Pentru $$A=\{-5,3\}$$ și $$B=\{1,8\}$$, descrierea conține $$-5\mapsto1$$, $$-5\mapsto1$$, $$3\mapsto8$$. Care concluzie este justificată?

Este funcție: rândurile repetate exprimă aceeași pereche.

Nu este funcție, fiindcă numărul rândurilor depășește numărul intrărilor.

Nu este funcție, fiindcă rezultatele trebuie să coincidă.

Este funcție numai după eliminarea intrării minus cinci.

Pentru ce x are funcția f(x)=x²-4 valoarea 5?

Rezolvi x²-4=5, adică x²=9, cu soluțiile x=3 și x=-3. Dacă domeniul este ℝ, ambele sunt bune. Dacă funcția este definită doar pe [0,+∞), rămâne numai x=3.

Pe ce mulțime are sens formula f(x)= 1/(x-2)?

Numitorul nu are voie să fie 0, deci x≠ 2. Formula are sens pe ℝ∖2. Un enunț poate declara însă un domeniu mai mic, de exemplu [3,5], și atunci doar acele intrări contează.

Cum aflu mulțimea valorilor unei funcții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Intrări, valori și date complete

Calculezi valorile pentru toate intrările din domeniu și le strângi într-o mulțime, fără repetări; aceasta este imaginea funcției. Pentru $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , valorile sunt $4, 1, 0, 1, 4$ , deci imaginea este ${0, 1, 4}$ , mult mai mică decât codomeniul $R$ . Pentru $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ , funcția crește, iar imaginea este intervalul $[3, 9]$ .

O funcție descrie o asociere completă și neambiguă: pentru orice intrare permisă există un rezultat unic, aflat în mulțimea de sosire anunțată. În notația $f : A \to B$ , domeniul este $A$ , iar codomeniul este $B$ . Numerele care apar efectiv ca rezultate alcătuiesc imaginea; ele nu trebuie să epuizeze codomeniul.

Citește mai întâi intrările permise. O expresie poate avea sens aritmetic într-un număr pe care funcția declarată nu îl admite. Pentru o intrare acceptată, valoarea se află prin citirea perechii potrivite sau prin substituirea argumentului în formulă.

La un tabel, grupează înregistrările după intrare. Rândurile identice exprimă o singură pereche distinctă, pe când rezultate diferite pentru același argument creează o contradicție. Absența unei măsurători indică o informație necunoscută; nu dovedește, singură, imposibilitatea unui model funcțional pentru fenomen.

Graficul reține perechile $(x; f (x))$ . Pentru o listă finită de argumente, reprezentarea conține puncte izolate. Legarea lor prin linii presupune valori suplimentare și trebuie justificată prin enunț sau printr-un model declarat.

Datele finite pot fi compatibile cu mai multe extinderi. O regulă sugerată de desen nu devine obligatorie numai fiindcă trece prin marcajele cunoscute. Când cauți intrările care dau un anumit rezultat, verifică fiecare candidat: pot să nu existe, poate fi una sau pot fi mai multe, iar o soluție aflată în afara domeniului nu contează.

De reținut

imaginea: mulțimea valorilor efectiv atinse de funcție
imaginea este inclusă în codomeniu, dar poate fi mai mică
fiecare intrare din domeniu are exact o valoare

Greșeala tipică

Se trece codomeniul drept mulțime a valorilor; pentru $f (x) = x^{2}$ pe ${- 2, \dots, 2}$ codomeniul este $R$ , dar valorile atinse sunt doar $0$ , $1$ și $4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Graficul finit conține exact punctele $(- 8; 3)$ , $(- 1; 7)$ și $(4; 7)$ . Cât este $f (4)$ ?
- a) $4$
- b) $- 1$
- c) $7$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7$

Căutăm punctul cu abscisa patru. A doua sa coordonată este șapte, deci aceasta este valoarea cerută. Cealaltă intrare cu același rezultat nu schimbă citirea.
Funcția are domeniul $[2, 5]$ și formula $f (x) = 3 x + 8$ . Care valoare nu este definită pentru funcția dată?
- a) $f (2)$
- b) $f (6)$
- c) $f (5)$
- d) $f (3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (6)$

Singurul argument din variante care nu aparține intervalului declarat este șase. Calculabilitatea expresiei nu modifică domeniul funcției.
Pentru $A = {- 5, 3}$ și $B = {1, 8}$ , descrierea conține $- 5 \mapsto 1$ , $- 5 \mapsto 1$ , $3 \mapsto 8$ . Care concluzie este justificată?
- a) Nu este funcție, fiindcă numărul rândurilor depășește numărul intrărilor.
- b) Este funcție: rândurile repetate exprimă aceeași pereche.
- c) Nu este funcție, fiindcă rezultatele trebuie să coincidă.
- d) Este funcție numai după eliminarea intrării minus cinci.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Este funcție: rândurile repetate exprimă aceeași pereche.

Intrarea minus cinci are un singur rezultat distinct: unu. Intrarea trei are rezultatul opt. Fiecare argument este acoperit, iar rezultatele sunt permise de codomeniu.

Întrebări conexe

Pentru ce $x$ are funcția $f (x) = x^{2} - 4$ valoarea $5$ ?

Rezolvi $x^{2} - 4 = 5$ , adică $x^{2} = 9$ , cu soluțiile $x = 3$ și $x = - 3$ . Dacă domeniul este $R$ , ambele sunt bune. Dacă funcția este definită doar pe $[0, + \infty)$ , rămâne numai $x = 3$ .

Pe ce mulțime are sens formula $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ?

Numitorul nu are voie să fie $0$ , deci $x \neq = 2$ . Formula are sens pe $R ∖ {2}$ . Un enunț poate declara însă un domeniu mai mic, de exemplu $[3, 5]$ , și atunci doar acele intrări contează.

Poate o funcție să ia aceeași valoare în intrări diferite?

Da. Definiția cere doar ca fiecare intrare să aibă o singură valoare, nu ca valorile să fie diferite. De exemplu, $f (x) = x^{2}$ dă $f (- 3) = f (3) = 9$ . Interzis este invers: aceeași intrare cu două valori diferite.

Este masa unei probe o funcție de timp într-un experiment?

Da: la fiecare moment proba are o singură masă. Invers nu merge neapărat: dacă masa crește și apoi scade, aceeași valoare, de exemplu $40$ g, poate apărea la două momente, deci timpul nu este o funcție de masă.

Ce este graficul unei funcții cu domeniu finit?

Este o mulțime de puncte izolate, câte unul pentru fiecare intrare. Pentru domeniul ${1, 2, 3}$ și $f (x) = 2 x$ , graficul are punctele $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ . Unirea lor prin segmente ar adăuga intrări care nu aparțin domeniului.

Oamenii mai întreabă și: mulțimea valorilor unei funcții · imaginea unei funcții · ce valori ia o funcție · cum aflu imaginea unei funcții