Pentru $$f(x)=9-x^2$$ și $$g(t)=\sqrt t$$, pe ce mulțime există $$g\circ f$$?

$$(-\infty,-3]\cup[3,+\infty)$$

De ce f° g și g° f dau de obicei rezultate diferite?

Pentru că ordinea operațiilor se schimbă. Cu f(x)=x+3 și g(x)=x², (f° g)(x)=x²+3: întâi ridici la pătrat, apoi aduni. În schimb (g° f)(x)=(x+3)²: întâi aduni, apoi ridici la pătrat. În x=1 obții 4, respectiv 16.

În ce ordine lucrează trei funcții compuse, h° g° f?

De la dreapta la stânga: întâi f, apoi g, la sfârșit h. Pentru f(x)=x+1, g(x)=2x și h(x)=x², calculul în 1 este f(1)=2, g(2)=4, h(4)=16. Parantezele pot fi grupate oricum, dar ordinea funcțiilor nu se schimbă.

Cum aflu domeniul unei funcții compuse?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Compunerea funcțiilor

Păstrezi numai acele $x$ din domeniul funcției interioare pentru care valoarea $f (x)$ poate intra în funcția exterioară. Exemplu: $f (x) = x^{2} - 1$ și $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ . Compusa $g (f (x)) = \frac{1}{x ^{2} - 4}$ cere $f (x) \neq = 3$ , adică $x^{2} \neq = 4$ , deci domeniul este $R ∖ {- 2, 2}$ . Dacă funcția exterioară ar fi un radical, condiția ar deveni o inecuație: $f (x)$ să fie cel puțin $0$ .

Două funcții se pot înlănțui: valoarea dată de prima devine argumentul celei de-a doua. Rezultatul se notează $g \circ f$ și se calculează ca $g (f (x))$ , deci funcția scrisă în dreapta lucrează prima. Ca să obții formula, pui întreaga expresie a funcției interioare, între paranteze, în fiecare loc în care variabila apare în formula exterioară.

Ordinea contează. Schimbând locul celor două funcții obții, de obicei, altă formulă, iar uneori una dintre variante nici nu are sens. Gruparea, în schimb, nu schimbă nimic atunci când lanțul are trei sau mai multe verigi.

Mulțimea pe care există compusa se află cerând ca fiecare valoare produsă de funcția interioară să poată fi primită de cea exterioară. Un radical exterior aduce o inecuație, o fracție exterioară aduce valori excluse, iar o simplificare ulterioară nu șterge aceste condiții.

În științe, compunerea descrie conversiile în lanț: masă, apoi cantitate de substanță, apoi concentrație; doză, apoi volum de sirop. Unitatea care iese dintr-o verigă trebuie să fie exact cea pe care o așteaptă veriga următoare. Controlul cel mai sigur rămâne calculul pe verigi într-un număr ales de tine.

De reținut

domeniul compusei: $x$ în domeniul lui $f$ și $f (x)$ în domeniul lui $g$
radicalul exterior aduce o inecuație, fracția exterioară aduce valori excluse
$g \circ f$ înseamnă: întâi $f$ , apoi $g$

Greșeala tipică

Se simplifică formula compusei și domeniul se citește de pe forma simplificată; condițiile venite din funcția exterioară se scriu înainte de orice simplificare.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f (x) = x + 5$ și $g (x) = 3 x$ , definite pe $R$ , cât este $(g \circ f) (1)$ ?
- a) $18$
- b) $8$
- c) $15$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$

Întâi $f (1) = 6$ , apoi $g (6) = 18$ . Varianta $8$ corespunde ordinii inverse: $f (g (1)) = 3 + 5$ .
Care este funcția interioară în scrierea $h (x) = (6 x + 1)^{4}$ ca $g \circ f$ ?
- a) $t^{4}$
- b) $6 x + 1$
- c) $6 x$
- d) $x^{4} + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6 x + 1$

Asupra lui $x$ se calculează întâi $6 x + 1$ , abia apoi puterea a patra. Prima operație formează funcția interioară.
Pentru $f (x) = 9 - x^{2}$ și $g (t) = t$ , pe ce mulțime există $g \circ f$ ?
- a) $[0, 3]$
- b) $R$
- c) $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$
- d) $[- 3, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[- 3, 3]$

Radicalul cere $9 - x^{2} \geq 0$ , adică $x^{2} \leq 9$ , deci $x \in [- 3, 3]$ . Numerele negative din interval sunt permise: pătratul lor este tot sub $9$ .

Întrebări conexe

Cum calculez concentrația unei soluții din masa de sare folosind o funcție compusă?

Prima verigă transformă masa în cantitate de substanță: pentru clorura de sodiu, $n (m) = \frac{m}{58 , 5}$ mol. A doua împarte la volum: pentru $0, 5$ L, $c (n) = \frac{n}{0 , 5}$ . Compusa este $c (n (m)) = \frac{m}{29 , 25}$ . Pentru $m = 11, 7$ g, $n = 0, 2$ mol și $c = 0, 4$ mol/L.

De ce $f \circ g$ și $g \circ f$ dau de obicei rezultate diferite?

Pentru că ordinea operațiilor se schimbă. Cu $f (x) = x + 3$ și $g (x) = x^{2}$ , $(f \circ g) (x) = x^{2} + 3$ : întâi ridici la pătrat, apoi aduni. În schimb $(g \circ f) (x) = (x + 3)^{2}$ : întâi aduni, apoi ridici la pătrat. În $x = 1$ obții $4$ , respectiv $16$ .

Se păstrează condiția de existență după ce simplific formula compusei?

Da, domeniul se stabilește înainte de simplificare. Pentru $f (x) = x$ și $g (t) = t^{2}$ , compusa $g (f (x)) = (x)^{2}$ se scrie $x$ , dar există doar pentru $x \geq 0$ . Funcția $x$ definită pe $R$ și această compusă sunt funcții diferite, pentru că au domenii diferite.

În ce ordine lucrează trei funcții compuse, $h \circ g \circ f$ ?

De la dreapta la stânga: întâi $f$ , apoi $g$ , la sfârșit $h$ . Pentru $f (x) = x + 1$ , $g (x) = 2 x$ și $h (x) = x^{2}$ , calculul în $1$ este $f (1) = 2$ , $g (2) = 4$ , $h (4) = 16$ . Parantezele pot fi grupate oricum, dar ordinea funcțiilor nu se schimbă.

Pot fi egale $f \circ g$ și $g \circ f$ pentru două funcții de gradul întâi?

Uneori, dar nu întotdeauna. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = x - 3$ avem $(f \circ g) (x) = 2 x - 5$ și $(g \circ f) (x) = 2 x - 2$ . Ecuația $2 x - 5 = 2 x - 2$ nu are soluții, deci cele două compuse nu sunt egale în niciun punct. Pentru $g (x) = 3 x + 2$ , în schimb, ambele compuse sunt egale cu $6 x + 5$ .

Oamenii mai întreabă și: domeniul compusei a două funcții · unde există funcția compusă · condiția de existență pentru g compus cu f · domeniul de definiție al funcției compuse