Numărarea prin funcții de la A la B (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Trei probe de sânge trebuie trimise, fiecare, la unul dintre cele cinci analizoare ale laboratorului. În câte moduri se poate face repartiția? Întrebarea pare de combinatorică, și este — dar ea se poate pune și altfel: fiecare repartiție este exact o funcție definită pe mulțimea probelor, cu valori în mulțimea analizoarelor. Odată văzut lucrul acesta, tot capitolul de numărare pe care l-ai parcurs la clasa a X-a, la profilul științe ale naturii (M2), își găsește o a doua față: permutările, aranjamentele și combinările nu sunt formule izolate, ci răspunsuri la întrebarea „câte funcții de un anumit fel există între două mulțimi finite?". Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: numărul funcțiilor $f : A \to B$ , al celor injective și al celor bijective este cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a X-a.

Îți trebuie regula produsului, din care se obține fiecare dintre cele trei formule, și definițiile injectivității, ale surjectivității și ale bijectivității. Pe cele ale funcției injective și ale funcției bijective le reamintim chiar în lecție, acolo unde le folosim; studiul complet al celor trei noțiuni, cu demonstrații, este în lecția de supliment despre funcții injective, surjective, bijective. Aici nu se adaugă nicio noțiune nouă; se adaugă o traducere, pe care programa Bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029 o cere explicit. În modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerința a patra a Subiectului I cere o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor, pe numere de două cifre, nu pe funcții.

Ce vei învăța

Vei ști să vezi o repartiție, o alegere sau o etichetare ca pe o funcție și să citești din enunț care mulțime este domeniul și care este codomeniul.
Vei ști să demonstrezi, cu regula produsului, că numărul funcțiilor $f : A \to B$ este $n^{m}$ , unde $m$ și $n$ sunt numerele de elemente ale celor două mulțimi.
Vei ști că numărul funcțiilor injective este $A_{n}^{m}$ și de ce el este $0$ atunci când $m > n$ .
Vei ști că numărul funcțiilor bijective este $n!$ și că ele există doar când cele două mulțimi au același număr de elemente.
Vei ști ce înseamnă o mulțime finită ordonată și de ce o mulțime cu $n$ elemente se poate ordona în exact $n!$ moduri.
Vei ști să calculezi probabilități de tipul „ce șansă are o funcție luată la întâmplare să fie injectivă", o cerință scurtă, rezolvată prin numărarea cazurilor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să numeri funcții?

O funcție $f : A \to B$ este o regulă care asociază fiecărui element al mulțimii $A$ exact un element al mulțimii $B$ ; a număra funcțiile de la $A$ la $B$ înseamnă, prin urmare, a număra în câte moduri se poate face această asociere, atunci când ambele mulțimi au un număr finit de elemente. Convenția de notație a lecției, ținută până la capăt: $A$ are $m$ elemente și este domeniul, iar $B$ are $n$ elemente și este codomeniul.

Ordinea literelor nu e un moft: aproape toate greșelile la acest capitol vin din confundarea celor două mulțimi. Reține o singură propoziție: fiecare element din domeniu trebuie servit exact o dată; elementele codomeniului pot fi folosite de oricâte ori sau deloc. Din ea ies toate formulele de mai jos.

Ca să vezi concret despre ce e vorba, luăm $A = {1, 2}$ și $B = {a, b, c}$ . O funcție se dă printr-un tabel cu două intrări:

$x$	$1$	$2$
$f (x)$	$a$	$c$

Schimbând valorile din rândul de jos obții alte funcții. Câte tabele diferite poți completa? Exact atâtea câte perechi ordonate de valori există, adică $3 \cdot 3 = 9$ .

2. Câte funcții $f : A \to B$ există?

Numărul lor este

$n^{m}, unde m = num \overset{a}{˘} rul de elemente ale lui A, n = num \overset{a}{˘} rul de elemente ale lui B .$

Demonstrația are un singur pas. Construirea unei funcții înseamnă să iei elementele domeniului pe rând și să hotărăști, pentru fiecare, ce valoare primește. Pentru primul element ai $n$ variante; pentru al doilea, tot $n$ , pentru că valorile se pot repeta; și așa mai departe, până la al $m$ -lea. Fiindcă alegerile sunt independente, regula produsului dă $m factori n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{m}$ funcții.

3 elemente, câte 5 variante fiecare: 5³ = 125 funcții

Așadar, pentru cele trei probe și cele cinci analizoare din deschidere, repartițiile posibile sunt $5^{3} = 125$ . Atenție la ordinea exponentului: baza este numărul de valori disponibile, iar exponentul numărul de elemente de servit. Dacă ai scrie $3^{5} = 243$ , ai răspunde la o cu totul altă întrebare — aceea în care cinci obiecte se împart la trei destinații.

3. Câte dintre ele sunt injective?

O funcție este injectivă dacă elemente diferite ale domeniului primesc valori diferite. Numărând la fel ca înainte, dar cu restricția că nicio valoare nu se repetă, obții: $n$ variante pentru primul element, $n - 1$ pentru al doilea (una s-a consumat), $n - 2$ pentru al treilea și așa mai departe. Produsul celor $m$ factori este

$n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1) = \frac{n !}{( n - m )!} = A_{n}^{m},$

adică exact numărul aranjamentelor de $n$ luate câte $m$ , din lecția despre aranjamente. De aici vine și interpretarea pe care programa de examen o cere explicit: aranjamentele numără funcțiile injective, iar o submulțime ordonată cu $m$ elemente a lui $B$ nu e altceva decât șirul valorilor unei astfel de funcții.

Scrierea cu factoriale, $\frac{n !}{( n - m )!}$ , are sens doar pentru $m \leq n$ . Produsul desfășurat, în schimb, dă singur răspunsul corect și când $m > n$ : printre factorii $n, n - 1, \dots, n - m + 1$ apare și $0$ , deci produsul se anulează. Iar asta se potrivește cu realitatea: dacă ai patru probe și trei analizoare, două probe ajung obligatoriu la același aparat, deci nu există nicio funcție injectivă.

Pentru $A$ cu trei elemente și $B$ cu cinci, funcțiile injective sunt $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ , adică mai puțin de jumătate din cele $125$ de funcții.

4. Câte sunt bijective?

O funcție bijectivă este injectivă și surjectivă în același timp. Prima condiție cere $m \leq n$ , a doua cere $n \leq m$ (fiecare element al codomeniului trebuie atins, iar valorile sunt cel mult $m$ la număr). Așadar funcțiile bijective $f : A \to B$ există numai dacă $A$ și $B$ au același număr de elemente, iar în acest caz numărul lor se obține punând $m = n$ în formula anterioară:

$A_{n}^{n} = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1 = n! = P_{n} .$

Regăsim permutările din lecția despre permutări, de data aceasta ca număr de bijecții. Când cele două mulțimi au același număr de elemente, se întâmplă și altceva, foarte comod la examen: pentru mulțimi finite cu $m = n$ , o funcție $f : A \to B$ este injectivă dacă și numai dacă este surjectivă, deci dacă și numai dacă este bijectivă. Îți ajunge să verifici una dintre proprietăți.

Pentru $A = B = {1, 2, 3, 4}$ avem $4^{4} = 256$ funcții în total, dintre care bijective sunt $4! = 24$ . Pentru comparație, la mate-info (M1) legătura dintre bijecții și permutări se face abia în clasa a XI-a, în lecția despre permutări: definiție, notație și compunere, unde permutările sunt studiate ca funcții bijective ale unei mulțimi în ea însăși, cu o operație de compunere; la M2 ne oprim la numărul lor.

5. Ce este o mulțime finită ordonată?

A ordona o mulțime finită cu $n$ elemente înseamnă a stabili care este primul element, care al doilea și așa mai departe până la al $n$ -lea; rezultatul se numește mulțime finită ordonată. A da o astfel de ordonare revine la a da o funcție bijectivă de la ${1, 2, \dots, n}$ la mulțimea respectivă: numărul $k$ „numește" elementul aflat pe locul $k$ . Prin subsecțiunea precedentă, numărul ordonărilor este deci $n!$ .

De exemplu, mulțimea ${a, b, c, d}$ se poate ordona în $4! = 24$ de feluri, iar una cu zece elemente în $10! = 3628800$ — creșterea factorialului este amețitoare. Reține totuși deosebirea de fond: mulțimea ${a, b, c}$ este egală cu ${c, a, b}$ — o mulțime nu are ordine. Ordinea este ceva adăugat din afară, iar $n!$ numără tocmai felurile în care poate fi adăugată.

6. Cum se leagă numărarea funcțiilor de probabilități?

Un tip de cerință leagă lecția de probabilități: se alege la întâmplare o funcție dintre toate funcțiile $f : A \to B$ și se cere probabilitatea ca ea să aibă o anumită proprietate. Cazurile posibile sunt $n^{m}$ , cazurile favorabile se numără cu formula potrivită, iar probabilitatea este raportul lor, ca în lecția despre probabilitatea unui eveniment.

Pentru $A$ cu două elemente și $B$ cu trei, probabilitatea ca o funcție luată la întâmplare să fie injectivă este $\frac{A _{3}^{2}}{3 ^{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Rezultatul se citește: din nouă repartiții posibile, șase evită repetarea valorii.

Aceeași idee servește și la cerințele cu o condiție impusă. Dacă se cere numărul funcțiilor $f : A \to B$ pentru care un anumit element al domeniului are o valoare fixată, atunci acel element nu mai aduce nicio alegere, iar celelalte $m - 1$ rămân libere: numărul lor este $n^{m - 1}$ . Metoda e mereu aceeași — separă elementele despre care enunțul spune ceva de cele lăsate libere, apoi înmulțește.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate funcțiile, scrise una câte una

Se consideră mulțimile $A = {1, 2, 3}$ și $B = {0, 1}$ . Determinați numărul funcțiilor $f : A \to B$ și precizați câte dintre ele sunt injective.

Rezolvare. Domeniul are $m = 3$ elemente, codomeniul $n = 2$ , deci numărul funcțiilor este $2^{3} = 8$ . Ele se pot chiar scrie, ca triplete de valori $(f (1), f (2), f (3))$ : $(0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 0)$ , $(1, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ , $(1, 1, 1)$ — opt, cum prevedea formula.

Funcții injective nu există: domeniul are trei elemente, codomeniul doar două, deci două dintre valori coincid obligatoriu. Numărul lor este $0$ .

Exemplul 2 — Injective și neinjective

Se consideră $A = {1, 2}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Determinați numărul funcțiilor $f : A \to B$ , numărul celor injective și numărul celor care nu sunt injective.

Rezolvare. Numărul tuturor funcțiilor este $5^{2} = 25$ . Cele injective sunt $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ . Prin urmare, funcțiile care nu sunt injective sunt $25 - 20 = 5$ — exact cele pentru care $f (1) = f (2)$ , adică una pentru fiecare valoare comună posibilă.

Verificarea aceasta prin complement e o obișnuință bună: „câte nu sunt" se calculează aproape întotdeauna scăzând din total, nu numărând direct.

Exemplul 3 — Bijective, pe o mulțime cu ea însăși

Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Determinați numărul funcțiilor $f : A \to A$ și numărul celor bijective. Ce parte din total reprezintă ele?

Rezolvare. Domeniul și codomeniul au amândouă $6$ elemente, deci numărul funcțiilor este $6^{6} = 46656$ , iar numărul celor bijective este $6! = 720$ . Raportul lor este

$\frac{720}{46 656} = \frac{5}{324} .$

Aproximativ $1, 5%$ dintre funcțiile unei mulțimi cu șase elemente în ea însăși sunt bijective — o proporție care scade repede cu $n$ .

Exemplul 4 — Ordonarea unei mulțimi finite

În câte moduri pot fi așezate în ordine cele cinci probe notate $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ , într-o listă de lucru? Justificați răspunsul prin numărul de funcții bijective.

Rezolvare. O listă de lucru este o funcție bijectivă de la mulțimea locurilor ${1, 2, 3, 4, 5}$ la mulțimea probelor: locului $k$ îi corespunde proba așezată acolo. Funcția este injectivă (două locuri nu pot primi aceeași probă) și surjectivă (nicio probă nu rămâne pe dinafară), deci bijectivă. Numărul acestor bijecții este $5! = 120$ .

Pe scurt: o mulțime cu cinci elemente se poate ordona în $120$ de feluri, iar acesta este și numărul permutărilor ei.

Exemplul 5 — O repartiție din laborator

Fiecare dintre cele $3$ culturi bacteriene trebuie pusă într-unul dintre cele $8$ incubatoare ale laboratorului. a) În câte moduri se poate face repartiția? b) În câte moduri se poate face dacă niciun incubator nu are voie să primească două culturi?

Rezolvare. a) O repartiție este o funcție de la mulțimea culturilor (cu $m = 3$ elemente) la mulțimea incubatoarelor (cu $n = 8$ elemente), deci numărul lor este $8^{3} = 512$ .

b) Condiția „niciun incubator nu primește două culturi" spune exact că funcția este injectivă, deci numărul repartițiilor devine $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

Diferența, $512 - 336 = 176$ , reprezintă repartițiile în care cel puțin două culturi ajung în același incubator. Observă cât de util e să traduci enunțul în limbajul funcțiilor: „cel mult una" devine injectivitate, iar întrebarea capătă imediat o formulă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimile $A = {1, 2, 3}$ și $B = {1, 2, 3, 4}$ . a) Determinați numărul funcțiilor $f : A \to B$ . b) Determinați numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ . c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare o funcție $f : A \to B$ , aceasta să fie injectivă.

Rezolvare. a) Domeniul are $3$ elemente, codomeniul $4$ , deci numărul funcțiilor este $4^{3} = 64$ .

b) Numărul funcțiilor injective este $A_{4}^{3} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ .

c) Cazurile posibile sunt cele $64$ de funcții, iar cele favorabile cele $24$ injective, deci probabilitatea este

$p = \frac{24}{64} = \frac{3}{8} .$

Să exersăm

Înainte de orice formulă, scrie pe hârtie două numere: $m$ , câte elemente are domeniul, și $n$ , câte are codomeniul. Apoi întreabă-te dacă valorile au voie să se repete. Dacă da, răspunsul pornește de la $n^{m}$ ; dacă nu, de la $A_{n}^{m}$ ; iar dacă, în plus, $m = n$ și se cere bijectivitate, de la $n!$ .

1. Fie $A$ o mulțime cu $3$ elemente și $B$ o mulțime cu $6$ elemente. Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ .

2. Fie $A$ o mulțime cu $6$ elemente și $B$ o mulțime cu $3$ elemente. Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ și compară rezultatul cu cel de la exercițiul $1$ .

3. Determină numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ , unde $A$ are $4$ elemente, iar $B$ are $7$ elemente.

4. Determină numărul funcțiilor bijective $f : A \to B$ , unde ambele mulțimi au $9$ elemente.

5. Fie $A$ cu $2$ elemente și $B$ cu $8$ elemente. Determină numărul tuturor funcțiilor $f : A \to B$ , numărul celor injective și numărul celor care nu sunt injective.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă mulțimea $A$ are mai multe elemente decât mulțimea $B$ , atunci există cel puțin o funcție injectivă $f : A \to B$ ."

7. Fie $A$ cu $7$ elemente și $B$ cu $2$ elemente. Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ și numărul celor injective.

8. Fie $A$ o mulțime cu $3$ elemente. Determină numărul funcțiilor $f : A \to A$ , numărul celor bijective și raportul dintre ele.

9. Determină numărul natural $n$ pentru care numărul funcțiilor $f : A \to B$ este $343$ , știind că $A$ are $3$ elemente, iar $B$ are $n$ elemente.

10. (Problemă aplicată.) Într-un laborator, fiecare dintre cele $5$ eșantioane trebuie depozitat în unul dintre cele $4$ frigidere. a) În câte moduri se poate face depozitarea? b) În câte moduri, dacă fiecare frigider ar trebui să primească cel mult un eșantion? Explică rezultatul.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $A$ o mulțime cu $4$ elemente și $B$ o mulțime cu $6$ elemente. a) Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ . b) Determină numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ . c) Determină probabilitatea ca o funcție aleasă la întâmplare dintre funcțiile $f : A \to B$ să fie injectivă.

12. Determină numărul funcțiilor bijective $f : A \to A$ , unde $A$ are $7$ elemente.

13. În câte moduri se poate ordona o mulțime cu $8$ elemente? Justifică prin numărul de funcții bijective.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A = {u, v}$ și $B = {a, b, c, d}$ . a) Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ . b) Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ cu proprietatea $f (u) = a$ .

15. Fie $A = {p, q, r}$ și $B$ o mulțime cu $10$ elemente. Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ cu proprietatea $f (p) = f (q)$ .

16. Determină toate valorile numărului natural $m$ , cu $1 \leq m \leq 4$ , pentru care numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ este $24$ , unde $A$ are $m$ elemente, iar $B$ are $4$ elemente.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $A$ o mulțime cu $5$ elemente. a) Determină numărul funcțiilor $f : A \to A$ . b) Determină numărul funcțiilor bijective $f : A \to A$ . c) Determină numărul funcțiilor $f : A \to A$ care nu sunt injective.

18. (Provocare.) Se consideră $A = {1, 2, 3}$ și $B = {2, 4, 6, 8, 10}$ . Determină numărul funcțiilor $f : A \to B$ cu proprietatea $f (1) < f (2) < f (3)$ și arată că el este egal cu numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $B$ .

Răspunsuri și explicații

1. Domeniul are $3$ elemente, codomeniul $6$ , deci numărul funcțiilor este $6^{3} = 216$ .

2. Aici rolurile se inversează: $m = 6$ și $n = 3$ , deci numărul funcțiilor este $3^{6} = 729$ , nu $216$ ca la exercițiul $1$ . Baza e numărul de valori, exponentul numărul de elemente de servit.

3. Numărul funcțiilor injective este $A_{7}^{4} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ .

4. Fiind vorba de mulțimi cu același număr de elemente, numărul bijecțiilor este $9! = 362880$ .

5. Toate funcțiile: $8^{2} = 64$ . Cele injective: $A_{8}^{2} = 8 \cdot 7 = 56$ . Cele care nu sunt injective: $64 - 56 = 8$ , adică exact cele constante, câte una pentru fiecare valoare din codomeniu.

6. Fals. Dacă $A$ are $m$ elemente, $B$ are $n$ elemente și $m > n$ , atunci valorile distincte disponibile sunt mai puține decât elementele care trebuie servite, deci cel puțin două elemente ale domeniului primesc aceeași valoare. Numărul funcțiilor injective este $0$ . Scrierea cu factoriale nu se poate folosi aici, dar produsul desfășurat dă același răspuns, pentru că printre factorii lui apare $0$ .

7. Numărul funcțiilor este $2^{7} = 128$ . Numărul celor injective este $0$ , pentru că $7 > 2$ .

8. Numărul funcțiilor este $3^{3} = 27$ , iar numărul celor bijective este $3! = 6$ . Raportul este $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ .

9. Numărul funcțiilor este $n^{3}$ , iar condiția $n^{3} = 343$ dă $n = 7$ , pentru că $7^{3} = 343$ și funcția putere de exponent $3$ este strict crescătoare pe mulțimea numerelor naturale.

10. a) Fiecare eșantion merge într-un frigider, deci avem o funcție de la mulțimea eșantioanelor (cu $5$ elemente) la cea a frigiderelor (cu $4$ elemente): $4^{5} = 1024$ de moduri. b) Condiția cere ca funcția să fie injectivă, dar domeniul are mai multe elemente decât codomeniul, deci numărul este $0$ : cu cinci eșantioane și patru frigidere, două eșantioane ajung obligatoriu împreună.

11. a) $6^{4} = 1296$ . b) $A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ . c) Probabilitatea este $\frac{360}{1296} = \frac{5}{18}$ , adică aproximativ $0, 28$ .

12. Numărul funcțiilor bijective ale unei mulțimi cu șapte elemente în ea însăși este $7! = 5040$ .

13. O ordonare este o funcție bijectivă de la mulțimea locurilor ${1, 2, \dots, 8}$ la mulțimea dată, care asociază fiecărui loc elementul de pe el. Numărul lor este $8! = 40320$ .

14. a) $4^{2} = 16$ . b) Valoarea lui $f (u)$ este fixată, deci nu mai aduce nicio alegere; rămâne liber doar $f (v)$ , cu $4$ variante. Numărul funcțiilor este $4$ .

15. Elementele $p$ și $q$ trebuie să primească aceeași valoare, deci pentru ele se face o singură alegere, din $10$ posibile; pentru $r$ alegerea este liberă, tot din $10$ . Numărul funcțiilor este $10 \cdot 10 = 100$ .

16. Numărul funcțiilor injective este $A_{4}^{m}$ . Avem $A_{4}^{1} = 4$ , $A_{4}^{2} = 12$ , $A_{4}^{3} = 24$ și $A_{4}^{4} = 24$ . Condiția este îndeplinită pentru $m = 3$ și pentru $m = 4$ . Explicația coincidenței: trecerea de la $m = 3$ la $m = 4$ adaugă factorul $4 - 4 + 1 = 1$ , care nu schimbă produsul.

17. a) $5^{5} = 3125$ . b) $5! = 120$ . c) Funcțiile care nu sunt injective se numără prin complement: $3125 - 120 = 3005$ , pentru că pe o mulțime finită cu domeniul egal cu codomeniul injectivitatea și bijectivitatea înseamnă același lucru.

18. Dacă $f (1) < f (2) < f (3)$ , atunci cele trei valori sunt distincte, deci formează o submulțime cu trei elemente a lui $B$ ; reciproc, o submulțime cu trei elemente se poate aranja crescător într-un singur fel, deci dă exact o funcție cu proprietatea cerută. Corespondența fiind unu la unu, numărul căutat este $C_{5}^{3} = 10$ . Observă contrastul: dintre cele $A_{5}^{3} = 60$ de funcții injective, doar a șasea parte sunt crescătoare, iar $6 = 3!$ este numărul de ordonări ale unei mulțimi cu trei elemente.

De reținut

Numărul funcțiilor $f : A \to B$ este $n^{m}$ , unde $m$ este numărul de elemente al domeniului $A$ , iar $n$ cel al codomeniului $B$ ; baza este numărul de valori disponibile, exponentul numărul de elemente care trebuie servite.
Numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ este $A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}$ , definit pentru $m \leq n$ , și este $0$ atunci când $m > n$ .
Numărul funcțiilor bijective $f : A \to B$ este $n!$ și ele există doar când $m = n$ ; pentru mulțimi finite cu $m = n$ , injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea sunt echivalente.
O mulțime finită cu $n$ elemente se poate ordona în $n!$ moduri, pentru că o ordonare este o funcție bijectivă de la ${1, 2, \dots, n}$ la mulțimea respectivă.
Toate cele trei formule ies din regula produsului, alegând pe rând valoarea fiecărui element al domeniului: cu repetiție permisă ies puterile, fără repetiție ies aranjamentele, iar la mulțimi de același cardinal ies permutările.

Greșeli frecvente

Inversarea bazei cu exponentul. La $m$ elemente în domeniu și $n$ în codomeniu, răspunsul este $n^{m}$ , nu $m^{n}$ . Cele două diferă enorm: pentru $m = 3$ și $n = 5$ obții $125$ față de $243$ . Verifică-te pe un caz mic, cu $m = 1$ : trebuie să obții $n$ funcții, câte una pentru fiecare valoare.
Folosirea aranjamentelor acolo unde valorile se pot repeta. Cuvintele „fiecare probă merge la un analizor" nu interzic nimic: două probe pot ajunge la același aparat, deci răspunsul este o putere. Aranjamentele intră în scenă doar când enunțul spune „diferite", „cel mult una", „niciun … de două ori".
Căutarea funcțiilor injective când domeniul e mai mare. Dacă $m > n$ , răspunsul este $0$ , nu $A_{n}^{m}$ calculat „forțat". Merită spus în rezolvare de ce: nu ai destule valori distincte pentru toate elementele domeniului.
Confundarea mulțimii ordonate cu mulțimea. ${a, b, c}$ și ${c, a, b}$ sunt aceeași mulțime; ele devin obiecte diferite abia după ce li se adaugă o ordine. Numărul de ordonări este $3! = 6$ , dar numărul de mulțimi este $1$ .
Numărarea directă a cazurilor „care nu sunt". Funcțiile neinjective se numără scăzând din total, nu una câte una. Numărarea directă cere principiul includerii și al excluderii și e sursa cea mai bogată de erori la acest capitol.

Aplică acasă

Toate funcțiile, scrise pe hârtie. Ia $A = {1, 2}$ și $B = {a, b, c}$ și scrie toate cele nouă funcții ca perechi $(f (1), f (2))$ . Încercuiește-le pe cele injective, numără-le și compară cu $A_{3}^{2}$ . Repetă apoi cu $A = {1, 2, 3}$ și $B = {a, b}$ și explică în scris de ce nu rămâne niciun cerc.
Cutii și bile, în foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, generează cu formula =RANDBETWEEN(1;4) trei numere: ele sunt valorile $f (1)$ , $f (2)$ , $f (3)$ ale unei funcții luate la întâmplare de la o mulțime cu trei elemente la una cu patru. Repetă experimentul de $50$ de ori și notează de câte ori cele trei valori ies distincte. Compară proporția obținută cu $\frac{3}{8}$ .
Dicționarul de traduceri. Notează, pe o coloană, cinci enunțuri din culegerea ta care cer o numărare, iar pe coloana alăturată traducerea fiecăruia în limbajul funcțiilor: ce este domeniul, ce este codomeniul, dacă se cere injectivitate. Vei descoperi că alegerea formulei devine automată după primele trei.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu aduce formule noi, ci o schimbare de unghi: aceleași permutări, aranjamente și combinări, privite ca numere de funcții între două mulțimi finite. Valoarea practică este mare, pentru că elevul care știe să traducă un enunț în „domeniu, codomeniu, se repetă sau nu" nu mai are de ales între formule pe ghicite. Pentru profilul științe ale naturii, traducerea aceasta se face natural pe situații de laborator — repartiții de probe pe aparate, etichetări, ordini de lucru — și pregătește direct cerințele de probabilități, unde cazurile posibile și cele favorabile se numără exact așa.

De urmărit în caiet: sunt scrise cele două numere, $m$ și $n$ , înainte de orice formulă; este justificată alegerea („valorile se pot repeta, deci …"); cazul $m > n$ este tratat cu explicație, nu cu un calcul mecanic; iar la cerințele de probabilitate, numitorul este numărul total de funcții, nu altceva. Întrebări bune de control: „Care mulțime dă baza și care exponentul?"; „De ce nu există funcții injective când domeniul e mai mare?"; „Ce numără $n!$ aici?"; „Cum afli câte funcții nu sunt injective?". Semnul că elevul a înțeles este că, pus în fața unui enunț nou, spune mai întâi ce este domeniul și ce este codomeniul, și abia apoi scrie o formulă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) capitolul cel mai apropiat este „Metode de numărare" din domeniul „Algebră", care cere regula sumei, regula produsului, permutările, aranjamentele și combinările — numărul funcțiilor $f : A \to B$ nu este numit acolo. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă cere explicit „mulțimi finite ordonate, numărul funcțiilor $f : A \to B$ ", numărul celor injective și numărul celor bijective; în modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de probabilitate stă printre cele șase cerințe scurte ale Subiectului I. De aceea lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Câte funcții există de la o mulțime cu $m$ elemente la una cu $n$ elemente? Există $n^{m}$ funcții. Explicația este regula produsului: fiecare dintre cele $m$ elemente ale domeniului primește, independent de celelalte, una dintre cele $n$ valori posibile. Baza puterii este numărul de valori disponibile, iar exponentul numărul de elemente care trebuie servite — inversarea lor este cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Care este formula numărului de funcții injective? Numărul funcțiilor injective $f : A \to B$ este $A_{n}^{m} = \frac{n !}{( n - m )!}$ , unde $m$ și $n$ sunt numerele de elemente ale domeniului, respectiv ale codomeniului, cu condiția $m \leq n$ . Formula se obține alegând valorile pe rând, fără repetiție: $n$ variante pentru primul element, $n - 1$ pentru al doilea și așa mai departe.

Când există funcții bijective între două mulțimi finite? Numai când cele două mulțimi au același număr de elemente. Injectivitatea cere ca domeniul să nu fie mai mare decât codomeniul, iar surjectivitatea invers, deci cele două condiții pot fi îndeplinite simultan doar la egalitate. În acest caz numărul bijecțiilor este $n!$ , adică numărul permutărilor unei mulțimi cu $n$ elemente.

Ce este o mulțime finită ordonată? Este o mulțime finită căreia i s-a atribuit o ordine a elementelor: se știe care e primul, care e al doilea și așa mai departe. A da o ordine revine la a da o funcție bijectivă de la ${1, 2, \dots, n}$ la mulțime, deci o mulțime cu $n$ elemente se poate ordona în $n!$ feluri. Mulțimea în sine rămâne aceeași; ordinea este ceva adăugat.

Ce diferă la această temă între M1 și M2? Diferă locul în programă. La matematică-informatică, aranjamentele și permutările se predau ca formule de combinatorică, iar legătura lor cu funcțiile injective și bijective apare mai târziu, la structuri algebrice. La științe ale naturii, programa de examen din 2014 cere direct această legătură, la clasa a X-a, și de aceea tema intră în suplimentul M2, cu enunțuri formulate chiar în limbajul funcțiilor.

La ce subiect apare numărarea la bacalaureatul M2? Programa de examen nu împarte temele pe subiecte. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, una dintre cele șase cerințe scurte ale Subiectului I este de probabilități: cerința a patra cere o probabilitate obținută prin numărarea cazurilor favorabile și a celor posibile; enunțurile cu funcții $f : A \to B$ se rezolvă cu exact aceleași formule.

Cum calculez probabilitatea ca o funcție să fie injectivă? Împarți numărul funcțiilor injective la numărul total de funcții: $\frac{A _{n}^{m}}{n ^{m}}$ . Cazurile posibile sunt toate funcțiile $f : A \to B$ , iar cele favorabile sunt cele injective. Rezultatul se simplifică aproape întotdeauna, iar dacă iese supraunitar ai inversat raportul — o probabilitate nu depășește niciodată $1$ .

De ce numărul funcțiilor injective este zero când domeniul are mai multe elemente? Pentru că injectivitatea cere valori distincte pentru elemente distincte, iar codomeniul nu are destule valori. Cu $m > n$ , cel puțin două elemente ale domeniului primesc obligatoriu aceeași valoare. Formula $A_{n}^{m}$ dă și ea $0$ : printre cei $m$ factori consecutivi descrescători apare și factorul $0$ .