Un efect este modelat prin $$E(d)=-d^2+10d$$, cu doza admisă $$d\in[0,3]$$. Unde este efectul maxim admis?

La doza de $$3$$ mg, cu efectul $$21$$.

La doza de $$5$$ mg, cu efectul $$25$$.

La doza de $$0$$ mg, cu efectul $$0$$.

Pentru $$n$$ număr natural, $$p(n)=-n^2+9n$$. Pentru ce valori ale lui $$n$$ este $$p(n)$$ cel mai mare?

Pentru $$n=4$$ și pentru $$n=5$$.

Cât de sus urcă o minge aruncată vertical?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Extremul admis într-un model

Cu viteza inițială $v_{0}$ și $g \approx 10$ m/s², înălțimea este $h (t) = v_{0} t - 5 t^{2}$ , o funcție de gradul al doilea cu ramurile în jos. Maximul este în vârf, la $t = \frac{v _{0}}{10}$ secunde. Exemplu: pentru $v_{0} = 15$ m/s, vârful este la $t = 1, 5$ s, iar înălțimea maximă este $15 \cdot 1, 5 - 5 \cdot 2, 25 = 22, 5 - 11, 25 = 11, 25$ m. Rezultatul are unitate și se atinge într-un moment precis, care face parte din răspuns.

Într-o problemă practică nu căutăm vârful parabolei complete, ci punctul extrem al bucății de grafic permise de situație. Timpul curge de la lansare până la aterizare, dozele au limite de siguranță, lungimile sunt pozitive, iar numărul de obiecte este întreg.

Dacă vârful aparține domeniului admis, el dă maximul unei parabole cu ramurile în jos sau minimul uneia cu ramurile în sus. Dacă vârful rămâne în afară, arcul se află pe o singură ramură, iar extremul căutat stă într-un capăt al intervalului.

Când variabila numără obiecte, graficul devine un șir de puncte. Compari valorile în întregii vecini vârfului; eliminarea zecimalelor poate alege greșit. Dacă vârful este exact la mijloc, ambele intrări sunt optime.

Dacă un capăt lipsește din domeniu, extremul poate să nu existe: valorile se apropie de o margine fără să o atingă. Răspunsul bun numește intrarea, valoarea extremă și unitatea, iar o citire aproximativă de pe grafic se confirmă prin calcul.

De reținut

vârful dă extremul doar dacă aparține domeniului admis
dacă vârful e în afară, extremul este într-un capăt inclus
răspunsul numește intrarea, valoarea extremă și unitatea

Greșeala tipică

Se ia vârful parabolei ca răspuns chiar când el iese din domeniul problemei, de exemplu o lungime negativă sau un timp după aterizare; se verifică întâi că vârful este admis.

Exerciții din această mini-lecție

Înălțimea unei mingi este $h (t) = - 5 t^{2} + 40 t + 10$ metri, pentru $t \in [0, 8]$ secunde. Când și cât de sus ajunge mingea?
- a) La $4$ s, la $90$ m.
- b) La $8$ s, la $10$ m.
- c) La $4$ s, la $80$ m.
- d) La $0$ s, la $10$ m.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) La $4$ s, la $90$ m.

Vârful are abscisa $- \frac{40}{2 \cdot ( - 5 )} = 4$ , în domeniu, iar înălțimea este $- 80 + 160 + 10 = 90$ .
Un efect este modelat prin $E (d) = - d^{2} + 10 d$ , cu doza admisă $d \in [0, 3]$ . Unde este efectul maxim admis?
- a) La doza de $5$ mg, cu efectul $25$ .
- b) La doza de $3$ mg, cu efectul $21$ .
- c) La doza de $0$ mg, cu efectul $0$ .
- d) Nu există un maxim admis.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) La doza de $3$ mg, cu efectul $21$ .

Vârful, la $d = 5$ , este în afara domeniului; arcul urcă pe tot intervalul, deci maximul admis este la capătul drept: $- 9 + 30 = 21$ .
Pentru $n$ număr natural, $p (n) = - n^{2} + 9 n$ . Pentru ce valori ale lui $n$ este $p (n)$ cel mai mare?
- a) Numai pentru $n = 4$ .
- b) Numai pentru $n = 5$ .
- c) Pentru $n = 4$ și pentru $n = 5$ .
- d) Pentru $n = 4, 5$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Pentru $n = 4$ și pentru $n = 5$ .

Vârful are abscisa $4, 5$ , exact între doi întregi. Cei doi vecini dau aceeași valoare: $p (4) = p (5) = 20$ .

Întrebări conexe

Unde este maximul dacă vârful parabolei iese din intervalul permis?

Atunci funcția este monotonă pe interval, iar extremul stă într-un capăt. Pentru $A (x) = x (20 - x)$ cu $x \in [0, 6]$ , vârful este la $x = 10$ , în afară, iar funcția crește pe $[0, 6]$ . Maximul admis este $A (6) = 6 \cdot 14 = 84$ , nu $100$ , cât ar da vârful.

Ce arie maximă are un țarc dreptunghiular lipit de un zid, cu $40$ m de gard?

Dacă laturile perpendiculare pe zid au $x$ metri, latura paralelă are $40 - 2 x$ , iar aria este $A (x) = x (40 - 2 x) = - 2 x^{2} + 40 x$ , cu $x \in (0, 20)$ . Vârful este la $x = 10$ , deci aria maximă este $10 \cdot 20 = 200$ m². Gardul nu se pune pe latura de lângă zid.

Ce curent dă puterea maximă, dacă $P (I) = 12 I - 3 I^{2}$ wați?

Funcția are ramurile în jos, iar vârful este la $I = \frac{12}{6} = 2$ A. Puterea maximă este $P (2) = 24 - 12 = 12$ W. Pentru curenți mai mari puterea transmisă scade din nou; la $I = 4$ A ea devine $48 - 48 = 0$ .

La ce temperatură este maximă o viteză de reacție modelată prin $v (T) = - 0, 5 T^{2} + 30 T$ ?

Pentru $T \in [20, 50]$ grade Celsius, vârful este la $T = \frac{30}{2 \cdot 0 , 5} = 30$ , în interval. Viteza maximă este $v (30) = - 450 + 900 = 450$ , în unitățile modelului. Dacă intervalul admis ar fi fost $[35, 50]$ , maximul s-ar fi aflat în capătul $35$ .

După cât timp revine la sol mingea aruncată cu $15$ m/s?

Rezolvi $15 t - 5 t^{2} = 0$ , adică $5 t (3 - t) = 0$ , cu soluțiile $t = 0$ , momentul lansării, și $t = 3$ s. Prin simetria parabolei, vârful de la $1, 5$ s se află exact la jumătatea zborului, iar urcarea și coborârea durează la fel.

Oamenii mai întreabă și: înălțimea maximă a unei mingi aruncate în sus · aruncare pe verticală funcție de gradul doi · cât urcă un corp aruncat vertical · vârful parabolei la aruncarea unei mingi

Cât de sus urcă o minge aruncată vertical?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Unde este maximul dacă vârful parabolei iese din intervalul permis?

Ce arie maximă are un țarc dreptunghiular lipit de un zid, cu 40 m de gard?

Ce curent dă puterea maximă, dacă P(I)=12I−3I2 wați?

La ce temperatură este maximă o viteză de reacție modelată prin v(T)=−0,5T2+30T?

După cât timp revine la sol mingea aruncată cu 15 m/s?

Continuă cu

Ce arie maximă are un țarc dreptunghiular lipit de un zid, cu $40$ m de gard?

Ce curent dă puterea maximă, dacă $P (I) = 12 I - 3 I^{2}$ wați?

La ce temperatură este maximă o viteză de reacție modelată prin $v (T) = - 0, 5 T^{2} + 30 T$ ?

După cât timp revine la sol mingea aruncată cu $15$ m/s?