Produsul scalar a doi vectori (M2, științe ale naturii)

La ora de fizică ți se spune că lucrul mecanic al unei forțe nu este forța înmulțită cu distanța, ci forța înmulțită cu distanța și încă o dată cu cosinusul unghiului dintre direcția forței și direcția deplasării. Dacă tragi o sanie cu funia înclinată, o parte din efortul tău ridică sania, nu o duce înainte, iar cosinusul măsoară exact cât din forță „lucrează". Operația aceasta — două mărimi cu direcție, un unghi între ele și un singur număr la ieșire — are un nume în matematică: se cheamă produs scalar și este subiectul lecției de față, din programa de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2). La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 ea intră la Subiectul I, printre cerințele scurte de geometrie și vectori.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: produsul scalar a doi vectori, cu definiția și proprietățile lui, e cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a. Ai nevoie, ca să o citești, de trei lucruri pe care le ai deja: vectorul ca obiect cu direcție, sens și lungime, din segmentul orientat și vectorul în plan, regulile prin care doi vectori se adună, din adunarea vectorilor, și valorile cosinusului pentru unghiurile uzuale, din valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de bază, iar pentru unghiurile obtuze, din reducerea la primul cadran.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi produsul scalar a doi vectori când cunoști lungimile lor și unghiul dintre ei, cu rezultat exact, nu aproximat.
• Vei ști să citești unghiul din figură corect, aducând cei doi vectori la aceeași origine — pasul la care se greșește cel mai ușor.
• Vei ști ce spune semnul produsului scalar despre unghi și de ce un număr negativ nu e o greșeală de calcul.
• Vei ști cele patru proprietăți ale operației și vei desface paranteze cu vectori la fel de liniștit ca la numere.
• Vei ști că pătratul scalar al unui vector este pătratul lungimii lui și vei folosi faptul acesta ca să afli mărimea unei rezultante de forțe.
• Vei ști să determini unghiul a doi vectori pornind de la produsul lor scalar.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este produsul scalar a doi vectori?

Produsul scalar a doi vectori nenuli este numărul real obținut înmulțind lungimile lor cu cosinusul unghiului dintre ei, unghi măsurat după ce vectorii au fost aduși la aceeași origine. Pentru vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ el se notează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ și se citește „u scalar v":

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta ,\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }].$$

Trei precizări fac definiția completă. Întâi, $\Vert \vec{u}\Vert$ și $\Vert \vec{v}\Vert$ sunt lungimile (modulele) vectorilor, deci numere pozitive. Apoi, unghiul $\theta$ se ia între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$: doi vectori duși din același punct închid întotdeauna un unghi din acest interval, iar cosinusul îl determină fără ambiguitate. În sfârșit, dacă unul dintre vectori este vectorul nul, unghiul nu are sens, așa că se convine ca produsul să fie $0$.

Rezultatul nu este un vector, ci un simplu număr — de aici și numele, fiindcă în limbajul vectorilor un număr se mai numește și scalar. Dacă $\Vert \vec{u}\Vert =5$, $\Vert \vec{v}\Vert =4$ și $\theta =60^{\circ }$, atunci $\vec{u}\cdot \vec{v}=5\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=5\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=10$. Nu întrebi „încotro arată $10$", pentru că $10$ nu arată nicăieri: e o măsură, ca o temperatură sau ca o masă.

Merită observat, de la bun început, cât de puțin îți trebuie ca să calculezi. Nu ai nevoie de coordonate, de un reper cartezian sau de poziția vectorilor în plan: două lungimi și un unghi sunt de ajuns. De aceea produsul scalar se poate folosi într-o figură desenată pe o foaie albă, fără axe, și de aceea apare la examen în enunțuri care dau doar laturile și unghiurile unui triunghi. Scrierea pe coordonate a vectorilor vine mai târziu, în traseul de clasa a X-a, și nu schimbă cu nimic definiția de aici.

2. De unde vine cosinusul din formulă?

Din chiar situația de la începutul lecției. Tragi un cărucior pe o șină dreaptă, cu o forță $\vec{F}$ care face unghiul $\theta$ cu direcția de mers, și îl deplasezi pe distanța $d$. Descompui forța în două bucăți: una de-a lungul șinei, de mărime $\Vert \vec{F}\Vert \cos \theta$, și una perpendiculară pe șină. A doua bucată apasă sau ridică, dar nu mută căruciorul niciun centimetru înainte. Lucrul mecanic îl face numai prima, deci

$$L=\Vert \vec{F}\Vert \cdot d\cdot \cos \theta .$$

Pentru o forță de $60$ N care face $60^{\circ }$ cu direcția de mers, pe o deplasare de $8$ m, lucrul mecanic este $60\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=60\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=240$ J. Jumătate din forță se pierde, în privința înaintării; restul lucrează. Numărul $\Vert \vec{F}\Vert \cos \theta$ se numește proiecția forței pe direcția deplasării, iar produsul scalar înmulțește, de fapt, lungimea unui vector cu proiecția celuilalt pe el. E o imagine care merită ținută minte: produsul scalar măsoară cât de mult „merg împreună" doi vectori.

3. Cum aduc vectorii la aceeași origine ca să văd unghiul?

Îi translatezi. Un vector nu are un loc fix în plan: îl poți muta paralel cu el însuși oriunde, fără să îl schimbi. Ca să citești unghiul dintre $\vec{u}$ și $\vec{v}$, îi desenezi pe amândoi pornind din același punct și măsori deschiderea dintre săgeți.

Pasul acesta pare mărunt și e locul unde se greșește cel mai des. Într-un triunghi echilateral $ABC$ cu latura $6$, unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ este chiar unghiul triunghiului, adică $60^{\circ }$, pentru că ambii vectori pornesc din $A$. Dar unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ nu este $60^{\circ }$: cei doi vectori nu pleacă din același punct, iar când îl muți pe $\overrightarrow{BC}$ în $A$, săgețile se deschid la $120^{\circ }$. Rezultatele ies, prin urmare, diferite:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=18,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=6\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=-18.$$

Reține regula practică: unghiul din formulă este unghiul figurii numai atunci când cei doi vectori pornesc din același vârf. Altfel, translatează întâi și abia apoi citește.

4. Ce îmi spune semnul produsului scalar?

Semnul vine în întregime de la cosinus, fiindcă lungimile sunt pozitive. Cum cosinusul este pozitiv pe $[0^{\circ },90^{\circ })$, nul în $90^{\circ }$ și negativ pe $(90^{\circ },180^{\circ }]$, citirea e imediată:

Un produs scalar pozitiv înseamnă unghi ascuțit, deci vectori care „trag" în aceeași parte; unul negativ înseamnă unghi obtuz, adică sensuri care se contrazic. Cazul $\theta =90^{\circ }$ dă $0$ și e atât de folositor încât i se dedică lecția următoare, despre perpendicularitate cu produsul scalar. Două cazuri extreme merită văzute acum: pentru vectori de același sens ($\theta =0^{\circ }$) produsul este $\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert$, cel mai mare cu putință, iar pentru sensuri opuse ($\theta =180^{\circ }$) este $-\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert$, cel mai mic.

5. Care sunt proprietățile produsului scalar?

Sunt patru și seamănă bine cu regulile de calcul de la numere, ceea ce face desfacerea parantezelor cu vectori o operație de rutină. Pentru orice vectori $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ și orice număr real $k$:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u},\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w},$$

$$(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v}),\vec{u}\cdot \vec{u}\ge 0,\text{ cu egalitate numai pentru }\vec{u}=\vec{0}.$$

Prima, comutativitatea, se vede din definiție: înmulțirea numerelor e comutativă, iar unghiul dintre $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este același cu unghiul dintre $\vec{v}$ și $\vec{u}$. A doua, distributivitatea față de adunare, e cea care dă operației toată puterea; ea se sprijină pe faptul că proiecția unei sume de vectori pe o direcție este suma proiecțiilor. A treia spune că un factor numeric poate fi scos în față — cu grijă la semn: dacă $k$ este negativ, vectorul $k\vec{u}$ are sens opus lui $\vec{u}$, unghiul se schimbă în suplementul lui, cosinusul își schimbă semnul, iar rezultatul iese, cum era de așteptat, cu semn schimbat.

Atenție la ce nu există aici. Nu are sens să scrii $(\vec{u}\cdot \vec{v})\cdot \vec{w}$: paranteza e un număr, iar un număr nu se înmulțește scalar cu un vector. Și nu există simplificare: din $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$ nu urmează $\vec{v}=\vec{w}$, fiindcă doi vectori diferiți pot avea aceeași proiecție pe $\vec{u}$.

6. Ce este pătratul scalar și la ce folosește?

Înmulțind un vector cu el însuși, unghiul este $0^{\circ }$, cosinusul este $1$, și rămâne

$$\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2.$$

Egalitatea aceasta, numită pătratul scalar, este puntea dintre produsul scalar și lungimi: de fiecare dată când într-un calcul apare $\vec{u}\cdot \vec{u}$, scrii în loc pătratul lungimii, iar de fiecare dată când ai nevoie de o lungime, o cauți prin pătratul ei. Aplicată sumei a doi vectori, împreună cu distributivitatea, dă formula de care ai nevoie în probleme:

$$\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2.$$

Iat-o la lucru. Două forțe de $30$ N și $50$ N acționează în același punct, sub un unghi de $60^{\circ }$. Rezultanta lor este vectorul sumă, iar mărimea ei o afli din $\Vert \vec{R}{\Vert }^2=900+2\cdot 750+2500=4900$, deci $\Vert \vec{R}\Vert =70$ N. Observă că nu ai avut nevoie de niciun desen la scară și de niciun raportor: trei numere și o formulă. Mărimea rezultantei nu este suma $80$ N, cum s-ar putea crede din grabă, fiindcă cele două forțe nu trag pe aceeași direcție.

7. Cum aflu unghiul a doi vectori?

Întorci definiția. Dacă vectorii sunt nenuli, împarți produsul scalar la produsul lungimilor și obții cosinusul:

$$\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }.$$

De pildă, pentru $\vec{u}\cdot \vec{v}=-6$, $\Vert \vec{u}\Vert =3$ și $\Vert \vec{v}\Vert =4$ rezultă $\cos \theta =\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}$, deci $\theta =120^{\circ }$. Pentru că $\theta$ se ia în $[0^{\circ },180^{\circ }]$, unde cosinusul este strict descrescător, valoarea lui determină unghiul în mod unic — nu ai două răspunsuri între care să alegi. La mate-info, același tip de întrebare se pune despre drepte, nu despre vectori, și se rezolvă cu pantele. Pentru comparație, la mate-info (M1): unghiul a două drepte se calculează abia în clasa a 11-a, cu tangenta, și dă unghiul ascuțit dintre direcții, fără informația de sens pe care o poartă vectorii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct cu unghi ascuțit

Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =6$, $\Vert \vec{v}\Vert =5$ și unghiul dintre ei de $45^{\circ }$. Calculați $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Rezolvare. Aplicăm definiția, cu $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=6\cdot 5\cdot \cos 45^{\circ }=15\sqrt{2}.$$

Rezultatul este pozitiv, ceea ce se potrivește cu unghiul ascuțit. Valoarea se lasă în formă exactă, cu radical; o aproximare zecimală s-ar cere doar dacă problema ar fi una de fizică, cu unități de măsură.

Exemplul 2 — Calcul cu unghi obtuz

Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =4$, $\Vert \vec{v}\Vert =2\sqrt{3}$ și unghiul dintre ei de $150^{\circ }$. Calculați $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Rezolvare. Avem $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=-12.$$

Radicalii s-au simplificat, pentru că $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$. Semnul negativ nu este o eroare: el spune că vectorii se opun mai mult decât se ajută.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: unghiul citit din figură

Într-un triunghi echilateral $ABC$ cu latura $4$, un elev scrie: „unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ este unghiul $B$ al triunghiului, adică $60^{\circ }$, deci $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=8$." Găsiți greșeala și dați rezultatul corect.

Rezolvare. Unghiul $\widehat{ABC}$ se formează între laturile $BA$ și $BC$, adică între doi vectori porniți din $B$. Vectorul din calculul elevului nu este însă $\overrightarrow{BA}$, ci $\overrightarrow{AB}$, care are sens opus; translatat în $B$, el se deschide față de $\overrightarrow{BC}$ la $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Prin urmare

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ }=-8.$$

Raționamentul elevului ar fi fost corect pentru $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=8$ — acolo vectorii chiar pornesc din $B$. Semnul minus din răspunsul corect e și el un avertisment: un unghi obtuz nu poate da un produs pozitiv.

Exemplul 4 — Rezultanta a două forțe

Asupra unui corp acționează, în același punct, două forțe de $7$ N și $8$ N, care fac între ele un unghi de $60^{\circ }$. Determinați mărimea rezultantei.

Rezolvare. Rezultanta este $\vec{R}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Ridicăm la pătrat scalar:

$$\Vert \vec{R}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{F_1}{\Vert }^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}+\Vert \overrightarrow{F_2}{\Vert }^2=49+2\cdot 7\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }+64=49+56+64=169.$$

Prin urmare $\Vert \vec{R}\Vert =13$ N. Verificarea de bun-simț: rezultanta este mai mare decât fiecare forță în parte, dar mai mică decât suma lor, $15$ N — exact ce se așteaptă de la două forțe care nu trag pe aceeași direcție.

Exemplul 5 — Un parametru determinat din produsul scalar

Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =4$ și unghiul dintre ei de $60^{\circ }$. Determinați numărul real $m$ pentru care $(\vec{u}+m\vec{v})\cdot \vec{u}=0$.

Rezolvare. Calculăm întâi $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=6$. Desfacem paranteza cu distributivitatea și scoatem factorul numeric:

$$(\vec{u}+m\vec{v})\cdot \vec{u}=\vec{u}\cdot \vec{u}+m(\vec{v}\cdot \vec{u})=9+6m.$$

Condiția $9+6m=0$ dă $m=-\frac{3}{2}$. Observă că am folosit pătratul scalar $\vec{u}\cdot \vec{u}=3^2=9$ și comutativitatea, ca să scriem $\vec{v}\cdot \vec{u}$ în locul lui $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4$, $AC=6$ și $m(\widehat{BAC})=120^{\circ }$. Se notează cu $M$ mijlocul laturii $BC$. a) Calculați $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. b) Calculați $\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert$. c) Calculați $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}$.

Rezolvare. a) Vectorii pornesc din $A$, deci unghiul lor este cel al triunghiului:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=-12.$$

b) Ridicăm la pătrat scalar suma celor doi vectori:

$$\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{\Vert }^2=16+2\cdot (-12)+36=28,$$

deci $\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert =2\sqrt{7}$.

c) Cum $M$ este mijlocul lui $BC$, avem $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Înmulțim scalar cu $\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}(16-12)=2.$$

Punctul b) confirmă și lungimea medianei: $AM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{7}=\sqrt{7}$.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, pune-ți două întrebări: din ce punct pornește fiecare vector? și ce valoare are cosinusul unghiului dintre ei? Dacă răspunsul la prima nu e „din același punct", translatează. Rezultatele se lasă în formă exactă, cu radicali, iar la problemele cu context fizic se scrie și unitatea de măsură.

1. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ pentru $\Vert \vec{u}\Vert =7$, $\Vert \vec{v}\Vert =2$ și unghiul de $60^{\circ }$.

2. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ pentru $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =8$ și unghiul de $135^{\circ }$.

3. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ pentru $\Vert \vec{u}\Vert =5$, $\Vert \vec{v}\Vert =6$ și unghiul de $90^{\circ }$.

4. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ pentru doi vectori de lungimi $4$ și $9$, de sensuri opuse.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, atunci cel puțin unul dintre cei doi vectori este vectorul nul."

6. Se știe că $\Vert \vec{u}\Vert =2\sqrt{5}$. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{u}$.

7. În hexagonul regulat $ABCDEF$ cu latura $4$, calculează $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AF}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=6$, $AC=10$ și $m(\widehat{BAC})=60^{\circ }$. a) Calculează $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. b) Calculează $\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert$.

9. Determină unghiul dintre $\vec{u}$ și $\vec{v}$, știind că $\vec{u}\cdot \vec{v}=6\sqrt{2}$, $\Vert \vec{u}\Vert =4$ și $\Vert \vec{v}\Vert =3$.

10. (Problemă aplicată.) Un tractor trage o remorcă printr-un cablu care face $60^{\circ }$ cu direcția de mers, cu o forță de $3000$ N, iar remorca înaintează cu viteza de $4$ m/s. Puterea dezvoltată de forța de tracțiune este produsul scalar dintre forță și viteză. Calculează această putere, în wați.

11. Două forțe de $5$ N și $8$ N acționează în același punct, sub un unghi de $120^{\circ }$. Determină mărimea rezultantei.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =2$, $\Vert \vec{v}\Vert =3$ și $\vec{u}\cdot \vec{v}=-3$. a) Determină unghiul dintre cei doi vectori. b) Calculează $(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})$.

13. În pătratul $ABCD$ cu latura $5$, calculează $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

14. Se știe că $\vec{p}\cdot \vec{q}=12$ și că $\Vert \vec{p}\Vert =4$. Explică în două-trei fraze de ce lungimea lui $\vec{q}$ nu poate fi mai mică decât $3$ și precizează în ce situație este exact $3$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =6$ și unghiul dintre ei de $120^{\circ }$. a) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$. b) Calculează $\Vert 2\vec{u}+\vec{v}\Vert$.

16. Se știe că $\Vert \vec{u}\Vert =6$, $\Vert \vec{v}\Vert =10$ și $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =14$. Determină unghiul dintre cei doi vectori.

17. În triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $10$, calculează suma $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$.

18. (Provocare.) Se consideră doi vectori nenuli cu $\Vert \vec{u}\Vert =3$ și $\Vert \vec{v}\Vert =5$, fără să se dea unghiul dintre ei. Între ce valori se poate afla $\vec{u}\cdot \vec{v}$ și între ce valori se poate afla $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert$? Precizează, pentru fiecare capăt, poziția vectorilor care îl atinge.

Răspunsuri și explicații

1. $7\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=7$. Unghi ascuțit, rezultat pozitiv.

2. $3\cdot 8\cdot \cos 135^{\circ }=-12\sqrt{2}$, pentru că $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. $5\cdot 6\cdot \cos 90^{\circ }=0$. Cosinusul unghiului drept este nul, deci produsul se anulează, oricât de lungi ar fi vectorii.

4. Sensuri opuse înseamnă $\theta =180^{\circ }$, deci $4\cdot 9\cdot \cos 180^{\circ }=-36$, valoarea cea mai mică pe care o pot da doi vectori cu aceste lungimi.

5. Fals. Produsul se anulează și când ambii vectori sunt nenuli, dar unghiul dintre ei este drept, fiindcă atunci $\cos 90^{\circ }=0$. Exercițiul $3$ este chiar un contraexemplu: doi vectori de lungimi $5$ și $6$, cu produsul scalar nul.

6. $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2=20$, din pătratul scalar; nu e nevoie să știi direcția vectorului.

7. Unghiul interior al unui hexagon regulat are măsura $\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$, iar vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AF}$ pornesc amândoi din $A$, deci unghiul dintre ei este chiar unghiul hexagonului. Rezultă $4\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ }=-8$.

8. a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=30$. b) $\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{\Vert }^2=36+2\cdot 30+100=196$, deci $\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert =14$.

9. $\cos \theta =\frac{6\sqrt{2}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\theta =45^{\circ }$.

10. $P=3000\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=6000$ W, adică $6$ kW. Observă că unitatea iese din înmulțirea newtonilor cu metri pe secundă, iar cosinusul, fiind un număr, nu o schimbă; dacă ar fi tras drept înainte, puterea ar fi fost dublă.

11. $\Vert \vec{R}{\Vert }^2=25+2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }+64=25-40+64=49$, deci $\Vert \vec{R}\Vert =7$ N. Rezultanta e mai mică decât cea mai mare dintre forțe și mult sub suma lor, $13$ N — unghiul obtuz le face să se contrazică în parte.

12. a) $\cos \theta =\frac{-3}{2\cdot 3}=-\frac{1}{2}$, deci $\theta =120^{\circ }$. b) Desfacem: $(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=2\Vert \vec{u}{\Vert }^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{u}-\Vert \vec{v}{\Vert }^2=8-\vec{u}\cdot \vec{v}-9=8+3-9=2$.

13. Diagonala pătratului este $AC=5\sqrt{2}$, iar unghiul dintre $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ este $45^{\circ }$, pentru că diagonala este bisectoarea unghiului drept. Rezultă $5\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=25$.

14. Din definiție, $12=4\cdot \Vert \vec{q}\Vert \cdot \cos \theta$. Cosinusul nu poate depăși $1$, oricare ar fi unghiul, deci $12\le 4\cdot \Vert \vec{q}\Vert$, adică $\Vert \vec{q}\Vert \ge 3$. Egalitatea are loc exact când $\cos \theta =1$, adică pentru $\theta =0^{\circ }$: atunci cei doi vectori au aceeași direcție și același sens, iar produsul scalar atinge valoarea cea mai mare posibilă pentru lungimile date.

15. a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=-9$. b) $\Vert 2\vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=4\Vert \vec{u}{\Vert }^2+4\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2=36-36+36=36$, deci $\Vert 2\vec{u}+\vec{v}\Vert =6$. Factorul $4$ de la mijloc vine din $2\cdot 2$: o dată din pătratul scalar al sumei, o dată din scoaterea lui $2$ în față.

16. Din $196=36+2\vec{u}\cdot \vec{v}+100$ rezultă $\vec{u}\cdot \vec{v}=30$, apoi $\cos \theta =\frac{30}{6\cdot 10}=\frac{1}{2}$, deci $\theta =60^{\circ }$. Aici formula se citește invers decât de obicei: lungimile sunt datele, iar unghiul este necunoscuta.

17. Fiecare dintre cele trei produse are vectorii pornind din același vârf, iar unghiul este de fiecare dată $60^{\circ }$, deci fiecare valorează $10\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=50$. Suma este $150$.

18. Produsul scalar este $15\cos \theta$, iar cosinusul parcurge tot intervalul $[-1,1]$ când $\theta$ merge de la $0^{\circ }$ la $180^{\circ }$; prin urmare $\vec{u}\cdot \vec{v}$ poate lua orice valoare din $[-15,15]$. Capătul $15$ se atinge când vectorii au aceeași direcție și același sens, iar $-15$ când au sensuri opuse. Pentru lungimea sumei, $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=9+2\vec{u}\cdot \vec{v}+25=34+2\vec{u}\cdot \vec{v}$, deci pătratul parcurge intervalul de la $34-30=4$ până la $34+30=64$, adică $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert \in [2,8]$. Minimul $2$ înseamnă sensuri opuse, iar maximul $8$, același sens — regăsim, prin calcul, inegalitatea triunghiului pentru vectori.

De reținut

• Produsul scalar a doi vectori nenuli este numărul $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$, unde $\theta$ este unghiul dintre ei, măsurat după aducerea lor la aceeași origine, iar rezultatul este un număr, nu un vector.
• Semnul rezultatului este semnul cosinusului: pozitiv la unghi ascuțit, nul la unghi drept, negativ la unghi obtuz.
• Operația este comutativă, distributivă față de adunarea vectorilor și compatibilă cu înmulțirea cu un număr real, deci parantezele cu vectori se desfac exact ca la numere.
• Pătratul scalar al unui vector este pătratul lungimii lui, $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$, iar de aici $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$, formula cu care se află mărimea unei rezultante.
• Unghiul a doi vectori nenuli se determină unic din $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }$, pentru că pe intervalul $[0^{\circ },180^{\circ }]$ cosinusul ia fiecare valoare o singură dată.

Greșeli frecvente

• Unghiul luat din figură fără translație. Într-un triunghi, pentru $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ se folosește reflex unghiul $B$, deși vectorii pornesc din puncte diferite. Unghiul corect este suplementul, iar semnul rezultatului se schimbă. Regula scurtă: dacă cele două litere din mijloc nu coincid, mută întâi un vector.
• Rezultatul scris ca vector. Apare o săgeată deasupra răspunsului sau formularea „produsul scalar are direcția lui $\vec{u}$". Nu are: ieșirea operației este un număr real. La un subiect de examen, o săgeată pusă acolo transformă un răspuns corect într-unul care nu răspunde la întrebare.
• Mărimea rezultantei calculată prin adunarea lungimilor. Pentru două forțe de $30$ N și $50$ N la $60^{\circ }$ se scrie $80$ N. Lungimile se adună doar când vectorii au aceeași direcție și același sens; altfel se trece obligatoriu prin $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2$.
• Semnul pierdut la factorul negativ. În $(-2\vec{u})\cdot \vec{v}$ se scoate $2$ în loc de $-2$, pentru că „lungimea e pozitivă". Într-adevăr, lungimea lui $-2\vec{u}$ este $2\Vert \vec{u}\Vert$, dar sensul s-a inversat, deci unghiul devine suplementul celui inițial și cosinusul își schimbă semnul; rezultatul final este $-2(\vec{u}\cdot \vec{v})$.
• Cosinusul citit din tabel pentru alt unghi. Confuzia dintre $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ strică tot calculul, fără ca nimic din rezolvare să pară greșit. Verificarea durează două secunde: unghiul mai mare are cosinusul mai mic.

Aplică acasă

1. Măsoară un produs scalar cu rigla și raportorul. Desenează pe o foaie doi vectori care pornesc din același punct, cu lungimi întregi, și măsoară unghiul dintre ei cu raportorul. Calculează produsul scalar cu formula. Apoi coboară perpendiculara din vârful celui de-al doilea vector pe direcția primului, măsoară proiecția obținută și înmulțește-o cu lungimea primului vector. Cele două numere trebuie să fie apropiate; diferența îți arată cât a costat imprecizia măsurării.

2. Sania de pe dealul din spatele blocului. Alege din manualul de fizică o problemă cu lucru mecanic în care forța este înclinată față de deplasare. Recalculează lucrul mecanic pentru trei unghiuri: $0^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $90^{\circ }$, păstrând forța și distanța neschimbate. Scrie într-o propoziție ce se întâmplă cu efortul depus pe măsură ce unghiul crește și de ce la $90^{\circ }$ rezultatul este zero.

3. Cele trei forțe din laborator. Cu un program de geometrie dinamică (GeoGebra sau Desmos), desenează două săgeți care pornesc din origine și construiește-le suma prin regula paralelogramului. Modifică unghiul dintre ele, din $0^{\circ }$ până la $180^{\circ }$, și notează la fiecare $30^{\circ }$ lungimea rezultantei. Compară șirul obținut cu valorile date de formula $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$ și spune între ce limite se poate afla rezultanta.

Pentru părinți și profesori

Produsul scalar este prima operație pe care elevul o întâlnește unde intrările sunt de un fel — vectori — și ieșirea de altul — un număr. Această schimbare de tip explică majoritatea greșelilor: elevul continuă să „gândească vectorial" și pune săgeți pe rezultat, sau, invers, uită unghiul și înmulțește doar lungimile. La profilul științe ale naturii tema are un sprijin pe care traseul de matematică-informatică nu îl are la îndemână: lucrul mecanic, studiat la fizică în aceeași perioadă, este chiar produsul scalar dintre forță și deplasare, iar formula se învață o singură dată pentru amândouă disciplinele.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: vectorii au fost desenați pornind din același punct înainte de a citi unghiul; valoarea cosinusului corespunde unghiului scris; rezultatul este un număr, fără săgeată; la problemele cu context, numărul poartă unitatea de măsură potrivită (jouli la lucru mecanic, newtoni la rezultantă). Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Ce înseamnă, în cuvinte, un produs scalar negativ?"; „De ce nu se poate simplifica prin $\vec{u}$ într-o egalitate de produse scalare?"; „Cum afli lungimea sumei a doi vectori fără să desenezi?"; „Ce devine formula când cei doi vectori au aceeași direcție?". Semn că elevul a înțeles: înainte de orice calcul verifică din ce puncte pornesc vectorii și abia apoi caută cosinusul.

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru examen: produsul scalar este cerut de programa de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, capitolul „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană", clasa a IX-a), dar nu mai apare în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte de câte cinci puncte: în modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerințele 5 și 6 sunt de geometrie în plan. Elevii care au intrat în clasa a IX-a în 2026 dau Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, construită pe programa nouă, care nu conține acest capitol; pentru ei lecția rămâne o extindere utilă la domeniul Geometrie. Trigonometrie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Ce este produsul scalar a doi vectori, pe scurt? Este numărul obținut înmulțind lungimile celor doi vectori cu cosinusul unghiului dintre ei, după ce vectorii au fost aduși la aceeași origine. Rezultatul este un număr real, nu un vector, și măsoară cât de mult „merg împreună" cele două direcții. Dacă unul dintre vectori este nul, produsul se consideră zero.

Se învață produsul scalar și la M1, și la M2? Ce diferă? La științe ale naturii (M2) produsul scalar este materie de clasa a IX-a și e cerut la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029. La matematică-informatică (M1), programa în vigoare nu îl cuprinde deloc: acolo geometria plană se face cu numere complexe în clasa a 10-a și analitic, cu pante și ecuații de drepte, în clasa a 11-a. Diferența nu e de dificultate, ci de unealtă aleasă.

La ce subiect apare produsul scalar la bacalaureatul M2? La Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte de câte cinci puncte, acolo unde se dau întrebările de geometrie plană și de trigonometrie. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a cincea este de geometrie analitică plană, iar cerința a șasea, de triunghi dreptunghic; un produs scalar nu apare în acel model, dar capitolul din care el face parte hrănește exact aceste două poziții.

Cum se calculează unghiul dintre doi vectori? Împarți produsul scalar la produsul lungimilor și obții cosinusul unghiului: $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }$. Apoi citești unghiul din tabelul valorilor uzuale. Pentru că unghiul se ia între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, iar cosinusul scade pe tot acest interval, răspunsul este unic. Semnul produsului scalar îți spune dinainte felul unghiului: zero înseamnă unghi drept, un număr negativ înseamnă unghi obtuz.

De ce poate fi produsul scalar negativ? Pentru că lungimile sunt mereu pozitive, dar cosinusul este negativ pentru unghiuri mai mari de $90^{\circ }$. Un rezultat negativ înseamnă, prin urmare, că unghiul dintre vectori este obtuz, adică cei doi vectori arată mai degrabă în sensuri opuse. În fizică, un lucru mecanic negativ înseamnă o forță care frânează, cum e forța de frecare.

Ce este pătratul scalar al unui vector? Este produsul scalar al vectorului cu el însuși și este egal cu pătratul lungimii lui: $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$. Rezultă imediat din definiție, pentru că unghiul unui vector cu el însuși este $0^{\circ }$, iar cosinusul lui este $1$. Este cea mai folosită proprietate în probleme, fiindcă transformă o lungime necunoscută într-un calcul de produse scalare.

Cum se află mărimea rezultantei a două forțe cu produsul scalar? Ridici la pătrat scalar suma celor doi vectori și obții $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$. Înlocuiești produsul scalar cu valoarea lui calculată din unghi și extragi radicalul. Metoda înlocuiește desenul la scară și dă un rezultat exact, cum se vede în lecția despre înmulțirea unui vector cu un scalar.

Ce se întâmplă când produsul scalar este zero? Dacă niciunul dintre vectori nu este nul, atunci cosinusul unghiului lor este zero, deci unghiul este drept. Aceasta este condiția de perpendicularitate, cea mai folosită consecință a definiției, și face obiectul lecției următoare, perpendicularitate cu produsul scalar, unde este și demonstrată vectorial teorema cosinusului.