Regula produsului (M2, științe ale naturii)

O biobancă păstrează zeci de mii de eprubete cu probe de sânge și de țesut, iar fiecare poartă un cod de bare care nu are voie să se repete. Câte bare trebuie să aibă codul, dacă fiecare bară poate fi doar subțire sau groasă? Răspunsul vine dintr-o singură înmulțire repetată, iar regula care o justifică este tema lecției de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde programa numește explicit regula produsului. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține capitolul „Metode de numărare” și, în el, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, calculat chiar cu această regulă; modelul oficial publicat are, la Subiectul I, o cerință de numărare urmată de o probabilitate.

În lecția despre diagrame arborescente ai văzut că, la un arbore uniform, numărul frunzelor se obține înmulțind. Acum transformăm observația în regulă, îi scriem condiția și o aplicăm unde desenul nu mai încape.

Ce vei învăța

• Vei putea formula regula produsului, cu condiția ei de aplicare, și o vei folosi pentru oricâte etape.
• Vei ști să verifici, înainte de a înmulți, că numărul variantelor unei etape nu depinde de alegerile anterioare.
• Vei ști să numeri alegerile cu repetiție, prin puteri, și pe cele fără repetiție, printr-un produs descrescător.
• Vei ști în ce ordine completezi pozițiile: întâi poziția cu cele mai multe condiții.
• Vei ști să explici de ce o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi și să numeri colorări.
• Vei ști să aplici regula în laborator și pe teren: coduri de bare, montaje cu fire, sisteme de irigație, esteri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune regula produsului?

Regula produsului este principiul de numărare pentru alegerile făcute în etape: presupunem că o alegere constă din $k$ etape parcurse una după alta și că etapa a $i$-a are $n_i$ variante, oricare ar fi rezultatele etapelor de dinaintea ei; atunci alegerea completă are $n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$ variante.

Pentru două etape, enunțul se reduce la: prima etapă are $m$ variante, a doua are $n$ variante după oricare dintre ele, deci perechea are $m\cdot n$ variante. Condiția scrisă îngroșat nu e o formalitate; tot restul lecției arată de ce.

2. De ce se înmulțește?

Colecția de roci a laboratorului primește eșantioane noi. Pe eticheta fiecăruia se trec tipul rocii, unul dintre trei (magmatică, sedimentară, metamorfică), și locul colectării, unul dintre patru. Gândește arborele: după prima etapă sunt trei noduri; din fiecare pleacă patru ramuri, deci pe al doilea nivel sunt trei grupe a câte patru noduri, adică douăsprezece etichete.

Argumentul e general. La nivelul întâi sunt $n_1$ noduri. Fiecare se ramifică în $n_2$, deci nivelul al doilea are $n_1\cdot n_2$ noduri. Fiecare dintre acestea se ramifică în $n_3$, și așa mai departe. După ultima etapă, numărul frunzelor, adică al posibilităților complete, este produsul tuturor numerelor de ramuri. Înmulțirea nu e un truc: „de $n_2$ ori câte $n_1$” este chiar definiția ei.

3. Ce înseamnă „oricare ar fi rezultatele etapelor anterioare”?

Șapte probe de apă stau pe masa laboratorului. O probă se folosește pentru măsurarea pH-ului, alta, diferită, pentru măsurarea conductivității. Prima alegere are șapte variante. Pentru a doua rămân șase probe — dar care șase depinde de proba aleasă prima. Regula se aplică totuși: condiția cere ca numărul variantelor să nu depindă de alegerea anterioară, nu ca variantele să fie aceleași. Rezultatul este $7\cdot 6=42$ de moduri.

Condiția e încălcată când chiar numărul se schimbă de la o ramură la alta. Atunci arborele e neuniform și nu există un singur factor pentru etapa respectivă; problema se împarte în cazuri, ca în lecția despre regula sumei și combinarea regulilor. Testul pe care să-l faci reflex: „după fiecare alegere posibilă de la etapa anterioară, câte variante am acum? Iese de fiecare dată același număr?”

Un exemplu în care testul pică: numerele de două cifre la care cifra unităților e mai mică decât cifra zecilor. După zecile $1$, unitățile au o singură variantă, cifra $0$; după zecile $9$, au nouă. Nu există un factor unic pentru a doua etapă, așa că produsul nu se poate scrie. Observă și inversul: ordinea etapelor poate salva regula. La cele șapte probe, dacă ai alege întâi proba pentru conductivitate, a doua etapă ar avea tot șase variante; numărul nu depinde de ordinea în care parcurgi etapele, ci doar de felul în care o etapă o limitează pe cealaltă.

4. Alegeri cu repetiție: puterile

Când fiecare dintre cele $k$ etape se face din aceleași $n$ variante, iar o variantă se poate folosi de mai multe ori, regula produsului dă

$$\underset{k\text{ factori}}{\underbrace{n\cdot n\cdot \dots \cdot n}}=n^k.$$

De exemplu, un rând de cinci becuri, fiecare aprins sau stins, are $2^5=32$ de stări. Aici se vede și ceva important pentru științe: adăugarea unei singure poziții înmulțește numărul variantelor cu $n$, nu îl crește cu $n$. De aceea șirurile scurte ajung repede la numere uriașe.

5. Alegeri fără repetiție: produsul descrescător

Pe o potecă tematică dintr-o rezervație sunt cinci panouri, iar un ghid alege trei dintre ele și le prezintă într-o ordine stabilită: primul, al doilea, al treilea. Primul se alege în $5$ moduri, al doilea dintre cele rămase în $4$, al treilea în $3$:

$$5\cdot 4\cdot 3=60\text{ de prezenta˘ri}.$$

În general, când alegi în ordine $k$ elemente distincte dintr-o mulțime cu $n$ elemente, produsul are $k$ factori care scad cu câte unu: $n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$. Verifică numărul factorilor pe exemplu: pentru $n=5$ și $k=3$, ultimul factor este $5-3+1=3$. Produsul acesta va primi un nume și o notație în lecțiile următoare ale unității; aici îl scriem desfășurat.

6. Cu ce poziție începi?

Câte numere de patru cifre, cu cifre distincte, se termină cu $5$? Dacă pornești de la cifra miilor, te împiedici imediat: numărul variantelor pentru ea depinde de ce vei pune la sfârșit. Pornim, deci, de la poziția cea mai restricționată, cifra unităților, care are o singură variantă. Cifra miilor nu poate fi nici $0$, nici $5$: $8$ variante, oricare ar fi restul. Pentru sute rămân $8$ cifre, pentru zeci $7$:

$$1\cdot 8\cdot 8\cdot 7=448.$$

Regula practică: completează întâi pozițiile cu condiții, apoi pe cele libere. Ordinea în care completezi pozițiile nu trebuie să fie ordinea în care le citești.

7. Câte submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente?

Un dulap de laborator are șapte reactivi. O trusă de lucru poate conține orice grup dintre ei, inclusiv niciunul. A alege o trusă înseamnă a lua, pentru fiecare reactiv în parte, o decizie cu două variante: intră sau nu intră. Deciziile nu se influențează, deci sunt $2^7=128$ de truse posibile.

Aceeași idee numără colorările cu două culori, răspunsurile la un chestionar cu „da” sau „nu”, stările unui panou de întrerupătoare: de fiecare dată, fiecare element primește independent una dintre două etichete.

Proprietate. O mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi. Argumentul este cel de mai sus, cu $n$ decizii binare; în cele $2^n$ intră și mulțimea vidă, și mulțimea întreagă. Numărul tuturor submulțimilor este trecut explicit în programa de examen a bacalaureatului M2 pentru 2027–2029, la capitolul de metode de numărare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Montajul de pe placa cu borne

Pe o placă de montaj pentru lucrări de fizică sunt $6$ borne. Un elev prinde de borne trei fire: cele două fire ale unui LED și firul unui voltmetru. a) În câte moduri poate face legăturile, dacă nu există nicio restricție? b) În câte moduri le poate face, dacă cele două fire ale LED-ului nu au voie să fie prinse în aceeași bornă (LED-ul ar fi scurtcircuitat), iar firul voltmetrului poate fi prins oriunde?

Rezolvare. a) Legăturile se fac în trei etape: firul anodului, firul catodului, firul voltmetrului. Fiecare etapă are $6$ variante, oricare ar fi celelalte:

$$6\cdot 6\cdot 6=6^3=216\text{ moduri}.$$

b) Firul anodului are $6$ borne la dispoziție, al doilea, obligat să fie în altă bornă, are $5$; firul voltmetrului nu are nicio restricție, deci tot $6$ variante:

$$6\cdot 5\cdot 6=180\text{ de moduri}.$$

Condiția privește doar firele LED-ului, așa că a treia etapă își păstrează toate cele șase borne. Firele sunt distincte: LED-ul are polaritate, deci dacă inversezi anodul cu catodul obții alt montaj, chiar dacă folosește aceleași borne.

Exemplul 2 — Câte bare îi trebuie unui cod?

O biobancă vrea să eticheteze $500$ de probe cu coduri de bare diferite, toate de aceeași lungime. a) Dacă fiecare bară este subțire sau groasă, care este cel mai mic număr de bare necesar? b) Dar dacă fiecare bară poate avea una dintre trei grosimi?

Rezolvare. a) Un cod de $k$ bare, fiecare cu $2$ variante, se formează în $2^k$ moduri. Căutăm cel mai mic $k$ cu $2^k\ge 500$. Avem $2^8=256<500$, dar $2^9=512\ge 500$, deci sunt necesare $9$ bare.

b) Cu trei grosimi, codurile de $k$ bare sunt $3^k$. Avem $3^5=243<500$ și $3^6=729\ge 500$, deci ajung $6$ bare.

Observă că o variantă în plus pe poziție scurtează codul cu trei bare. Aceeași întrebare, „cea mai scurtă lungime care ajunge”, apare oriunde se construiesc coduri: la etichetele de laborator, la codurile poștale, la parolele unui dispozitiv.

Exemplul 3 — Restricții care se ating

Câte numere de patru cifre, cu cifre distincte, sunt divizibile cu $5$ și încep cu cifra $5$?

Rezolvare. Pornim de la pozițiile cu condiții. Cifra miilor este fixată: $5$, o singură variantă. Un număr divizibil cu $5$ se termină cu $0$ sau cu $5$; cum $5$ a fost deja folosit, cifra unităților poate fi doar $0$ — tot o singură variantă. Pentru sute rămân $10-2=8$ cifre, pentru zeci $7$:

$$1\cdot 8\cdot 7\cdot 1=56\text{ de numere}.$$

Cele două condiții nu se adaugă una peste alta: prima o face pe a doua mai strictă. De aceea merită să le scrii pe amândouă înainte de a pune vreun factor.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: câți factori?

Un elev alege $4$ dintre cele $9$ plante ale unui experiment și le fotografiază pe rând: prima, a doua, a treia, a patra. El scrie: „Numărul modurilor este $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=15120$.” Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Alegerea are patru etape, câte o fotografie, deci produsul trebuie să aibă patru factori, nu cinci. Prima plantă se alege în $9$ moduri, a doua în $8$, a treia în $7$, a patra în $6$:

$$9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024.$$

Verificarea rapidă: ultimul factor trebuie să fie $9-4+1=6$. Factorul $5$ al elevului ar corespunde unei a cincea fotografii, care nu există în enunț.

Exemplul 5 — Colorarea unei rețele de pătrate

O rețea are $3\times 3$ pătrate, iar fiecare pătrat se colorează în roșu sau în albastru. a) Câte colorări există? b) În câte dintre ele toate cele trei pătrate de pe diagonala care coboară de la colțul din stânga sus la colțul din dreapta jos (marcată în figură) sunt roșii?

Rezolvare. a) Rețeaua are $9$ pătrate, iar fiecare aduce o decizie cu două variante, independentă de celelalte:

$$2^9=512\text{ colora˘ri}.$$

b) Cele trei pătrate de pe diagonală nu mai au de ales: fiecare contribuie cu factorul $1$. Rămân libere $9-3=6$ pătrate, deci

$$1^3\cdot 2^6=64\text{ de colora˘ri}.$$

O colorare a rețelei e același lucru cu alegerea unei submulțimi: mulțimea pătratelor roșii. De aceea numărul colorărilor coincide cu numărul submulțimilor unei mulțimi cu nouă elemente.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Determinați câte numere naturale de trei cifre au toate cifrele pare. b) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare.

Rezolvare. a) Cifrele pare sunt $0$, $2$, $4$, $6$, $8$. Cifra sutelor nu poate fi $0$, deci are $4$ variante; cifrele zecilor și unităților au câte $5$:

$$4\cdot 5\cdot 5=100\text{ de numere}.$$

b) Numerele de trei cifre sunt de la $100$ la $999$, adică $900$. Probabilitatea este

$$P=\frac{100}{900}=\frac{1}{9}.$$

Observă că la punctul b) nu am mai numărat nimic nou: totalul numerelor de trei cifre vine tot din regula produsului, $9\cdot 10\cdot 10=900$, iar probabilitatea e raportul a două numărări făcute cu aceeași regulă. Cerința urmează forma cerinței de numărare și probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi etapele, numărul de variante al fiecăreia și, dacă e cazul, de ce acest număr nu depinde de alegerile anterioare. Abia apoi înmulțește.

1. Într-o clasă de $26$ de elevi sunt $12$ fete. Câte perechi formate dintr-o fată și un băiat se pot alcătui?

2. Șoarecii unui laborator primesc un cod format dintr-o literă, care indică una dintre cele $5$ cuști, urmată de două cifre. Câte coduri diferite există?

3. Un senzor montat într-o peșteră înregistrează, la fiecare oră, una dintre patru stări ale umidității: scăzută, normală, ridicată sau critică. Câte înregistrări diferite pot apărea în $7$ ore consecutive?

4. Un alfabet are $m$ simboluri. Care este cea mai mică valoare a lui $m$ pentru care șirurile de două simboluri ajung pentru a codifica $20$ de obiecte diferite?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există exact $45$ de numere de două cifre ale căror cifre au parități diferite.”

6. Pe un raft de creștere sunt trei poziții: sus, la mijloc și jos. Un elev așază acolo $3$ dintre cele $7$ plante ale sale, câte una pe fiecare poziție. Două dintre plante sunt cactuși și nu pot sta jos, unde lumina e slabă. În câte moduri poate face așezarea?

7. Câte numere de patru cifre, cu cifre distincte, încep cu cifra $9$?

8. Un număr se numește palindrom dacă se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. Câte numere pare de șase cifre sunt palindromuri?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de trei cifre sunt divizibile cu $5$ și au cifra sutelor pară.

10. (Problemă aplicată.) Sistemul de irigație al unei livezi are $18$ electrovalve, iar fiecare poate fi deschisă sau închisă, independent de celelalte. a) Câte configurații diferite poate avea sistemul? Dă rezultatul ca putere a lui $2$ și calculează-l. b) Pentru o parcelă nouă se mai montează $10$ electrovalve, comandate de același panou. De câte ori crește numărul configurațiilor?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de patru cifre au toate cifrele pare și distincte.

12. Numărul $360$ se scrie $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Folosind regula produsului, determină câți divizori naturali are $360$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul submulțimilor mulțimii $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ care conțin exact unul dintre elementele $1$, $2$ și $3$.

14. În laborator se pot folosi $4$ acizi carboxilici și $3$ alcooli diferiți. Din fiecare pereche acid–alcool se obține, prin esterificare, câte un ester. Câți esteri diferiți se pot prepara?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de trei cifre au cifra zecilor egală cu cifra unităților.

16. Câte numere de patru cifre au prima cifră impară, a doua pară, a treia impară și a patra pară?

17. Pe un rezistor se pictează trei benzi, fiecare în una dintre $4$ culori. Câte marcaje au prima și ultima bandă de aceeași culoare?

18. (Provocare.) Determină câte numere de cinci cifre au produsul cifrelor egal cu $10$. (Indicație: gândește ce cifre pot apărea, apoi alege pe rând poziția fiecăreia.)

Răspunsuri și explicații

1. Băieții sunt $26-12=14$. Perechea se alege în două etape, fata și băiatul: $12\cdot 14=168$ de perechi.

2. Trei etape: litera ($5$ variante), prima cifră ($10$), a doua cifră ($10$). Rezultă $5\cdot 10\cdot 10=500$ de coduri.

3. Șapte ore, câte $4$ stări fiecare, cu repetiție: $4^7=16384$ înregistrări.

4. Sunt $m^2$ șiruri de două simboluri și trebuie $m^2\ge 20$. Pentru $m=4$ avem $16<20$, iar pentru $m=5$ avem $25\ge 20$; cea mai mică valoare este $m=5$.

5. Adevărat. Prima cifră are $9$ variante ($1$–$9$). Oricare ar fi ea, între cele zece cifre există exact $5$ de paritate opusă, așa că a doua cifră are $5$ variante. Numărul este $9\cdot 5=45$.

6. Începem cu poziția restricționată: jos poate sta oricare dintre cele $5$ plante care nu sunt cactuși. Sus rămân $6$ plante, iar la mijloc $5$: $5\cdot 6\cdot 5=150$ de moduri.

7. Cifra miilor e fixată; pentru celelalte trei poziții rămân $9$, $8$, apoi $7$ cifre: $1\cdot 9\cdot 8\cdot 7=504$ de numere.

8. Un palindrom de șase cifre e determinat de primele trei cifre, iar ultima lui cifră repetă prima. Ca numărul să fie par, prima cifră trebuie să fie pară și nenulă: $4$ variante ($2$, $4$, $6$, $8$); a doua și a treia au câte $10$: $4\cdot 10\cdot 10=400$ de palindromuri.

9. Cifra sutelor este $2$, $4$, $6$ sau $8$ ($4$ variante), cifra zecilor orice ($10$), cifra unităților $0$ sau $5$ ($2$). Numărul este $4\cdot 10\cdot 2=80$.

10. a) Fiecare electrovalvă aduce o decizie cu două variante, independentă de celelalte: $2^{18}=262144$ de configurații. b) Sistemul cu $28$ de electrovalve are $2^{28}$ configurații, iar $2^{28}:2^{18}=2^{10}=1024$: numărul configurațiilor crește de $1024$ de ori. Fiecare electrovalvă nouă dublează numărul, nu îl mărește cu doi.

11. Cifrele pare sunt $0$, $2$, $4$, $6$, $8$. Cifra miilor nu poate fi $0$: $4$ variante; pentru celelalte poziții rămân, pe rând, $4$, $3$ și $2$ cifre pare nefolosite. Numărul este $4\cdot 4\cdot 3\cdot 2=96$.

12. Un divizor are forma $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$, cu $a\in \{0,1,2,3\}$, $b\in \{0,1,2\}$, $c\in \{0,1\}$, iar alegerile sunt independente: $4\cdot 3\cdot 2=24$ de divizori.

13. Întâi alegi care dintre $1$, $2$ și $3$ intră în submulțime: $3$ variante; celelalte două rămân afară. Elementele de la $4$ la $10$, adică $7$, se decid liber: $3\cdot 2^7=3\cdot 128=384$ de submulțimi.

14. Acidul se alege în $4$ moduri, alcoolul în $3$, iar fiecare pereche dă alt ester: $4\cdot 3=12$ esteri.

15. Cifra sutelor are $9$ variante, cifra zecilor $10$, iar cifra unităților e determinată (e egală cu cea a zecilor): $9\cdot 10\cdot 1=90$ de numere.

16. Cifrele impare sunt $5$, cele pare tot $5$ (inclusiv $0$); prima cifră, fiind impară, nu poate fi $0$. Numărul este $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4=625$.

17. Prima bandă are $4$ variante, a doua $4$, iar a treia e determinată de prima: $4\cdot 4\cdot 1=16$ marcaje.

18. Cum $10=2\cdot 5$, printre cifre trebuie să fie un $2$, un $5$ și trei cifre $1$ (alte cifre ar schimba produsul). Poziția lui $2$ se alege în $5$ moduri, a lui $5$ în $4$, iar restul se umple cu $1$: $5\cdot 4=20$ de numere.

De reținut

• Regula produsului: dacă o alegere are $k$ etape, iar etapa a $i$-a are $n_i$ variante oricare ar fi alegerile anterioare, numărul total este $n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$.
• Condiția privește numărul variantelor, nu variantele înseși; când numărul se schimbă de la o ramură la alta, problema se împarte în cazuri.
• Cu repetiție, $k$ poziții din $n$ variante dau $n^k$; fără repetiție, alegerea ordonată a $k$ elemente distincte din $n$ dă un produs de $k$ factori descrescători, ultimul fiind $n-k+1$.
• La probleme cu condiții, completează întâi pozițiile restricționate; o poziție determinată de altele contribuie cu factorul $1$.
• Submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente sunt $2^n$: fiecare element se ia sau nu se ia, independent de celelalte; la fel se numără colorările cu două culori.

Greșeli frecvente

• Numărul de factori greșit. La alegerea ordonată a $4$ plante din $9$, produsul are patru factori, $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$; un factor în plus sau în minus schimbă complet rezultatul. Controlează ultimul factor: $n-k+1$.
• Baza și exponentul inversate. Un cod de $6$ bare cu $3$ grosimi are $3^6=729$ de variante, nu $6^3=216$. Baza este numărul variantelor unei poziții, exponentul este numărul pozițiilor.
• O condiție aplicată prea larg. Dacă doar firele LED-ului trebuie să fie în borne diferite, firul voltmetrului păstrează toate bornele. Citește exact între ce elemente se pune condiția.
• Pozițiile determinate numărate ca libere. La palindromuri sau la cifrele egale, o poziție copiată din alta nu aduce variante noi; factorul ei este $1$, nu $10$.
• Ordinea de lucru socotită ca etapă. Fișa unei măsurători de rezistență trece materialul firului, unul dintre $5$, și lungimea lui, una dintre $3$; fișa nu se schimbă după cum scrii întâi materialul sau întâi lungimea. Cine înmulțește $5\cdot 3$ și cu $2$, „pentru cele două ordini de completare”, obține $30$ în loc de $15$. Se înmulțesc doar etapele care schimbă rezultatul.

Aplică acasă

1. Codul colecției tale. Alege o colecție pe care o ai acasă (cărți, minerale, plante presate) și numără obiectele. Construiește un cod din simboluri pe care le poți desena ușor și află cea mai scurtă lungime care ajunge pentru toată colecția; verifică apoi că lungimea cu unu mai mică nu ajunge.

2. Montajul fără scurtcircuit. Desenează o placă cu patru borne și un LED cu două fire, anod și catod. Scrie toate felurile de a lega LED-ul, taie-le pe cele în care firele stau în aceeași bornă și compară numărul rămas cu produsul $4\cdot 3$.

3. Divizorii cu regula produsului. Alege trei numere între $100$ și $500$, descompune-le în factori primi și calculează numărul divizorilor cu regula produsului. Verifică pe cel mai mic dintre ele scriind efectiv toți divizorii.

Pentru părinți și profesori

Regula produsului este baza pe care se sprijină toate formulele din restul unității. Lecția insistă pe condiția de aplicare — numărul variantelor unei etape nu trebuie să depindă de alegerile anterioare — și pe ordinea în care se completează pozițiile, fiindcă aici se produc cele mai multe erori. Contextele de laborator, fizică, agronomie și chimie (codurile de bare, montajele cu fire, electrovalvele unei livezi, esterii) arată elevului de științe că numărarea nu e un joc cu cifre.

Întrebări utile la clasă: „Din câte etape e făcută alegerea?”; „După fiecare variantă a primei etape, câte variante ai la a doua — mereu același număr?”; „Care poziție are cele mai multe condiții?”. Semn că elevul a înțeles: scrie etapele înainte de factori și controlează ultimul factor al unui produs descrescător. Legătura cu clasa a IX-a este conjuncția: o alegere completă cere prima etapă și a doua, exact ca în lecția despre conjuncția propozițiilor legate prin „și”. Pasul următor este regula sumei și combinarea regulilor, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de metode de numărare M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regula produsului, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Metode de numărare” numește explicit „regula produsului”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține capitolul „Metode de numărare”, în care apar numărul funcțiilor între mulțimi finite și numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, ambele calculate cu regula produsului, deși regula însăși nu e numită. De aceea exercițiile de numărare marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință în care numărarea pregătește calculul unei probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între regula produsului la M2 și la mate-info (M1)? Regula e aceeași, dar lecția de la științe ale naturii o aplică pe modele din laborator și din științe: coduri de bare, montaje cu fire, sistemul de irigație al unei livezi, esterii, colorările unei rețele. Accentul cade pe citirea condiției și pe ordinea în care completezi pozițiile, iar produsul descrescător rămâne scris desfășurat, fără notații noi.

La ce subiect apare regula produsului la bacalaureatul M2? Regula nu apare ca cerință cu nume propriu, ci ca unealtă. În modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință în care se numără numerele cu o proprietate, apoi se calculează o probabilitate. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa numește regula produsului în domeniul Algebră, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

Cum număr divizorii unui număr cu regula produsului? Descompui numărul în factori primi, de exemplu $112=2^4\cdot 7$. Un divizor se construiește alegând, pe rând, exponentul fiecărui factor prim, de la zero până la exponentul din descompunere. Alegerile sunt independente, deci numărul divizorilor este produsul exponenților mărit fiecare cu unu: $5\cdot 2=10$.

De ce o poziție în plus înmulțește numărul codurilor, nu îl crește cu $n$? Pentru că fiecare cod vechi se continuă în $n$ feluri. Cu bare subțiri sau groase, codurile de trei bare sunt $8$; fiecare dintre ele primește o a patra bară subțire sau groasă, deci apar $8\cdot 2=16$ coduri, nu $8+2=10$. Așa se explică de ce codurile scurte ajung pentru foarte multe obiecte.

Cum aflu cea mai scurtă lungime a unui cod? Dacă fiecare poziție are $n$ variante, codurile de lungime $k$ sunt $n^k$. Cauți cel mai mic $k$ pentru care $n^k$ depășește sau egalează numărul obiectelor de etichetat. Pentru $500$ de probe și bare cu două grosimi, $2^8=256$ nu ajunge, iar $2^9=512$ ajunge, deci trebuie nouă bare.

De ce o poziție copiată din alta nu aduce variante noi? Pentru că ea nu mai e o alegere: la un palindrom de cinci cifre, ultimele două cifre repetă primele două, deci sunt fixate în clipa în care le-ai ales pe acelea. În produs, o astfel de poziție contribuie cu factorul $1$. Cine îi dă zece variante numără de fapt numere care nu sunt palindromuri.