Operații cu funcții și compunerea funcțiilor (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un laborant cântărește sare de bucătărie, o transformă în număr de moli și abia apoi află concentrația soluției pe care o prepară. Fiecare pas este o funcție simplă, iar rezultatul unui pas devine intrarea pasului următor. Operația care leagă astfel două funcții se numește compunere și este tema acestei lecții de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține compunerea funcțiilor, cu exemple pe funcții numerice, la materia clasei a IX-a.

Produsul și câtul a două funcții le-ai întâlnit deja, citite pe grafic, în produsul a două funcții afine la M2 și în câtul a două funcții la M2; aici le recapitulăm pe scurt și trecem la compunere. Lecția imediat anterioară din traseu, dreapta și parabola la M2, a pus două funcții față în față pe același desen; acum le punem una după alta. Pasul următor, funcția inversă la M2, folosește compunerea ca să spună ce înseamnă „a întoarce” o funcție.

Ce vei învăța

Vei ști să formezi suma, diferența, produsul și câtul a două funcții și să scrii mulțimea pe care există fiecare.
Vei ști să calculezi compusa a două funcții, atât într-un număr, cât și ca formulă, înlocuind corect funcția interioară.
Vei ști să verifici pe exemple că ordinea în care compui schimbă rezultatul.
Vei ști să afli mulțimea pe care are sens o compusă când funcția exterioară conține un radical sau o fracție.
Vei ști să descompui o formulă în etape simple și să compui funcții date prin tabele sau grafice.
Vei ști să construiești lanțuri de conversii din științe, cu unitatea de măsură corectă la fiecare verigă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce funcții noi obținem din două funcții date?

Recapitulăm pe scurt: suma a două funcții este funcția care, în fiecare punct în care ambele sunt definite, adună cele două valori. La fel, prin operații făcute punct cu punct, se obțin diferența și produsul: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ , $(f - g) (x) = f (x) - g (x)$ , $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Aceste trei funcții există acolo unde există ambele valori, adică pe intersecția domeniilor. Câtul $\frac{f}{g}$ cere în plus ca numitorul să nu fie zero.

Pentru $u (x) = x - 7$ și $v (x) = 3 x + 2$ , definite pe $R$ , produsul este $(u \cdot v) (x) = (x - 7) (3 x + 2) = 3 x^{2} - 19 x - 14$ , pe tot $R$ . Câtul $\frac{u}{v}$ există numai unde $3 x + 2 \neq = 0$ , deci pe $R ∖ {- \frac{2}{3}}$ . Pe grafic, lecturile acestor operații au fost făcute în clasa a IX-a, la produsul a două funcții afine și la câtul a două funcții; de aici încolo ne interesează o operație care nu combină două valori în același punct, ci le înlănțuie.

2. Ce se întâmplă când rezultatul unei funcții devine intrarea alteia?

Laborantul din deschidere cântărește $m$ grame de clorură de sodiu. Masa molară a sării este $58, 5$ grame pe mol, deci cantitatea de substanță este $n = \frac{m}{58 , 5}$ moli. Sarea se dizolvă până la $0, 5$ litri de soluție, iar concentrația molară este $c = \frac{n}{0 , 5} = 2 n$ moli pe litru. Figura A arată lanțul.

Prima funcție duce masa în moli, a doua duce molii în concentrație. Concentrația depinde, în final, direct de masă: $c = 2 \cdot \frac{m}{58 , 5} = \frac{m}{29 , 25}$ . Am obținut o funcție nouă, care face dintr-o dată drumul celor două. Pentru $11, 7$ grame de sare, lanțul dă $0, 2$ moli și apoi $0, 4$ moli pe litru, iar formula directă dă același rezultat într-un singur pas.

Definiție. Fie $f : A \to B$ și $g : B \to C$ . Compusa funcțiilor $g$ și $f$ este funcția $g \circ f : A \to C$ , definită prin $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ pentru orice $x \in A$ . Se citește „ $g$ compus cu $f$ ” sau „ $g$ după $f$ ”.

Ordinea de lucru merge de la dreapta spre stânga: $f$ , scrisă lângă $x$ , acționează prima, iar $g$ primește rezultatul. Funcția $f$ se numește funcția interioară, iar $g$ funcția exterioară. Condiția ca valorile lui $f$ să cadă în domeniul lui $g$ este esențială: dacă $f$ scoate un număr pe care $g$ nu îl poate primi, compusa nu există în acel punct.

3. Ce scriem în locul variabilei când trecem de la valori la formulă?

Calculul într-un singur număr se face pe verigi: calculezi valoarea interioară, apoi o introduci în funcția exterioară. Pentru formula generală, faci același lucru cu litere: scrii formula lui $g$ și pui în locul fiecărei apariții a variabilei întreaga expresie a lui $f (x)$ , între paranteze.

Pentru $f (x) = 2 x + 7$ și $g (x) = x^{2} - 5$ obținem $(g \circ f) (x) = g (2 x + 7) = (2 x + 7)^{2} - 5 = 4 x^{2} + 28 x + 44$ . Formula se controlează într-un număr, pe verigi: în $x = - 3$ , funcția interioară dă $1$ , iar exterioara dă $1 - 5 = - 4$ ; formula dă $36 - 84 + 44 = - 4$ . Controlul acesta prinde aproape orice greșeală de calcul și costă zece secunde.

Parantezele nu sunt o formalitate. Fără ele, expresia $2 x + 7^{2}$ ar ridica la pătrat doar pe $7$ , iar rezultatul ar fi altă funcție. Regula practică: întâi scrii $g (\dots)$ cu locul gol, apoi completezi locul cu paranteza întreagă.

4. Ce dau două lanțuri cu aceleași verigi, așezate în ordini diferite?

Luăm $s (x) = 2 x$ și $t (x) = x^{3}$ . Dacă dublăm întâi și ridicăm apoi la cub, obținem $(t \circ s) (x) = (2 x)^{3} = 8 x^{3}$ . Dacă ridicăm întâi la cub și dublăm apoi, obținem $(s \circ t) (x) = 2 x^{3}$ . În $x = 1$ , prima dă $8$ , a doua dă $2$ : sunt funcții diferite. Compunerea nu este comutativă: în general, $g \circ f$ și $f \circ g$ sunt funcții diferite, iar uneori una dintre ele nici nu există. Se întâmplă ca, pentru anumite perechi de funcții, cele două ordini să dea aceeași formulă; asta se află numai prin calcul, niciodată din aspectul formulelor.

Gruparea, în schimb, nu contează: pentru trei funcții, $(h \circ g) \circ f$ și $h \circ (g \circ f)$ calculează aceleași trei operații, în aceeași ordine, deci compunerea este asociativă și scriem simplu $h \circ g \circ f$ . Contează numai ordinea în care funcțiile stau în lanț. În practică, asociativitatea îți permite să calculezi un lanț lung pe bucăți, în ce grupare îți convine: poți compune întâi primele două verigi sau ultimele două, rezultatul final este același.

5. Ce intrări elimină un radical sau o fracție aflate la exterior?

Dacă funcția exterioară acceptă orice număr real, compusa există peste tot unde există funcția interioară. Situația se schimbă când exterioara are restricții. Pentru $g (t) = t$ , cu $t \geq 0$ , și $f (x) = 8 - 2 x$ , compusa $(g \circ f) (x) = 8 - 2 x$ cere $8 - 2 x \geq 0$ , adică $x \leq 4$ . Pentru $k (t) = \frac{4}{t}$ , cu $t \neq = 0$ , și $p (x) = x^{2} - 9$ , compusa $\frac{4}{x ^{2} - 9}$ cere $x^{2} \neq = 9$ , adică $x \in / {- 3, 3}$ .

Regula este una singură: domeniul compusei este format din acele $x$ din domeniul funcției interioare pentru care $f (x)$ se află în domeniul funcției exterioare. Condiția se scrie ca inecuație sau ca excludere de valori, exact ca la domeniul funcției cu radical la M2. Când compusa trebuie definită pe o mulțime mai mică decât domeniul lui $f$ , lucrăm de fapt cu o restricție a lui $f$ , noțiune descrisă în lecția M2 despre restricții și imagine.

6. Cum recunoaștem într-o formulă funcțiile care au fost compuse?

Drumul invers se numește descompunere: pornești de la o formulă și cauți ordinea operațiilor făcute asupra lui $x$ . Prima operație formează funcția interioară, ultima dă funcția exterioară. În $h (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , asupra lui $x$ calculezi întâi $x^{2} + 2 x + 10$ , abia apoi radicalul. Deci $h = g \circ f$ , cu $f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ și $g (t) = t$ .

Descompunerea nu este unică, dar trebuie să fie corectă: compunând la loc piesele, regăsești formula inițială. Este o unealtă de lucru: o formulă lungă devine două formule scurte, fiecare cu proprietăți pe care le cunoști deja. În clasele următoare, la derivate și la integrale, această privire asupra formulei va fi folosită des.

7. Cum compunem funcții date prin tabele sau prin grafice?

În laborator funcțiile vin adesea ca tabele de măsurători sau ca grafice, nu ca formule. Compunerea funcționează la fel: citești valoarea interioară din primul tabel, apoi o cauți ca intrare în al doilea. Dacă valoarea citită nu apare printre intrările celui de-al doilea tabel, compusa nu este definită în acel punct.

Pe grafic, citirea se face în doi pași: de pe graficul lui $f$ afli ordonata corespunzătoare lui $x$ , apoi pui acea ordonată pe axa orizontală a graficului lui $g$ și citești din nou. Rezultatul se confirmă prin calcul ori de câte ori formulele sunt cunoscute. La tabele, merită să scrii compusa tot ca tabel, cu o coloană pentru fiecare intrare: vezi dintr-o privire ce intrări lipsesc și ce valori se repetă.

8. Ce verigă poate lipsi dintr-un lanț fără să schimbe rezultatul?

Pentru o mulțime $A$ , funcția identică $1_{A} : A \to A$ , $1_{A} (x) = x$ , lasă orice element pe loc. Compunerea cu ea nu schimbă nimic: $f \circ 1_{A} = f$ și $1_{B} \circ f = f$ , pentru orice $f : A \to B$ . Rolul ei seamănă cu al numărului $1$ la înmulțire. Rămâne o întrebare firească: pentru o funcție dată, există o altă funcție care, compusă cu prima, dă chiar funcția identică? Răspunsul îl dă lecția următoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Compunere citită din două tabele

Funcțiile $f : {1, 2, 3, 4} \to {2, 3, 5}$ și $g : {2, 3, 5, 7} \to R$ sunt date prin tabele.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$3$	$5$	$2$	$5$

$x$	$2$	$3$	$5$	$7$
$g (x)$	$10$	$0$	$- 1$	$4$

Completează tabelul funcției $g \circ f$ . Pentru ce intrări are sens $f \circ g$ ?

Rezolvare. Toate valorile lui $f$ sunt printre intrările lui $g$ , deci $g \circ f$ există pe ${1, 2, 3, 4}$ . Citim pe verigi: $f (1) = 3$ și $g (3) = 0$ ; $f (2) = 5$ și $g (5) = - 1$ ; $f (3) = 2$ și $g (2) = 10$ ; $f (4) = 5$ și $g (5) = - 1$ . Tabelul compusei are valorile $0$ , $- 1$ , $10$ , $- 1$ .

Pentru $f \circ g$ , valoarea lui $g$ trebuie să fie o intrare a lui $f$ , adică unul dintre numerele $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Dintre valorile $10$ , $0$ , $- 1$ , $4$ ale lui $g$ , numai $4$ este intrare pentru $f$ , și se obține din $7$ . Deci $f \circ g$ are sens doar pentru intrarea $7$ , unde $f (4) = 5$ . Cele două compuse nici măcar nu au aceeași mulțime de definiție. Tabelul lui $g \circ f$ se citește ca orice tabel: aceeași valoare, $- 1$ , apare de două ori, fiindcă $f$ trimite două intrări diferite în același număr.

Exemplul 2 — Ambele compuse ale unei perechi

Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x$ și $g (x) = 4 x - 1$ . Determină formulele funcțiilor $g \circ f$ și $f \circ g$ și compară-le în $x = 0$ .

Rezolvare. Pentru $g \circ f$ , funcția interioară este $f$ : $(g \circ f) (x) = 4 (x^{2} - 3 x) - 1 = 4 x^{2} - 12 x - 1$ . Pentru $f \circ g$ , înlocuim fiecare $x$ din formula lui $f$ cu $4 x - 1$ : $(f \circ g) (x) = (4 x - 1)^{2} - 3 (4 x - 1) = 16 x^{2} - 8 x + 1 - 12 x + 3 = 16 x^{2} - 20 x + 4$ .

Control în $x = 2$ pe verigi: $f (2) = - 2$ și $g (- 2) = - 9$ , iar formula dă $16 - 24 - 1 = - 9$ . În $x = 0$ compusele dau $- 1$ și $4$ . Coeficienții lui $x^{2}$ spun deja mult: $4$ la prima, $16$ la a doua, fiindcă în $f \circ g$ ridicăm la pătrat o expresie care îl conține pe $4 x$ . Un control rapid al gradului: compunerea unei funcții de gradul al doilea cu una de gradul întâi dă, în ambele ordini, tot o funcție de gradul al doilea.

Exemplul 3 — Domeniul fiecărei compuse cu radicalul

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 11 - 2 x$ , și $g : [0, + \infty) \to R$ , $g (t) = t$ . Scrie formulele lui $g \circ f$ și $f \circ g$ și mulțimile pe care există.

Rezolvare. Pentru $g \circ f$ , radicalul primește $11 - 2 x$ , care trebuie să fie nenegativ: $11 - 2 x \geq 0$ , adică $x \leq \frac{11}{2}$ . Deci $(g \circ f) (x) = 11 - 2 x$ , definită pe $(- \infty, \frac{11}{2}]$ . Figura B arată graficul: el se oprește în punctul plin $(5, 5; 0)$ și nu există la dreapta lui.

Pentru $f \circ g$ , funcția interioară este radicalul, care există numai pentru $x \geq 0$ , iar $f$ acceptă orice număr. Deci $(f \circ g) (x) = 11 - 2 x$ , definită pe $[0, + \infty)$ . În $x = 4$ obținem $11 - 4 = 7$ , iar în $x = 0$ obținem $11$ . Aceleași două funcții produc două compuse cu domenii „opuse”: una merge spre stânga de la $5, 5$ , cealaltă spre dreapta de la $0$ .

Exemplul 4 — Doza unui sirop, ca funcție compusă

Pentru un copil, doza recomandată dintr-un medicament antitermic este de $15$ miligrame pe kilogram de masă corporală, pentru mase între $10$ și $40$ de kilograme. Siropul conține $120$ de miligrame de substanță activă în $5$ mililitri. Scrie volumul de sirop în funcție de masa copilului și calculează-l pentru $16$ kilograme.

Rezolvare. Prima funcție duce masa în doză: $d (m) = 15 m$ miligrame, pentru $m \in [10; 40]$ . Concentrația siropului este $120 : 5 = 24$ de miligrame pe mililitru, deci a doua funcție duce doza în volum: $v (d) = \frac{d}{24}$ mililitri. Volumul în funcție de masă este compusa $v \circ d$ : $(v \circ d) (m) = \frac{15 m}{24} = \frac{5 m}{8}$ mililitri.

Pentru $m = 16$ obținem $(v \circ d) (16) = 10$ mililitri, adică două lingurițe de câte $5$ mililitri. La capetele intervalului volumele sunt $6, 25$ mililitri și $25$ de mililitri. Unitățile se potrivesc pe lanț: kilogramele intră în $d$ , miligramele ies din $d$ și intră în $v$ , mililitrii ies la final. Dacă unitatea de la ieșirea unei verigi nu este cea cerută la intrarea următoarei, compunerea dă un număr fără sens fizic. Exemplul arată doar calculul; doza unui medicament se stabilește de medic.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: substituția făcută pe jumătate

Pentru $f (x) = x + 3$ și $g (x) = x^{2} - 5 x$ , un elev scrie: „ $(g \circ f) (x) = (x + 3)^{2} - 5 x = x^{2} + x + 9$ ”. Unde greșește? Scrie formula corectă și confirm-o într-un număr.

Rezolvare. Elevul a înlocuit variabila doar în primul termen al lui $g$ . În formula lui $g$ variabila apare de două ori, iar amândouă aparițiile trebuie înlocuite cu $x + 3$ : $(g \circ f) (x) = (x + 3)^{2} - 5 (x + 3) = x^{2} + 6 x + 9 - 5 x - 15 = x^{2} + x - 6$ .

Control în $x = 1$ pe verigi: $f (1) = 4$ și $g (4) = 16 - 20 = - 4$ . Formula corectă dă $1 + 1 - 6 = - 4$ , iar formula elevului dă $11$ . O singură valoare calculată pe verigi a fost suficientă ca să arate că rezultatul lui nu este compusa. Un test bun se face într-un număr ales astfel încât termenii să nu se anuleze întâmplător; valorile $0$ și $1$ sunt comode, dar uneori ascund greșeala.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6$ și $g (x) = x + 2$ . Calculați $(f \circ g) (1)$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $(g \circ f) (a) = f (a + 1)$ .

Rezolvare. Avem $g (1) = 3$ , deci $(f \circ g) (1) = f (3) = 9 - 6 = 3$ . Pentru a doua cerință, $(g \circ f) (a) = g (a^{2} - 6) = a^{2} - 6 + 2 = a^{2} - 4$ , iar $f (a + 1) = (a + 1)^{2} - 6 = a^{2} + 2 a - 5$ . Egalitatea $a^{2} - 4 = a^{2} + 2 a - 5$ devine $2 a = 1$ , deci $a = \frac{1}{2}$ .

Control: pentru $a = \frac{1}{2}$ , $(g \circ f) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 4 = - \frac{15}{4}$ , iar $f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = - \frac{15}{4}$ . Enunțul este un antrenament propriu, nu un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare compusă, controlează rezultatul într-un număr, calculând pe verigi. La contexte, scrie unitatea de măsură la fiecare pas.

1. Funcția $f : {0, 1, 2} \to {1, 4, 6}$ are valorile $f (0) = 4$ , $f (1) = 6$ , $f (2) = 1$ , iar compusa $g \circ f$ are valorile $(g \circ f) (0) = 7$ , $(g \circ f) (1) = 3$ , $(g \circ f) (2) = - 2$ . Află valorile $g (1)$ , $g (4)$ și $g (6)$ .

2. Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 5 - x$ și $g (x) = x^{2} + x$ . Calculează $(g \circ f) (3)$ și $(f \circ g) (3)$ , pe verigi.

3. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ . Scrie formula funcției $f \circ f$ și calculează $(f \circ f) (- 1)$ în două feluri: pe verigi și cu formula.

4. Fie $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , și $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ , pentru $t \neq = 3$ . Scrie formula funcției $g \circ f$ , mulțimea pe care există și calculează $(g \circ f) (16)$ .

5. Fie $f (x) = a x + 6$ , cu $a$ număr real nenul, și $g (t) = t$ , pentru $t \geq 0$ . Determină $a$ știind că $g \circ f$ există exact pe intervalul $(- \infty, 3]$ .

6. Scrie fiecare funcție ca $g \circ f$ , cu $f$ și $g$ mai simple, și precizează care este funcția interioară: $h_{1} (x) = (4 x - 3)^{5}$ și $h_{2} (x) = \frac{3}{2 x - 7}$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - x$ și $g (x) = 2 x$ , avem $(f \circ g) (0) = (g \circ f) (0)$ ; prin urmare, funcțiile $f \circ g$ și $g \circ f$ sunt egale.

8. Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 8$ și $g (x) = x^{2} + 3$ . Arată că $(f \circ g) (x) \geq - 2$ , pentru orice număr real $x$ , și precizează pentru ce $x$ are loc egalitatea.

9. Figura C arată graficul funcției $f$ , o dreaptă, și graficul funcției $g$ , o parabolă, cu punctele de coordonate întregi marcate. Citește pe figură $(g \circ f) (0)$ , $(g \circ f) (2)$ și $(f \circ g) (1)$ , apoi scrie formulele lui $f$ și $g$ din punctele marcate și confirmă cele trei valori prin calcul.

10. (Problemă aplicată.) Lungimea unui pește de crescătorie crește aproximativ după $L (t) = 4 t + 6$ centimetri, unde $t \in [0; 5]$ este vârsta în ani, iar masa lui, în grame, este $M (L) = 0, 01 L^{3}$ . Scrie masa în funcție de vârstă și calculează masa la $1$ an și la $4$ ani. De câte ori crește masa între aceste vârste, în timp ce lungimea nici nu se triplează?

11. Pe un cântar de laborator, un pahar gol cântărește $0, 25$ kilograme. Funcția $t (x) = x - 0, 25$ scade tara, $k (x) = 1000 x$ transformă kilogramele în grame, iar $n (x) = \frac{x}{342}$ dă numărul de moli de zahăr dintr-o masă de $x$ grame, fiindcă masa molară a zaharului este $342$ de grame pe mol. Paharul cu zahăr arată $0, 934$ kilograme. Calculează $(n \circ k \circ t) (0, 934)$ pe verigi și scrie unitatea de măsură după fiecare verigă.

12. Fie $f (x) = a x + 1$ și $g (x) = x^{2}$ , cu $a$ număr real. Determină valorile lui $a$ pentru care $(g \circ f) (2) = 25$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 1$ și $g (x) = 2 x - 5$ . Determinați abscisa punctului în care graficul funcției $f \circ g$ intersectează axa $O x$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g (x) = 7 - x$ . Arătați că $(f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 5$ , pentru orice număr real $x$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x - 1$ și $g (x) = x^{2} + 2 x$ . Calculați $(f \circ f) (3) + (g \circ g) (- 1)$ .

16. Fie $u (x) = \frac{1}{x - 3}$ , pentru $x \neq = 3$ , și $w (t) = t^{2}$ . Scrie formula funcției $w \circ u$ , precizează valoarea exclusă și arată că $(w \circ u) (x) > 0$ pentru orice $x$ din domeniu.

17. Scrie funcția $h : [0, + \infty) \to R$ , $h (x) = (x + 4)^{2}$ , ca o compunere de trei funcții simple și calculează $h (9)$ parcurgând cele trei verigi.

18. (Provocare.) Determină toate funcțiile de forma $f (x) = a x + b$ pentru care $(f \circ f) (x) = 9 x - 8$ , pentru orice număr real $x$ .

Răspunsuri și explicații

1. Din $(g \circ f) (0) = g (f (0)) = g (4)$ rezultă $g (4) = 7$ . La fel, $g (6) = (g \circ f) (1) = 3$ și $g (1) = (g \circ f) (2) = - 2$ . Am citit compusa pe verigi, dar în sens invers: valoarea interioară ne-a spus în ce intrare a lui $g$ ne aflăm.

2. $f (3) = 2$ și $g (2) = 4 + 2 = 6$ , deci $(g \circ f) (3) = 6$ . Apoi $g (3) = 9 + 3 = 12$ și $f (12) = 5 - 12 = - 7$ , deci $(f \circ g) (3) = - 7$ .

3. $(f \circ f) (x) = (x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{4} + 2 x^{2} + 2$ . Pe verigi: $f (- 1) = 2$ și $f (2) = 5$ , deci $(f \circ f) (- 1) = 5$ ; cu formula, $1 + 2 + 2 = 5$ . Compusa unei funcții de gradul al doilea cu ea însăși are gradul patru.

4. $(g \circ f) (x) = \frac{1}{x - 3}$ . Radicalul cere $x \geq 0$ , iar funcția exterioară cere $x \neq = 3$ , adică $x \neq = 9$ . Compusa există pe $[0, 9) \cup (9, + \infty)$ . Apoi $f (16) = 4$ și $g (4) = 1$ , deci $(g \circ f) (16) = 1$ .

5. Compusa $a x + 6$ cere $a x + 6 \geq 0$ . Ca soluțiile să formeze un interval de forma $(- \infty, 3]$ , trebuie $a < 0$ , iar atunci condiția devine $x \leq - \frac{6}{a}$ . Din $- \frac{6}{a} = 3$ rezultă $a = - 2$ . Control: $- 2 x + 6 \geq 0$ exact pentru $x \leq 3$ .

6. $h_{1} = g \circ f$ cu $f (x) = 4 x - 3$ , funcția interioară, și $g (t) = t^{5}$ . $h_{2} = q \circ p$ cu $p (x) = 2 x - 7$ , funcția interioară, și $q (t) = \frac{3}{t}$ , pentru $t \neq = 0$ . În ambele cazuri, prima operație făcută asupra lui $x$ este cea de gradul întâi.

7. Fals. Prima parte este adevărată: $g (0) = 0$ și $f (0) = 0$ , iar $f (0) = 0$ și $g (0) = 0$ , deci ambele compuse valorează $0$ în $0$ . Concluzia însă nu rezultă: $(f \circ g) (x) = 4 x^{2} - 2 x$ și $(g \circ f) (x) = 2 x^{2} - 2 x$ , iar în $x = 1$ ele dau $2$ și $0$ . O egalitate într-un singur punct nu face două funcții egale.

8. $(f \circ g) (x) = 2 (x^{2} + 3) - 8 = 2 x^{2} - 2$ . Cum $x^{2} \geq 0$ , avem $2 x^{2} - 2 \geq - 2$ , cu egalitate doar pentru $x = 0$ . Control: $g (0) = 3$ și $f (3) = - 2$ .

9. Pe figură, dreapta trece prin $(0; - 1)$ și $(1; 1)$ , deci $f (x) = 2 x - 1$ ; parabola are vârful în $(1; - 3)$ și trece prin $(0; - 2)$ , deci $g (x) = x^{2} - 2 x - 2$ . Citirile: $f (0) = - 1$ și $g (- 1) = 1$ , deci $(g \circ f) (0) = 1$ ; $f (2) = 3$ și $g (3) = 1$ , deci $(g \circ f) (2) = 1$ ; $g (1) = - 3$ și $f (- 3) = - 7$ , deci $(f \circ g) (1) = - 7$ . Calculul confirmă: $(g \circ f) (x) = (2 x - 1)^{2} - 2 (2 x - 1) - 2 = 4 x^{2} - 8 x + 1$ , cu valoarea $1$ în $0$ și în $2$ .

10. $(M \circ L) (t) = 0, 01 (4 t + 6)^{3}$ grame. La $1$ an lungimea este $10$ centimetri și masa $0, 01 \cdot 1000 = 10$ grame. La $4$ ani lungimea este $22$ de centimetri și masa $0, 01 \cdot 10648 = 106, 48$ grame. Masa crește de $10, 648$ ori, în timp ce lungimea crește de $2, 2$ ori: masa urmează cubul lungimii.

11. Prima verigă: $t (0, 934) = 0, 684$ kilograme de zahăr. A doua: $k (0, 684) = 684$ de grame. A treia: $n (684) = \frac{684}{342} = 2$ moli. Deci $(n \circ k \circ t) (0, 934) = 2$ moli. Fiecare verigă primește exact unitatea pe care o produce cea dinainte: kilograme, apoi grame, apoi moli.

12. $f (2) = 2 a + 1$ , deci $(g \circ f) (2) = (2 a + 1)^{2}$ . Ecuația $(2 a + 1)^{2} = 25$ dă $2 a + 1 = 5$ sau $2 a + 1 = - 5$ , adică $a = 2$ sau $a = - 3$ . Control pentru $a = - 3$ : $f (2) = - 5$ și $(- 5)^{2} = 25$ .

13. $(f \circ g) (x) = 3 (2 x - 5) + 1 = 6 x - 14$ . Graficul taie axa $O x$ unde $6 x - 14 = 0$ , adică $x = \frac{7}{3}$ . Control: $g (\frac{7}{3}) = - \frac{1}{3}$ și $f (- \frac{1}{3}) = 0$ .

14. $(f \circ g) (x) = 2 (7 - x) - 1 = 13 - 2 x$ și $(g \circ f) (x) = 7 - (2 x - 1) = 8 - 2 x$ . Diferența este $13 - 2 x - (8 - 2 x) = 5$ , pentru orice număr real $x$ .

15. $f (3) = 2$ și $f (2) = 1$ , deci $(f \circ f) (3) = 1$ . Apoi $g (- 1) = 1 - 2 = - 1$ , deci $(g \circ g) (- 1) = g (- 1) = - 1$ . Suma este $1 + (- 1) = 0$ .

16. $(w \circ u) (x) = \frac{1}{( x - 3 ) ^{2}}$ , cu $x \neq = 3$ , valoare exclusă de funcția interioară. Pentru $x \neq = 3$ , numitorul $(x - 3)^{2}$ este strict pozitiv, deci fracția este strict pozitivă.

17. $h = r \circ q \circ p$ , cu $p (x) = x$ , $q (t) = t + 4$ și $r (t) = t^{2}$ . Pentru $x = 9$ : $p (9) = 3$ , $q (3) = 7$ , $r (7) = 49$ , deci $h (9) = 49$ .

18. $(f \circ f) (x) = a (a x + b) + b = a^{2} x + ab + b$ . Identificând coeficienții cu $9 x - 8$ : $a^{2} = 9$ și $b (a + 1) = - 8$ . Pentru $a = 3$ rezultă $4 b = - 8$ , deci $b = - 2$ și $f (x) = 3 x - 2$ . Pentru $a = - 3$ rezultă $- 2 b = - 8$ , deci $b = 4$ și $f (x) = - 3 x + 4$ . Control: $3 (3 x - 2) - 2 = 9 x - 8$ și $- 3 (- 3 x + 4) + 4 = 9 x - 8$ .

De reținut

Adunarea, scăderea și înmulțirea a două funcții se calculează punct cu punct, pe mulțimea comună a domeniilor; câtul cere în plus numitor nenul.
$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ : $f$ este funcția interioară și acționează prima, iar formula se obține înlocuind fiecare apariție a variabilei din $g$ cu $f (x)$ , între paranteze.
Compunerea nu este comutativă, dar este asociativă; funcția identică nu schimbă nimic la compunere.
Domeniul compusei conține acele $x$ pentru care $f (x)$ cade în domeniul funcției exterioare; radicalul și fracția exterioare aduc inecuații sau excluderi de valori.
Într-un lanț de conversii, unitatea de la ieșirea unei verigi trebuie să fie unitatea cerută la intrarea următoarei.

Greșeli frecvente

Simplifici compusa și pierzi restricția. Pentru $g (t) = t^{2}$ și $f (x) = x - 1$ , formula $(g \circ f) (x)$ se simplifică la $x - 1$ , dar compusa există numai pentru $x \geq 1$ . O formulă simplificată nu șterge condiția venită din funcția interioară.
Pui o temperatură în grade Celsius într-o lege scrisă pentru kelvini. Legile gazelor cer temperatura absolută; înainte de ele trebuie o verigă de conversie. Fără ea, lanțul dă rezultate absurde, chiar dacă fiecare formulă e corectă.
Inversezi rolurile la descompunere. În $x^{2} + 2 x + 10$ , unii elevi numesc radicalul funcție interioară, fiindcă se scrie primul. Interioară este operația făcută prima asupra lui $x$ , nu simbolul din stânga.
Rotunjești rezultatul unei verigi înainte să treci la următoarea. Într-un lanț cu împărțiri, o rotunjire timpurie se propagă și se amplifică. Păstrează fracțiile exacte până la final și rotunjește o singură dată.
Uiți parantezele când înlocuiești. Pentru $g (x) = 5 - x^{2}$ , valoarea $g (x + 2)$ este $5 - (x + 2)^{2}$ , nu $5 - x + 2^{2}$ . Fără paranteze, minusul și pătratul se aplică doar unei părți din expresie.

Aplică acasă

Deschide o foaie de calcul, în Google Sheets sau Excel, și pune în coloana A numerele de la $- 3$ la $5$ . În coloana B calculează $2 x + 1$ din A, în coloana C calculează pătratul lui B, iar în coloana D scrie direct formula $(2 x + 1)^{2}$ din A. Compară coloanele C și D, apoi schimbă ordinea verigilor și observă ce se modifică.
Numără pașii pe care îi faci într-un minut de mers obișnuit și măsoară cu ruleta lungimea medie a pasului. Scrie funcția care duce minutele în pași și funcția care duce pașii în metri, compune-le și estimează distanța până la școală după timpul de mers. Verifică estimarea cu o aplicație de hărți.
Pregătește un pahar de suc diluat din sirop concentrat: notează volumul de sirop, volumul final și concentrația de zahăr scrisă pe etichetă. Scrie concentrația din pahar ca funcție de volumul de sirop, trecând prin masa de zahăr dizolvat, și calculeaz-o pentru două diluții diferite.

Pentru părinți și profesori

Lecția pune compunerea în centru și tratează suma, produsul și câtul ca recapitulare, fiindcă ele au fost citite pe grafic în clasa a IX-a. Gestul de verificat la fiecare elev este controlul pe verigi: calculezi valoarea interioară, o introduci în funcția exterioară și compari cu formula obținută. Un elev care face acest control din reflex nu mai confundă ordinea și nu mai pierde termeni la substituție.

Merită lucrat cel puțin un lanț de conversii din fizică, chimie sau biologie, cu unitatea scrisă la fiecare verigă: acolo se vede că ordinea compunerii are un sens concret, nu doar unul formal. Tabelele și graficele merită și ele timp: un elev care compune corect două funcții date doar prin valori a înțeles definiția, nu doar tehnica de substituție. Rezultatele despre felul în care monotonia sau alte proprietăți trec prin compunere nu fac parte din această lecție; ele țin de suplimentul pentru examen, unde apar demonstrațiile.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul X.3 „Funcții” numește „Compunerea funcțiilor; funcție inversabilă: definiție”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține „Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice” la materia clasei a IX-a; programa nu spune la ce subiect al probei se evaluează fiecare conținut. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința a doua, două funcții de gradul întâi și o egalitate între valorile lor, fără compunere.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: operații cu funcții și compunerea funcțiilor. Pentru domeniul unei funcții cu radical, revedeți domeniul funcției cu radical la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre compunere?

Varianta M2 pornește de la lanțuri de conversii din științe și de la funcții date prin tabele sau grafice, cu controlul pe verigi la fiecare pas. Nu demonstrează ce proprietăți se transmit prin compunere și nu lucrează cu funcții definite pe ramuri sau cu module. În schimb, insistă pe domeniul compusei când apar radicali și fracții și pe unitățile de măsură.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 poate apărea compunerea funcțiilor?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 trece compunerea la materia clasei a IX-a, fără să precizeze subiectul la care se evaluează. În modelul publicat pentru 2026, cerința a doua de la Subiectul I lucrează cu două funcții de gradul întâi, fără compunere. Pentru proba MAT_P2 din 2030, compunerea stă în domeniul „Algebră”, la capitolul de funcții al clasei a X-a.

De ce contează unitățile de măsură când compun două formule din științe?

Fiecare formulă din fizică sau chimie a fost scrisă pentru o anumită unitate de intrare. Când compui, ieșirea primei formule devine intrarea celei de-a doua, deci unitatea ei trebuie să fie exact cea așteptată. Dacă nu este, lanțul are nevoie de o verigă de conversie. Altfel obții un număr corect aritmetic, dar fără sens fizic.

Pot compune o funcție cu ea însăși și ce înseamnă asta?

Da, dacă valorile funcției rămân în domeniul ei. Compusa $f \circ f$ înseamnă aplicarea aceleiași transformări de două ori la rând, ca două diluții identice sau două filtre identice puse unul după altul. Formula se obține la fel: în formula lui $f$ pui, în locul variabilei, chiar expresia lui $f (x)$ , între paranteze.

Se poate compune o funcție dată printr-un tabel cu una dată prin formulă?

Da. Citești valoarea din tabel și o introduci în formulă, sau calculezi cu formula și cauți rezultatul în tabel, după ordinea cerută. Singura condiție este cea de la orice compunere: valoarea obținută la prima verigă trebuie să fie o intrare permisă pentru a doua. La un tabel, asta înseamnă că numărul trebuie să apară printre intrările lui.

Cum aleg funcția interioară când descompun o formulă?

Urmărești ce se întâmplă cu $x$ dacă ai calcula formula pe calculator, pas cu pas. Prima operație făcută asupra lui $x$ formează funcția interioară, ultima formează funcția exterioară. Verifici alegerea compunând la loc piesele: trebuie să regăsești exact formula de la început, cu același domeniu.