Maxim și minim în context (M2, științe ale naturii)

La ce oră pierde o plantă cea mai multă apă prin frunze, ce doză produce cel mai mare efect admis sau câți pomi merită plantați într-o livadă? Toate aceste întrebări cer cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei mărimi, dar numai pentru intrările pe care situația reală le permite. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), extremul se citește pe graficul furnizat sau trasat digital, iar calculul confirmă lectura. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei cere exemplificări în contexte practice și punctul de extrem al funcției de gradul al doilea. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține punctul de extrem și vârful parabolei; modelul oficial publicat pentru 2026 are funcții la Subiectul I, fără o problemă de optimizare în context.

Lecția folosește vârful din lecția M2 despre vârful parabolei și extremele abstracte din monotonia și extremul parabolei la M2. Noutatea este domeniul impus de context: timp, lungimi, doze sau numere întregi. Pentru ideea de mărime care depinde de alta, poți reciti noțiunea de funcție și dependențele funcționale din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici în enunț variabila, mărimea urmărită și intervalul pe care modelul este valabil.
• Vei ști să citești pe un grafic cel mai înalt și cel mai jos punct al porțiunii admise.
• Vei ști să alegi între vârf și capete, inclusiv atunci când vârful cade în afara domeniului.
• Vei ști să lucrezi cu variabile întregi, comparând valorile întregi vecine vârfului.
• Vei ști să recunoști un capăt exclus care face ca extremul să nu fie atins.
• Vei ști să confirmi o citire aproximativă prin calcul și să scrii răspunsul cu unități.

Hai să descoperim împreună

1. Ce întrebare pune un context?

Un model din științe are trei componente. Prima este variabila pe care o alegem: timpul, curentul electric, doza, numărul de pomi. A doua este mărimea urmărită, care depinde de variabilă: înălțimea, puterea, efectul, recolta. A treia este domeniul admis, adică mulțimea valorilor pe care variabila le poate lua în situația reală.

Extremul admis al unei mărimi dintr-un model este cea mai mare sau cea mai mică valoare pe care funcția o ia pe mulțimea intrărilor permise de context, împreună cu intrarea sau intrările în care această valoare este atinsă. Cuvântul „admis” amintește că vârful parabolei complete nu este automat răspunsul.

Domeniul vine din fenomen, nu din formulă. Timpul curge de la momentul lansării până la cel al atingerii solului. O lungime este pozitivă. O doză are o limită de siguranță. Un număr de pomi este întreg și nenegativ. Formula poate fi calculată și în afara acestor limite, dar rezultatul nu mai descrie situația.

2. Unde se află cel mai înalt punct al porțiunii admise?

În figura A este desenată aceeași funcție, $\omega (x)=-(x-3{)}^2+9$, pe două domenii diferite. Pe intervalul $[0,5]$, vârful de abscisă trei este inclus, iar cel mai înalt punct al arcului este chiar vârful. Pe intervalul $[4,6]$, vârful a rămas în afara domeniului: arcul este numai pe ramura descendentă, iar cel mai înalt punct este capătul stâng, la înălțimea $-1+9=8$.

Regula este vizuală: urmărim porțiunea desenată pentru domeniul admis și căutăm punctul ei cel mai înalt. Dacă vârful aparține porțiunii, el câștigă pentru o parabolă cu ramurile în jos. Altfel, câștigă capătul aflat mai aproape de vârf, pe ramura pe care se află arcul.

3. De ce minimul unei parabole cu ramurile în jos stă la un capăt?

Pe o parabolă cu ramurile în jos, vârful este punctul cel mai înalt, nu cel mai jos. Pe un interval închis, cel mai jos punct al arcului este deci unul dintre capete: cel mai depărtat de axa de simetrie. Dacă ambele capete sunt la aceeași distanță de axă, ele au aceeași înălțime, iar minimul este atins în două intrări.

Situația se inversează pentru ramurile în sus. Vârful dă minimul, iar maximul pe un interval închis stă într-un capăt. Înaintea oricărui calcul, merită să privești orientarea ramurilor și să te întrebi ce anume cere problema: cel mai mare sau cel mai mic.

4. Ce se schimbă când variabila ia numai valori întregi?

Dacă variabila numără obiecte, graficul modelului nu mai este o curbă continuă, ci un șir de puncte izolate, așezate pe o parabolă. Vârful parabolei poate cădea între două puncte. Atunci, dacă ambele intrări întregi vecine vârfului sunt admise, extremul admis este atins în cea mai apropiată de el.

Trunchierea abscisei vârfului, adică eliminarea zecimalelor, nu este o metodă sigură. Dacă vârful are abscisa $7,6$, cel mai apropiat întreg este opt, nu șapte. Controlul corect compară valorile în cele două intrări vecine. Dacă vârful este exact la jumătatea distanței dintre două întregi, cele două intrări dau aceeași valoare, iar optimul are două soluții.

5. Există mereu un extrem?

Un capăt exclus, marcat pe grafic cu cerc gol, nu face parte din domeniu. Dacă punctul cel mai înalt al arcului ar fi chiar acel capăt, funcția se apropie de valoarea lui fără să o atingă. În acest caz nu există o valoare maximă, deși desenul are o margine de sus bine vizibilă.

Asemenea situații apar natural: un dispozitiv de protecție întrerupe circuitul la un anumit curent, iar valoarea-limită nu este niciodată folosită. Răspunsul corect spune că valorile se apropie de margine, dar nu o ating, și numește mulțimea valorilor posibile. Nu inventăm un „maxim aproape atins”.

6. Cum confirmăm o citire de pe grafic?

O citire de pe ecran sau de pe hârtie are precizia desenului. Dacă vârful pare să stea între două linii ale caroiajului, valoarea citită este o estimare. Pentru confirmare folosim relațiile din lecția despre vârf: abscisa vârfului este $-\frac{b}{2a}$, iar ordonata lui se obține înlocuind această abscisă în formula funcției.

Calculul nu înlocuiește lectura: el controlează un număr pe care graficul l-a sugerat. Dacă cele două rezultate diferă mult, căutăm greșeala în scara desenului sau în calcule. Când ele diferă doar prin rotunjire, răspunsul final folosește valoarea exactă, iar citirea se păstrează ca verificare vizuală.

7. Cum redactăm răspunsul în context?

Un răspuns complet spune unde se atinge extremul, cât este el și în ce unități. „Transpirația maximă este de douăsprezece grame pe oră, atinsă la ora paisprezece” răspunde la ambele întrebări. Dacă enunțul cere doar una dintre ele, o dăm pe aceea, dar precizăm și intrarea când ea poate fi controlată.

Cuvântul „optim” depinde de mărimea urmărită. Pentru un cost, optimul este minimul. Pentru o recoltă sau o putere utilă, este maximul. Înainte de a căuta vârful, scrie în cuvinte ce înseamnă „mai bine” în problema dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Transpirația unei plante de-a lungul zilei

Apa pierdută prin frunzele unei plante de interior, în grame pe oră, este modelată prin $T(t)=-\frac{1}{8}(t-14{)}^2+12$, unde $t\in [6,20]$ este ora din zi (figura B). La ce oră transpirația este cea mai mare și cât este? Care este cea mai mică valoare în intervalul modelului?

Rezolvare. Graficul arată vârful în interiorul intervalului, deasupra orei paisprezece. Forma expresiei confirmă: pătratul se anulează pentru $t=14$, unde $T(14)=12$, iar în orice altă oră din $12$ se scade o cantitate pozitivă. Transpirația maximă este de $12$ grame pe oră, la ora $14$.

Cel mai jos punct al arcului este unul dintre capete, cel mai depărtat de axa $t=14$. Avem $T(6)=-8+12=4$ și $T(20)=-\frac{36}{8}+12=\frac{15}{2}$, deci cea mai mică valoare este de $4$ grame pe oră, la ora $6$ dimineața. Modelul descrie numai intervalul dintre orele șase și douăzeci; pe tot acest interval valorile rămân pozitive, cum trebuie pentru o cantitate de apă pierdută.

Exemplul 2 — Doza limitată de siguranță

Într-un experiment de laborator, procentul de inhibiție a creșterii unei culturi de bacterii este modelat prin $E(d)=-d^2+12d$, unde $d$ este doza, în miligrame. Din motive de siguranță, doza admisă este $d\in [0,4]$ (figura C, cu porțiunea neadmisă punctată). Ce doză dă efectul maxim admis?

Rezolvare. Vârful parabolei complete are abscisa $-\frac{12}{2\cdot (-1)}=6$, în afara domeniului admis. Pe intervalul de la zero la patru arcul urcă tot timpul, deci cel mai înalt punct admis este capătul drept: $E(4)=-16+48=32$. Efectul maxim admis este de $32\%$, la doza de patru miligrame.

Valoarea din vârf, $-36+72=36$, ar cere o doză de șase miligrame, interzisă de enunț. Ea nu este răspunsul, chiar dacă este cea mai mare valoare a formulei. Graficul punctat arată ce ar prezice modelul dincolo de limită, nu ce este permis.

Exemplul 3 — Câți pomi în plus într-o livadă

O livadă are $24$ de meri, fiecare producând $250$ kg de fructe pe an. Fiecare pom plantat în plus reduce producția fiecărui pom cu opt kilograme, din cauza umbrei. Cu $k$ pomi suplimentari, producția totală este $Y(k)=(24+k)(250-8k)=-8k^2+58k+6000$, în kilograme, pentru $k\in \{0,1,\dots ,31\}$. Figura D arată, pentru primele valori ale lui $k$, cu câte kilograme crește producția față de cele $6000$ kg actuale. Câți pomi trebuie adăugați pentru producția maximă?

Rezolvare. Punctele figurii urcă până în dreptul lui patru și apoi coboară. Vârful parabolei are abscisa $\frac{58}{16}=3,625$, care nu este întreg. Comparăm vecinii: $Y(3)=27\cdot 226=6102$ și $Y(4)=28\cdot 218=6104$. Maximul este atins pentru patru pomi în plus, adică $28$ de pomi, cu o producție de $6104$ kg.

Trunchierea vârfului ar fi dat trei pomi și o producție mai mică. Domeniul se oprește la $31$, deoarece pentru $32$ de pomi suplimentari producția pe pom ar deveni negativă: $250-8\cdot 32=-6$.

Exemplul 4 — Consumul de combustibil: minim și maxim

Consumul unui autoturism, în litri la sută de kilometri, depinde de viteza constantă $v$, în kilometri pe oră, după modelul $C(v)=\frac{(v-60{)}^2}{400}+5$, valabil pentru $v\in [30,100]$ (figura E). La ce viteză consumul este minim? Care este consumul cel mai mare pe acest interval?

Rezolvare. Parabola are ramurile în sus, iar vârful, la viteza de $60$ km/h, este în interval. Consumul minim este de $5$ litri la sută de kilometri. Cel mai mare consum vine din capătul mai depărtat de vârf: $C(30)=\frac{900}{400}+5=7,25$ și $C(100)=\frac{1600}{400}+5=9$.

Consumul maxim pe interval este deci de $9$ litri la sută de kilometri, la viteza de $100$ km/h. Modelul nu spune nimic despre viteze sub treizeci sau peste o sută; acolo alte fenomene, precum schimbarea treptei de viteză, schimbă comportamentul.

Exemplul 5 — Puterea primită de la o sursă: citește graficul

O sursă cu tensiunea electromotoare de doisprezece volți și rezistența internă de doi ohmi alimentează un consumator. Puterea primită de consumator este $P(I)=12I-2I^2$, în wați, unde $I\in [0,6]$ este intensitatea curentului, în amperi (figura F). Citește pe grafic puterea maximă, apoi confirm-o prin calcul.

Rezolvare. Pe grafic, vârful pare să fie deasupra valorii de trei amperi, la o înălțime de aproximativ optsprezece wați. Calculul confirmă: abscisa vârfului este $-\frac{12}{2\cdot (-2)}=3$, iar $P(3)=36-18=18$. Puterea maximă este de $18$ W, la un curent de $3$ A.

La capetele intervalului puterea este zero: fără curent nu se transferă energie, iar la curentul maxim toată tensiunea se pierde în interiorul sursei. Modelul fizic confirmă forma graficului, iar citirea și calculul coincid.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+7x$. Determinați valoarea maximă a funcției $f$. Determinați apoi numerele naturale $n$ pentru care $f(n)$ are cea mai mare valoare dintre valorile funcției în numere naturale.

Rezolvare. Abscisa vârfului este $\frac{7}{2}$, iar valoarea maximă a funcției pe $\mathbb{R}$ este $-\frac{49}{4}+\frac{49}{2}=\frac{49}{4}$. Vârful este exact la jumătatea distanței dintre trei și patru, deci cei doi vecini întregi dau aceeași valoare: $-9+21=12$ și $-16+28=12$.

Cea mai mare valoare în numere naturale este $12$, atinsă pentru $n=3$ și pentru $n=4$. Ea este mai mică decât maximul real, deoarece vârful nu corespunde unui număr natural. Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor despre funcții de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare problemă, scrie întâi domeniul admis și ce înseamnă „mai bine”. Folosește graficul pentru a alege între vârf și capete, apoi confirmă prin calcul.

1. Figura G reprezintă profitul lunar al unei ferme de ciuperci, $P(x)=-2x^2+48x-160$, în sute de lei, pentru o recoltă de $x\in [2,20]$ tone. Citește profitul maxim și recolta pentru care este atins.

2. Pentru ferma din exercițiul 1, care este cel mai mic profit pe același interval și pentru ce recoltă se obține?

3. Un contract obligă ferma din exercițiul 1 să livreze cel puțin paisprezece tone, deci $x\in [14,20]$. Care este acum profitul maxim și pentru ce recoltă?

4. O minge este aruncată vertical de la sol, iar înălțimea ei este $h(t)=-5t^2+15t$, în metri, după $t$ secunde (figura H1). Pe ce interval de timp are sens modelul? Care este înălțimea maximă și când se atinge?

5. O sursă cu tensiunea electromotoare de nouă volți și rezistența internă de doi ohmi alimentează un consumator, care primește puterea $P(I)=9I-2I^2$ wați. O siguranță fuzibilă întrerupe circuitul la doi amperi, deci curentul rămâne în $I\in [0,2)$ amperi (figura H2). Ce puteri sunt posibile? Există o putere maximă?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $f:[0,2)\to \mathbb{R}$, $f(x)=10x-3x^2$, are o valoare maximă.

7. Un club de robotică estimează că, organizând $n$ ateliere pe lună, încasarea netă este $p(n)=-3n^2+32n$ zeci de lei, pentru $n\in \{1,2,\dots ,10\}$ (figura H3). Câte ateliere dau încasarea cea mai mare?

8. Diferența de nivel dintre un punct al unui traseu de drumeție și punctul de start este $H(x)=-\frac{x^2}{4}+5x$ metri, la $x$ kilometri de la start, pentru $x\in [0,16]$ (figura I1). Care este cel mai jos și care este cel mai înalt punct al traseului?

9. Arcul unei punți pietonale are înălțimea $y(x)=-\frac{(x-4{)}^2}{8}+6$ metri deasupra apei, la $x$ metri de capătul stâng, pentru $x\in [0,8]$ (figura I2). Unde este arcul cel mai jos și unde este cel mai înalt?

10. Numărul de albine care ies dintr-un stup, în zeci pe minut, este modelat dimineața prin $N(t)=-2t^2+10t-5$, unde $t\in [1,4]$ este timpul, în ore, de la ora opt (figura I3). Un elev citește pe grafic un maxim de șapte zeci pe minut. Confirmă sau corectează citirea și precizează minimul pe interval.

11. (Problemă aplicată.) O minge lovită pe teren urmează traiectoria $y(x)=x-\frac{x^2}{40}$, unde $y$ este înălțimea și $x$ distanța orizontală, ambele în metri, pentru $x\in [0,40]$ (figura I4). Ce înălțime maximă atinge mingea și la ce distanță? La ce distanțe orizontale se află la înălțimea de $7,5$ m?

12. Costul producerii a $x$ kilograme dintr-un reactiv este $C(x)=x^2-24x+180$ lei, pentru $x\in [15,30]$. Graficul trasat digital arată vârful parabolei complete în dreptul abscisei doisprezece. Care sunt costul cel mai mic și cel mai mare pe domeniu, și pentru ce cantități?

13. Recolta unei culturi, în sute de kilograme la hectar, depinde de cantitatea de îngrășământ $q$, în zeci de kilograme la hectar, după $R(q)=-\frac{q^2}{2}+8q+20$, pentru $q\in [0,10]$. Trasează digital modelul. Ce cantitate dă recolta maximă și care este cea mai mică recoltă pe domeniu?

14. Un trasor colorat trece printr-o celulă de măsură. Concentrația lui este $c(t)=-\frac{1}{3}{t}^2+4t$ miligrame pe litru, pentru $t\in [0,12]$ minute. Trasează digital modelul și determină concentrația maximă și momentul ei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+12x-31$. Determinați valoarea maximă a funcției $f$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-12x+14$. Determinați valoarea minimă a funcției $f$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+5$ și $g(x)=2x^2-x+9$. Determinați valoarea maximă a diferenței $f(x)-g(x)$, pentru $x$ număr real.

18. (Provocare.) Un senzor înregistrează înălțimea unei mingi aruncate vertical de la sol, $h(t)=-5t^2+27t$ metri, numai la secunde întregi, până la atingerea solului. Ce înălțime maximă înregistrează senzorul și la ce moment? Care este înălțimea maximă reală și când este atinsă?

Răspunsuri și explicații

1. Profitul maxim este $128$ sute de lei, atins pentru $12$ tone. Vârful este în interval: abscisa $-\frac{48}{2\cdot (-2)}=12$ și valoarea $-288+576-160=128$, adică douăsprezece mii opt sute de lei.

2. Cel mai mic profit este $-72$ sute de lei, adică o pierdere, pentru $2$ tone. Capetele dau $-8+96-160=-72$ și $-800+960-160=0$, iar capătul stâng este mai departe de vârf.

3. Profitul maxim devine $120$ sute de lei, pentru $14$ tone. Vârful a ieșit din noul domeniu, iar arcul coboară pe tot intervalul: $-392+672-160=120$.

4. Modelul are sens pe $[0,3]$ secunde, între lansare și revenirea la sol, unde $-5t^2+15t=0$. Înălțimea maximă este $11,25$ m, atinsă la $1,5$ s: $-\frac{15}{2\cdot (-5)}=1,5$ și $-11,25+22,5=11,25$.

5. Puterile posibile formează intervalul $[0,10)$ W. Vârful este la $\frac{9}{4}=2,25$ A, în afara domeniului, deci puterea crește pe tot intervalul și se apropie de $18-8=10$ W fără să o atingă. Prin urmare nu există o putere maximă; cea mai mică putere este zero, fără curent.

6. Adevărat. Abscisa vârfului este $-\frac{10}{2\cdot (-3)}=\frac{5}{3}$, care aparține lui $[0,2)$, iar valoarea în vârf este $\frac{50}{3}-\frac{25}{3}=\frac{25}{3}$. Capătul exclus, cu $f(2)=20-12=8<\frac{25}{3}$, nu mai contează: maximul este atins în vârf.

7. Maximul este $85$ zeci de lei, pentru $5$ ateliere. Vârful are abscisa $\frac{32}{6}=\frac{16}{3}$, mai aproape de cinci decât de șase. Vecinul $6$ dă doar $84$ zeci de lei, iar cinci ateliere dau $-75+160=85$.

8. Cel mai jos punct este chiar startul, cu diferența de nivel $0$ m, la $0$ km. Cel mai înalt este cu $25$ m mai sus, la $10$ km: $-25+50=25$. Capătul final dă $-64+80=16$, deci traseul se termină mai sus decât a început.

9. Arcul este cel mai jos, la $4$ m deasupra apei, în capetele de la $0$ m și de la $8$ m. Cel mai înalt punct are $6$ m, la $4$ m de capătul stâng, deasupra axei de simetrie. Capetele, egal depărtate de axă, au aceeași înălțime: $-2+6=4$.

10. Maximul exact este $7,5$ zeci de albine pe minut, la $2,5$ ore după ora opt, deci citirea de șapte era aproximativă. Minimul este $3$, atins la $1$ oră și la $4$ ore. Calculele: $-12,5+25-5=7,5$, $-2+10-5=3$ și $-32+40-5=3$.

11. Înălțimea maximă este $10$ m, la $20$ m distanță orizontală: $20-10=10$. Înălțimea dată este atinsă de două ori, la $10$ m și la $30$ m, simetric față de vârf: $10-\frac{100}{40}=7,5$ și $30-\frac{900}{40}=7,5$.

12. Costul minim este $45$ lei, pentru $15$ kilograme, iar costul maxim este $360$ lei, pentru $30$ kilograme. Vârful, la doisprezece, este în afara domeniului, deci costul crește pe tot intervalul: $225-360+180=45$ și $900-720+180=360$.

13. Recolta maximă este $52$ sute de kilograme la hectar, pentru $8$ zeci de kilograme de îngrășământ. Cea mai mică recoltă este $20$, fără îngrășământ, la $0$. Capătul drept dă $-50+80+20=50$, mai mult decât capătul stâng.

14. Concentrația maximă este $12$ miligrame pe litru, la $6$ minute. Abscisa vârfului este $-\frac{4}{2\cdot (-1/3)}=6$, iar $-12+24=12$. La capete concentrația este zero: trasorul încă nu sosise, respectiv a trecut.

15. Valoarea maximă este $5$, atinsă în abscisa $6$. Parabola are ramurile în jos, iar vârful dă $-36+72-31=5$.

16. Valoarea minimă este $2$, atinsă în abscisa $2$. Ramurile urcă, abscisa vârfului este $\frac{12}{6}=2$, iar $12-24+14=2$.

17. Valoarea maximă este $-2$, atinsă în abscisa $1$. Diferența este $-2x^2+4x-4$, cu ramurile în jos și vârful în abscisa unu: $-2+4-4=-2$. Maximul negativ arată că graficul lui $g$ rămâne tot timpul deasupra graficului lui $f$.

18. Senzorul înregistrează cel mult $36$ m, la $3$ s. Maximul real este $36,45$ m, atins la $2,7$ s, între două citiri. Calculele: $-45+81=36$, $-20+54=34$ și $\frac{729}{20}=36,45$. Cea mai apropiată citire de vârf este cea de la trei secunde.

De reținut

• Domeniul admis vine din fenomen: timp între lansare și aterizare, lungimi pozitive, doze permise, numere întregi.
• Extremul admis se citește ca cel mai înalt sau cel mai jos punct al porțiunii de grafic permise, nu al parabolei complete.
• Vârful dă extremul numai dacă aparține domeniului; altfel, pe un interval închis, câștigă un capăt.
• La variabile întregi se compară valorile vecine vârfului; două intrări egal depărtate de vârf dau același optim.
• Un capăt exclus poate face ca extremul să nu existe; spune atunci ce valori sunt posibile, fără un „maxim aproape atins”.

Greșeli frecvente

• Declari atins un extrem aflat într-un capăt exclus. Un cerc gol nu aparține graficului. Verifică marcajul capătului și spune explicit dacă extremul există.
• Cauți minimul în vârful unei parabole cu ramurile în jos. Acolo este cel mai înalt punct. Pentru minim, compară capetele intervalului admis.
• Trunchiezi abscisa vârfului când variabila este întreagă. Eliminarea zecimalelor poate alege vecinul greșit. Calculează valorile în ambii întregi vecini vârfului.
• Prezinți ca exactă o valoare citită aproximativ pe grafic. Precizia desenului este limitată. Confirmă citirea prin abscisa vârfului și valoarea funcției.
• Anunți o singură soluție optimă când există două. Dacă două intrări admise dau aceeași valoare extremă, ambele sunt răspunsuri. Numește-le pe amândouă.

Aplică acasă

1. Într-o aplicație de reprezentare grafică, introdu modelul unei aruncări verticale și adaugă o restricție de timp cu un glisor pentru capătul din dreapta. Mută glisorul astfel încât vârful să iasă din domeniu. Notează cum se mută punctul cel mai înalt al porțiunii desenate și când se schimbă intrarea care dă maximul.
2. Alege o funcție de gradul al doilea cu vârful la o abscisă care nu este întreagă. Calculează valorile ei numai în numere întregi și găsește maximul acestor valori. Compară-l cu maximul real și explică în două propoziții când cele două coincid.
3. Scrie trei enunțuri cu aceeași funcție de gradul al doilea, dar cu domenii admise diferite: unul de timp, unul de lungime și unul cu variabilă întreagă. Rezolvă-le și explică de ce trei domenii diferite pot da trei răspunsuri diferite pentru aceeași formulă.

Pentru părinți și profesori

În această lecție, formula și calculul vârfului sunt instrumente de control, nu scopul. Scopul este decizia: ce domeniu impune contextul, dacă vârful este admis, dacă variabila este întreagă și dacă extremul există. Cereți elevului să spună, înainte de orice calcul, unde se află pe grafic răspunsul și de ce.

Graficele din lecție sunt furnizate, iar la exercițiile fără figură elevul este invitat să le traseze digital. Aceasta respectă nota din programa de științe, care cere observarea proprietăților funcțiilor pe reprezentări grafice tipărite sau obținute cu instrumente digitale. Semnul că a înțeles: elevul distinge maximul formulei de maximul admis și spune când nu există extrem.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, a cărei notă la unitatea de funcții cere evidențierea grafică a punctelor de extrem și exemplificări în contexte practice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa numește punctul de extrem, adică vârful parabolei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține punctul de extrem și vârful parabolei. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o problemă de optimizare în context; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: maximul și minimul în situații practice. Lecția precedentă a traseului este inecuațiile de gradul doi rezolvate grafic, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre probleme de maxim și minim?

Aici fiecare model vine cu graficul lui, iar sarcina principală este alegerea extremului admis: vârf sau capăt, domeniu închis sau deschis, variabilă reală sau întreagă. Calculul confirmă citirea. Varianta M1 construiește singură funcția din enunț și pune accent pe demonstrații algebrice, pe care această lecție nu le cere. Aici contează decizia corectă, nu forma canonică.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosesc problemele de optim?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține punctul de extrem și vârful parabolei, parte din studiul funcției de gradul al doilea. Modelul oficial publicat pentru 2026 are funcții la Subiectul I, fără o problemă de optimizare în context. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”, iar programa numește punctul de extrem.

Ce fac când variabila poate lua doar valori întregi?

Graficul devine un șir de puncte pe parabolă. Găsește abscisa vârfului, apoi calculează valoarea în cei doi întregi vecini și alege-l pe cel mai bun. Dacă vârful este exact la mijloc, cei doi vecini dau aceeași valoare, iar problema are două răspunsuri. Scrie-le pe amândouă, cu unitatea mărimii.

Există întotdeauna o valoare maximă într-un model?

Nu. Dacă domeniul are un capăt exclus și acolo s-ar afla punctul cel mai înalt, funcția se apropie de acea valoare fără să o atingă. Scrie atunci mulțimea valorilor posibile, cu paranteză rotundă la marginea neatinsă, și spune explicit că maximul nu există. Minimul poate exista chiar și atunci.

Cum aleg între maxim și minim când enunțul spune „optim”?

Stabilește întâi ce mărime urmărește enunțul și ce înseamnă pentru ea „mai bine”. Un cost optim este cel mai mic, o recoltă optimă este cea mai mare. Apoi privește orientarea ramurilor: ea îți spune dacă vârful răspunde la întrebare sau dacă trebuie să cauți la capete. Verifică și domeniul admis.

Un senzor care măsoară la intervale regulate poate rata maximul?

Da. Dacă vârful cade între două momente de măsurare, cea mai mare citire este mai mică decât maximul real. Modelul permite calculul exact al vârfului, iar comparația arată cât s-a pierdut prin eșantionare. Pentru citiri mai apropiate de maxim, măsurătorile trebuie făcute mai des sau completate cu modelul.