea funcției. Continuarea firească este semnul funcției de gradul doi citit pe grafic, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre mulțimea valorilor?

Varianta M2 pornește de la grafice furnizate sau trasate digital și folosește calculul doar pentru control. Nu demonstrează formula generală a imaginii și nu lucrează probleme cu parametru. În schimb, insistă pe numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ pe restricții, pe domeniile finite, pe efectul translațiilor și pe modele din științe cu unități.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosește mulțimea valorilor?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 include imaginea unei mulțimi printr-o funcție și imaginile unor intervale prin funcția de gradul al doilea, temă care ține de funcții. Modelul oficial publicat pentru 2026 are funcții la Subiectul I, dar nu o cerință despre imagine. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Ce se întâmplă cu mulțimea valorilor dacă adun o constantă sau schimb semnul funcției?

Adunarea unei constante ridică sau coboară tot graficul, deci ambele capete ale imaginii se mută cu acea constantă. Schimbarea semnului oglindește graficul față de axa orizontală: capetele își schimbă semnul și locul, iar parantezele le urmează. Poți verifica suprapunând cele două grafice într-o aplicație. Înmulțirea cu o constantă pozitivă, în schimb, înmulțește ambele capete cu acea constantă.

De ce la un domeniu finit mulțimea valorilor nu este un interval?

Graficul are atunci numai câteva puncte izolate, iar proiecția lor pe axa verticală este tot o mulțime de puncte. Numerele dintre ele nu sunt produse de nicio intrare. Scrii valorile distincte între acolade, fiecare o singură dată, chiar dacă două intrări dau același rezultat. Un interval ar adăuga numere pe care nicio intrare nu le produce.

Cum folosesc corect o aplicație de grafice ca să citesc imaginea?

Declară întâi domeniul, apoi mărește fereastra până vezi vârful și capetele. Marginea ecranului nu este o margine a imaginii. Citește vârful și capetele de pe grafic, apoi confirmă-le calculând abscisa vârfului și valorile funcției. Dacă citirea și calculul diferă, lucrează cu valoarea calculată și verifică din nou scara axelor.

Care este diferența dintre mulțimea valorilor și extremele funcției?

Extremele sunt doar marginile imaginii, atunci când sunt atinse. Mulțimea valorilor conține toate numerele atinse, inclusiv pe cele dintre margini. O imagine poate avea o margine neatinsă, cu paranteză rotundă, caz în care funcția nu are acel extrem, deși imaginea are un capăt clar. Extremele se studiază separat, în lecția despre monotonie.