Ce trebuie să verifici înainte de a aplica regula produsului?

că numărul variantelor fiecărei etape nu depinde de alegerile făcute înainte

că toate etapele au același număr de variante

că variantele sunt aceleași la fiecare etapă

că niciun element nu se repetă

Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Regula produsului

Are $2^{n}$ submulțimi. Pentru a forma o submulțime iei o decizie la fiecare element: îl incluzi sau nu, deci $2$ variante, iar deciziile sunt independente. Regula produsului dă $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}$ , cu tot cu mulțimea vidă și cu mulțimea întreagă. Exemplu: din $5$ reactivi diferiți se pot alege $2^{5} = 32$ de grupe, iar amestecurile cu cel puțin un reactiv sunt $32 - 1 = 31$ .

Când o alegere se face pas cu pas și fiecare pas are un număr de variante care nu depinde de ce s-a ales înainte, totalul este produsul acestor numere. Condiția privește numărul variantelor, nu variantele însele: după ce ai folosit o probă la o analiză, rămân altele pentru următoarea, dar mereu la fel de multe.

Cu repetiție și fără. Dacă fiecare dintre $k$ poziții poate lua oricare dintre $n$ valori, rezultă $n^{k}$ . Dacă o valoare folosită nu mai poate reveni, factorii scad cu câte unu, iar ultimul dintre cei $k$ factori este $n - k + 1$ .

Ordinea completării. Începi cu pozițiile care au condiții, de exemplu prima cifră a unui număr, care nu poate fi zero, sau o cifră impusă; o poziție copiată din alta, ca la numerele care se citesc la fel din ambele sensuri, are un singur fel de a fi completată.

Submulțimi și colorări. Fiecare element al unei mulțimi cu $n$ elemente se ia sau nu, independent, deci există $2^{n}$ submulțimi; tot așa se numără colorările cu două culori ale unui șir de pătrate. Aceeași regulă dă și numărul divizorilor unui număr, din exponenții descompunerii lui în factori primi.

De reținut

$k$ etape cu $n_{1}, \dots, n_{k}$ variante dau $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ posibilități
o mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi, dintre care $2^{n} - 1$ nevide
se cere ca numărul variantelor unei etape să nu depindă de alegerile anterioare

Greșeala tipică

Se numără submulțimile ca $2 n$ , adunând deciziile în loc să le înmulțești; pentru $5$ elemente sunt $2^{5} = 32$ , nu $10$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce trebuie să verifici înainte de a aplica regula produsului?
- a) că toate etapele au același număr de variante
- b) că numărul variantelor fiecărei etape nu depinde de alegerile făcute înainte
- c) că variantele sunt aceleași la fiecare etapă
- d) că niciun element nu se repetă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) că numărul variantelor fiecărei etape nu depinde de alegerile făcute înainte

Etapele pot avea numere diferite de variante; important e ca, după orice alegere anterioară, etapa următoare să aibă mereu același număr de variante.
Un cod de laborator începe cu o literă dintre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ și continuă cu două cifre impare, care se pot repeta. Câte coduri există?
- a) $20$
- b) $100$
- c) $400$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $100$

Trei etape independente: $4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ .
Câți divizori naturali are numărul $2^{4} \cdot 3^{2}$ ?
- a) $8$
- b) $6$
- c) $15$
- d) $144$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15$

Un divizor are forma $2^{a} \cdot 3^{b}$ , cu $5$ valori pentru $a$ și $3$ pentru $b$ : $5 \cdot 3 = 15$ .

Întrebări conexe

În câte feluri se colorează un steag cu trei benzi din cinci culori, cu vecinele diferite?

Prima bandă are $5$ variante. A doua are $4$ , oricare ar fi prima, iar a treia tot $4$ , fiindcă trebuie să difere doar de a doua. Variantele se schimbă, dar numărul lor rămâne același, deci steagurile sunt $5 \cdot 4 \cdot 4 = 80$ .

Câte trasee dus-întors folosesc șosele diferite la întoarcere?

Între $A$ și $B$ sunt $3$ șosele, iar între $B$ și $C$ sunt $4$ . Drumul $A \to B \to C$ are $3 \cdot 4 = 12$ variante. La întoarcere rămân $3$ șosele între $C$ și $B$ și $2$ între $B$ și $A$ , deci traseele complete sunt $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 72$ .

Câte numere de patru cifre se divid cu $5$ ?

Prima cifră are $9$ variante, fiindcă nu poate fi $0$ ; cifra sutelor și cea a zecilor au câte $10$ , iar ultima cifră este $0$ sau $5$ . Regula produsului dă $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 1800$ de numere, adică exact o cincime din cele $9000$ .

Câte rezultate are aruncarea a trei zaruri și a unei monede?

Fiecare zar are $6$ fețe, iar moneda $2$ , iar rezultatul unui obiect nu schimbă numărul variantelor celorlalte. Rezultatele sunt $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2 = 432$ . În probabilitate, acestea devin cazurile posibile, toate la fel de probabile.

Câte coduri de patru cifre au prima cifră impară și ultima pară?

La un cod, spre deosebire de un număr, prima cifră poate fi și $0$ , dar aici e impusă: $5$ variante. Cele două cifre din mijloc au câte $10$ variante, iar ultima $5$ . Rezultă $5 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 2500$ de coduri.

Oamenii mai întreabă și: numărul submulțimilor unei mulțimi · de ce 2 la n submulțimi · câte submulțimi are o mulțime cu 5 elemente · formula numărului de submulțimi · submulțimi și regula produsului