Noțiunea de funcție (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator, fiecare probă primește un cod, iar un tabel îi asociază o valoare măsurată. Înainte să calculezi medii sau să desenezi curbe, trebuie să știi ce reprezintă intrarea și dacă rezultatul ei este determinat fără ambiguitate. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), funcția oferă limbajul precis pentru asemenea asocieri, fără să presupună că orice tabel experimental descrie automat o lege valabilă pretutindeni. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 funcțiile aparțin domeniului „Algebră”, iar noua programă de științe pune accent pe lectura graficelor. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține noțiunea de funcție; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu valori ale unor funcții.

Poți reactualiza noțiunea de funcție și dependențele funcționale din clasa a VIII-a. Aici precizăm ce date definesc funcția, ce anume citim dintr-un tabel și unde se opresc concluziile permise. În lecțiile următoare, graficul și lectura grafică la M2, apoi funcția afină la M2, vom folosi aceste repere pentru descrieri tot mai bogate.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici intrările admise, valorile permise și regula de asociere.
Vei ști să verifici dacă fiecare intrare declarată are o singură valoare.
Vei ști să deosebești o repetare identică de două rezultate incompatibile.
Vei ști să citești valorile dintr-o formulă, dintr-un tabel sau din punctele unui grafic.
Vei ști să explici de ce datele lipsă și prelungirile presupuse cer atenție.

Hai să descoperim împreună

1. Ce identifică o intrare completă?

Intrarea unei asocieri este elementul pentru care căutăm valoarea corespunzătoare. Într-un model, ea trebuie identificată fără ambiguitate înainte de folosirea tabelului sau a regulii.

Imaginează-ți că o fișă spune „temperatura de dimineață”. Nu știm încă nici locul, nici ziua, nici momentul exact al citirii. Dacă pe două rânduri apar temperaturi diferite, nu putem decide imediat că aceeași intrare are două valori: poate fi vorba despre zile sau aparate diferite. Pentru un model clar, intrarea trebuie descrisă suficient de precis. De exemplu, putem fixa aparatul, ziua și condițiile, apoi să folosim drept intrare momentul observației.

Matematica simplifică situația numai după ce declarăm aceste alegeri. Într-un exercițiu, datele sunt exacte în sensul modelului. Într-o activitate experimentală, ele pot avea incertitudini, iar rezultatele repetate pot varia. Nu ascundem această diferență spunând că toate înregistrările sunt valori exacte ale aceleiași funcții. Putem construi un model care asociază fiecărui moment o valoare stabilită printr-o regulă, dar regula trebuie precizată, nu dedusă din simpla existență a tabelului.

Întreabă-te înainte de calcul: ce anume introduc și ce anume primesc? Codul unei probe și momentul unei măsurători sunt intrări de naturi diferite. Schimbarea sensului intrării schimbă problema chiar dacă numerele scrise pe foaie rămân aceleași.

2. Ce date definesc o funcție?

O funcție $f : A \to B$ este o corespondență care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$ . Mulțimea $A$ se numește domeniu, iar mulțimea $B$ se numește codomeniu. Litera $f$ denumește funcția; expresia $f (x)$ denumește valoarea corespunzătoare intrării $x$ . Pentru funcțiile numerice din această unitate, domeniul și codomeniul sunt mulțimi de numere reale.

Definiția conține două cerințe pe care le verificăm separat. Prima este existența valorii pentru fiecare intrare admisă. A doua este unicitatea: aceeași intrare nu primește două valori diferite. Mai verificăm că valoarea atribuită aparține codomeniului declarat. O regulă care calculează un număr în afara codomeniului nu definește funcția anunțată, chiar dacă operațiile aritmetice sunt perfect executabile.

Nu este necesar ca intrări diferite să aibă rezultate diferite. Două probe pot avea aceeași valoare în model, iar două numere distincte pot avea același pătrat. De asemenea, nu este obligatoriu ca toate elementele codomeniului să fie obținute. Mulțimea valorilor efectiv atinse se numește imaginea funcției și este inclusă în codomeniu. Relația de includere poate fi strictă; această observație nu face funcția incompletă.

3. Cum verificăm o descriere prin săgeți sau tabel

Pentru un domeniu finit, adunăm toate rândurile care au aceeași intrare și privim valorile distincte de pe ele. Dacă nu apare nicio valoare pentru o intrare declarată, descrierea este incompletă. Dacă apar două valori diferite, descrierea este incompatibilă cu o funcție pe acel domeniu. Dacă apare o singură valoare distinctă, condiția de unicitate este satisfăcută, chiar când rândul a fost tipărit de mai multe ori.

Repetarea aceleiași perechi nu creează un rezultat nou. În schimb, eliminarea arbitrară a unuia dintre două rezultate diferite schimbă datele inițiale. Poți propune o regulă de corectare sau poți verifica înregistrarea, dar nu poți pretinde că tabelul original era deja neambiguu. Într-o rezolvare, explică exact care intrare produce dificultatea și ce fel de dificultate ai găsit.

Mai există o întrebare: tabelul pretinde că este definiția completă sau prezintă numai câteva observații? Dacă este definiția pe un domeniu finit declarat, trebuie să acopere toate intrările acelui domeniu. Dacă este un eșantion experimental, lipsa unui rând înseamnă doar lipsa unei informații. Nu demonstrează că fenomenul fizic nu poate fi descris printr-o funcție. Această distincție previne o concluzie prea puternică pornind de la date puține.

4. Formula se folosește pe domeniul oferit

O expresie poate fi calculabilă pentru un număr fără ca acel număr să aparțină domeniului funcției discutate. De exemplu, dacă $u : [0, 4] \to R$ , $u (x) = x + 5$ , putem calcula aritmetic expresia la șase, însă $u (6)$ nu este definit pentru funcția declarată. Relația $6 + 5 = 11$ este corectă; folosirea ei ca valoare a acestei funcții ar încălca domeniul.

Când domeniul este dat explicit, îl păstrăm. Nu îl mărim automat la toate numerele pentru care formula are sens. În alte exerciții se cere chiar determinarea unui domeniu de definiție, dar aceasta este o sarcină distinctă. Aici începem cu datele declarate și verificăm concordanța lor, fără să introducem un domeniu nou din obișnuință.

Înlocuirea argumentului se face în toate aparițiile variabilei. Dacă $v (x) = x^{2} + 2 x$ , atunci $v (- 3) = (- 3)^{2} + 2 \cdot (- 3) = 3$ . Notația păstrează separat funcția, intrarea și rezultatul. Nu este nevoie să găsești mai întâi toate valorile funcției ca să răspunzi unei întrebări despre o singură intrare admisă.

5. Un punct al graficului înregistrează o pereche

Graficul unei funcții numerice conține punctele de coordonate $(x; f (x))$ , pentru intrările din domeniu. Prima coordonată arată argumentul, iar a doua arată valoarea. Pe un desen în care sunt cunoscute exact pozițiile punctelor, o verticală corespunzătoare unei intrări admise întâlnește graficul într-un singur punct. Pentru o abscisă din afara domeniului nu se cere niciun punct al graficului.

Dacă domeniul are câteva elemente, graficul are câteva puncte izolate. Unirea lor prin segmente adaugă, în general, puncte cu alte abscise și descrie alt obiect. O aplicație de desen poate uni automat marcajele; această opțiune grafică nu înlocuiește definiția funcției. Citește domeniul înainte să hotărăști dacă liniile dintre marcaje fac parte din reprezentare.

Grosimea unui punct sau a unei linii nu reprezintă o mulțime de valori permise. Într-un desen școlar, marcajul are dimensiune pentru a putea fi văzut, dar coordonatele indicate sunt cele relevante. Dacă graficul provine din măsurători aproximative, precizia trebuie discutată separat. Lecția următoare dezvoltă lectura axelor, scărilor, capetelor și proprietăților observabile.

6. Ce nu spun câteva date despre restul domeniului?

Un tabel finit spune ce valori au intrările trecute în el și nimic în plus. Pentru un argument care lipsește, datele nu conțin o valoare, chiar dacă numerele cunoscute par să urmeze un tipar. Pot exista reguli diferite care dau aceleași rezultate în toate punctele observate și rezultate diferite în altele. Ca să alegi între ele, ai nevoie de informații suplimentare: o familie de modele precizată în enunț, o ipoteză justificată despre fenomen sau măsurători noi.

De aceea o linie trasă printre punctele desenate rămâne o propunere de model până când enunțul o autorizează. Aceeași prudență privește formula: scrisă singură, ea nu spune pe ce domeniu lucrăm. Într-o descriere completă, formula vine împreună cu domeniul și codomeniul, iar orice concluzie despre o valoare începe cu verificarea argumentului.

Întrebarea când două descrieri diferite definesc aceeași funcție are o lecție separată, în suplimentul clasei a IX-a despre funcții egale. Aici păstrăm doar regula de lucru: întâi domeniul și codomeniul, apoi formula sau tabelul.

7. Cum redactăm o concluzie verificabilă

O justificare bună numește domeniul verificat și explică de ce fiecare intrare are o singură valoare în codomeniu. La o descriere nevalidă, este suficient un contraexemplu precis: o intrare lipsă, două valori incompatibile pentru aceeași intrare sau o valoare din afara codomeniului. Nu înșirăm calcule care nu răspund acestei probleme.

Pentru o valoare punctuală, verificăm mai întâi că argumentul este admis, apoi citim perechea sau înlocuim în formulă. Pentru o concluzie despre un fenomen, revenim la sensul intrării și la limitele informațiilor. Un rezultat numeric exact într-un model nu dovedește, singur, că modelul descrie fiecare situație reală. Această ordine a pașilor rămâne utilă în toate lecțiile despre funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoare, intrări și imagine

Fie $A = {0, 3, 6, 9}$ , $B = {2, 4, 6, 8}$ și asocierile $0 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 2$ , $6 \mapsto 4$ , $9 \mapsto 8$ . Verifică dacă ele definesc o funcție, citește valoarea pentru intrarea șase și descrie imaginea.

Rezolvare. Fiecare dintre cele patru intrări apare cu o singură valoare, iar toate valorile sunt în codomeniu. Avem o funcție și $f (6) = 4$ . Rezultatele efectiv obținute formează mulțimea ${2, 4, 8}$ . Elementul șase aparține codomeniului, dar nu este atins de nicio intrare din această descriere.

Intrările zero și șase au aceeași valoare. Această coincidență este permisă: unicitatea se verifică pentru fiecare intrare luată separat. Dacă ni se cereau intrările care produc valoarea patru, trebuia să le numim pe amândouă. Întrebările „care este valoarea?” și „ce intrări produc valoarea?” cer citiri în sensuri diferite.

Exemplul 2 — Un rând repetat identic

Un tabel complet pentru domeniul ${- 2, 1, 4}$ și codomeniul ${5, 9}$ conține, în ordine, $- 2 \mapsto 5$ , $1 \mapsto 9$ , $- 2 \mapsto 5$ , $4 \mapsto 5$ . Repetarea împiedică definirea unei funcții?

Rezolvare. Nu. Pentru intrarea minus doi apare de două ori aceeași valoare, cinci. Mulțimea valorilor distincte asociate acestei intrări are un singur element. Celelalte două intrări au și ele câte o valoare din codomeniu, deci tabelul descrie o funcție.

Putem elimina rândul repetat fără să schimbăm asocierea. Nu am putea proceda la fel dacă al doilea rând al aceleiași intrări ar conține o valoare diferită: am alege atunci între date incompatibile. Numărul de rânduri nu este criteriul decisiv; contează ce perechi distincte sunt înregistrate și dacă domeniul declarat este acoperit integral.

Exemplul 3 — Codomeniul trebuie respectat

Se anunță $f : {- 1, 2} \to {0, 1, 2}$ prin $f (x) = x + 2$ . Este corect definită funcția anunțată? Poate fi reparată descrierea prin extinderea codomeniului?

Rezolvare. Pentru prima intrare, $- 1 + 2 = 1$ , iar rezultatul este permis. Pentru a doua, $2 + 2 = 4$ , dar patru nu aparține codomeniului declarat. Formula nu definește funcția anunțată, deși ambele calcule sunt posibile.

Dacă înlocuim codomeniul cu ${0, 1, 2, 4}$ , descrierea devine validă. Am modificat explicit o parte a datelor, fără să schimbăm domeniul sau regula. Această precizare contează: nu prezentăm extinderea ca și cum ar fi fost deja în enunț. O altă reparație ar necesita alte alegeri, dar nu este cerută aici și nu trebuie confundată cu verificarea descrierii originale.

Exemplul 4 — Graficul are numai punctele declarate

Graficul unei funcții este format exact din punctele $A (- 3; 1)$ , $B (- 1; 4)$ , $C (2; 4)$ și $D (6; 2)$ . Codomeniul este $R$ . Citește domeniul, valoarea la doi și intrările care au valoarea patru. Există o valoare pentru intrarea zero?

Rezolvare. Domeniul este ${- 3, - 1, 2, 6}$ , iar $f (2) = 4$ . Orizontala de nivel patru întâlnește două puncte ale graficului: intrările sunt minus unu și doi. Aceasta nu încalcă unicitatea valorii pentru fiecare intrare.

Zero nu aparține domeniului, deci funcția dată nu are valoare acolo. Dacă am uni punctele vecine prin segmente, am adăuga și abscise intermediare. Imaginea astfel obținută ar reprezenta o extindere propusă, diferită de graficul finit precizat în enunț.

Exemplul 5 — Intrările unei valori date, pe un domeniu finit

Fie $f : {0, 2, 5, 9} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 7 x + 2$ . Pentru ce intrări valoarea funcției este $- 8$ ? Dar $2$ ? Dar $- 10$ ?

Rezolvare. Domeniul are patru elemente, așa că le calculăm valorile: $f (0) = 2$ , $f (2) = 4 - 14 + 2 = - 8$ , $f (5) = 25 - 35 + 2 = - 8$ și $f (9) = 81 - 63 + 2 = 20$ . Valoarea minus opt este produsă de două intrări, doi și cinci. Valoarea doi apare numai la intrarea zero: ecuația $x^{2} - 7 x + 2 = 2$ are și soluția șapte, dar șapte nu aparține domeniului.

Valoarea minus zece nu este produsă de nicio intrare. Ecuația $x^{2} - 7 x + 2 = - 10$ se scrie $(x - 3) (x - 4) = 0$ , iar soluțiile ei, trei și patru, lipsesc din domeniu. Aceeași întrebare, „ce intrări produc valoarea?”, a primit deci două, una și zero răspunsuri, iar imaginea funcției este ${- 8, 2, 20}$ . O soluție a ecuației contează numai dacă aparține domeniului declarat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie $h : [- 2, 3] \to R$ , $h (x) = \frac{x}{2} + 6$ . Calculează $h (- 2) + h (3)$ și precizează dacă expresia $h (4)$ are sens pentru această funcție.

Rezolvare. Ambele argumente din sumă sunt capete incluse ale domeniului. Obținem $h (- 2) = 5$ și $h (3) = \frac{15}{2}$ . Prin urmare, $h (- 2) + h (3) = \frac{25}{2}$ . Valoarea poate fi scrisă și zecimal, dar forma fracționară păstrează exactitatea fără aproximații.

Numărul patru nu aparține domeniului, deci $h (4)$ nu este definit. Calculul expresiei la patru ar fi posibil, însă ar răspunde altei întrebări. Exemplul este un antrenament propriu în stilul cerințelor elementare despre funcții, pentru Bacalaureatul M2; nu este atribuit unui subiect oficial și nu stabilește ce va apărea într-o variantă viitoare.

Să exersăm

1. Pentru $A = {- 4, 0, 3}$ și $B = {2, 7, 9}$ , avem $- 4 \mapsto 7$ , $0 \mapsto 2$ , $3 \mapsto 7$ . Citește valoarea la zero, intrările care produc șapte și imaginea funcției.

2. Verifică descrierea completă pentru $A = {1, 4, 8}$ , $B = {0, 2, 5}$ : $1 \mapsto 0$ , $4 \mapsto 2$ , $8 \mapsto 5$ .

3. Se declară $A = {- 3, 2, 7}$ , $B = {1, 6}$ , dar descrierea completă conține numai $- 3 \mapsto 1$ și $7 \mapsto 6$ . Este o funcție pe domeniul anunțat?

4. Pentru $A = {0, 5}$ , $B = {2, 9}$ , sunt date $0 \mapsto 2$ , $0 \mapsto 9$ , $5 \mapsto 9$ . Identifică dificultatea.

5. Pentru $A = {- 1, 0, 1, 2}$ și $B = {0, 1, 3}$ , o descriere prezentată drept completă conține $- 1 \mapsto 1$ , $0 \mapsto 0$ , $0 \mapsto 0$ , $2 \mapsto 5$ . Numește toate motivele pentru care nu definește o funcție de la $A$ la $B$ și precizează care rând nu este un defect.

6. Verifică dacă $f (x) = x^{2}$ definește o funcție din $A = {- 2, 1}$ în $B = {1, 4, 8}$ .

7. Verifică dacă $f (x) = 7 x - 9$ definește o funcție din $A = {0, 2}$ în $B = {- 9, 3, 4}$ .

8. Funcția are domeniul $D = {- 5, 0, 4}$ , codomeniul real și formula $f (x) = x + 9$ . Calculează $f (- 5)$ și discută notația $f (1)$ .

9. Determină imaginea funcției cu domeniul $D = {- 1, 2, 6}$ , codomeniul real și formula $f (x) = 11 - 5 x$ .

10. Formula $f (x) = 4 x^{2} - 7$ trebuie să definească o funcție cu codomeniul $B = {- 7, - 3, 9}$ . Care numere din mulțimea ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ pot face parte din domeniu? Scrie cel mai mare domeniu posibil și imaginea funcției obținute.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru $f : [- 2, 3] \to R$ , $f (x) = 6 x + 11$ , numărul $- 7$ aparține imaginii funcției.

12. (Problemă aplicată.) Trei eprubete, notate $E_{1}$ , $E_{2}$ și $E_{3}$ , conțin $12$ mL, $15$ mL, respectiv $12$ mL de soluție. Este asocierea „eprubetă → volum” o funcție? Dar asocierea „volum → eprubetă”, pe mulțimea volumelor înregistrate?

13. Sunt date toate asocierile $- 6 \mapsto 1$ , $2 \mapsto 3$ , $4 \mapsto 3$ . Este potrivit codomeniul ${1, 3}$ ? Este potrivit și codomeniul real? Discută validitatea celor două alegeri.

14. Fiecărui număr $x$ din mulțimea ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ i se asociază numărul de elemente al mulțimii ${x, x^{2}}$ . Scrie tabelul asocierii, verifică dacă obții o funcție cu codomeniul ${1, 2}$ și precizează intrările care au valoarea unu.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ . Calculează $f (- 1)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 13$ . Calculează produsul $f (1) \cdot f (2) \cdot f (3) \cdot f (4)$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 2 x - 12$ . Determină numerele reale $a$ pentru care $f (a) = a$ .

18. (Provocare.) Există o funcție $f : {- 1, 0, 1, 2} \to {3, 4, 5}$ cu imaginea ${3, 5}$ și $f (0) = 4$ ? Dar una cu imaginea ${3, 4}$ și $f (- 1) = f (2) = 3$ ? Dacă da, dă un exemplu.

Răspunsuri și explicații

1. Valoarea este $2$ . Intrările sunt ${- 4, 3}$ , iar imaginea este ${2, 7}$ . Elementul nouă rămâne numai în codomeniu; repetarea rezultatului șapte nu creează două valori pentru aceeași intrare. Fiecare întrebare se verifică în sensul potrivit al asocierii.

2. Descrierea este o funcție: fiecare intrare din domeniu are exact un rezultat, iar toate rezultatele aparțin codomeniului. Faptul că aici sunt atinse toate valorile permise nu este o condiție suplimentară necesară oricărei funcții.

3. Descrierea nu este funcție pe întregul domeniu anunțat, deoarece intrarea doi nu are valoare atribuită. Nu putem elimina această intrare fără să modificăm domeniul. Enunțul prezintă descrierea drept completă, deci lipsa este un defect al definirii.

4. Descrierea nu este funcție, deoarece intrarea zero are două valori diferite. Codomeniul permite ambele numere separat, dar definiția nu permite atribuirea lor simultană aceleiași intrări. Dificultatea privește unicitatea, nu posibilitatea unor calcule.

5. Sunt două defecte. Intrarea unu nu are nicio valoare, deci lipsește existența, iar rezultatul cinci, atribuit intrării doi, nu aparține codomeniului. Rândul $0 \mapsto 0$ scris de două ori nu este un defect: exprimă aceeași pereche. Un singur defect ar fi ajuns pentru a respinge descrierea, dar cerința a cerut inventarul complet.

6. Regula definește funcția: $(- 2)^{2} = 4$ și $1^{2} = 1$ , iar ambele rezultate sunt în codomeniu. Faptul că opt nu este obținut nu invalidează alegerea. Codomeniul poate conține valori care nu sunt atinse de funcție.

7. Regula nu definește funcția anunțată: la intrarea doi produce $7 \cdot 2 - 9 = 5$ , valoare absentă din codomeniu. Rezultatul pentru zero, minus nouă, este permis, dar o singură intrare incompatibilă este suficientă pentru a respinge descrierea completă.

8. Obținem $4$ , deoarece $- 5 + 9 = 4$ . Valoarea la unu este nedefinită pentru funcția dată: unu nu aparține domeniului finit declarat. Posibilitatea de a calcula expresia aritmetică la unu nu extinde automat funcția.

9. Imaginea este ${- 19, 1, 16}$ . Evaluările sunt $11 - 5 \cdot (- 1) = 16$ , $11 - 5 \cdot 2 = 1$ și $11 - 5 \cdot 6 = - 19$ . Colectăm rezultatele distincte. Codomeniul real rămâne mai larg; întrebarea cere numai valorile efectiv obținute pe domeniul dat.

10. Calculăm $f (0) = - 7$ , $f (- 1) = f (1) = - 3$ , $f (- 2) = f (2) = 9$ și $f (- 3) = f (3) = 29$ . Numai minus trei și trei dau o valoare din afara codomeniului. Cel mai mare domeniu posibil este ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , iar imaginea este chiar ${- 7, - 3, 9}$ . Aici codomeniul impus a hotărât ce intrări pot fi păstrate.

11. Fals. Egalitatea $6 x + 11 = - 7$ cere $x = - 3$ , iar minus trei nu aparține domeniului $[- 2, 3]$ . Formula ar produce acest număr numai pentru o intrare neadmisă, deci el nu este o valoare a funcției date. Întrebarea despre imagine se rezolvă căutând intrarea și verificând apoi că ea este admisă.

12. Prima asociere este o funcție: fiecare eprubetă are un singur volum, iar faptul că două eprubete au același volum este permis. A doua nu este o funcție: volumului de $12$ mL îi corespund două eprubete, $E_{1}$ și $E_{3}$ . Aceleași date, citite în sens invers, primesc alt verdict.

13. Ambele codomenii sunt posibile, deoarece includ toate valorile produse de asocierile date. Imaginea rămâne aceeași în cele două descrieri. Alegerea unui codomeniu mai larg nu obligă regula să atingă fiecare număr suplimentar admis.

14. Tabelul este $- 2 \mapsto 2$ , $- 1 \mapsto 2$ , $0 \mapsto 1$ , $1 \mapsto 1$ , $2 \mapsto 2$ . Mulțimea are un singur element exact când numărul coincide cu pătratul lui, adică pentru zero și unu; în rest are două elemente. Fiecare intrare primește o singură valoare din ${1, 2}$ , deci descrierea în cuvinte definește o funcție. Intrările cu valoarea unu sunt zero și unu.

15. Valoarea este $6$ : $(- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) + 3 = 6$ . Argumentul este admis deoarece domeniul este real. Calculul se face înlocuind fiecare apariție a variabilei, iar parantezele păstrează clar rolul semnului negativ.

16. Produsul este $- 135$ . Valorile sunt $f (1) = - 9$ , $f (2) = - 5$ , $f (3) = - 1$ și $f (4) = 3$ . Trei factori sunt negativi, deci produsul este negativ, iar $9 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 3 = 135$ . Semnul se stabilește înaintea calculului: contează câți factori sunt negativi, nu mărimea lor.

17. Numerele sunt $- 4$ și $3$ . Condiția devine $a^{2} + 2 a - 12 = a$ , adică $a^{2} + a - 12 = 0$ , care se scrie $(a + 4) (a - 3) = 0$ . Verificare: $f (3) = 9 + 6 - 12 = 3$ și $f (- 4) = 16 - 8 - 12 = - 4$ . Aici necunoscuta apare și ca argument, și ca valoare, deci o înlocuim în ambele locuri.

18. Prima nu există: dacă $f (0) = 4$ , atunci patru este o valoare atinsă și trebuie să apară în imagine. A doua există, de exemplu $- 1 \mapsto 3$ , $0 \mapsto 4$ , $1 \mapsto 3$ , $2 \mapsto 3$ , cu imaginea ${3, 4}$ . Condiția ca minus unu și doi să aibă același rezultat este permisă, fiindcă intrări diferite pot avea aceeași valoare.

De reținut

Domeniul precizează intrările admise; codomeniul precizează unde trebuie să se afle valorile.
Fiecare intrare are exact o valoare, dar intrări diferite pot avea același rezultat; un rând repetat identic nu adaugă o valoare nouă.
Graficul păstrează domeniul: punctele izolate nu se unesc fără justificare.
O formulă se interpretează împreună cu domeniul și codomeniul anunțate.
Câteva date nu impun automat o regulă unică în afara lor.

Greșeli frecvente

Numeri rândurile repetate ca rezultate incompatibile. Privește valorile distincte pentru aceeași intrare. Două apariții identice ale unei perechi spun același lucru; două valori diferite pentru aceeași intrare încalcă unicitatea cerută.
Unești automat punctele unui domeniu finit. Segmentele introduc alte abscise și alte perechi. Păstrează numai punctele declarate, dacă enunțul nu oferă și o regulă de extindere între ele.
Înlocuiești domeniul dat cu toate numerele reale. Faptul că expresia se poate calcula nu este suficient. Verifică apartenența argumentului la domeniul funcției înainte să scrii că ai găsit valoarea ei.
Te oprești la prima intrare găsită pentru o valoare dată. Parcurge tot domeniul: o valoare poate fi produsă de nicio intrare, de una sau de mai multe. O soluție a ecuației care nu aparține domeniului nu se numără.
Declari o prelungire unică din câteva puncte observate. O curbă trasată printre marcaje este o alegere de model. Explică ipoteza care o justifică și nu o prezenta ca informație deja conținută în tabelul finit.

Aplică acasă

Scrie pe cartonașe câteva perechi intrare–valoare, cu două cartonașe identice. Declară domeniul și codomeniul, apoi elimină numai repetările fără să schimbi asocierea. Modifică valoarea de pe unul dintre cele două cartonașe inițial identice și explică de ce noua situație necesită o decizie asupra datelor, nu o simplă curățare a listei.
Alege o regulă ușor de calculat și un domeniu cu patru numere. Descrie aceeași funcție în patru feluri: prin săgeți, printr-un tabel, prin puncte izolate pe un grafic și printr-o propoziție. Dă unui coleg numai propoziția și cere-i să refacă tabelul; comparați rezultatele și notați ce ar fi lipsit dacă propoziția nu preciza domeniul.
Pornește de la o funcție definită prin câteva perechi și adaugă o intrare nouă. Construiește două extinderi care păstrează toate perechile vechi și diferă numai la intrarea adăugată. Explică de ce datele inițiale nu aleg singure între variante, chiar dacă una dintre ele îți pare mai ușor de desenat.

Pentru părinți și profesori

În această etapă, o explicație scurtă și precisă este mai valoroasă decât identificarea mecanică a unui simbol. Cereți elevului să numească intrarea care lipsește ori produce ambiguitatea și să distingă între o descriere completă și un tabel de observații. Când un răspuns este corect, schimbați numai domeniul și întrebați dacă justificarea mai rămâne valabilă. Astfel verificați sensul condițiilor, fără să adăugați calcule mai grele.

Într-o aplicație digitală, dezactivați unirea automată a punctelor când domeniul este finit. Elevul poate compara cele două imagini, dar trebuie să spună ce abscise suplimentare au fost introduse prin segmente. Nu deduceți proprietăți ale unui fenomen real numai din aspectul neted al desenului. Alegerea unei formule pentru date experimentale va cere ipoteze și un domeniu de utilizare, care vor fi discutate în lecțiile despre modele.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care pune accent pe observarea proprietăților funcțiilor prin lecturi grafice; noțiunile de aici pregătesc aceste activități. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie; pentru elevii intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 (Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) include funcțiile în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care include noțiunea de funcție și modurile de a o descrie. Exercițiile marcate sunt antrenamente proprii, fără promisiuni despre frecvența unei cerințe.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: noțiunea de funcție, domeniu și codomeniu. Lecția de față este autonomă: elevul poate rezolva sarcinile M2 folosind explicațiile și exemplele de aici, fără să citească în prealabil varianta celuilalt profil.

Întrebări frecvente

Prin ce se deosebește această lecție M2 de varianta M1?

Definiția matematică este aceeași, dar aici pregătim lectura graficelor și interpretarea datelor cerute pe traseul de științe. Lucrăm explicit cu domenii declarate, puncte izolate, înregistrări repetate și informații insuficiente pentru o extindere. Exemplele și exercițiile sunt proprii acestei lecții; nu este necesar să selectezi singur dintr-un material destinat celuilalt profil.

Cum mă ajută această noțiune la bacalaureatul M2?

Te ajută să citești corect domeniul, formula și argumentele înaintea unui calcul sau a unei interpretări grafice. Noțiunea apare în programa M_șt-nat pentru generațiile 2027–2029 și susține studiul funcțiilor din noua programă. Exercițiile marcate sunt antrenamente proprii, nu subiecte oficiale. După unitate, încearcă testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Dacă un rând apare de două ori, tabelul nu mai descrie o funcție?

Repetarea identică nu încalcă definiția, fiindcă nu produce o valoare nouă pentru intrarea respectivă. Verifici rezultatele distincte, nu numărul rândurilor tipărite. Totuși, trebuie să controlezi și restul domeniului și apartenența valorilor la codomeniu. Două rânduri identice nu repară o intrare lipsă și nici o incompatibilitate aflată în altă parte a tabelului.

O măsurătoare lipsă dovedește că fenomenul nu este o funcție?

Nu. Ea arată că raportul disponibil nu conține informația pentru acea intrare. Dacă tabelul era anunțat drept definiție completă, descrierea este incompletă; dacă era un eșantion, rămâne doar o observație neefectuată. Pentru a discuta fenomenul trebuie să precizezi intrarea, condițiile și regula de modelare, nu să transformi lipsa datelor într-o contradicție demonstrată.

Pot determina o formulă unică din câteva puncte ale graficului?

În general, nu. Reguli diferite pot coincide în toate punctele oferite și pot produce valori diferite în alte locuri. O formulă poate deveni determinată dacă enunțul impune o familie potrivită și suficiente condiții independente. Fără asemenea informații, prelungirea desenului este o alegere care trebuie declarată, nu o concluzie obligatorie din datele finite.

Cum aleg ce este intrarea când datele vin dintr-un experiment?

Întreabă-te ce mărime fixezi tu și ce mărime citești. Momentul unei măsurători, codul unei probe sau poziția unui senzor pot fi intrări, dar trebuie descrise suficient de precis încât fiecăreia să-i corespundă o singură citire. Dacă aceeași intrare produce citiri diferite, adaugă în descrierea ei aparatul sau condițiile, apoi verifică din nou definiția funcției.