Cum aflu semnul produsului a două funcții afine?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Produsul a două funcții afine

Zerourile celor două funcții împart axa în zone; în fiecare zonă compari pozițiile celor două drepte față de axa $O x$ . Aceeași parte înseamnă produs pozitiv, părți opuse înseamnă produs negativ. Exemplu: $f (x) = x + 2$ și $g (x) = 4 - x$ au zerourile $- 2$ și $4$ . Pe $(- 2, 4)$ ambele sunt pozitive, deci produsul este pozitiv; în afara intervalului au semne opuse. Proba: la $x = 0$ produsul este $8$ , la $x = 5$ este $- 7$ .

Înmulțim două funcții intrare cu intrare: pentru fiecare $x$ comun domeniilor, valoarea produsului este $f (x) \cdot g (x)$ . Dacă factorii sunt dați pe intervale, produsul trăiește numai pe partea lor comună, iar în afara ei nu calculăm nimic.

Când avem desenul a două drepte, citim cele două ordonate pe aceeași verticală și le înmulțim. Graficul produsului atinge axa orizontală exact în abscisele în care una dintre drepte trece prin zero; locul în care dreptele se întâlnesc între ele nu contează pentru zerouri, fiindcă acolo factorii sunt egali, nu nuli.

Semnul se stabilește zonă cu zonă: două drepte de aceeași parte a axei dau un produs pozitiv, două drepte de părți opuse dau un produs negativ. Două drepte oblice produc o parabolă; dacă dreptele au aceeași monotonie, ramurile ei sunt în sus, altfel sunt în jos. Factorii cu același zero fac parabola să atingă axa într-un singur punct.

Parabola și dreapta unui factor au puncte comune în două situații: factorul respectiv se anulează sau celălalt factor valorează unu. Unitățile se înmulțesc și ele: la viteza unei reacții de ordinul doi, concentrațiile în mol/L și constanta de viteză dau împreună unitatea vitezei.

De reținut

produsul este pozitiv unde factorii au același semn și negativ unde au semne opuse
zerourile produsului sunt zerourile factorilor
abscisa vârfului este media zerourilor

Greșeala tipică

Se caută zerourile produsului în punctul de intersecție al celor două drepte; acolo factorii sunt doar egali, iar produsul este pătratul valorii comune.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f (x) = x - 5$ și $g (x) = 2 x + 1$ , cât este $(f \cdot g) (3)$ ?
- a) $- 14$
- b) $14$
- c) $- 2$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 14$

Citim $f (3) = - 2$ și $g (3) = 7$ , deci produsul este $(- 2) \cdot 7 = - 14$ .
Graficul produsului $f \cdot g$ , unde $f (x) = 5 - x$ și $g (x) = x + 7$ , întâlnește axa $O x$ în punctele:
- a) $(- 5; 0)$ și $(7; 0)$
- b) $(5; 0)$ și $(- 7; 0)$
- c) $(0; 35)$
- d) numai $(5; 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(5; 0)$ și $(- 7; 0)$

Produsul este zero când un factor este zero: $5 - x = 0$ dă $x = 5$ , iar $x + 7 = 0$ dă $x = - 7$ .
Două funcții afine $f$ și $g$ au graficele care se intersectează în punctul $(2; - 3)$ . Cât este $(f \cdot g) (2)$ ?
- a) $0$
- b) $- 6$
- c) $- 9$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $9$

În abscisa doi ambele funcții valorează $- 3$ , deci produsul este $(- 3) \cdot (- 3) = 9$ . Intersecția dreptelor nu este un zero al produsului.

Întrebări conexe

Încotro are ramurile parabola obținută din produsul a două funcții afine?

Coeficientul lui $x^{2}$ este produsul pantelor. Dacă dreptele au aceeași monotonie, ramurile sunt în sus: $(2 x - 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 5 x - 3$ . Dacă una crește și cealaltă scade, ramurile sunt în jos: $x (3 - x) = - x^{2} + 3 x$ .

Unde are vârful parabola $(x - 1) (x - 7)$ ?

Abscisa vârfului este mijlocul zerourilor, $\frac{1 + 7}{2} = 4$ , iar valoarea în vârf este $(4 - 1) (4 - 7) = 3 \cdot (- 3) = - 9$ . Vârful este deci $(4, - 9)$ . Nu e nevoie să desfaci parantezele, fiindcă parabola este simetrică față de verticala care trece prin mijlocul rădăcinilor.

Cum calculez viteza unei reacții ca produs de două concentrații?

Pentru $v = k [A] [B]$ , cu $k = 0, 4$ L/(mol·min), $[A] = 2 - 0, 1 t$ și $[B] = 1 - 0, 05 t$ mol/L, la $t = 4$ min ai $[A] = 1, 6$ și $[B] = 0, 8$ . Viteza este $0, 4 \cdot 1, 6 \cdot 0, 8 = 0, 512$ mol/(L·min). Unitățile se înmulțesc la fel ca numerele.

Cum rezolv inecuația $(2 x - 6) (x + 1) \geq 0$ ?

Zerourile factorilor sunt $3$ și $- 1$ . Ambii factori cresc, deci produsul are ramurile în sus și este nenegativ în afara zerourilor, inclusiv în ele: $x \in (- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)$ . Proba la $x = 0$ : $(- 6) \cdot 1 = - 6 < 0$ , deci $0$ corect nu intră.

De ce punctul în care se taie cele două drepte nu este un zero al produsului?

Acolo cei doi factori sunt egali, nu nuli. Dreptele $y = x + 1$ și $y = 5 - x$ se întâlnesc în $(2, 3)$ , iar produsul în $x = 2$ este $3 \cdot 3 = 9$ . Produsul se anulează doar unde un factor devine zero, adică în $- 1$ și în $5$ , abscisele în care dreptele ating axa $O x$ .

Oamenii mai întreabă și: semnul produsului a două funcții de gradul întâi · tabelul de semn pentru produs · produsul a două drepte pozitiv sau negativ · semnul lui f ori g