Produsul a două funcții afine pe grafic (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-o reacție chimică, viteza depinde de concentrațiile a doi reactanți care scad pe măsură ce reacția înaintează. Fiecare concentrație urmează o dreaptă, dar viteza este produsul lor, iar graficul ei este o curbă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim acest produs direct din cele două drepte desenate: unde se anulează, ce semn are, ce formă capătă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția de gradul al doilea, cu reprezentarea grafică și intersecțiile cu axele. Lecția pleacă de la funcția afină la M2 și pregătește câtul a două funcții.

Ce vei învăța

Vei defini produsul a două funcții și vei stabili pe ce mulțime există.
Vei obține valorile produsului citind, pe aceeași verticală, ordonatele celor două drepte.
Vei găsi punctele în care graficul produsului întâlnește axa orizontală, privind doar dreptele.
Vei deduce semnul produsului din poziția fiecărei drepte față de axă.
Vei recunoaște forma graficului obținut și direcția ramurilor lui.
Vei interpreta punctele comune ale graficului produsului cu graficul unui factor.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se construiește produsul a două funcții?

Produsul a două funcții $f : A \to R$ și $g : B \to R$ este funcția $f \cdot g$ , definită pe mulțimea intrărilor comune $A \cap B$ , care asociază fiecărei intrări $x$ numărul $f (x) \cdot g (x)$ . Operația se face „pe valori”: alegem o intrare, citim cele două ieșiri și le înmulțim. Nu înmulțim grafice ca figuri și nici formule scrise pe hârtie fără legătură cu intrarea.

Pentru $u (x) = 3 - x$ și $w (x) = 2 x + 1$ , ambele definite pe $R$ , avem la intrarea doi $(u \cdot w) (2) = u (2) \cdot w (2) = 1 \cdot 5 = 5$ . Fiecare intrare are propriul produs, calculat separat.

Condiția intrărilor comune contează când factorii vin din măsurători făcute pe intervale diferite. Dacă un senzor a înregistrat o mărime numai între minutele zero și zece, iar altul numai între minutele cinci și douăzeci, produsul are sens doar între minutele cinci și zece. În afara acestei ferestre comune lipsește măcar una dintre cele două valori.

Lucrăm cu factori afini $a x + b$ care au panta nenulă, deci cu drepte oblice. Motivul se vede imediat: cu o pantă nulă, un factor ar fi constant, iar produsul s-ar comporta altfel decât în restul lecției; acest caz nu intră aici.

2. Cum citim valorile produsului pe două drepte desenate?

Figura A arată dreptele $a (x) = \frac{x}{2} + 1$ și $b (x) = 7 - x$ , împreună cu graficul produsului lor. Pentru o intrare fixată, ducem o verticală și citim două ordonate: punctul de pe prima dreaptă și punctul de pe a doua.

La intrarea zero, prima dreaptă are ordonata unu, iar a doua are ordonata șapte, deci produsul valorilor este șapte. La intrarea patru, ambele drepte trec prin ordonata trei, iar produsul este nouă. La intrarea opt, prima dreaptă este la cinci, a doua la minus unu, iar produsul devine minus cinci.

Ordinea contează: citim ambele valori pe aceeași verticală. Dacă am lua ordonata primei drepte la o intrare și pe a doua la altă intrare, am înmulți două numere care nu aparțin aceluiași $x$ și am obține un punct fals.

Repetând citirea pe mai multe verticale, strângem puncte ale graficului produsului. Unite în ordinea intrărilor, ele desenează o curbă netedă, nu o linie frântă: între două intrări citite, valorile se schimbă treptat, fiindcă ambele drepte se schimbă treptat.

3. Unde se anulează produsul?

Un produs de numere este zero exact atunci când cel puțin un factor este zero. Pe desen, asta înseamnă verticalele prin punctele în care una dintre drepte taie axa orizontală. În figura A, prima dreaptă taie axa la minus doi, iar a doua la șapte, deci graficul produsului trece prin aceste două puncte ale axei.

Principiul produsului nul a fost folosit la intersecțiile parabolei cu axele, unde formula era deja scrisă ca produs. Aici el capătă o imagine: fiecare factor își aduce propriul punct pe axă.

Punctul în care cele două drepte se întâlnesc între ele are alt rol, pe care îl lămurim în Exemplul 4.

4. Ce semn are produsul, privind cele două drepte?

Semnul unui produs depinde doar de semnele factorilor: două valori de același semn dau un rezultat pozitiv, două valori de semne diferite dau un rezultat negativ. Pe desen, semnul unui factor este poziția dreptei lui față de axa orizontală: deasupra înseamnă pozitiv, dedesubt înseamnă negativ.

Împărțim axa intrărilor prin punctele în care dreptele taie axa. În fiecare zonă, fiecare dreaptă stă de o singură parte a axei, deci semnul produsului este constant. În figura A, la stânga lui minus doi prima dreaptă e dedesubt și a doua deasupra; între minus doi și șapte amândouă sunt deasupra; la dreapta lui șapte prima e deasupra, iar a doua dedesubt.

Obținem un produs negativ, apoi pozitiv, apoi iar negativ, cu zerourile ca graniță. Lecția M2 dedicată semnului unei parabole citea semnul pe curba însăși; aici îl deducem înainte să avem curba, din cele două drepte.

5. Ce formă are graficul produsului?

Dacă desfacem parantezele, $(\frac{x}{2} + 1) (7 - x) = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} + 7$ . Produsul a două funcții afine cu pante nenule este o funcție de gradul al doilea, iar graficul ei este o parabolă. Coeficientul lui $x^{2}$ este produsul celor două pante.

Direcția ramurilor se poate citi și fără dezvoltare, privind departe pe axă. Foarte la dreapta, o dreaptă crescătoare urcă mult, iar una descrescătoare coboară mult; produsul valorilor lor este negativ și mare în valoare absolută. Foarte la stânga se întâmplă la fel, cu rolurile schimbate. Ambele capete ale curbei coboară, deci ramurile sunt în jos.

Două drepte cu același fel de monotonie dau, la ambele capete, valori de același semn: produsul este pozitiv departe de origine, iar ramurile sunt în sus. Pentru o schiță rapidă, această observație împreună cu cele două zerouri și cu semnul dintre ele este suficientă.

6. Unde se întâlnește graficul produsului cu graficul unui factor?

Pe figura A, curba produsului taie dreapta $b$ în două puncte. Într-un astfel de punct, ordonata produsului este egală cu ordonata factorului $b$ , adică $a (x) \cdot b (x) = b (x)$ . Egalitatea are loc în două situații: fie $b (x) = 0$ , și atunci ambele grafice sunt pe axă, fie $a (x) = 1$ , și atunci înmulțirea cu unu nu schimbă nimic.

Prima situație dă intrarea șapte, zeroul lui $b$ . A doua dă intrarea la care prima dreaptă are ordonata unu, adică zero. Punctele comune sunt deci $(7; 0)$ și $(0; 7)$ . Nu am avut nevoie de formula dezvoltată: am căutat pe prima dreaptă nivelul unu și pe a doua nivelul zero.

Ideea funcționează pentru orice factor. Graficul produsului întâlnește graficul lui $a$ unde $a$ se anulează sau unde $b$ valorează unu. Citirea acestor niveluri pe drepte este un control rapid al unui desen făcut cu o aplicație.

7. Două drepte care taie axa în același punct

Dacă ambele drepte taie axa în același punct, produsul are un singur zero. În jurul lui, factorii fie au același semn pe ambele părți, fie semne opuse pe ambele părți, deci semnul produsului nu se schimbă la trecerea prin acel punct. Parabola atinge axa orizontală fără să o traverseze.

Poziția zerourilor și monotonia dreptelor rămân singurele informații de care ai nevoie. Când zerourile coincid, ramurile curbei decid dacă restul graficului stă deasupra axei sau dedesubt, iar punctul de contact este chiar vârful parabolei.

8. Cum folosim un grafic trasat digital?

O aplicație de grafice desenează produsul dacă introducem cele două formule și înmulțirea lor. Pentru figura A, aplicația marchează cel mai înalt punct al curbei aproximativ în $(2, 5; 10, 1)$ . Citirea este bună ca orientare, dar coordonatele afișate sunt rotunjite.

Putem controla lectura cu valori exacte: $a (2, 5) = 2, 25$ și $b (2, 5) = 4, 5$ , deci produsul este $2, 25 \cdot 4, 5 = 10, 125$ . Valoarea exactă se rotunjește la $10, 1$ , ca pe ecran. Nu am calculat poziția vârfului cu vreo formulă; am verificat doar punctul indicat de aplicație.

Aplicația ajută și la comparații: dacă modificăm panta unei drepte, vedem imediat cum se mută zeroul ei și cum se deformează parabola. Observația este utilă, dar concluziile despre semn și zerouri se sprijină pe citirea fiecărei drepte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un tabel construit din două drepte

Figura B arată graficele funcțiilor afine $f$ și $g$ pe o grilă cu pasul unu. Construiește tabelul valorilor lui $f \cdot g$ în intrările $- 3, - 1, 1, 3, 5, 7, 9$ .

Rezolvare. Pe fiecare verticală citim ordonatele celor două drepte, apoi le înmulțim.

$x$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f (x)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$g (x)$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$
$(f \cdot g) (x)$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

Produsul este zero la capetele tabelului, acolo unde una dintre drepte atinge axa. Valorile cresc spre mijloc și scad apoi în aceeași ordine, deoarece una dintre drepte urcă exact cu cât coboară cealaltă pe fiecare pas.

Cea mai mare valoare din tabel apare în trei, unde dreptele se intersectează. Tabelul cu intrări din doi în doi nu garantează că nu există o valoare mai mare între ele; confirmarea vine din graficul complet al produsului, trasat cu o aplicație.

Exemplul 2 — Factori definiți pe intervale diferite

Se dau $f (x) = 2 x - 1$ , definită pe $[- 1, 3]$ , și $g (x) = 4 - x$ , definită pe $[1, 5]$ . Notăm $h = f \cdot g$ . Pe ce mulțime există $h$ și are ea zerouri acolo?

Rezolvare. Produsul există numai unde ambii factori au valori, deci $D_{h} = [1, 3]$ . Calculăm $h (1) = 1 \cdot 3 = 3$ , $h (2) = 3 \cdot 2 = 6$ și $h (3) = 5 \cdot 1 = 5$ .

Dreapta lui $f$ taie axa la $\frac{1}{2}$ , iar dreapta lui $g$ la patru. Niciuna dintre aceste intrări nu aparține intervalului $[1, 3]$ , deci produsul nu are zerouri pe domeniul lui. Pe tot intervalul ambele drepte sunt deasupra axei, astfel că $h (x) > 0$ pe $[1, 3]$ .

Formulele ar da valori și în afara intervalului comun, dar ele nu mai descriu funcțiile date. Un zero al formulei care cade în afara domeniului nu este zero al produsului.

Exemplul 3 — Semnul, fără nicio formulă

Figura C arată două drepte: $r$ crește și taie axa în minus trei, iar $s$ scade și taie axa în doi. Stabilește semnul produsului $h = r \cdot s$ .

Rezolvare. Cele două puncte de pe axă împart intrările în trei zone. La stânga lui minus trei, $r$ este sub axă, iar $s$ deasupra, deci produsul este negativ. Între minus trei și doi, ambele drepte sunt deasupra axei, iar produsul este pozitiv. La dreapta lui doi, $r$ rămâne deasupra, dar $s$ trece dedesubt, deci produsul redevine negativ.

Concluzia: $h (x) < 0$ pe $(- \infty, - 3) \cup (2, + \infty)$ , $h (x) > 0$ pe $(- 3, 2)$ , iar produsul este zero în minus trei și în doi. Monotoniile opuse arată că ramurile parabolei sunt în jos, în acord cu semnul negativ de la ambele capete.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: punctul comun al dreptelor

Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = 7 - 2 x$ , un elev observă că dreptele se taie în punctul de abscisă $\frac{3}{2}$ și scrie că acolo graficul lui $f \cdot g$ taie axa orizontală. Unde greșește?

Rezolvare. La intrarea $\frac{3}{2}$ avem $f (\frac{3}{2}) = 4$ și $g (\frac{3}{2}) = 4$ . Produsul este $(f \cdot g) (\frac{3}{2}) = 4 \cdot 4 = 16$ , un număr pozitiv, nu zero. Dreptele au aceeași ordonată, dar aceasta nu este zero.

Zerourile produsului sunt intrările în care un factor se anulează: $2 x + 1 = 0$ dă $- \frac{1}{2}$ , iar $7 - 2 x = 0$ dă $\frac{7}{2}$ . Verificăm: $(f \cdot g) (- \frac{1}{2}) = 0 \cdot 8 = 0$ și $(f \cdot g) (\frac{7}{2}) = 8 \cdot 0 = 0$ . Elevul a confundat punctul comun al dreptelor cu punctele lor de pe axă.

Exemplul 5 — Viteza unei reacții de ordinul doi

Într-o reacție $A + B \to$ produși, concentrațiile inițiale sunt $4$ mol/L pentru $A$ și $8$ mol/L pentru $B$ . După ce reacția a avansat cu $x$ mol/L, concentrațiile sunt $4 - x$ și $8 - x$ , iar viteza este $v (x) = 0, 1 (4 - x) (8 - x)$ , în mol/(L·s). Modelul are sens pentru $x \in [0, 4]$ . Figura D arată graficul vitezei. Descrie cum se schimbă viteza.

Rezolvare. La pornire, $v (0) = 0, 1 \cdot 4 \cdot 8 = 3, 2$ mol/(L·s). După ce reacția a avansat cu doi, $v (2) = 0, 1 \cdot 2 \cdot 6 = 1, 2$ mol/(L·s). La $x = 3$ obținem $v (3) = 0, 5$ mol/(L·s), iar la capătul domeniului $v (4) = 0$ .

Ambii factori scad și rămân nenegativi pe domeniu, deci produsul lor scade de la $3, 2$ la zero. Viteza se anulează la $x = 4$ , când reactantul $A$ s-a consumat, iar reacția se oprește.

Formula se anulează și la $x = 8$ , dar acea intrare nu aparține modelului: concentrația lui $A$ ar deveni negativă. Graficul din figura D se oprește la capătul domeniului, cu punctul plin $(4; 0)$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ , $g (x) = x + 2$ , și $h = f \cdot g$ . a) Arată că $h (x) = 3 x^{2} + 2 x - 8$ pentru orice număr real $x$ . b) Determină coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $h$ cu axa $O x$ . c) Determină coordonatele punctelor comune ale graficelor funcțiilor $h$ și $g$ .

Rezolvare. a) Înmulțim: $h (x) = (3 x - 4) (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x - 4 x - 8 = 3 x^{2} + 2 x - 8$ .

b) Produsul este zero când un factor este zero: $3 x - 4 = 0$ dă $x = \frac{4}{3}$ , iar $x + 2 = 0$ dă $x = - 2$ . Punctele sunt $(\frac{4}{3}; 0)$ și $(- 2; 0)$ .

c) Cerem $h (x) = g (x)$ , adică $(x + 2) (3 x - 4) - (x + 2) = 0$ , deci $(x + 2) (3 x - 5) = 0$ . Obținem $x = - 2$ sau $x = \frac{5}{3}$ . Cum $g (- 2) = 0$ și $g (\frac{5}{3}) = \frac{11}{3}$ , punctele comune sunt $(- 2; 0)$ și $(\frac{5}{3}; \frac{11}{3})$ . Control: $h (\frac{5}{3}) = 1 \cdot \frac{11}{3} = \frac{11}{3}$ .

Să exersăm

Figura E arată dreptele $u$ și $v$ pe o grilă cu pasul unu și se folosește la exercițiile 1–2.

1. Citind ordonatele pe figura E, stabilește care dintre punctele $A (- 1; 6)$ , $B (1; 6)$ și $C (2; 6)$ se află pe graficul lui $u \cdot v$ .

2. Pe figura E, intrarea $1, 5$ cade între gradații. Estimează din desen valoarea $(u \cdot v) (1, 5)$ , apoi scrie formulele celor două drepte din punctele marcate și calculează valoarea exactă, ca să verifici estimarea.

3. Figura F arată două drepte descrescătoare, $p$ și $q$ . Stabilește semnul produsului $h = p \cdot q$ pe fiecare zonă și direcția ramurilor graficului lui.

4. Pentru $f (x) = 3 x - 7$ și $g (x) = 7 - 3 x$ , notăm $h = f \cdot g$ . Calculează $h (2)$ și $h (3)$ , scrie punctele graficului lui $h$ de pe axa $O x$ și explică de ce $h$ nu ia nicio valoare pozitivă.

5. Pentru $f (x) = 4 x - 5$ și $g (x) = x + 8$ , definite pe $R$ , graficul lui $f \cdot g$ stă deasupra dreptei $g$ exact acolo unde $(f \cdot g) (x) - g (x) > 0$ . Scrie această diferență ca produs de doi factori afini și stabilește, din semnele lor, pe ce intervale se întâmplă asta.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru $f (x) = 3 x - 2$ și $g (x) = 2 - x$ , graficul lui $f \cdot g$ trece atât prin punctul $(1; 1)$ , cât și prin punctul $(- 1; - 13)$ .

7. Tabelul dă valorile a două funcții afine $f$ și $g$ .

$x$	$- 1$	$1$	$3$	$5$
$f (x)$	$- 7$	$- 3$	$1$	$5$
$g (x)$	$10$	$4$	$- 2$	$- 8$

a) Completează rândul valorilor lui $f \cdot g$ . b) Toate valorile obținute sunt negative. Arată, folosind zerourile celor doi factori, că $f \cdot g$ ia totuși și valori pozitive, precizează intervalul lor și calculează $(f \cdot g) (2, 4)$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f (x) = 4 - x$ și $g (x) = 3 x + 2$ . Calculează $(f \cdot g) (0) - (f \cdot g) (2)$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dreapta lui $f$ trece prin $(0; - 3)$ și $(2; 1)$ , iar dreapta lui $g$ trece prin $(0; 5)$ și $(5; 0)$ . Calculează $(f \cdot g) (1)$ și $(f \cdot g) (4)$ .

10. Pentru $f (x) = 2 x + 7$ și $g (x) = 2 x - 1$ , o aplicație marchează cel mai jos punct al graficului lui $f \cdot g$ în $(- 1, 5; - 16)$ . Verifică punctul și compară valorile produsului în minus doi și în minus unu.

11. (Problemă aplicată.) După o viitură, debitul unui râu scade după legea $Q (t) = 36 - 3 t$ , în m³/s, iar concentrația sărurilor dizolvate crește după legea $c (t) = 0, 2 + 0, 05 t$ , în kg/m³, pentru $t \in [0, 8]$ ore. Fluxul de săruri transportat este $S = Q \cdot c$ , în kg/s. Calculează $S (0)$ , $S (2)$ , $S (4)$ și $S (8)$ și explică de ce fluxul nu scade de la început, deși debitul scade.

12. Dreptele $f (x) = x + 9$ și $g (x) = x - 5$ sunt paralele. Are graficul lui $f \cdot g$ puncte pe axa $O x$ ? Dacă da, care sunt? Calculează $(f \cdot g) (0)$ și spune încotro sunt ramurile.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f (x) = x + 5$ și $g (x) = 1 - x$ . Determină numerele reale $x$ pentru care $(f \cdot g) (x) = (f \cdot g) (0)$ .

14. Figura G arată dreapta $f$ și parabola $h = f \cdot g$ , unde $g$ este afină. Folosind punctele marcate, determină $g (0)$ , zeroul lui $g$ și formula lui $g$ .

15. Funcția $f (x) = x + 10$ și funcția $g (x) = 3 x - 4$ sunt considerate pe $[0, 5]$ . Stabilește semnul lui $f \cdot g$ pe acest interval, explicând ce rol are factorul $f$ .

16. Graficul lui $f \cdot g$ , cu $f (x) = \frac{x}{2} + 2$ , trece prin punctul $(4; 4)$ , care se află și pe dreapta $f$ . a) Cât este $g (4)$ ? b) Dacă, în plus, $g (0) = 4$ , scrie formula lui $g$ și găsește celălalt punct comun al graficelor lui $f$ și $f \cdot g$ .

17. Funcția $f (x) = x + 4$ este definită pe $[- 4, 1]$ , iar $g (x) = 7 - x$ pe $[2, 8]$ . Ce poți spune despre $f \cdot g$ ? Reia întrebarea după ce domeniul lui $g$ devine $[0, 8]$ și calculează valorile produsului în capetele noului domeniu.

18. Pentru $f (x) = 2 x + 5$ și $g (x) = 6 - x$ , care dintre descrierile următoare corespunde graficului lui $f \cdot g$ ? A: parabolă cu ramurile în sus și zerourile $- \frac{5}{2}$ și $6$ ; B: parabolă cu ramurile în jos și zerourile $- \frac{5}{2}$ și $6$ ; C: parabolă cu ramurile în jos și zerourile $\frac{5}{2}$ și $- 6$ . Confirmă alegerea calculând $(f \cdot g) (0)$ .

Răspunsuri și explicații

1. Citim $u (- 1) = 3$ , $v (- 1) = 2$ , deci $(u \cdot v) (- 1) = 6$ , iar $A$ este pe grafic. Dreapta $v$ coboară cu o treime la fiecare unitate, prin punctele marcate $(2; 1)$ și $(5; 0)$ , deci la intrarea unu avem $u (1) = 5$ și $v (1) = \frac{4}{3}$ , deci $(u \cdot v) (1) = \frac{20}{3}$ , iar $B$ nu este pe grafic. La intrarea doi, $u (2) = 6$ și $v (2) = 1$ , deci $(u \cdot v) (2) = 6$ , iar $C$ este pe grafic.

2. Pe desen, $u (1, 5)$ este la jumătatea dintre cinci și șase, iar $v (1, 5)$ puțin peste unu, deci produsul este în jur de $6, 4$ . Dreapta $u$ trece prin $(- 4; 0)$ și $(0; 4)$ , deci $u (x) = x + 4$ ; dreapta $v$ trece prin $(2; 1)$ și $(5; 0)$ , deci $v (x) = \frac{5 - x}{3}$ . Atunci $u (1, 5) = 5, 5$ , $v (1, 5) = \frac{7}{6}$ și $(u \cdot v) (1, 5) = 5, 5 \cdot \frac{7}{6} = \frac{77}{12} \approx 6, 42$ , în acord cu estimarea.

3. Dreptele taie axa în minus cinci și unu. La stânga lui minus cinci ambele sunt deasupra axei, între minus cinci și unu $p$ este dedesubt și $q$ deasupra, iar la dreapta lui unu ambele sunt dedesubt. Deci $h (x) > 0$ pe $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ și $h (x) < 0$ pe $(- 5, 1)$ . Ramurile sunt în sus, fiindcă la ambele capete factorii au același semn.

4. $h (2) = (- 1) \cdot 1 = - 1$ și $h (3) = 2 \cdot (- 2) = - 4$ . Ambii factori se anulează la $\frac{7}{3}$ , deci graficul are un singur punct pe axă, $(\frac{7}{3}; 0)$ . Cum $g = - f$ , în afara acestui punct factorii au semne diferite: $h (x) < 0$ pe $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, + \infty)$ . Parabola atinge axa de dedesubt.

5. Scoatem factorul comun $g$ : $(f \cdot g) (x) - g (x) = g (x) (f (x) - 1) = (x + 8) (4 x - 6)$ . Factorii se anulează la minus opt și la $\frac{3}{2}$ . La stânga lui minus opt ambii sunt negativi, între ei au semne diferite, iar la dreapta lui $\frac{3}{2}$ ambii sunt pozitivi. Graficul produsului stă deasupra dreptei $g$ pe $(- \infty, - 8) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ . Control: $(f \cdot g) (2) = 3 \cdot 10 = 30 > 10 = g (2)$ și $(f \cdot g) (0) = (- 5) \cdot 8 = - 40 < 8 = g (0)$ .

6. Fals. Prima parte este adevărată: $(f \cdot g) (1) = 1 \cdot 1 = 1$ . A doua nu: $(f \cdot g) (- 1) = (- 5) \cdot 3 = - 15$ , iar $- 15 \neq = - 13$ . Afirmația cere ambele puncte, deci este falsă.

7. a) Produsele sunt $- 70$ , $- 12$ , $- 2$ și $- 40$ . b) Valorile lui $f$ cresc cu doi la fiecare unitate, deci $f (x) = 2 x - 5$ , cu zeroul $\frac{5}{2}$ ; valorile lui $g$ scad cu trei la fiecare unitate, deci $g (x) = 7 - 3 x$ , cu zeroul $\frac{7}{3}$ . Ambele zerouri cad între unu și trei, iar tabelul le sare. Între $\frac{7}{3}$ și $\frac{5}{2}$ ambii factori sunt negativi, deci produsul este pozitiv pe $(\frac{7}{3}, \frac{5}{2})$ . De exemplu, $f (2, 4) = - 0, 2$ și $g (2, 4) = - 0, 2$ , deci $(f \cdot g) (2, 4) = 0, 04 > 0$ .

8. $(f \cdot g) (0) = 4 \cdot 2 = 8$ și $(f \cdot g) (2) = 2 \cdot 8 = 16$ , deci diferența este $8 - 16 = - 8$ .

9. Din cele două puncte obținem $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = 5 - x$ . Atunci $(f \cdot g) (1) = (- 1) \cdot 4 = - 4$ și $(f \cdot g) (4) = 5 \cdot 1 = 5$ . Semnul se schimbă între cele două intrări, pentru că dreapta lui $f$ trece peste axă la $\frac{3}{2}$ .

10. $(f \cdot g) (- 1, 5) = 4 \cdot (- 4) = - 16$ , deci punctul este pe grafic. Apoi $(f \cdot g) (- 2) = 3 \cdot (- 5) = - 15$ și $(f \cdot g) (- 1) = 5 \cdot (- 3) = - 15$ . Valorile egale, de o parte și de alta a lui $- 1, 5$ , se potrivesc cu un punct cel mai jos situat între ele.

11. $S (0) = 36 \cdot 0, 2 = 7, 2$ kg/s, $S (2) = 30 \cdot 0, 3 = 9$ kg/s, $S (4) = 24 \cdot 0, 4 = 9, 6$ kg/s și $S (8) = 12 \cdot 0, 6 = 7, 2$ kg/s. La început concentrația crește mai repede, relativ, decât scade debitul, deci produsul crește; apoi scăderea debitului domină. Unitățile se înmulțesc: m³/s ori kg/m³ dau kg/s.

12. Da. Paralelismul înseamnă doar că dreptele nu se întâlnesc între ele; fiecare își taie totuși axa. Punctele sunt $(- 9; 0)$ și $(5; 0)$ , iar $(f \cdot g) (0) = 9 \cdot (- 5) = - 45$ . Ambele drepte cresc, deci la ambele capete factorii au același semn, iar ramurile sunt în sus.

13. $(f \cdot g) (0) = 5 \cdot 1 = 5$ . Ecuația $(x + 5) (1 - x) = 5$ devine $- x^{2} - 4 x + 5 = 5$ , adică $- x (x + 4) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $- 4$ . Control: $(f \cdot g) (- 4) = 1 \cdot 5 = 5$ .

14. Din figură, $h (0) = 18$ și $f (0) = 6$ , deci $g (0) = \frac{18}{6} = 3$ . Parabola are zerourile minus șase și $\frac{3}{2}$ ; minus șase este zeroul lui $f$ , deci $\frac{3}{2}$ este zeroul lui $g$ . Dreapta prin $(0; 3)$ și $(\frac{3}{2}; 0)$ este $g (x) = 3 - 2 x$ . Control: $h (1) = 7 \cdot 1 = 7$ .

15. Pe $[0, 5]$ avem $f (x) \geq 10$ , deci factorul $f$ este pozitiv și nu schimbă semnul. Produsul are semnul lui $g$ : negativ pe $[0, \frac{4}{3})$ , zero în $\frac{4}{3}$ și pozitiv pe $(\frac{4}{3}, 5]$ .

16. a) Punctul $(4; 4)$ este pe ambele grafice, deci $f (4) \cdot g (4) = 4$ , iar $f (4) = 4$ dă $g (4) = 1$ . b) Dreapta prin $(0; 4)$ și $(4; 1)$ este $g (x) = 4 - \frac{3 x}{4}$ . Graficele lui $f$ și $f \cdot g$ se mai întâlnesc unde $f$ se anulează, adică în $(- 4; 0)$ .

17. Domeniile $[- 4, 1]$ și $[2, 8]$ nu au intrări comune, deci produsul nu este definit nicăieri. Notăm $g_{1} (x) = 7 - x$ , definită pe $[0, 8]$ . Domeniul comun devine $[0, 1]$ , iar $(f \cdot g_{1}) (0) = 4 \cdot 7 = 28$ și $(f \cdot g_{1}) (1) = 5 \cdot 6 = 30$ .

18. Descrierea B. Zerourile sunt $- \frac{5}{2}$ , din ecuația $2 x + 5 = 0$ , și $6$ , din ecuația $6 - x = 0$ ; o dreaptă crește, cealaltă scade, deci departe de origine factorii au semne opuse și ramurile sunt în jos. Control: $(f \cdot g) (0) = 5 \cdot 6 = 30 > 0$ , adică între zerouri curba este deasupra axei.

De reținut

Produsul $f \cdot g$ există numai pe intrările comune ale factorilor și se calculează pe aceeași verticală.
Graficul produsului trece prin punctele în care oricare dintre drepte taie axa $O x$ și numai prin acestea.
Semnul produsului se citește din pozițiile dreptelor față de axă, zonă cu zonă.
Două drepte oblice dau o parabolă; monotoniile lor spun încotro sunt ramurile.
Graficul produsului întâlnește graficul unui factor acolo unde acel factor este zero sau celălalt factor este unu.

Greșeli frecvente

Ordonata de sub axă citită fără semn. În figura A, la intrarea opt dreapta $b$ este cu o unitate sub axă, deci $b (8) = - 1$ , nu $1$ ; produsul este $- 5$ , nu $5$ . Înainte de a înmulți, scrie semnul fiecărei ordonate citite.
Direcția ramurilor dedusă dintr-o singură dreaptă. O dreaptă descrescătoare nu face singură ramurile să fie în jos. Contează dacă cele două drepte au aceeași monotonie sau monotonii opuse.
Vârful pus în punctul în care se intersectează dreptele. În figura A dreptele se întâlnesc la intrarea patru, unde produsul este $9$ , dar la intrarea $2, 5$ el ajunge la $10, 125$ . Cele două puncte coincid numai în cazuri speciale, ca în Exemplul 1.
Unitatea unui factor dată produsului. Unitățile se înmulțesc și ele: m³/s ori kg/m³ dau kg/s. Scrie unitatea fiecărui factor înainte de a o scrie pe a rezultatului.
Termenii din mijloc uitați la desfacerea parantezelor. $(3 x - 4) (x + 2)$ nu este $3 x^{2} - 8$ : lipsesc $6 x$ și $- 4 x$ . Controlează forma obținută într-o intrare: la unu, produsul valorează $(- 1) \cdot 3 = - 3$ , iar $3 - 8 = - 5$ .

Aplică acasă

Reacția cu jetoane. Pune $12$ jetoane roșii și $19$ albastre pe masă; la fiecare pas scoate câte unul din fiecare culoare, ca într-o reacție care consumă ambii reactanți. Notează după fiecare pas produsul celor două numere rămase, apoi diferențele dintre produse consecutive. Observă cum se schimbă aceste diferențe de la un pas la altul și când se oprește „reacția”.
Drepte trase cu zarul. Aruncă un zar de patru ori și construiește din rezultate două drepte, de exemplu cu pantele „zar minus trei” și termenii liberi „zar minus trei”, refăcând aruncarea la o pantă nulă. Înainte de orice calcul, prezice zerourile produsului și direcția ramurilor; apoi verifică prezicerea cu trei valori calculate. Repetă de cinci ori și numără prezicerile corecte.
Cine are unitatea potrivită. Alege trei formule de tip produs din fizică sau chimie, de exemplu puterea $P = U \cdot I$ , masa $m = ρ \cdot V$ și cantitatea de substanță $n = c \cdot V$ . Pentru fiecare, scrie unitatea factorilor și a produsului și explică ce înseamnă fizic faptul că un factor devine zero.

Pentru părinți și profesori

Lecția cere elevului să citească produsul a două funcții pe desenul factorilor, înainte de orice formulă. Întrebați-l mereu: „pe ce verticală citești?” și „de ce parte a axei este fiecare dreaptă?”. Aceste două întrebări acoperă valorile, zerourile și semnul.

Verificați distincția dintre punctul comun al dreptelor și punctele lor de pe axă; este cea mai frecventă confuzie la această temă. Pentru factori dați pe intervale, cereți domeniul comun înaintea oricărui calcul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește în unitatea de funcții „funcții obținute prin operații de înmulțire și/sau de împărțire”, cu proprietățile observate pe grafice furnizate sau trasate digital. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, prin același capitol IX.6. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția de gradul al doilea la clasa a IX-a: reprezentarea grafică, intersecția cu axele și ecuația $f (x) = 0$ ; de aceea exercițiile marcate sunt de tip Bacalaureat M2. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 2, o relație numerică între două funcții afine.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: produsul funcțiilor afine, cu vârful calculat din factori tratează și semnul prin tabel și descompunerea în factori. Lecția precedentă a traseului este maximul și minimul în context, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice. Scoaterea factorului comun, folosită la Exemplul 6, se poate relua din ecuațiile rezolvate prin factor comun, clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre produsul a două funcții afine?

Aici produsul se construiește din desenul celor două drepte: valori pe aceeași verticală, zerouri din punctele de pe axă, semn din pozițiile dreptelor. Varianta M1 calculează axa și vârful din factori, face tabelul algebric de semn și descompune invers funcția de gradul al doilea. Noi citim pe grafic și folosim calculul doar ca verificare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea produsul a două funcții afine?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția de gradul al doilea, cu intersecțiile graficului cu axele și ecuația $f (x) = 0$ . Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 2, o relație numerică între două funcții afine. Un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Ce înseamnă un punct comun al graficului produsului cu dreapta unui factor?

În acel punct, produsul are aceeași valoare ca factorul. Asta se întâmplă fie când factorul este zero, fie când celălalt factor valorează unu. Pe desen, cauți unde o dreaptă atinge axa și unde cealaltă dreaptă are ordonata unu. Nu ai nevoie de formula dezvoltată a produsului pentru această citire.

Pot citi produsul dacă am doar desenul celor două drepte, fără formule?

Da, dacă grila permite citiri exacte. Pe fiecare verticală citești două ordonate și le înmulțești. Punctele în care dreptele taie axa dau zerourile, iar pozițiile dreptelor dau semnul pe fiecare zonă. Când intersecțiile cad între gradații, rezultatul devine aproximativ și trebuie spus cinstit.

Ce fac dacă factorii sunt definiți pe intervale diferite?

Găsești întâi intervalul comun; produsul există numai acolo. Apoi verifici care dintre zerourile dreptelor cad în acest interval, pentru că numai ele sunt zerouri ale produsului. Capetele se includ sau nu după cum sunt incluse în ambele domenii. În afara intervalului comun nu calculezi nimic.

De ce viteza reacției nu scade cu aceeași cantitate la fiecare pas, deși fiecare concentrație scade uniform?

Fiecare concentrație scade cu aceeași cantitate, dar viteza este produsul lor, iar un produs nu se schimbă uniform când ambii factori se micșorează. În Exemplul 5, primii doi moli pe litru coboară viteza de la $3, 2$ la $1, 2$ , iar următorii doi doar de la $1, 2$ la zero. Pe grafic se vede o curbă, nu o dreaptă.