Se știe că $$f(x) = f(6 - x)$$, pentru orice număr real $$x$$. Care este axa de simetrie a graficului lui $$f$$?

graficul nu are axă de simetrie

Cum arăt că dreapta x=2 este axă de simetrie pentru x²-4x+1?

Calculezi ambele valori simetrice: f(2+t)=4+4t+t²-8-4t+1=t²-3 și f(2-t)=4-4t+t²-8+4t+1=t²-3. Sunt egale pentru orice t real, deci condiția f(2+t)=f(2-t) e îndeplinită și dreapta x=2 este axă de simetrie.

Cum verific că un punct e centru de simetrie?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Axă și centru de simetrie

Arăți că $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ pentru orice $t$ admisibil; atunci $C (m, n)$ este centru de simetrie și, luând $t = 0$ , $f (m) = n$ . Exemplu: pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ și punctul $C (1, - 2)$ obții $f (1 + t) = t^{3} - 3 t - 2$ și $f (1 - t) = - t^{3} + 3 t - 2$ . Suma lor este $- 4 = 2 \cdot (- 2)$ la orice $t$ , deci $C (1, - 2)$ este centru de simetrie al graficului.

Simetria se citește pe grafic sau într-un tabel de valori, cu oglinda așezată oriunde, nu numai pe axa $O y$ ; ea figurează ca atare în programa de examen M2, lângă reprezentarea grafică prin puncte.

Axa. Dreapta $x = m$ este axă de simetrie pentru graficul lui $f$ atunci când $f (m + t) = f (m - t)$ la orice $t$ admisibil, adică atunci când $f (x) = f (2 m - x)$ . De aici, un enunț care dă $f (x) = f (6 - x)$ conduce la $2 m = 6$ , deci la axa $x = 3$ . Parabola $f (x) = a x^{2} + b x + c$ are axa $x = - \frac{b}{2 a}$ , iar vârful se așază pe ea.

Centrul. Punctul $C (m, n)$ joacă rol de centru de simetrie când $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ . Luând $t = 0$ obții $f (m) = n$ , deci centrul se află pe grafic. Deosebirea de ținut minte: la axă valorile simetrice sunt egale, la centru ele se adună la $2 n$ .

Capcanele. Axa nu este $x = - b$ ; împărțirea la $2 a$ se uită tocmai când $a = 1$ . O singură pereche de valori egale nu dovedește simetria, în schimb o pereche care nu se potrivește o desființează pe loc. Iar un grafic simetric față de $x = 3$ nu provine dintr-o funcție pară — paritatea cere oglinda fixată pe $O y$ .

De reținut

axa $x = m$ : $f (m + t) = f (m - t)$ , adică $f (x) = f (2 m - x)$
centrul $C (m, n)$ : $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ , iar $f (m) = n$
parabola $a x^{2} + b x + c$ are axa $x = - \frac{b}{2 a}$

Greșeala tipică

La un centru de simetrie se cer valori simetrice egale, ca la axă; corect, ele se adună la $2 n$ , deci pentru $C (1, - 2)$ suma $f (1 + t) + f (1 - t)$ trebuie să fie $- 4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este axa de simetrie a graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ?
- a) $x = 6$
- b) $x = 3$
- c) $x = - 3$
- d) $x = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 3$

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 6}{2} = 3$ . Varianta a) citește axa din coeficientul $b$ și uită împărțirea la $2 a$ , iar d) confundă axa cu termenul liber.
Se știe că $f (x) = f (6 - x)$ , pentru orice număr real $x$ . Care este axa de simetrie a graficului lui $f$ ?
- a) $x = 6$
- b) $x = - 6$
- c) $x = 3$
- d) graficul nu are axă de simetrie
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = 3$

Condiția generală este $f (x) = f (2 m - x)$ , deci $2 m = 6$ și $m = 3$ . Varianta a) ia numărul din enunț drept axă, uitând că el este dublul abscisei.
Graficul unei funcții $f$ are centrul de simetrie $C (4, n)$ , iar din tabel se știe că $f (2) = 1$ și $f (6) = 9$ . Cât este $n$ ?
- a) $4$
- b) $5$
- c) $8$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Numerele $2$ și $6$ sunt simetrice față de $4$ , deci $f (2) + f (6) = 2 n$ , adică $1 + 9 = 2 n$ și $n = 5$ . Varianta d) uită împărțirea la $2$ , iar c) scade valorile în loc să le adune.

Întrebări conexe

Ce axă de simetrie are graficul dacă $f (x) = f (10 - x)$ ?

Compari cu forma generală $f (x) = f (2 m - x)$ : $2 m = 10$ , deci axa este dreapta $x = 5$ . Numerele $x$ și $10 - x$ au mijlocul $5$ , iar valorile funcției în ele sunt egale, așa că punctele corespunzătoare ale graficului sunt oglindite față de $x = 5$ .

Cum aflu o valoare a parabolei din simetrie, fără calcul?

Pentru $f (x) = x^{2} - 8 x + 3$ axa este $x = 4$ . Numerele $1$ și $7$ sunt la distanța $3$ de axă, de o parte și de alta, deci $f (7) = f (1) = 1 - 8 + 3 = - 4$ . Controlul direct confirmă: $49 - 56 + 3 = - 4$ .

Poate graficul unei funcții să fie simetric față de o dreaptă orizontală?

Doar dacă funcția e constantă. Simetria față de $y = n$ ar cere ca odată cu punctul $(x, f (x))$ să fie pe grafic și $(x, 2 n - f (x))$ . O funcție are o singură valoare în $x$ , deci $f (x) = 2 n - f (x)$ , adică $f (x) = n$ pentru orice $x$ .

Ce centru de simetrie are graficul unei funcții afine?

Oricare punct al dreptei. Pentru $f (x) = a x + b$ avem $f (m + t) + f (m - t) = 2 am + 2 b = 2 f (m)$ , deci fiecare punct $(m, f (m))$ verifică condiția de centru. De exemplu, dreapta $y = 2 x + 1$ e simetrică față de $(3, 7)$ , dar și față de $(0, 1)$ .

Unde apare simetria graficului în mișcarea unei mingi aruncate în sus?

Înălțimea $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (în metri, cu $t$ în secunde) are axa $t = 2$ . Mingea are aceeași înălțime la momente simetrice față de $2$ : $h (1) = h (3) = 15$ m. Urcarea și coborârea durează la fel, iar la $t = 2$ atinge $20$ m.

Cum arăt că dreapta $x = 2$ este axă de simetrie pentru $x^{2} - 4 x + 1$ ?

Calculezi ambele valori simetrice: $f (2 + t) = 4 + 4 t + t^{2} - 8 - 4 t + 1 = t^{2} - 3$ și $f (2 - t) = 4 - 4 t + t^{2} - 8 + 4 t + 1 = t^{2} - 3$ . Sunt egale pentru orice $t$ real, deci condiția $f (2 + t) = f (2 - t)$ e îndeplinită și dreapta $x = 2$ este axă de simetrie.

Oamenii mai întreabă și: centrul de simetrie al graficului unei funcții · cum arăt că graficul e simetric față de un punct · verificarea centrului de simetrie · f(m+t)+f(m-t)=2n · simetria graficului față de un punct