Perpendicularitate cu produsul scalar (M2, științe ale naturii)

Un zidar care trasează colțul unei fundații nu are raportor la el și nici nu i-ar folosi la o distanță de zece metri. Măsoară trei metri pe o direcție, patru pe cealaltă și verifică dacă diagonala are exact cinci. Dacă da, unghiul e drept; dacă nu, mută sfoara. Metoda funcționează de mii de ani și se sprijină pe o idee simplă: perpendicularitatea se poate decide printr-un calcul cu numere, nu prin măsurarea unui unghi. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), îți dă versiunea modernă a acelui calcul, care are avantajul că merge în orice configurație, nu doar la triunghiuri cu laturi întregi. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema apare la Subiectul I, printre cerințele scurte de geometrie plană.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, dar numai printr-un singur rând: condiția vectorială de perpendicularitate, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) și rămasă în afara programei noi a clasei a IX-a odată cu produsul scalar. Teorema cosinusului și rezolvarea triunghiului dreptunghic sunt pe traseul tău de bază; aici le reluăm din unghiul produsului scalar, ca să se vadă de unde vin. Pornim de la definiția și proprietățile din lecția anterioară, produsul scalar a doi vectori, și le folosim în trei direcții: un criteriu de perpendicularitate, o demonstrație vectorială a teoremei cosinusului și formulele cu care se rezolvă un triunghi dreptunghic.

Ce vei învăța

• Vei ști să decizi dacă doi vectori sunt perpendiculari printr-un singur calcul, fără raportor, și să treci de aici la condiția de perpendicularitate a două drepte, $m_1{m}_2=-1$.
• Vei ști să demonstrezi perpendicularitatea unor segmente dintr-o figură, scriindu-le ca sume de vectori cunoscuți.
• Vei ști să obții teorema cosinusului dintr-un pătrat scalar, în trei rânduri de calcul.
• Vei ști de ce teorema lui Pitagora este un caz particular al teoremei cosinusului și ce se întâmplă cu termenul care dispare.
• Vei ști să rezolvi un triunghi dreptunghic, adică să afli toate laturile și toate unghiurile pornind de la două date.
• Vei ști să recunoști situațiile din fizică în care o forță perpendiculară pe deplasare nu produce lucru mecanic.

Hai să descoperim împreună

1. Când sunt doi vectori perpendiculari?

Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este nul:

$$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0.$$

Demonstrația încape într-un rând. Produsul scalar este $\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$, iar lungimile sunt numere strict pozitive, pentru că vectorii sunt nenuli. Un produs de trei factori se anulează numai dacă un factor este nul, deci $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ este echivalent cu $\cos \theta =0$. Pe intervalul $[0^{\circ },180^{\circ }]$, singurul unghi cu cosinusul nul este $90^{\circ }$ — și asta înseamnă perpendicularitate.

Condiția „nenuli" nu e o formalitate: vectorul nul dă produs scalar zero cu orice vector, dar nu are direcție, deci nu poate fi perpendicular pe ceva.

Criteriul mută întrebarea din desen în calcul, unde răspunsul este sigur: obții un număr, iar numărul este zero sau nu este. În plus, el nu cere ca segmentele să se și atingă: laturile $AB$ și $CD$ ale unui patrulater pot avea direcții perpendiculare fără vreun punct comun, iar produsul scalar al vectorilor lor spune asta la fel de limpede.

2. Cum demonstrez că două segmente sunt perpendiculare?

Rețeta are trei pași și se aplică aproape mecanic. Unu: alegi doi vectori de bază ai figurii, de obicei doi vectori care pornesc din același vârf și ale căror lungimi și unghi le cunoști. Doi: scrii vectorii ale căror direcții te interesează ca sume sau diferențe de vectorii de bază. Trei: înmulțești scalar și arăți că iese zero.

Iată rețeta pe rombul $ABCD$, unde vrem să arătăm că diagonalele sunt perpendiculare. Vectorii de bază sunt $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$, cu $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\Vert \overrightarrow{AD}\Vert$, pentru că toate laturile rombului sunt egale. Diagonalele se scriu $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, din regula paralelogramului, și $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Înmulțim, folosind distributivitatea și comutativitatea:

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\Vert \overrightarrow{AD}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2=0.$$

Cei doi termeni din mijloc, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ și $-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}$, se reduc între ei, iar ce rămâne este diferența pătratelor lungimilor, nulă tocmai pentru că laturile sunt egale. Observă ce nu am folosit: nicio măsură de unghi, nicio valoare a laturii. Concluzia ține pentru orice romb. Regulile de compunere a vectorilor pe care ne-am sprijinit sunt cele din adunarea vectorilor și din descompunerea unui vector după doi vectori.

3. Cum se obține teorema cosinusului din produsul scalar?

Printr-un singur pătrat scalar. În triunghiul $ABC$, latura $BC$ se scrie ca diferență de vectori porniți din $A$, adică $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Ridicăm la pătrat scalar și desfacem:

$$B{C}^2=\Vert \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{AC}{\Vert }^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2.$$

Produsul scalar din mijloc are vectorii porniți amândoi din $A$, deci $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A$. Înlocuind, rămâne exact enunțul cunoscut:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A.$$

Merită apreciat cât de scurt a fost drumul: demonstrația clasică coboară o înălțime și tratează separat unghiul ascuțit de cel obtuz, pe când varianta vectorială nu distinge cazuri, fiindcă formula produsului scalar înghite singură semnul cosinusului. Aici ne oprim: enunțul teoremei și aplicațiile ei sunt tratate în lecția despre teorema cosinusului, din unitatea de trigonometrie a traseului tău.

4. De ce este teorema lui Pitagora un caz particular?

Pentru că unghiul drept anulează termenul din mijloc. Dacă $m(\widehat{BAC})=90^{\circ }$, atunci $\cos A=0$, deci $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$, și relația de mai sus devine

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2.$$

Reciproc, dacă într-un triunghi are loc egalitatea aceasta, din teorema cosinusului rezultă $2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=0$; laturile fiind nenule, urmează $\cos A=0$, adică unghiul din $A$ este drept. Prin urmare metoda zidarului, cu laturile $3$, $4$ și $5$, este corectă: $9+16=25$. Teorema lui Pitagora și reciproca ei, întâlnite în gimnaziu la teorema lui Pitagora, se dovedesc astfel a fi două fețe ale aceleiași relații vectoriale, iar termenul $-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$ este exact corecția care apare când unghiul nu mai e drept: pozitivă la unghi obtuz, negativă la unghi ascuțit.

5. Cum se citește perpendicularitatea a două drepte din pante?

Tot din produsul scalar, fără nicio regulă nouă. Perpendicularitatea ține numai de direcții, așa că putem muta amândouă dreptele prin origine: o dreaptă neverticală de pantă $m$ devine $y=mx$, iar punctul ei de abscisă $1$ este $A(1,m)$ — panta, așa cum ai fixat-o în lecția despre ecuația dreptei prin punct și pantă, spune exact cât urci când înaintezi cu o unitate.

Fie $d_1$ și $d_2$ neverticale, de pante $m_1$ și $m_2$, iar $A(1,m_1)$, $B(1,m_2)$ punctele lor de abscisă $1$. Dreptele sunt perpendiculare exact când $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$, iar pătratul scalar din subsecțiunea a treia traduce imediat condiția: din $A{B}^2=O{A}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+O{B}^2$ se vede că produsul scalar se anulează exact când $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$. Distanțele se citesc din coordonate: $O{A}^2=1+m_1^2$, $O{B}^2=1+m_2^2$, iar $A$ și $B$ având aceeași abscisă, $A{B}^2=(m_1-m_2{)}^2$. Egalitatea devine $(m_1-m_2{)}^2=2+m_1^2+m_2^2$, adică $-2m_1{m}_2=2$:

$$d_1\perp d_2⟺m_1{m}_2=-1.$$

Nu sunt două criterii, ci unul singur, scris în două limbaje: produsul scalar nul în stânga, produsul pantelor egal cu $-1$ în dreapta. Practic, pantele perpendiculare sunt răsturnate și cu semn schimbat: dreptele $y=\frac{3}{4}x+2$ și $y=-\frac{4}{3}x-5$ sunt perpendiculare, fiindcă $\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-1$. Criteriul cere însă ca amândouă dreptele să fie neverticale: o verticală nu are pantă, deși este perpendiculară pe orice orizontală.

6. Cum se rezolvă un triunghi dreptunghic?

„A rezolva" un triunghi înseamnă a-i afla toate cele șase elemente — trei laturi și trei unghiuri — pornind de la câteva date. La un triunghi dreptunghic în $A$ știi deja un unghi, iar celelalte două sunt complementare, deci $m(\hat{B})+m(\hat{C})=90^{\circ }$. Rapoartele trigonometrice leagă restul, cu ipotenuza $BC$ și catetele $AB$, $AC$:

$$\sin B=\frac{AC}{BC},\cos B=\frac{AB}{BC},\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}.$$

Cheia memorării: la unghiul $B$, cateta $AC$ este cea opusă, iar $AB$ este cea alăturată. Adăugând teorema lui Pitagora, ai patru relații, suficiente pentru orice combinație de date. Practic, apar trei situații: două catete cunoscute (afli ipotenuza cu Pitagora, apoi un unghi dintr-o tangentă), o catetă și ipotenuza (afli cealaltă catetă cu Pitagora, apoi un unghi dintr-un sinus sau cosinus), o latură și un unghi ascuțit (afli celelalte laturi înmulțind sau împărțind cu funcția trigonometrică potrivită). Rapoartele acestea sunt cele din sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit, reluate pe traseul tău în trigonometria în triunghiul dreptunghic; aici le folosim, nu le redefinim, iar cazurile triunghiului oarecare sunt tratate în rezolvarea triunghiului.

7. Ce spune produsul scalar despre laturile unui triunghi dreptunghic?

Un calcul care scurtează multe probleme cu triunghiuri. Într-un triunghi dreptunghic în $A$, produsul scalar al oricăror doi vectori-laturi se calculează imediat. Pentru vectorii porniți din $A$ rezultatul este zero, prin însăși ipoteza. Pentru o pereche care implică ipotenuza, scrii $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ și înmulțești:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2=-A{B}^2.$$

Rezultatul este negativ, ceea ce se potrivește cu figura: vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ pornesc din puncte diferite, iar unghiul dintre ei, după translație, este obtuz. Același procedeu dă o proprietate frumoasă a medianei din unghiul drept. Dacă $M$ este mijlocul ipotenuzei, atunci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ și

$$A{M}^2=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2\right)=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+A{C}^2\right)=\frac{B{C}^2}{4},$$

deci $AM=\frac{BC}{2}$: mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. Pentru comparație, la mate-info (M1): coliniaritatea și perpendicularitatea cu numere complexe se tratează în clasa a 10-a, cu afixe și cu rapoarte de numere complexe, fără niciun produs scalar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un triunghi recunoscut din produsul scalar

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=5$, $AC=5$ și $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Arătați că triunghiul este dreptunghic isoscel și calculați $BC$.

Rezolvare. Vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt nenuli, iar produsul lor scalar este zero, deci sunt perpendiculari: triunghiul este dreptunghic în $A$. Cum cele două catete sunt egale, el este și isoscel. Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=25+25=50$, deci $BC=5\sqrt{2}$.

Exemplul 2 — O forță care nu produce lucru mecanic

Un corp de greutate $700$ N este împins pe o masă orizontală, pe distanța de $20$ m. Calculați lucrul mecanic al greutății.

Rezolvare. Greutatea este verticală, deplasarea este orizontală, deci unghiul dintre ele este de $90^{\circ }$. Lucrul mecanic fiind produsul scalar dintre forță și deplasare, obținem $L=700\cdot 20\cdot \cos 90^{\circ }=0$ J. Rezultatul nu spune că greutatea „nu există", ci că ea nu contribuie nici la accelerarea, nici la frânarea corpului pe direcția de mers.

Exemplul 3 — Rezolvarea din ipotenuză și un unghi

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $m(\hat{B})=60^{\circ }$. Determinați celelalte elemente ale triunghiului și aria lui.

Rezolvare. Unghiul $C$ este complementul lui $B$, deci $m(\hat{C})=30^{\circ }$. Cateta opusă lui $B$ se află din sinus, cea alăturată din cosinus:

$$AC=BC\cdot \sin 60^{\circ }=6\sqrt{3},AB=BC\cdot \cos 60^{\circ }=6.$$

Aria este semiprodusul catetelor: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$. Control cu teorema lui Pitagora: $36+108=144=12^2$.

Exemplul 4 — Rezolvarea din două catete

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ și $AC=12$. Determinați ipotenuza, rapoartele trigonometrice ale unghiului $B$ și înălțimea din $A$.

Rezolvare. Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=81+144=225$, deci $BC=15$. Apoi

$$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}.$$

Înălțimea din $A$ se află scriind aria în două feluri: $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}$, de unde $AD=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{36}{5}$.

Exemplul 5 — Greșeala de vârf

Un elev scrie: „Am obținut $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$." Găsiți greșeala și dați concluzia corectă.

Rezolvare. Produsul scalar nul spune că vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ sunt perpendiculari. Ei se sprijină pe laturile $AB$ și $BC$, iar punctul comun al acestor două laturi este $B$, nu $A$. Prin urmare unghiul drept este în $B$, deci triunghiul este dreptunghic în $B$. Regula de citire: vârful unghiului drept este litera comună celor două segmente, nu litera de la care încep vectorii scriși. Un control rapid: dacă triunghiul ar fi dreptunghic în $A$, atunci, conform relației din subsecțiunea a șaptea, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ ar fi egal cu $-A{B}^2$, un număr strict negativ, nu zero.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=8$ și $AC=6$. a) Arătați că $BC=10$. b) Calculați $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$. c) Determinați $\cos B$.

Rezolvare. a) Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=64+36=100$, deci $BC=10$.

b) Scriem ipotenuza ca diferență de vectori porniți din $A$ și folosim $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0-64=-64.$$

c) Unghiul $B$ are cateta alăturată $AB$ și ipotenuza $BC$, deci $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$. Verificare prin definiția produsului scalar: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=8\cdot 10\cdot \cos B=64$, iar $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ este opusul acestui număr, adică $-64$ — exact valoarea de la punctul b).

Să exersăm

La fiecare problemă de perpendicularitate, întreabă-te întâi care sunt cei doi vectori pe care îi înmulțesc și ce vârf au în comun segmentele lor. La triunghiul dreptunghic, notează pe desen ce știi înainte de a scrie formule: unghiul drept, cateta opusă, cea alăturată. Rezultatele rămân în formă exactă, cu radicali sau fracții.

1. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ pentru doi vectori perpendiculari cu $\Vert \vec{u}\Vert =4$ și $\Vert \vec{v}\Vert =7$.

2. Se știe că $\Vert \vec{u}\Vert =2$ și $\vec{u}\cdot \vec{v}=4$. Determină numărul real $m$ pentru care $\vec{u}+m\vec{v}$ este perpendicular pe $\vec{u}$.

3. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $AB=5$ și $AC=12$. Află ipotenuza și cele trei rapoarte trigonometrice ale unghiului $B$.

4. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $BC=8$ și $m(\hat{B})=45^{\circ }$. Află catetele.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $M$, $N$, $P$ sunt puncte distincte și $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=0$, atunci ele nu pot fi coliniare."

6. Arată, folosind produsul scalar, că într-un dreptunghi $ABCD$ laturile alăturate sunt perpendiculare, adică $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$, și deduce de aici că $AC=BD$.

7. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $AB=7$ și $m(\hat{B})=60^{\circ }$. Află cealaltă catetă, ipotenuza și unghiul $C$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=3$ și $AC=4$. a) Arată că $BC=5$. b) Calculează $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$.

9. În triunghiul $MNP$ se dau $MN=5$, $MP=8$ și $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=20$. Calculează lungimea laturii $NP$.

10. (Problemă aplicată.) Un stâlp este tras de două cabluri ale căror direcții sunt perpendiculare: primul cu o forță de $200$ N, al doilea cu $150$ N. a) Calculează produsul scalar al celor două forțe. b) Calculează mărimea rezultantei lor.

11. În paralelogramul $ABCD$ cu $AB=8$ și $AD=5$, calculează $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$ și spune ce condiție asupra laturilor ar face diagonalele perpendiculare.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ și $AC=16$, și se notează cu $M$ mijlocul laturii $BC$. a) Calculează $AM$. b) Calculează $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}$.

13. În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $d_1:y=\frac{2}{5}x-3$ și $d_2:y=ax+1$. Determină numărul real $a$ pentru care $d_1\perp d_2$.

14. Argumentează, folosind criteriul de perpendicularitate, de ce un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =6$, $\Vert \vec{v}\Vert =4$ și unghiul dintre ei de $60^{\circ }$. a) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$. b) Determină numărul real $t$ pentru care $\vec{u}-t\vec{v}$ este perpendicular pe $\vec{v}$.

16. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $AB=7$ și $AC=24$. Arată că $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-49$ și calculează $\cos B$.

17. În trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $DC\parallel AB$ și $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$, se dau $AB=9$, $AD=4$ și $DC=5$. Calculează $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}$.

18. (Provocare.) În triunghiul $ABC$ se dau $AB=5$ și $AC=7$, iar $M$ este mijlocul laturii $BC$. Arată că $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=12$ și deduce de aici că mediana din $A$ este perpendiculară pe $BC$ dacă și numai dacă triunghiul este isoscel cu $AB=AC$.

Răspunsuri și explicații

1. Unghiul fiind drept, $\cos 90^{\circ }=0$, deci $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot 7\cdot \cos 90^{\circ }=0$. Lungimile nu contează.

2. Condiția se scrie $(\vec{u}+m\vec{v})\cdot \vec{u}=0$, adică $\Vert \vec{u}{\Vert }^2+m(\vec{v}\cdot \vec{u})=0$, deci $4+4m=0$ și $m=-1$.

3. Triunghi dreptunghic în $A$: $B{C}^2=25+144=169$, deci $BC=13$. Apoi $\sin B=\frac{12}{13}$, $\cos B=\frac{5}{13}$ și $\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}$.

4. Unghiurile ascuțite sunt amândouă de $45^{\circ }$, deci triunghiul este isoscel. Din $AB=BC\cdot \cos 45^{\circ }$ rezultă $AB=4\sqrt{2}$, iar $AC=4\sqrt{2}$. Control: $32+32=64=8^2$.

5. Adevărat. Dacă punctele ar fi coliniare, vectorii $\overrightarrow{MN}$ și $\overrightarrow{MP}$ ar avea aceeași direcție, deci $\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$ pentru un număr real $k\ne 0$ (punctele fiind distincte). Atunci $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=k\Vert \overrightarrow{MN}{\Vert }^2$, un număr nenul, fiindcă și $k$, și lungimea sunt nenule. Cum produsul dat este zero, presupunerea cade.

6. Într-un dreptunghi unghiurile sunt drepte prin definiție, deci $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ și produsul lor scalar este nul. Atunci $A{C}^2=\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}{\Vert }^2=A{B}^2+A{D}^2$ și $B{D}^2=\Vert \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}{\Vert }^2=A{B}^2+A{D}^2$, fiindcă termenul din mijloc dispare în ambele cazuri. Pătratele fiind egale și lungimile pozitive, rezultă $AC=BD$.

7. Unghiul $C$ are $30^{\circ }$. Cateta opusă lui $B$ se află din tangentă: $AC=AB\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=7\sqrt{3}$. Ipotenuza vine din cosinus: $BC=\frac{AB}{\cos 60^{\circ }}=14$. Control: $49+147=196=14^2$.

8. a) $B{C}^2=9+16=25$, deci $BC=5$. b) Scriem $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$; cum $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=0$, rămâne $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\Vert \overrightarrow{BA}{\Vert }^2=9$. Același rezultat prin definiție: $3\cdot 5\cdot \cos B=3\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=9$.

9. Scriem latura ca diferență de vectori porniți din $M$: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}$. Ridicăm la pătrat scalar: $N{P}^2=M{P}^2-2\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}+M{N}^2=64-40+25=49$, deci $NP=7$. Nu a fost nevoie de nicio măsură de unghi: produsul scalar dat a înlocuit-o.

10. a) Direcțiile fiind perpendiculare, $\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=200\cdot 150\cdot \cos 90^{\circ }=0$. b) Din pătratul scalar al sumei, $\Vert \vec{R}{\Vert }^2=200^2+2\cdot 0+150^2=40000+22500=62500$, deci $\Vert \vec{R}\Vert =250$ N. Termenul din mijloc dispărând, formula se reduce la teorema lui Pitagora — de aceea la forțe perpendiculare rezultanta se află direct din pătratele mărimilor.

11. Într-un paralelogram avem tot $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, deci produsul este $A{D}^2-A{B}^2=25-64=-39$. Rezultatul nu este zero, deci diagonalele nu sunt perpendiculare. Ele ar fi perpendiculare exact când $A{D}^2=A{B}^2$, adică $AD=AB$ — altfel spus, numai la romb.

12. a) Ipotenuza este $BC=20$, din $144+256=400$, iar mediana din unghiul drept este jumătate din ea, deci $AM=10$. b) Din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ și $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ rezultă $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\cdot 144=72$.

13. Condiția de perpendicularitate a două drepte neverticale cere ca produsul pantelor să fie $-1$: din $\frac{2}{5}a=-1$ rezultă $a=-\frac{5}{2}$. Pantele au ieșit răsturnate și cu semn schimbat, iar termenii liberi $-3$ și $1$ nu intră în condiție: ei mută dreptele, nu le schimbă direcția.

14. Dacă triunghiul $ABC$ ar fi dreptunghic și în $A$, și în $B$, ar avea loc simultan $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ și $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Prima spune că dreapta $AC$ este perpendiculară pe $AB$, a doua că dreapta $BC$ este perpendiculară pe aceeași dreaptă $AB$. Două perpendiculare pe aceeași dreaptă, duse din puncte diferite, sunt paralele, deci $AC$ și $BC$ nu s-ar mai intersecta în $C$ și triunghiul nu ar exista.

15. a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=6\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=12$. b) Condiția $(\vec{u}-t\vec{v})\cdot \vec{v}=0$ devine $12-16t=0$, deci $t=\frac{3}{4}$.

16. Ipotenuza este $BC=25$, din $49+576=625$. Din $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ obținem $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0-49=-49$, adică opusul pătratului catetei $AB$. Pentru unghi, $\cos B=\frac{7}{25}$, raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.

17. Descompunem diagonala: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$. Cum $DC\parallel AB$, iar $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, rezultă $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AD}=0$. Rămâne $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\Vert \overrightarrow{AD}{\Vert }^2=16$. Observă că nici $AB$, nici $DC$ nu intră în rezultat: proiecția diagonalei pe $AD$ este chiar $AD$.

18. Din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ și $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ rezultă $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{1}{2}(49-25)=12$. Cum produsul iese nenul, mediana nu este perpendiculară pe $BC$ în acest triunghi. În general, produsul este nul exact când $A{C}^2=A{B}^2$, adică atunci când $AB=AC$: mediana din $A$ este perpendiculară pe $BC$ numai la triunghiul isoscel, caz în care ea este și înălțime.

De reținut

• Doi vectori nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero: lungimile fiind pozitive, singurul factor care se poate anula este cosinusul. Pentru două drepte neverticale, același criteriu se scrie cu pantele, $d_1\perp d_2⟺m_1{m}_2=-1$, adică panta perpendicularei este răsturnata cu semn schimbat; verticalele rămân în afara regulii, fiindcă n-au pantă.
• Ca să demonstrezi o perpendicularitate într-o figură, scrii cele două segmente ca sume sau diferențe de doi vectori de bază și arăți, prin desfacerea parantezelor, că produsul lor scalar este nul.
• Teorema cosinusului se obține dintr-un singur pătrat scalar: din $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ rezultă $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$, fără a distinge cazuri după felul unghiului.
• Teorema lui Pitagora este cazul $\cos A=0$ al teoremei cosinusului, iar reciproca ei urmează din aceeași relație, pentru că laturile sunt nenule.
• Într-un triunghi dreptunghic în $A$, unghiurile ascuțite sunt complementare, iar laturile se leagă prin $\sin B=\frac{AC}{BC}$, $\cos B=\frac{AB}{BC}$ și $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}$, la care se adaugă teorema lui Pitagora.

Greșeli frecvente

• Vârful unghiului drept citit greșit. Din $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ se conchide „dreptunghic în $A$", pentru că prima literă scrisă este $A$. Unghiul drept este însă în vârful comun celor două segmente, adică în $B$. Subliniază pe ciornă litera care se repetă înainte de a scrie concluzia.
• Criteriul aplicat fără a verifica dacă vectorii sunt nenuli. Într-o problemă cu parametru, valoarea găsită poate anula chiar unul dintre vectori; atunci produsul scalar este zero, dar nu există unghi drept, ci un vector care a dispărut. Verifică la final că soluția păstrează ambii vectori nenuli.
• Sinusul și cosinusul schimbate între ele. Se scrie $AB=BC\cdot \sin B$ în loc de $AB=BC\cdot \cos B$, pentru că se reține „sinus la catetă", fără a mai privi care catetă e opusă unghiului. Antidotul: notează pe desen, lângă unghiul cu care lucrezi, cuvintele „opusă" și „alăturată".
• Pantele adunate în loc să fie înmulțite, sau condiția paralelelor pusă în locul celei a perpendicularelor. Din $m_1{m}_2=-1$ se scrie, din grabă, $m_2=-1-m_1$; condiția e un produs, iar panta perpendicularei este $-\frac{1}{m_1}$. Tot aici intră confuzia cu paralelismul: două drepte sunt paralele când pantele sunt egale, $m_1=m_2$, și perpendiculare când produsul lor este $-1$ — două condiții diferite, pe care graba le amestecă. Controlul e imediat: înmulțește cele două pante și trebuie să obții exact $-1$.
• Perpendicularitatea „văzută" pe desen. Într-o figură făcută de mână, două segmente pot părea perpendiculare fără să fie. Desenul orientează, dar dovada e produsul scalar; la examen, o afirmație sprijinită doar pe aspectul figurii nu ține loc de dovadă.

Aplică acasă

1. Colțul drept verificat cu sfoara. Trasează pe asfalt sau în curte un unghi pe care îl crezi drept, apoi măsoară $60$ cm pe o latură și $80$ cm pe cealaltă. Măsoară distanța dintre capete: dacă unghiul e drept, trebuie să obții exact $100$ cm. Repetă pentru un unghi vizibil înclinat și calculează, cu teorema cosinusului, cât ar fi trebuit să iasă distanța.

2. Tabelul celor trei situații. Fă-ți un tabel cu trei coloane — „două catete", „o catetă și ipotenuza", „o latură și un unghi" — și completează, pe fiecare coloană, ordinea în care afli cele șase elemente ale unui triunghi dreptunghic. Apoi ia din culegere câte o problemă pentru fiecare coloană.

3. Perpendicularitatea din laboratorul de fizică. Caută în manualul de fizică trei situații în care o forță este perpendiculară pe deplasare: greutatea unui corp care alunecă orizontal, forța centripetă, forța normală pe un plan. Pentru fiecare, scrie într-o propoziție de ce lucrul mecanic este zero.

Pentru părinți și profesori

Lecția schimbă modul în care elevul gândește perpendicularitatea: din proprietate „văzută" pe desen, ea devine o egalitate de verificat prin calcul — exact felul în care lucrează fizica și chimia. Partea a doua, rezolvarea triunghiului dreptunghic, este în schimb o rutină care trebuie să devină reflexă: la profilul științe ale naturii ea apare și la optică, la descompunerea forțelor și la calculul pantelor, nu doar la ora de matematică.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: vârful unghiului drept a fost identificat ca literă comună a celor două segmente; la un produs scalar nul s-a verificat că ambii vectori sunt nenuli; în triunghiul dreptunghic s-a notat pe desen care catetă e opusă și care alăturată; la cerința „rezolvați triunghiul" au fost aflate toate cele șase elemente. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Cum arăți că diagonalele unui romb sunt perpendiculare, fără să măsori?"; „Ce termen dispare din teorema cosinusului când unghiul devine drept?"; „De ce produsul pantelor a două drepte perpendiculare este $-1$?". Semn că elevul a înțeles: nu mai caută unghiul pe figură, ci scrie direct produsul scalar al vectorilor potriviți.

Programa și examenul. Din tot ce conține lecția, un singur rând este supliment de examen: condiția vectorială de perpendicularitate, cerută de programa de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, capitolul „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană", clasa a IX-a) și rămasă pe dinafară odată cu produsul scalar, absent cu totul din programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Restul lecției nu e supliment: anexa 28 cere, la domeniul „Elemente de trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie", teorema cosinusului, teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor, iar perpendicularitatea a două drepte apare ca activitate de învățare la competența IX.CS.5.5. Condiția prin pante, $m_1{m}_2=-1$, nu este nici ea supliment: programa de examen din 2014 o cere explicit, la geometria analitică plană de clasa a X-a („condiții de perpendicularitate a două drepte din plan"). Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul I: în modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerința a șasea este o problemă de triunghi dreptunghic, în care se dau unghiul drept, măsura unui unghi ascuțit și raza cercului circumscris, și se cere lungimea unei laturi. Elevii care au intrat în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, unde relațiile din triunghiul dreptunghic rămân în domeniul Geometrie. Trigonometrie, iar tratarea vectorială nu mai este cerută. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Când sunt doi vectori perpendiculari? Exact atunci când produsul lor scalar este zero, cu condiția ca amândoi să fie nenuli. Motivul: produsul scalar este produsul a două lungimi, care sunt pozitive, cu cosinusul unghiului, iar acesta se anulează numai pentru unghiul de $90^{\circ }$. Criteriul se scrie $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$.

Cum arăt că două segmente dintr-o figură sunt perpendiculare? Alegi doi vectori de bază ai figurii, scrii segmentele care te interesează ca sume sau diferențe ale acestora, apoi desfaci produsul scalar cu distributivitatea și arăți că rezultatul este nul. Metoda nu depinde de desen și funcționează la fel pentru orice figură din familie.

Cum se demonstrează teorema cosinusului cu vectori? Scrii $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, ridici la pătrat scalar și desfaci paranteza. Obții $B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{B}^2$, iar produsul din mijloc, având vectorii porniți din același vârf, este $AB\cdot AC\cdot \cos A$. Demonstrația nu distinge cazul unghiului ascuțit de cel obtuz. Când unghiul $A$ este drept, produsul scalar din mijloc este zero și rămâne teorema lui Pitagora, care apare astfel ca un caz particular.

Se face perpendicularitatea cu produsul scalar și la M1, și la M2? Nu. La științe ale naturii (M2) produsul scalar este materie de clasa a IX-a și e cerut la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029; de aici se obține și condiția prin pante. La matematică-informatică (M1) produsul scalar lipsește din programă, așa că perpendicularitatea se decide direct: cu numere complexe, în clasa a 10-a, sau cu pantele dreptelor, în geometria analitică de clasa a 11-a.

Ce înseamnă „rezolvarea triunghiului dreptunghic"? Înseamnă aflarea tuturor celor șase elemente — trei laturi și trei unghiuri — pornind de la două date, dintre care cel puțin o latură. Ai la dispoziție teorema lui Pitagora, complementaritatea unghiurilor ascuțite și cele trei rapoarte trigonometrice ale unui unghi ascuțit. Cerința nu e îndeplinită până nu ai toate cele șase valori.

La ce subiect apare perpendicularitatea la bacalaureatul M2? La Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte de câte cinci puncte, unde se dau întrebările de geometrie plană și de trigonometrie. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a șasea este o problemă de triunghi dreptunghic: se dau unghiul drept, măsura unui unghi ascuțit și raza cercului circumscris, iar cerința este lungimea unei laturi.

De ce este mediana din unghiul drept jumătate din ipotenuză? Pentru că, la ridicarea la pătrat scalar a medianei scrise ca semisumă a catetelor, termenul din mijloc dispare — unghiul din $A$ fiind drept —, iar ce rămâne este un sfert din pătratul ipotenuzei. Geometric: vârful unghiului drept se află pe cercul cu diametrul egal cu ipotenuza, iar mediana este o rază a acestui cerc. Proprietatea se folosește des la examen, ca să afli o lungime fără niciun calcul trigonometric.

Ce legătură are perpendicularitatea cu lucrul mecanic nul? Lucrul mecanic al unei forțe este produsul scalar dintre forță și deplasare. Dacă forța este perpendiculară pe deplasare, produsul scalar este zero, deci lucrul mecanic este nul, oricât de mare ar fi forța. Așa se explică de ce greutatea unui corp care alunecă pe o masă orizontală nu produce lucru mecanic.