Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă:

$$\lVert\vec{u}\rVert=\lVert\vec{v}\rVert$$

Din $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$$ rezultă că triunghiul $$ABC$$ este dreptunghic în:

nu se poate spune fără lungimi

Cum arată pantele a două drepte perpendiculare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Perpendicularitate și teorema cosinusului

Două drepte neverticale sunt perpendiculare exact când produsul pantelor lor este $- 1$ : $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ . Altfel spus, panta perpendicularei se obține întorcând fracția și schimbând semnul. Pentru $d : y = 3 x - 2$ , orice perpendiculară are panta $- \frac{1}{3}$ ; cea care trece prin $(0, 4)$ este $y = - \frac{1}{3} x + 4$ . Control: $3 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 1$ . O dreaptă verticală nu are pantă și este perpendiculară pe orice dreaptă orizontală.

Criteriul. Doi vectori nenuli stau perpendicular exact când produsul lor scalar se anulează: lungimile fiind pozitive, cosinusul rămâne singurul factor care poate da zero, iar el o face doar la $9 0^{\circ}$ . De aici o verificare obligatorie în problemele cu parametru — valoarea găsită nu are voie să anuleze vreunul dintre vectori, pentru că atunci produsul iese zero fără să existe vreun unghi drept.

Vârful comun ține unghiul drept. Egalitatea $A B \cdot B C = 0$ spune că triunghiul este dreptunghic în $B$ , nu în $A$ ; caută litera repetată, încercuiește-o pe ciornă și abia apoi scrie concluzia.

Ca să dovedești o perpendicularitate într-o figură, exprimi cele două segmente prin vectorii de bază, desfaci parantezele și arăți că produsul scalar este nul. Desenul te orientează, dovada o dă calculul.

Teorema cosinusului vine dintr-un singur pătrat scalar: pornind de la $B C = A C - A B$ obții $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos A$ , fără să desparți cazuri după felul unghiului. Pitagora apare când $cos A = 0$ , adică atunci când al treilea termen se stinge.

La drepte neverticale criteriul se mută pe pante: $d_{1} ⊥ d_{2}$ tocmai când $m_{1} m_{2} = - 1$ , panta perpendicularei fiind răsturnata cu semn schimbat. Ai un produs, nu o sumă, iar controlul durează o secundă: înmulțești pantele și trebuie să-ți iasă exact $- 1$ .

A rezolva un triunghi cere aflarea tuturor celor șase mărimi ale sale: cele trei laturi, împreună cu cele trei unghiuri.

De reținut

$d_{1} ⊥ d_{2}$ exact când $m_{1} m_{2} = - 1$ (drepte neverticale)
$u ⊥ v$ exact când $u \cdot v = 0$ , pentru vectori nenuli
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; la $A = 9 0^{\circ}$ rămâne Pitagora

Greșeala tipică

Se scrie condiția de perpendicularitate ca $m_{1} + m_{2} = 0$ sau $m_{1} = - m_{2}$ ; corect este produsul pantelor egal cu $- 1$ , de exemplu $2$ și $- \frac{1}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă:
- a) $u \cdot v = 0$
- b) $u \cdot v = 1$
- c) $∥ u ∥ = ∥ v ∥$
- d) $u = - v$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $u \cdot v = 0$

Din $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ și lungimi nenule, produsul se anulează exact când $cos θ = 0$ , adică la $θ = 9 0^{\circ}$ . Varianta d) descrie vectori coliniari de sensuri contrare, deci unghi de $18 0^{\circ}$ .
Din $A B \cdot B C = 0$ rezultă că triunghiul $A B C$ este dreptunghic în:
- a) $A$
- b) $B$
- c) $C$
- d) nu se poate spune fără lungimi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $B$

Unghiul drept este în vârful comun celor două segmente, adică litera care se repetă: $B$ . Varianta a) apare din reflexul de a citi prima literă scrisă.
Teorema lui Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului în care:
- a) $cos A = 1$
- b) $cos A = 0$
- c) $cos A = - 1$
- d) cele două laturi sunt egale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $cos A = 0$

În $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , termenul al treilea dispare exact când $cos A = 0$ , adică la $A = 9 0^{\circ}$ ; rămâne $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Teorema cosinusului acoperă deci și cazurile în care unghiul nu e drept.

Întrebări conexe

Pentru ce $m$ este $2 a + 3 b$ perpendicular pe $m a - b$ ?

Fie $a ⊥ b$ , ambii de modul $1$ . Produsul scalar este $2 m a \cdot a - 2 a \cdot b + 3 m b \cdot a - 3 b \cdot b = 2 m - 3$ , pentru că $a \cdot b = 0$ și pătratele scalare sunt $1$ . Din $2 m - 3 = 0$ rezultă $m = \frac{3}{2}$ . Mai verifici că pentru această valoare niciunul dintre vectori nu devine nul, altfel perpendicularitatea n-ar avea sens.

De ce diagonalele unui romb sunt perpendiculare?

În rombul $A B C D$ , $A C = A B + A D$ și $B D = A D - A B$ . Produsul lor scalar este $A D^{2} - A B^{2}$ , care se anulează pentru că laturile rombului sunt egale. Deci diagonalele rombului sunt perpendiculare, fără niciun desen și fără congruențe de triunghiuri. La un dreptunghi care nu e pătrat, aceeași diferență nu se anulează.

Cum recunosc cu teorema cosinusului un triunghi obtuzunghic?

Compari pătratul laturii celei mai lungi cu suma pătratelor celorlalte două. La laturile $4$ , $5$ și $7$ : $49 > 16 + 25 = 41$ , deci unghiul opus laturii de $7$ este obtuz. Cosinusul lui este $\frac{16 + 25 - 49}{2 \cdot 4 \cdot 5} = - 0, 2$ , un număr negativ.

Ce unghi are triunghiul cu laturile $3$ , $5$ și $7$ , opus laturii de $7$ ?

Teorema cosinusului dă $49 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos α$ , adică $30 cos α = - 15$ . Rezultă $cos α = - \frac{1}{2}$ , deci unghiul are $12 0^{\circ}$ . Rezultatul negativ al cosinusului arată de la început că unghiul este obtuz, deci triunghiul are un unghi mai mare de $9 0^{\circ}$ .

Pentru ce $m$ sunt perpendiculare dreptele $y = m x + 1$ și $y = (m + 2) x - 3$ ?

Pui condiția $m (m + 2) = - 1$ , adică $m^{2} + 2 m + 1 = 0$ , deci $(m + 1)^{2} = 0$ și $m = - 1$ . Pantele devin $- 1$ și $1$ , iar produsul lor este $- 1$ , cum trebuie. Valoarea este singura care îndeplinește condiția.

Oamenii mai întreabă și: condiția de perpendicularitate a două drepte · pantele dreptelor perpendiculare · produsul pantelor egal cu minus 1 · panta unei drepte perpendiculare