Probleme de permutări cu restricții (M2, științe ale naturii)

Într-un stativ cu șapte locașuri se pun șapte eprubete deschise, fiecare cu altă soluție. Două dintre ele cer atenție: una conține acid clorhidric concentrat, cealaltă o soluție de amoniac. Vaporii celor două se întâlnesc deasupra stativului și formează un fum alb de clorură de amoniu, așa că laborantul le vrea departe una de alta: cel puțin, să nu stea în locașuri alăturate. Fără nicio condiție, eprubetele se pot așeza în $7!=5040$ de feluri. Câte așezări rămân după ce impui condiția? Nu se poate ghici, dar se poate număra exact, cu metodele din lecția de față, de clasa a X-a, la profilul științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, la capitolul „Metode de numărare”, pe care programa îl vrea predat prin contexte practice. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține permutările, iar condițiile impuse sunt felul obișnuit în care o problemă de permutări primește mai multe cerințe.

În lecția despre permutări: definiție și formulă ai numărat toate ordonările unei mulțimi, fără nicio condiție. Aici condițiile apar și aleg doar o parte dintre cele $n!$ ordonări. Nu ai nevoie de formule noi: ai nevoie de câteva feluri de a organiza numărătoarea, iar fiecare dintre ele se sprijină pe regula produsului, pe regula sumei sau pe numărarea prin complementară.

Ce vei învăța

• Vei ști să numeri permutările în care un element are un loc impus sau un loc interzis, inclusiv numerele cu cifre distincte care conțin cifra $0$.
• Vei ști să aplici metoda blocului când unele elemente trebuie să stea împreună și să nu uiți ordinile din interiorul blocului.
• Vei ști să numeri prin complementară așezările în care două elemente nu stau alăturate.
• Vei ști să folosești metoda locurilor libere când mai multe elemente trebuie separate unele de altele.
• Vei ști să tratezi ordinea relativă prin împărțire și două restricții deodată prin principiul includerii și al excluderii.
• Vei ști să verifici un rezultat pe un caz mic, prin enumerare, și să recunoști restricțiile pentru care enumerarea e singura cale la acest nivel.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o permutare cu restricții?

O permutare cu restricții este o permutare a unei mulțimi finite care trebuie să respecte, în plus, una sau mai multe condiții din enunț: un element are un loc impus, două elemente stau împreună, altele nu au voie să fie vecine și așa mai departe. Permutările cu restricții formează o parte a mulțimii tuturor permutărilor, deci numărul lor este cel mult $P_n=n!$.

Metoda nu se schimbă față de lecția anterioară: construiești așezarea în etape și înmulțești numerele de variante. Se schimbă doar ordinea etapelor. Regula practică este să începi cu elementul sau locul cel mai constrâns, pentru că el are cele mai puține variante, iar după ce l-ai așezat, restul se permută liber. Dacă începi cu elementele libere, numărul de variante al etapei constrânse ajunge să depindă de ce ai ales înainte, iar regula produsului nu se mai poate aplica direct.

2. Cum numeri când un element are loc impus sau interzis?

Un loc impus scoate o etapă din calcul: elementul fixat nu are nicio variantă de ales, iar celelalte $n-1$ se permută liber, în $(n-1)!$ feluri. Un loc interzis se tratează fie direct, alegând întâi cine ocupă locul, fie prin scădere, din totalul $n!$ se scad cele $(n-1)!$ permutări în care elementul stă chiar pe locul interzis.

Cazul tipic este cifra $0$, care nu poate fi prima cifră a unui număr. Cu cifrele $0$, $6$ și $9$, fiecare folosită o dată, se formează $3!=6$ șiruri, dar două dintre ele, $069$ și $096$, încep cu $0$ și nu sunt numere de trei cifre. Rămân $6-2=4$ numere: $609$, $690$, $906$, $960$. Pe calea directă: prima cifră poate fi $6$ sau $9$, deci are $2$ variante, iar celelalte două cifre se așază în $2!=2$ feluri, adică tot $2\cdot 2=4$ numere. Cele două căi dau același rezultat, iar acordul lor este cea mai ieftină verificare pe care o ai.

3. Ce faci când unele elemente trebuie să stea împreună?

Un laborator primește șapte probe de apă: patru dintr-un lac și trei dintr-un râu. Probele din lac trebuie analizate una după alta, fără întrerupere, ca aparatul să nu fie recalibrat de mai multe ori. Metoda blocului are doi pași. Întâi legi cele patru probe din lac într-un singur bloc și îl tratezi ca pe un obiect: rămân $1+3=4$ obiecte de ordonat, deci $4!$ feluri. Apoi ordonezi probele în interiorul blocului, tot în $4!$ feluri. Prin regula produsului,

$$4!\cdot 4!=24\cdot 24=576.$$

În general, dacă un grup de $k$ elemente, din cele $n$, e obligat să ocupe locuri consecutive, numărul permutărilor este $k!\cdot (n-k+1)!$: blocul și cele $n-k$ elemente rămase dau $n-k+1$ obiecte. Factorul $k!$ este cel uitat cel mai des; el lipsește numai dacă enunțul impune și ordinea din interiorul blocului.

4. De ce este uneori mai ușor să numeri ce nu vrei?

Revino la stativul din deschidere. A număra direct așezările în care acidul și amoniacul nu sunt vecine cere cazuri după locul acidului: la un capăt are un singur vecin, în interior are doi. Mai scurt este să numeri complementara, adică așezările interzise, și să le scazi din total. Cele interzise sunt cele în care cele două eprubete stau alăturate, adică un bloc de două: $2!\cdot 6!=2\cdot 720=1440$. Atunci

$$7!-2!\cdot 6!=5040-1440=3600$$

de așezări respectă condiția laborantului. Semnalul pentru complementară îl dau cuvintele „nu”, „niciun”, „cel puțin” din enunț. Atenție la o nuanță de limbaj: pentru trei sau mai multe elemente, „nu stau toate împreună” interzice doar blocul complet, iar „nu stau două vecine” interzice orice vecinătate; sunt condiții diferite, cu rezultate diferite.

5. Cum separi elementele care nu au voie să fie vecine?

Pe raftul unui incubator se așază opt culturi diferite: cinci culturi de bacterii și trei culturi de mucegai. Sporii de mucegai se împrăștie ușor, așa că nicio cultură de mucegai nu are voie să stea lângă altă cultură de mucegai. Aici complementara ar cere multe cazuri care se suprapun. Metoda locurilor libere ocolește problema. Întâi așezi elementele fără restricție, cele cinci culturi de bacterii, în $5!=120$ de feluri. Rândul lor lasă șase spații în care poate intra o cultură de mucegai: unul înaintea primei culturi, patru între culturi și unul după ultima. Dacă în fiecare spațiu intră cel mult o cultură de mucegai, între oricare două dintre ele rămâne sigur o cultură de bacterii.

Culturile de mucegai sunt diferite, deci contează care intră în care spațiu: prima are $6$ spații la dispoziție, a doua $5$, a treia $4$. Numărul total de așezări este

$$5!\cdot 6\cdot 5\cdot 4=120\cdot 120=14400.$$

Produsul $6\cdot 5\cdot 4$, cu factori care scad din unu în unu, are un nume și o notație proprie, pe care le afli în lecția despre aranjamente. Aici îl scriem desfășurat. Metoda cere ca elementele de separat să nu fie mai multe decât spațiile: cu $p$ elemente libere ai $p+1$ spații.

6. Ce faci când contează doar ordinea relativă?

La prepararea unei soluții diluate se adaugă într-un vas, pe rând, cinci substanțe, printre care apa și acidul sulfuric. Regula de siguranță din laborator spune că acidul se toarnă în apă, niciodată invers, deci apa trebuie să intre în vas înaintea acidului, nu neapărat imediat înaintea lui. Aici nu e nevoie de bloc. Grupează cele $5!=120$ de ordini în perechi: fiecărei ordini îi asociezi ordinea în care apa și acidul și-au schimbat locurile, iar restul a rămas pe loc. În fiecare pereche exact una are apa înaintea acidului, deci numărul căutat este jumătate din total:

$$\frac{5!}{2}=\frac{120}{2}=60.$$

Același argument, aplicat la $r$ elemente a căror ordine este impusă complet, spune că dintre cele $r!$ ordini posibile ale lor convine una singură, deci rezultatul este $\frac{n!}{r!}$.

7. Ce faci când enunțul are două restricții deodată?

Un analist are cinci probe numerotate de la $1$ la $5$ și le trece pe rând printr-un aparat. Proba $1$ este foarte concentrată, deci nu are voie să fie prima, iar proba $5$ este martorul și nu are voie să fie ultima. Notăm cu $A$ mulțimea ordinilor în care proba $1$ e prima și cu $B$ mulțimea celor în care proba $5$ e ultima. Ordinile bune sunt cele din afara reuniunii $A\cup B$, iar reuniunea se numără cu principiul includerii și al excluderii: $n(A)=4!=24$, $n(B)=4!=24$, iar $n(A\cap B)=3!=6$, pentru că ambele locuri sunt fixate. Rezultă

$$5!-24-24+6=78.$$

Cine scade doar cele două mulțimi obține $72$ și pierde cele șase ordini din intersecție, scăzute de două ori.

8. Cum verifici un rezultat și ce faci când nu ai formulă?

Orice formulă cu restricții se poate verifica pe un caz mic, scriind toate permutările și numărându-le pe cele bune. La trei sau patru elemente lista încape pe o foaie; la mai multe, un program scurt, care generează toate permutările și le testează pe rând, face același lucru în câteva secunde. Programa de științe recomandă instrumentele digitale pentru explorare și verificare, iar nota ei metodologică pomenește, la metodele de numărare, activitățile de simulare.

Enumerarea e utilă și când restricția nu se potrivește cu nicio metodă de mai sus. Patru eprubete etichetate sunt scoase din locașurile lor numerotate și puse înapoi la întâmplare. În câte feluri se poate întâmpla ca niciuna să nu ajungă în locașul ei? Scriem locașurile $1,2,3,4$ și, pentru fiecare, eprubeta pe care o primește. Așezările bune sunt

$$2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,$$

adică nouă din cele $4!=24$. Pentru un număr mare de eprubete există și o formulă, dar ea depășește programa clasei a X-a; lista și un program care o generează sunt, deocamdată, instrumentele corecte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cifre distincte cu cifra 0

Se formează numere de șase cifre folosind fiecare dintre cifrele $0$, $1$, $2$, $5$, $6$ și $8$ exact o dată. a) Câte numere se pot forma? b) Câte dintre ele sunt pare? c) Câte sunt divizibile cu $5$?

Rezolvare. a) Prima cifră nu poate fi $0$, deci are $5$ variante; celelalte cinci cifre se așază în $5!$ feluri: $5\cdot 5!=5\cdot 120=600$ de numere. Prin complementară: $6!-5!=720-120=600$.

b) Un număr este par dacă ultima cifră este pară: $0$, $2$, $6$ sau $8$. Separăm cazurile, pentru că cifra $0$ se comportă altfel. Dacă ultima cifră e $0$, primele cinci locuri se umplu liber: $5!=120$ de numere. Dacă ultima cifră e $2$, $6$ sau $8$, prima cifră nu poate fi nici $0$, nici cifra de la final, deci are $4$ variante, iar cele patru cifre din mijloc se așază în $4!$ feluri: $3\cdot 4\cdot 24=288$. Prin regula sumei, $120+288=408$ de numere pare.

c) Divizibile cu $5$ sunt cele terminate în $0$ sau în $5$: $120$ terminate în $0$ și $4\cdot 4!=96$ terminate în $5$, deci $120+96=216$.

Exemplul 2 — Bloc și complementară pe aceleași date

Într-o vitrină de mineralogie se așază pe un singur rând opt exponate diferite, printre care două fragmente de meteorit. a) În câte feluri se pot așeza, dacă fragmentele de meteorit stau alăturate? b) Dar dacă nu stau alăturate?

Rezolvare. a) Blocul celor două fragmente împreună cu celelalte șase exponate înseamnă $7$ obiecte, iar în interiorul blocului sunt $2$ ordini:

$$2!\cdot 7!=2\cdot 5040=10080.$$

b) Complementara față de total: $8!-10080=40320-10080=30240$. Controlul: $10080+30240=40320$, adică cele două situații acoperă toate așezările, fără suprapunere.

Exemplul 3 — Separarea prin locuri libere

Pe o bancă de laborator cu zece locuri numerotate se așază zece flacoane diferite: șase cu soluții apoase și patru cu solvenți inflamabili. Din motive de siguranță, două flacoane cu solvenți inflamabili nu au voie să stea pe locuri vecine. În câte feluri se pot așeza flacoanele?

Rezolvare. Așezăm întâi cele șase flacoane cu soluții apoase, în $6!=720$ de feluri. Rândul lor lasă $6+1=7$ spații, iar cele patru flacoane cu solvenți intră în spații diferite, câte unul în fiecare, în $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$ de feluri. Rezultatul este

$$6!\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=720\cdot 840=604800.$$

Condiția de aplicare este îndeplinită: patru flacoane de separat și șapte spații.

Exemplul 4 — Trei elemente cu ordinea impusă

Un profesor de fizică programează șapte experimente diferite, câte unul pe zi. Experimentul cu pendulul, cel cu planul înclinat și cel cu resortul trebuie făcute în această ordine, nu neapărat în zile consecutive. Câte programări sunt posibile?

Rezolvare. Cele trei experimente pot apărea, între ele, în $3!=6$ ordini relative, iar în totalul de $7!$ programări fiecare dintre aceste ordini apare de același număr de ori. Una singură convine, deci

$$\frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840.$$

Verificare pe altă cale: programezi întâi cele patru experimente fără restricție, alegând pe rând ziua fiecăruia, în $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$ de feluri. Rămân trei zile libere, iar pe ele cele trei experimente intră într-un singur fel, cel impus. Rezultatul este tot $840$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un gel de electroforeză are nouă godeuri, iar în ele se încarcă nouă probe diferite, printre care două probe de control care trebuie să fie în godeuri alăturate. Un elev scrie: „leg cele două controale într-un bloc, rămân $8$ obiecte, deci $8!=40320$ de variante”. Unde greșește?

Rezolvare. Blocul e corect, dar elevul a uitat că cele două probe de control se pot încărca în două ordini: primul control în stânga sau în dreapta. Fiecare așezare a celor opt obiecte corespunde la două încărcări diferite ale gelului, deci rezultatul corect este

$$2!\cdot 8!=2\cdot 40320=80640.$$

Proba pe un caz mic arată imediat greșeala: cu numai două probe, ambele de control, există evident $2$ încărcări, nu $1!=1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6\}$. a) Determinați câte permutări ale lui $M$ încep cu un multiplu de $3$. b) Determinați câte permutări ale lui $M$ au pe $6$ pe primul loc și pe $1$ pe ultimul. c) Determinați câte permutări ale lui $M$ au numerele pare pe locurile $1$, $3$ și $5$.

Rezolvare. a) Multiplii lui $3$ din $M$ sunt $3$ și $6$, deci primul loc are $2$ variante, iar celelalte cinci numere se permută liber: $2\cdot 5!=2\cdot 120=240$.

b) Două locuri sunt fixate, iar celelalte patru numere se permută liber pe locurile rămase: $4!=24$.

c) Numerele pare, $2$, $4$ și $6$, se așază pe locurile $1$, $3$, $5$ în $3!$ feluri, iar numerele impare pe locurile $2$, $4$, $6$ tot în $3!$ feluri: $3!\cdot 3!=6\cdot 6=36$.

Exemplul urmează forma cerințelor scurte de la Subiectul I al probei M_șt-nat. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de numărare formulată ca probabilitate, nu o permutare cu restricții, așa că exemplul antrenează tema din programă, fără să prezică subiectul; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Scrie, pentru fiecare exercițiu, metoda aleasă: loc impus, bloc, complementară, locuri libere, ordine relativă sau includere–excludere. Unde poți, verifică rezultatul pe altă cale.

1. Câte permutări ale mulțimii $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ au numărul $5$ pe locul din mijloc?

2. Câte numere de cinci cifre se pot forma folosind fiecare dintre cifrele $0$, $2$, $3$, $7$ și $9$ exact o dată?

3. Nouă elemente distincte se așază în linie, iar șase anume dintre ele trebuie să ocupe locuri consecutive, în orice ordine. Câte așezări sunt?

4. În câte dintre așezările de la exercițiul 3 un element anume din bloc este primul din bloc?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul permutărilor unei mulțimi cu $n\ge 2$ elemente în care două elemente anume nu sunt vecine este $(n-1)!\cdot (n-2)$.”

6. Opt elemente distincte se așază în linie, iar elementul $a$ trebuie să fie undeva înaintea elementului $b$ și înaintea elementului $c$. În câte feluri?

7. Douăsprezece elemente distincte se așază în linie: șapte fără restricții și cinci care nu au voie să fie vecine două câte două. În câte feluri?

8. Opt elemente distincte se așază în linie, iar două anume dintre ele nu au voie să stea la capete: niciunul dintre ele nu poate fi primul sau ultimul. În câte feluri?

9. (Problemă aplicată.) Într-un acvariu de laborator se introduc, pe rând, șase specii diferite de pești. Peștele-curățitor trebuie introdus primul, iar cele două specii de ciclide, una imediat după cealaltă, în orice ordine. Câte ordini de introducere sunt posibile?

10. Șapte elemente distincte se așază în linie; $a$ și $b$ trebuie să stea împreună, iar $c$, $d$ și $e$ trebuie să formeze și ele un bloc. În câte feluri?

11. Șapte elemente distincte se așază în linie; $a$ și $b$ nu au voie să fie vecine, iar $c$ nu are voie să fie primul. În câte feluri? (Indicație: folosește principiul includerii și al excluderii.)

12. Șase elemente distincte se așază în linie astfel încât $a$ să fie înaintea lui $b$ și $c$ înaintea lui $d$. În câte feluri?

13. Într-un stativ cu nouă locașuri numerotate se pun trei soluții acide, trei bazice și trei neutre, toate diferite. Locașurile $1$, $4$ și $7$ trebuie să conțină soluții de același tip, la fel locașurile $2$, $5$, $8$ și locașurile $3$, $6$, $9$, iar în locașul $1$ stă o soluție acidă. În câte feluri se poate umple stativul?

14. Câte numere pare de șase cifre se pot forma folosind fiecare dintre cifrele $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ și $6$ exact o dată?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul permutărilor mulțimii $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ care încep cu un număr par.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul permutărilor mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$ în care $5$ se află imediat după $4$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere de cinci cifre, formate folosind fiecare dintre cifrele $1$, $2$, $3$, $4$ și $5$ exact o dată, sunt mai mari decât $30000$.

18. (Provocare.) Câte permutări ale mulțimii $\{1,2,3,4,5,6\}$ au numerele pare în ordine crescătoare și numerele impare în ordine descrescătoare, citite de la stânga la dreapta?

Răspunsuri și explicații

1. Mulțimea are nouă elemente, deci locul din mijloc este al cincilea. El este ocupat de $5$, iar celelalte opt numere se permută liber: $8!=40320$.

2. Prima cifră are $4$ variante, fiind orice cifră în afară de $0$, iar celelalte patru se așază în $4!$ feluri: $4\cdot 4!=4\cdot 24=96$.

3. Blocul și celelalte trei elemente dau $4$ obiecte, iar în bloc sunt $6!$ ordini: $6!\cdot 4!=720\cdot 24=17280$.

4. Elementul fixat pe primul loc al blocului lasă $5!$ ordini pentru restul blocului, iar cele $4$ obiecte se ordonează în $4!$ feluri: $5!\cdot 4!=120\cdot 24=2880$, adică exact o șesime din $17280$, cum era de așteptat prin simetrie: fiecare dintre cele șase elemente ale blocului este primul în tot atâtea așezări.

5. Adevărat. Din total se scad permutările în care cele două sunt vecine, $2\cdot (n-1)!$: $n!-2\cdot (n-1)!=(n-1)!\cdot (n-2)$. Pentru $n=7$ se regăsește rezultatul de la stativul din deschidere: $6!\cdot 5=720\cdot 5=3600$.

6. Privește doar ordinea relativă a lui $a$, $b$ și $c$: fiecare dintre ele este primul dintre cele trei în același număr de așezări, deci $a$ este primul într-o treime din total: $\frac{8!}{3}=\frac{40320}{3}=13440$.

7. Cele șapte elemente libere se așază în $7!$ feluri și lasă $8$ spații; cele cinci elemente de separat intră în spații diferite în $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6720$ de feluri: $7!\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=5040\cdot 6720=33868800$.

8. Începem cu elementele restricționate: primul dintre ele are la dispoziție cele $6$ locuri din interior, al doilea $5$, iar celelalte șase elemente se permută pe locurile rămase: $6\cdot 5\cdot 6!=30\cdot 720=21600$.

9. Primul loc este al peștelui-curățitor. Pe celelalte cinci locuri, blocul ciclidelor și cele trei specii rămase dau $4$ obiecte, deci $4!$ ordini, iar în bloc sunt $2$ ordini: $2\cdot 4!=2\cdot 24=48$.

10. Blocurile $\{a,b\}$ și $\{c,d,e\}$ împreună cu $f$ și $g$ dau $4$ obiecte: $4!$ ordini; în blocuri, $2!$ și $3!$ ordini. Total: $2!\cdot 3!\cdot 4!=2\cdot 6\cdot 24=288$.

11. Total $7!=5040$. Fie $A$ mulțimea permutărilor cu $a$ și $b$ vecine, $n(A)=2\cdot 6!=1440$, și $B$ mulțimea celor cu $c$ pe primul loc, $n(B)=6!=720$. În $A\cap B$, $c$ e primul, iar pe celelalte șase locuri $a$ și $b$ sunt vecine: $n(A\cap B)=2\cdot 5!=240$. Permutările bune sunt $5040-1440-720+240=3120$.

12. Fiecare dintre cele două condiții înjumătățește numărul, iar condițiile privesc perechi diferite de elemente: $\frac{6!}{2\cdot 2}=\frac{720}{4}=180$.

13. Întâi stabilești tipul fiecărui grup de locașuri: grupul $1$, $4$, $7$ este al soluțiilor acide, iar celelalte două grupuri primesc bazicele și neutrele în $2$ feluri. Apoi, în fiecare grup, cele trei soluții de același tip se permută în $3!$ feluri: $2\cdot 3!\cdot 3!\cdot 3!=2\cdot 216=432$.

14. Ultima cifră trebuie să fie pară, deci $2$, $4$ sau $6$: $3$ variante. Celelalte cinci cifre se permută liber, fiindcă niciuna nu este $0$: $3\cdot 5!=3\cdot 120=360$.

15. Primul loc poate fi ocupat de $2$, $4$ sau $6$, iar celelalte șase numere se permută liber: $3\cdot 6!=3\cdot 720=2160$.

16. Perechea „$4$ urmat de $5$” formează un bloc cu ordinea impusă, deci fără factorul $2!$. Blocul și numerele $1$, $2$, $3$ dau $4$ obiecte: $4!=24$.

17. Numărul este mai mare decât $30000$ exact când prima cifră este $3$, $4$ sau $5$: $3$ variante, iar celelalte patru cifre se permută liber: $3\cdot 4!=3\cdot 24=72$.

18. Ordinea celor trei numere pare este impusă, deci se împarte la $3!$; la fel pentru cele trei numere impare: $\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{720}{36}=20$. Altfel spus, o astfel de permutare e determinată de alegerea celor trei locuri pentru numerele pare.

De reținut

• Începe cu elementul sau locul cel mai constrâns: un loc impus lasă $(n-1)!$ permutări, un loc interzis lasă $n!-(n-1)!$.
• Metoda blocului: $k$ elemente care stau împreună dau $k!\cdot (n-k+1)!$ permutări; factorul $k!$ lipsește doar dacă și ordinea din bloc e impusă.
• La „nu stau alăturate” numeri complementara: totalul minus așezările în care formează bloc; la „niciunul lângă altul”, pentru mai multe elemente, folosești locurile libere, cu $p+1$ spații pentru $p$ elemente libere.
• Ordinea relativă impusă pentru $r$ elemente se tratează prin împărțire: $\frac{n!}{r!}$; la două restricții diferite, scazi ambele mulțimi și adaugi înapoi intersecția.
• Un rezultat se verifică pe altă cale sau prin enumerare pe un caz mic; la cifre, $0$ nu poate fi prima cifră și schimbă cazurile.

Greșeli frecvente

• Etapa constrânsă lăsată la urmă. Cine așază întâi cifrele libere și abia apoi pe prima nu mai știe câte variante are prima cifră, pentru că depinde dacă $0$ a fost deja folosit. Așază întâi locul cu restricția, apoi restul.
• Cifra $0$ tratată ca oricare altă cifră la numerele pare. La „câte numere pare”, ultima cifră $0$ lasă primul loc liber, iar o altă cifră pară nu. Cazurile se separă, altfel rezultatul iese greșit.
• Blocul așezat doar la începutul rândului. Unii pun blocul pe primele locuri, ordonează restul și obțin $k!\cdot (n-k)!$. Blocul poate începe însă pe oricare dintre cele $n-k+1$ poziții, iar formula $k!\cdot (n-k+1)!$ le numără pe toate; la probele din lac ar ieși $4!\cdot 3!=144$ în loc de $576$.
• Locurile libere folosite fără să verifici câte spații sunt. Cu cinci elemente libere sunt șase spații, deci cel mult șase elemente se pot separa. Dacă enunțul cere mai multe, răspunsul este $0$, nu un produs cu factori negativi.
• Ordine relativă confundată cu bloc. „Apa înaintea acidului” nu cere ca ele să fie vecine. Blocul numără doar așezările alăturate, iar împărțirea la $2$ le numără pe toate cele cu ordinea cerută.

Aplică acasă

1. Cifrele din data nașterii. Scrie data ta de naștere și alege din ea patru cifre diferite, inclusiv cifra $0$ dacă apare. Calculează câte numere de patru cifre poți forma folosindu-le pe toate, apoi scrie-le în ordine crescătoare și verifică. Repetă cu patru cifre fără $0$ și explică de unde vine diferența.

2. Etichetele amestecate. Scrie cifrele $1$–$4$ pe patru bilețele și patru cutii. Amestecă bilețelele și pune câte unul în fiecare cutie de douăzeci de ori, notând de câte ori niciun bilețel nu ajunge în cutia cu același număr. Compară frecvența obținută cu raportul $\frac{9}{24}$ din ultima subsecțiune a lecției.

3. Regula de siguranță. Alege trei reguli de ordine din bucătărie sau din laboratorul școlii, de tipul „mai întâi X, apoi Y”. Pentru o rețetă cu cinci pași, calculează câte ordini respectă una, două, apoi toate trei regulile, dacă regulile privesc perechi diferite de pași.

Pentru părinți și profesori

Lecția aplică permutările la situații cu condiții, iar dificultatea nu stă în calcul, ci în alegerea metodei. Aceeași condiție formulată puțin diferit, „nu stau toate împreună” sau „niciunul nu stă lângă altul”, cere metode diferite și dă rezultate foarte diferite, de aceea lecția insistă pe citirea atentă a enunțului și pe numirea metodei înainte de calcul. La profilul științe ale naturii, capitolul se predă, după nota programei, prin contexte practice: stativul de laborator, probele analizate pe rând și regulile de siguranță sunt tocmai situațiile în care ordinea și vecinătatea contează fizic.

De urmărit în caiet: dacă elevul începe cu elementul cel mai constrâns; dacă, la bloc, înmulțește cu ordinile din interior; dacă verifică un rezultat pe o a doua cale. Întrebări bune de control: „Ce scazi, exact, când folosești complementara?”; „Câte spații lasă șase elemente așezate în linie?”; „De ce la ordinea relativă împarți la $2$?”. Semn bun: ajunge la același număr pe două drumuri diferite și poate explica de ce drumurile se întâlnesc. Pasul următor din traseu sunt aranjamentele, unde produsul desfășurat de la metoda locurilor libere primește notația lui. Legătura dintre „nu” și complementară se sprijină pe regulile de negare din clasa a IX-a. Pentru verificarea unității există testul de metode de numărare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probleme de permutări cu restricții.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”: programa clasei a X-a cere „aplicații în probleme de numărare” la capitolul „Metode de numărare” și precizează că abordarea se face prin contexte practice; competența de analiză a unor probleme cu enunțuri similare, dar restricții diferite, este scrisă explicit. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde permutările la capitolul „Metode de numărare”. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare de la Subiectul I este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Prin ce se deosebește lecția despre permutări cu restricții de la M2 de cea de la mate-info (M1)? Metodele de bază sunt aceleași: locul impus, blocul, complementara, locurile libere și ordinea relativă. Lecția de științe ale naturii le aplică pe situații de laborator și adaugă două lucruri: două restricții tratate cu principiul includerii și al excluderii, pe care programa de științe îl numește explicit, și verificarea prin enumerare, inclusiv pentru o restricție fără formulă.

La ce subiect apar permutările cu restricții la bacalaureatul M2? Programa de examen din 2014 cuprinde permutările la capitolul „Metode de numărare”, fără să numească separat restricțiile. În modelul publicat pentru 2026, cerința de numărare se află la Subiectul I și este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor. La proba MAT_P2 din 2030 tema intră în domeniul „Algebră”, dar un model de subiect pentru această probă nu a fost încă publicat.

Cum aleg între complementară și metoda locurilor libere? Dacă restricția privește două elemente care nu au voie să fie vecine, complementara e cea mai scurtă: totalul minus blocul lor. Dacă trei sau mai multe elemente nu au voie să stea două câte două alături, complementara cere multe cazuri care se suprapun, iar locurile libere rezolvă totul într-un singur produs.

Ce fac dacă în bloc un element are loc fix? Tratezi blocul ca de obicei, dar în interiorul lui ordonezi numai elementele rămase libere. Dacă blocul are $k$ elemente și unul dintre ele are locul impus în bloc, interiorul se ordonează în $(k-1)!$ feluri, nu în $k!$, iar blocul se mută în continuare printre celelalte obiecte în $(n-k+1)!$ feluri. Rezultatul este produsul $(k-1)!\cdot (n-k+1)!$.

Cum număr numerele formate cu toate cifrele date, când printre ele este și $0$? Tratezi întâi prima cifră, care nu poate fi $0$, apoi restul. Dacă mai există o condiție pe ultima cifră, de exemplu numărul să fie par, separi cazul în care ultima cifră este $0$ de celelalte, pentru că atunci prima cifră are o variantă în plus. La final aduni cazurile.

Ce fac dacă nu găsesc nicio metodă pentru o restricție? Reduci problema la un caz mic și scrii toate permutările, apoi le numeri pe cele bune; pentru cazuri mai mari folosești un program care le generează. Unele restricții, cum ar fi „niciun obiect la locul lui”, au formule care depășesc programa clasei a X-a, iar enumerarea rămâne instrumentul corect.