Cum așez obiecte ca unele să nu fie vecine?
Lecția pe scurt · clasa a X-a · Permutări cu restricții
Folosești metoda locurilor libere, potrivită când unele obiecte nu au voie să fie vecine. Așezi întâi obiectele fără restricții, apoi pui obiectele care trebuie separate în spațiile dintre ele și la capete, câte unul în fiecare spațiu. Exemplu: flacoane pe un raft, dintre care oxidanți care nu au voie să fie vecini. Cele flacoane libere se așază în de feluri și lasă spații, iar oxidanții ocupă dintre ele în de feluri: .
O restricție alege, dintre toate cele permutări, doar o parte. Metoda rămâne regula produsului, dar pornești de la ce e mai strâns legat: dacă un element are locul fixat, celelalte se aranjează în feluri, iar la numere cifra nu poate sta în față.
Când mai multe elemente trebuie să stea împreună, le legi într-un bloc: blocul și celelalte elemente se ordonează, apoi înmulțești cu ordinile din interiorul blocului. Când două elemente nu au voie să fie vecine, e mai scurt să scazi din total așezările în care formează bloc. Când mai multe elemente trebuie separate, așezi întâi elementele libere și le strecori pe celelalte în spațiile dintre ele, câte unul în fiecare spațiu.
O ordine relativă impusă, de tipul „înainte de”, se tratează prin împărțire, iar două restricții diferite se combină cu principiul includerii și al excluderii, adăugând înapoi intersecția. Orice rezultat se verifică pe altă cale sau, pe un caz mic, prin enumerarea tuturor permutărilor; unele restricții nu au altă metodă la acest nivel.
De reținut
- locurile libere: obiecte așezate lasă spații
- „nevecine” pentru două elemente: total minus așezările cu bloc
- ordinea relativă a elemente impusă: împarți la
Greșeala tipică
Se pun obiectele separate doar între cele libere și se uită cele două capete; flacoane lasă spații, nu .
Exerciții din această mini-lecție
Ce metodă folosești când două elemente anume trebuie să stea unul lângă altul într-o așezare în linie?
- a) locurile libere dintre celelalte elemente
- b) metoda blocului, cu ordinile din interiorul lui
- c) împărțirea totalului la
- d) includerea și excluderea
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) metoda blocului, cu ordinile din interiorul lui
„Împreună” cere un bloc: îl ordonezi împreună cu celelalte elemente, apoi înmulțești cu ordinile din interior. Locurile libere servesc la separare, împărțirea la ordinea relativă, iar includerea și excluderea la două condiții deodată.
Șase elemente distincte se așază în linie, iar trei anume dintre ele trebuie să ocupe locuri consecutive, în orice ordine. Câte așezări sunt?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b)
Blocul și celelalte trei elemente dau obiecte, deci ordini, iar în bloc sunt ordini: .
Șapte elemente distincte se așază în linie; elementul stă pe ultimul loc, iar , și apar în această ordine, nu neapărat alăturate. Câte așezări sunt?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a)
Cu fixat pe ultimul loc rămân de ordini pentru celelalte șase elemente, iar dintre cele ordini relative ale lui , , convine una singură: .
Întrebări conexe
Câte permutări au elementul înaintea lui ?
Jumătate din total: fiecărei așezări cu înaintea lui îi corespunde una singură, obținută schimbându-i între ei, în care e înaintea lui . Pentru elemente sunt de permutări, chiar dacă și nu sunt alăturate.
Câte așezări au exact un loc între și ?
Pentru elemente în linie, perechile de locuri aflate la distanța sunt , , , , adică . Pe fiecare pereche și se așază în ordini, iar ceilalți în : .
Câte permutări ale lui au numerele pare pe locurile pare?
Numerele , , ocupă locurile , , în feluri, iar numerele impare ocupă locurile impare tot în feluri. Regula produsului dă de permutări din .
În câte ordini se analizează probe, dacă nu e prima și nu e ultima?
Scazi din total ordinile interzise, cu includere și excludere. Din de ordini, au primul, au ultimul, iar au ambele. Rămân de ordini permise.
Cum verific pe un caz mic o formulă de permutări cu restricții?
Alegi un caz pe care îl poți scrie în întregime. Pentru , , cu și nevecine, formula „total minus bloc” dă . Enumerarea confirmă: doar și îi despart pe și .
Oamenii mai întreabă și: substanțe care nu au voie să stea alături · metoda locurilor libere la permutări · cum separ elementele într-o așezare · așezări în care niciun element nu e vecin cu altul