Cum se calculează lucrul mecanic cu vectori?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Produsul scalar

Produsul scalar a doi vectori nenuli scoate un număr: $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$, cu $\theta$ unghiul dintre ei. Ieșirea este un număr real și nimic altceva — o săgeată pusă deasupra lui preschimbă un calcul bun într-un răspuns care nu răspunde.

Unghiul se citește abia după ce cei doi vectori pornesc din același punct. Într-un triunghi, la $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ nu intră unghiul $B$, ci suplementul său, fiindcă vectorii au origini diferite. Scurtătura de control: literele din mijloc trebuie să coincidă, altfel muți întâi un vector.

Semnul îl dă cosinusul: plus la unghi ascuțit, zero la unghi drept, minus la unghi obtuz. Un rezultat negativ nu semnalează nicio eroare. Invers, unghiul se află fără ambiguitate din $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }$, fiindcă între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$ cosinusul nu repetă nicio valoare.

Operația este comutativă, distributivă față de adunare și se împacă cu înmulțirea cu un număr, deci desfaci parantezele ca la numere — păstrând semnul factorului: $(-2\vec{u})\cdot \vec{v}=-2\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)$.

Pătratul scalar dă pătratul lungimii, $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$, de unde $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$ — relația din care iese mărimea unei rezultante de forțe.

De reținut

• $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$, un număr real
• lucrul mecanic: $L=\vec{F}\cdot \vec{d}$
• unghiul se ia după ce vectorii pornesc din același punct

Greșeala tipică

Se calculează lucrul mecanic ca $F\cdot d$ și când forța este oblică; se înmulțește și cu $\cos \alpha$, altfel la $60^{\circ }$ rezultatul iese dublu.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ce fel de obiect matematic este rezultatul unui produs scalar?

   • a) un vector
   • b) un număr real
   • c) un unghi
   • d) o lungime, deci un număr pozitiv
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) un număr real

   Chiar de aceea se numește „scalar”: produsul a doi vectori dă un număr, care poate fi și negativ. Varianta d) e aproape corectă, dar uită semnul: la unghi obtuz rezultatul e negativ.

2. Doi vectori au modulele $4$ și $3$, iar unghiul dintre ei este de $60^{\circ }$. Cât este produsul lor scalar?

   • a) $12$
   • b) $6$
   • c) $6\sqrt{3}$
   • d) $-6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $6$

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}=6$. Varianta c) folosește $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ — confuzia costă tot calculul, fără ca nimic să pară greșit. Control: unghiul mai mare are cosinusul mai mic.

3. Ce spune semnul produsului scalar despre unghiul dintre doi vectori nenuli?

   • a) pozitiv înseamnă unghi ascuțit, negativ înseamnă unghi obtuz
   • b) un rezultat negativ arată o greșeală de calcul
   • c) semnul nu spune nimic despre unghi
   • d) semnul depinde doar de lungimile vectorilor
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pozitiv înseamnă unghi ascuțit, negativ înseamnă unghi obtuz

   Lungimile sunt pozitive, deci semnul rezultatului este chiar semnul cosinusului: pozitiv pe $(0^{\circ },90^{\circ })$, nul la $90^{\circ }$, negativ pe $(90^{\circ },180^{\circ })$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: lucrul mecanic ca produs scalar · formula lucrului mecanic cu unghi · lucrul mecanic al unei forțe oblice · produsul scalar în fizică