Câte funcții f:1,2,3→1,2,3,4 au f(1)=2?

Valoarea în 1 este fixată, deci rămân de ales f(2) și f(3), fiecare în 4 moduri. Regula produsului dă 4· 4=16 funcții. În general, o condiție care fixează o valoare scade exponentul cu 1.

Câte funcții f:1,2,3→a,b,c,d au f(1)≠ f(2)?

Alegi f(1) în 4 moduri, f(2) în 3 moduri, ca să difere de f(1), iar f(3) în 4 moduri, fără restricții. Rezultă 4· 3· 4=48 de funcții, adică 64-16, unde 16 sunt cele cu f(1)=f(2).

De ce există 64 de codoni în codul genetic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Numărarea prin funcții

Un codon este un șir de $3$ poziții, iar fiecare poziție primește una dintre cele $4$ baze azotate, A, C, G sau U, cu repetare permisă. Asta este o funcție de la mulțimea pozițiilor, cu $3$ elemente, la mulțimea bazelor, cu $4$ elemente. Numărul acestor funcții este $n^{m} = 4^{3} = 64$ . Dacă un codon ar avea doar $2$ poziții, ar exista $4^{2} = 16$ codoni, prea puțini pentru cei $20$ de aminoacizi.

„Mulțimi finite ordonate; numărul funcțiilor $f : A \to B$ " apare ca atare în programa de examen M2. Capitolul citește o repartiție, o alegere sau o etichetare drept funcție, iar formulele lui coboară toate din regula produsului.

Convenția. Mulțimea $A$ , cu $m$ elemente, este domeniul; $B$ , cu $n$ elemente, este codomeniul. Propoziția-cheie: fiecare element al domeniului primește exact o valoare, pe când elementele codomeniului pot fi folosite oricâte ori sau chiar deloc.

Cele trei numere. Funcțiile $f : A \to B$ sunt în total $n^{m}$ — la bază stă numărul de valori disponibile, la exponent numărul elementelor de servit. Cele injective sunt $A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}$ , iar pentru $m > n$ nu există niciuna. Cele bijective apar doar la $m = n$ și sunt $n!$ , adică exact numărul ordonărilor unei mulțimi cu $n$ elemente, de vreme ce o ordonare nu e altceva decât o bijecție dinspre ${1, 2, \dots, n}$ .

Capcanele. Baza schimbată cu exponentul ( $m^{n}$ în locul lui $n^{m}$ ) dă alt răspuns: controlează-te pe $m = 1$ , unde rezultatul trebuie să fie $n$ . Aranjamentele își au locul numai când enunțul oprește repetarea. Iar funcțiile „care nu sunt" se numără prin scădere din total, nu una câte una.

De reținut

numărul funcțiilor $f : A \to B$ este $n^{m}$ , cu $m$ elemente în $A$ și $n$ în $B$
injective: $A_{n}^{m}$ , doar pentru $m \leq n$ ; bijective: $n!$ , doar pentru $m = n$
„nu sunt injective” se numără prin scădere din total

Greșeala tipică

Se scrie $3^{4} = 81$ codoni, inversând baza cu exponentul; baza este numărul valorilor disponibile, $4$ baze, iar exponentul numărul pozițiilor, $3$ , deci $4^{3} = 64$ .

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea $A$ are $3$ elemente, iar mulțimea $B$ are $5$ elemente. Câte funcții $f : A \to B$ există?
- a) $15$
- b) $60$
- c) $125$
- d) $243$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $125$

Fiecare dintre cele $3$ elemente ale domeniului primește una dintre cele $5$ valori, independent, deci $5^{3} = 125$ . Varianta d) inversează baza cu exponentul ( $3^{5}$ ), iar a) adună etapele în loc să le înmulțească.
Mulțimea $A$ are $3$ elemente, iar mulțimea $B$ are $5$ elemente. Câte funcții injective $f : A \to B$ există?
- a) $60$
- b) $125$
- c) $120$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $60$

Valorile nu se mai pot repeta, deci $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . Varianta c) este $5!$ , adică ar cere ca toate cele cinci valori să fie folosite, iar d) este $C_{5}^{3}$ , numărul submulțimilor, care ignoră ordinea.
Mulțimea $A$ are $4$ elemente, iar mulțimea $B$ are $3$ elemente. Câte funcții injective $f : A \to B$ există?
- a) $81$
- b) $24$
- c) $6$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0$

Cum $m > n$ , nu există destule valori distincte: cel puțin două elemente ale domeniului primesc aceeași valoare, deci numărul funcțiilor injective este $0$ . Varianta a) numără toate funcțiile, $3^{4} = 81$ ; b) este $4!$ , iar c) este $3!$ — formulele de permutări nu se pot folosi aici, fiindcă mulțimile au numere diferite de elemente.

Întrebări conexe

Câte funcții de la $A$ la $B$ nu sunt injective?

Le numeri prin scădere din total. Pentru $A$ cu $3$ elemente și $B$ cu $6$ elemente, sunt $6^{3} = 216$ funcții, dintre care injective $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ . Rămân $216 - 120 = 96$ de funcții în care cel puțin două elemente primesc aceeași valoare.

Câte funcții $f : {1, 2, 3} \to {1, 2, 3, 4}$ au $f (1) = 2$ ?

Valoarea în $1$ este fixată, deci rămân de ales $f (2)$ și $f (3)$ , fiecare în $4$ moduri. Regula produsului dă $4 \cdot 4 = 16$ funcții. În general, o condiție care fixează o valoare scade exponentul cu $1$ .

Câte funcții strict crescătoare există de la ${1, 2, 3}$ la ${1, 2, 3, 4, 5}$ ?

O funcție strict crescătoare e determinată de mulțimea valorilor ei, pentru că valorile se așază obligatoriu în ordine crescătoare. Alegi deci $3$ valori din $5$ , fără ordine: $C_{5}^{3} = 10$ funcții.

Cum recunosc domeniul și codomeniul într-o problemă de repartiție?

Domeniul este mulțimea ale cărei elemente primesc fiecare exact o valoare. Dacă $5$ elevi își aleg fiecare unul dintre $3$ cursuri opționale, elevii formează domeniul, iar cursurile codomeniul, deci sunt $3^{5} = 243$ de moduri de alegere.

Câte funcții $f : {1, 2, 3} \to {a, b, c, d}$ au $f (1) \neq = f (2)$ ?

Alegi $f (1)$ în $4$ moduri, $f (2)$ în $3$ moduri, ca să difere de $f (1)$ , iar $f (3)$ în $4$ moduri, fără restricții. Rezultă $4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$ de funcții, adică $64 - 16$ , unde $16$ sunt cele cu $f (1) = f (2)$ .

Care este probabilitatea ca o funcție aleasă la întâmplare să fie constantă?

O funcție constantă e determinată de valoarea comună, deci sunt $n$ funcții constante din $n^{m}$ . Pentru $A$ cu $3$ elemente și $B$ cu $4$ , probabilitatea este $\frac{4}{64} = \frac{1}{16}$ .

Oamenii mai întreabă și: câți codoni există · de ce 4 la puterea 3 codoni · numărul codonilor posibili · codul genetic și numărarea funcțiilor · câte triplete de baze azotate există

De ce există 64 de codoni în codul genetic?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte funcții de la A la B nu sunt injective?

Câte funcții f:{1,2,3}→{1,2,3,4} au f(1)=2?

Câte funcții strict crescătoare există de la {1,2,3} la {1,2,3,4,5}?