Simetria graficului față de o dreaptă sau un punct (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

O minge aruncată în sus urcă și coboară pe un drum care arată la fel în oglindă: la o secundă după aruncare și cu o secundă înainte de a atinge din nou solul, ea se află exact la aceeași înălțime. Curba temperaturii unei probe care se încălzește și apoi se răcește are același obicei, la fel și graficul unei reacții care își atinge viteza maximă la mijlocul intervalului. În toate aceste desene există o dreaptă verticală față de care jumătatea stângă se suprapune peste cea dreaptă — și, uneori, un punct în jurul căruia desenul rămâne neschimbat dacă îl rotești cu $18 0^{\circ}$ . Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți dă cele două egalități care prind aceste simetrii și felul în care se citesc de pe un grafic sau dintr-un tabel. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a IX-a, în capitolul despre lecturi grafice și în cel despre funcția de gradul al doilea; la proba MAT_P2 din 2030 ea intră în domeniul Algebră.

Din lecția anterioară de pe traseu, funcțiile pare și impare și simetriile graficului, știi două cazuri particulare: graficul unei funcții pare se oglindește în axa $O y$ , iar graficul uneia impare rămâne neschimbat la o rotație în jurul originii. Sunt cazuri comode, dar rare: axa de oglindire era fixată la $x = 0$ , iar centrul de rotație la originea reperului. În realitate, vârful unei parabole cade rareori pe axa $O y$ , iar centrul unui grafic simetric stă aproape întotdeauna în altă parte. Acum scoatem simetria din aceste două poziții privilegiate și o mutăm oriunde: axa devine o dreaptă $x = m$ , iar centrul, un punct $C (m, n)$ ales oriunde în plan.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii și să folosești condiția de simetrie față de dreapta $x = m$ , sub forma $f (m + t) = f (m - t)$ .
Vei ști să găsești axa de simetrie a unei parabole și să o folosești ca să obții valori egale ale funcției fără să le calculezi pe amândouă.
Vei ști să citești axa de simetrie dintr-un tabel de valori sau de pe un grafic dat, verificând perechile de puncte.
Vei ști să recunoști un centru de simetrie $C (m, n)$ prin condiția $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ .
Vei ști să deosebești o verificare de o infirmare: o singură pereche de valori nu demonstrează o simetrie, dar una singură o poate desființa.
Vei ști să folosești simetria în citirea unor grafice din fizică, chimie sau biologie, ca să afli valori fără măsurători noi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un grafic este simetric față de o dreaptă verticală?

Simetria graficului față de dreapta verticală $x = m$ înseamnă că punctele graficului situate la aceeași depărtare de dreaptă, una la stânga și una la dreapta, au aceeași înălțime. Cum abscisele lor sunt $m - t$ și $m + t$ , condiția se scrie, pentru orice număr real $t$ cu proprietatea că ambele abscise se află în domeniu:

$f (m + t) = f (m - t) .$

Aceeași condiție are și o formă în care nu apare $t$ : punând $x = m + t$ , adică $t = x - m$ , cealaltă abscisă devine $m - t = 2 m - x$ , deci

$f (x) = f (2 m - x) pentru orice x din domeniu .$

Cele două scrieri sunt echivalente; prima e mai comodă la demonstrații, a doua la recunoașterea rapidă. De pildă, dacă un enunț spune că $f (x) = f (6 - x)$ pentru orice $x$ , atunci $2 m = 6$ , deci axa este dreapta $x = 3$ .

Geometric, dreapta $x = m$ joacă rolul unei oglinzi verticale, exact ca în gimnaziu la simetria față de o dreaptă. Noutatea e că oglinda nu mai este o axă a reperului, ci o dreaptă oarecare, iar poziția ei devine o necunoscută a problemei.

2. Ce se schimbă față de funcțiile pare?

Cazul $m = 0$ dă $f (t) = f (- t)$ , adică tocmai definiția funcției pare: oglinda este axa $O y$ . Cazul general se obține din el printr-o mutare orizontală. Dacă graficul unei funcții pare $g$ se translatează cu $m$ unități spre dreapta, rezultă funcția $f (x) = g (x - m)$ , iar oglinda se mută odată cu desenul, din $x = 0$ în $x = m$ . Se verifică imediat:

$f (m + t) = g (t) = g (- t) = f (m - t) .$

Reține deosebirea de vocabular, fiindcă se cere la examen: „funcție pară" este o proprietate a funcției, cu o poziție fixă a oglinzii, în timp ce „grafic simetric față de dreapta $x = m$ " este o proprietate a desenului, cu oglinda oriunde. O funcție pară are graficul simetric față de $x = 0$ ; o funcție cu graficul simetric față de $x = 3$ nu este, în general, nici pară, nici impară.

Pentru comparație, la mate-info (M1) programa se oprește la aceste două cazuri particulare: oglinda fixată pe axa $O y$ și pivotul în originea reperului. Cazul general, cu axa oriunde și cu centrul oriunde, e cerut doar la științe ale naturii — și cerut prin lectură grafică, nu prin demonstrație.

3. Cum găsesc axa de simetrie a unei parabole?

Parabola este exemplul-etalon, singurul la care axa se citește direct din formulă. Din lecția despre vârful și axa de simetrie ale parabolei reținem că graficul funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ , are axa de simetrie

$x = - \frac{b}{2 a},$

iar vârful este punctul de pe grafic situat chiar pe această dreaptă. Să verificăm cu cifre, pe $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . Aici $a = 1$ , $b = - 6$ , deci $m = 3$ . Calculăm ambele valori simetrice:

$f (3 + t) = (3 + t)^{2} - 6 (3 + t) + 5 = 9 + 6 t + t^{2} - 18 - 6 t + 5 = t^{2} - 4,$

iar $f (3 - t) = 9 - 6 t + t^{2} - 18 + 6 t + 5 = t^{2} - 4$ . Cele două expresii coincid pentru orice $t$ , deci dreapta $x = 3$ este într-adevăr axă de simetrie. Pe drum am obținut și vârful: pentru $t = 0$ rezultă $f (3) = - 4$ , deci vârful este $V (3, - 4)$ .

De aici vine un scurtcircuit foarte util la examen: odată știută axa, valorile în puncte simetrice sunt egale, fără niciun calcul. La funcția de mai sus, $f (1) = f (5)$ pentru că $1$ și $5$ sunt la aceeași depărtare de $3$ ; într-adevăr, amândouă dau $0$ .

4. Cum citesc axa de simetrie dintr-un tabel sau de pe un grafic?

De multe ori nu ai formula funcției, ci doar un șir de valori măsurate. Atunci cauți perechi de valori egale și iei mijlocul absciselor lor. Fie tabelul:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$7$	$3$	$1$	$1$	$3$	$7$

Perechile $(0, 5)$ , $(1, 4)$ și $(2, 3)$ au aceleași valori, iar mijloacele lor sunt $2, 5$ în toate cele trei cazuri. Axa de simetrie a datelor din tabel este, așadar, dreapta $x = 2, 5$ .

Atenție însă la limita metodei: un tabel arată doar câteva puncte. O singură pereche de valori egale nu spune nimic — funcția poate urca și coborî de mai multe ori între ele. Ca să susții o axă de simetrie ai nevoie fie de o formulă, fie de mai multe perechi care dau același mijloc, fie de graficul întreg. În schimb, pentru a infirma o axă propusă ajunge o singură pereche care nu se potrivește: dacă cineva susține că axa e $x = 6$ pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , calculezi $f (7) = 12$ și $f (5) = 0$ și încheiat.

5. Ce înseamnă că un punct este centru de simetrie al graficului?

A doua simetrie nu are oglindă, ci pivot. Un punct $C (m, n)$ este centru de simetrie al graficului lui $f$ dacă, rotind desenul cu $18 0^{\circ}$ în jurul lui $C$ , obținem același grafic. Pe coordonate, asta înseamnă că punctele de abscise $m - t$ și $m + t$ sunt așezate simetric față de $C$ : mijlocul segmentului care le unește trebuie să fie chiar $C$ . Mijlocul are ordonata $\frac{f ( m + t ) + f ( m - t )}{2}$ , iar condiția ca ea să fie $n$ se scrie

$f (m + t) + f (m - t) = 2 n .$

Prin urmare, la o axă de simetrie valorile simetrice sunt egale, iar la un centru de simetrie ele sunt egal depărtate de $n$ , una deasupra și cealaltă dedesubt. Punând $t = 0$ , ceea ce este permis când $m$ aparține domeniului, cum se întâmplă la toate funcțiile din această lecție, obținem $2 f (m) = 2 n$ , adică $f (m) = n$ : centrul de simetrie se află pe grafic. Dacă $m$ nu este în domeniu, ca la $f (x) = \frac{1}{x}$ cu centrul $O (0, 0)$ , centrul rămâne în afara graficului.

Cazul $C (0, 0)$ dă $f (t) + f (- t) = 0$ , adică $f (- t) = - f (t)$ — definiția funcției impare. Ca și la axe, cazul general se obține mutând centrul din origine oriunde în plan.

6. Cum verific un centru de simetrie?

Cel mai simplu exemplu este funcția afină. Fie $f (x) = 4 x - 5$ și punctul $C (2, 3)$ , care se află pe grafic, fiindcă $f (2) = 3$ . Calculăm suma:

$f (2 + t) + f (2 - t) = (4 (2 + t) - 5) + (4 (2 - t) - 5) = (3 + 4 t) + (3 - 4 t) = 6 = 2 \cdot 3.$

Condiția este îndeplinită pentru orice $t$ , deci $C$ este centru de simetrie. Mai mult, calculul arată că nimic nu depindea de alegerea lui $2$ : orice punct al unei drepte este centru de simetrie pentru dreaptă. Aceasta e o deosebire de fond față de axe — o parabolă are o singură axă de simetrie, în timp ce o dreaptă neverticală are o infinitate de centre.

Când nu ai formula, folosești aceeași sumă pe valori măsurate. Dacă graficul are centrul $C (3, n)$ , iar din tabel știi $f (1) = - 2$ și $f (5) = 8$ , atunci $2 n = - 2 + 8 = 6$ , deci $n = 3$ — ordonata centrului se află ca medie a două valori simetrice.

7. Unde se vede simetria în contexte practice?

În fizică, înălțimea unui corp aruncat vertical în sus este descrisă de o funcție de gradul al doilea, iar axa ei de simetrie cade exact în momentul înălțimii maxime; de aceea urcarea și coborârea durează la fel. În chimie, graficul concentrației unui produs intermediar, care crește și apoi scade, este adesea aproape simetric față de momentul de maxim, iar asta permite estimarea unei valori fără o măsurătoare nouă. În biologie, distribuția înălțimilor într-un eșantion mare are un grafic simetric față de dreapta verticală dusă prin medie.

Utilitatea practică e mereu aceeași: simetria înjumătățește munca. Dacă știi valorile pe o jumătate de interval și cunoști axa, le ai și pe celelalte. Aceeași economie apare, în altă formă, la funcțiile periodice, unde graficul se repetă în loc să se oglindească.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Axa citită dintr-un tabel de măsurători

Temperatura unei probe încălzite și apoi lăsate să se răcească a fost măsurată din oră în oră și este dată în tabelul de mai jos, în grade Celsius. Determinați axa de simetrie a datelor. Știind că la ora $1$ temperatura a fost de $16$ grade, precizați ce temperatură este de așteptat la ora $9$ .

ora	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
temperatura	$23$	$28$	$31$	$32$	$31$	$28$	$23$

Rezolvare. Nu avem nicio formulă, doar numere — deci căutăm perechi de valori egale și luăm mijlocul absciselor lor. Valoarea $31$ apare la orele $4$ și $6$ , cu mijlocul $\frac{4 + 6}{2} = 5$ ; valoarea $28$ apare la $3$ și $7$ , cu mijlocul $5$ ; valoarea $23$ apare la $2$ și $8$ , tot cu mijlocul $5$ . Trei perechi diferite arată spre aceeași abscisă, deci axa de simetrie a datelor este dreapta $x = 5$ .

Simetricul orei $1$ față de această dreaptă are abscisa $2 \cdot 5 - 1 = 9$ , deci la ora $9$ este de așteptat aceeași valoare ca la ora $1$ : $16$ grade.

Proba pe formulă. Dacă datele sunt descrise de funcția $f (x) = - x^{2} + 10 x + 7$ , atunci axa dată de formulă este $x = - \frac{10}{2 \cdot ( - 1 )} = 5$ — aceeași. Verificăm două valori: $f (4) = - 16 + 40 + 7 = 31$ și $f (1) = - 1 + 10 + 7 = 16$ , iar $f (9) = - 81 + 90 + 7 = 16$ . Lectura tabelului a dat rezultatul înaintea oricărui calcul.

Exemplul 2 — O simetrie la o funcție exponențială

Arătați că graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2^{x} + 2^{6 - x}$ , este simetric față de dreapta $x = 3$ , apoi calculați $f (1)$ și $f (5)$ .

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu $3 + t$ și apoi cu $3 - t$ :

$f (3 + t) = 2^{3 + t} + 2^{6 - (3 + t)} = 2^{3 + t} + 2^{3 - t}, f (3 - t) = 2^{3 - t} + 2^{3 + t} .$

Cele două sume au aceiași termeni, în altă ordine, deci sunt egale pentru orice $t$ real: dreapta $x = 3$ este axă de simetrie. Valorile cerute: $f (1) = 2 + 2^{5} = 2 + 32 = 34$ și $f (5) = 2^{5} + 2 = 34$ — egale, cum era de așteptat, fiindcă $1$ și $5$ sunt simetrice față de $3$ . Pentru proprietățile puterilor folosite aici poți relua lecția despre funcția exponențială.

Exemplul 3 — Citirea unui grafic

Graficul unei funcții $f : [- 1, 7] \to R$ este simetric față de dreapta $x = 3$ . Se citesc de pe desen valorile $f (- 1) = 6$ , $f (0) = 2$ și $f (3) = - 1$ . Determinați $f (7)$ , $f (6)$ și valoarea minimă citită.

Rezolvare. Simetria transportă fiecare valoare de la stânga la dreapta axei. Punctul simetric al lui $- 1$ față de $3$ are abscisa $2 \cdot 3 - (- 1) = 7$ , deci $f (7) = f (- 1) = 6$ . Analog, simetricul lui $0$ este $2 \cdot 3 - 0 = 6$ , deci $f (6) = f (0) = 2$ . Valoarea $- 1$ , atinsă chiar pe axă, este cea mai mică dintre cele citite; ea nu are pereche, fiindcă punctul $3$ este propriul său simetric.

Observă economia: din trei valori citite pe desen am obținut cinci. Aceasta este exact utilitatea lecturii grafice cerute de programa de la științe ale naturii.

Exemplul 4 — Un centru de simetrie determinat din date

Graficul unei funcții $f$ are centrul de simetrie $C (4, n)$ . Din tabelul de valori se știe că $f (2) = 1$ și $f (6) = 9$ . Determinați $n$ și apoi $f (4)$ .

Rezolvare. Numerele $2$ și $6$ sunt simetrice față de $4$ , deci putem aplica direct condiția centrului cu $t = 2$ :

$f (4 + 2) + f (4 - 2) = 2 n ⟹ 9 + 1 = 2 n ⟹ n = 5.$

Cum centrul de simetrie aparține graficului, avem și $f (4) = n = 5$ . Verificarea intuitivă: punctele $(2, 1)$ și $(6, 9)$ sunt așezate simetric față de $(4, 5)$ , fiindcă mijlocul segmentului care le unește are coordonatele $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = (4, 5)$ .

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev afirmă: „Graficul funcției $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ este simetric față de dreapta $x = 6$ , pentru că în formulă apare coeficientul $- 6$ ." Arătați că afirmația este falsă și corectați-o.

Rezolvare. Pentru a infirma o axă propusă este de ajuns o singură pereche de puncte simetrice față de ea. Luăm $t = 1$ , adică abscisele $6 - 1 = 5$ și $6 + 1 = 7$ :

$f (5) = 25 - 30 + 5 = 0, f (7) = 49 - 42 + 5 = 12.$

Cele două valori sunt diferite, deci $x = 6$ nu este axă de simetrie. Greșeala este de formulă: axa nu se citește din coeficientul $b$ , ci din raportul $- \frac{b}{2 a}$ , care aici dă $x = 3$ . Numărul $6$ e, de fapt, dublul poziției corecte — exact eroarea pe care o face cine uită împărțirea la $2 a$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 8 x + 11$ . a) Arătați că $f (4 + t) = f (4 - t)$ , pentru orice număr real $t$ . b) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f$ . c) Arătați că $f (1) = f (7)$ și calculați $f (1) + f (7)$ .

Rezolvare. a) Calculăm separat cele două expresii:

$f (4 + t) = (4 + t)^{2} - 8 (4 + t) + 11 = 16 + 8 t + t^{2} - 32 - 8 t + 11 = t^{2} - 5.$

Analog, $f (4 - t) = 16 - 8 t + t^{2} - 32 + 8 t + 11 = t^{2} - 5$ . Cele două rezultate coincid pentru orice $t$ real, deci egalitatea este demonstrată, iar dreapta $x = 4$ este axă de simetrie.

b) Vârful se află pe axa de simetrie, deci are abscisa $4$ . Din punctul a), pentru $t = 0$ , obținem $f (4) = - 5$ , deci vârful este $V (4, - 5)$ .

c) Numerele $1$ și $7$ sunt simetrice față de $4$ , fiindcă $4 - 1 = 3 = 7 - 4$ ; conform punctului a), cu $t = 3$ , valorile sunt egale. Le calculăm: $f (1) = 1 - 8 + 11 = 4$ și $f (7) = 49 - 56 + 11 = 4$ . Suma este $4 + 4 = 8$ .

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi ce fel de simetrie se cere: pentru axă compari două valori, pentru centru le aduni. Când verifici o simetrie propusă de altcineva, caută o singură pereche care o strică — e mai rapid decât un calcul general.

1. Determină axa de simetrie a graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , și coordonatele vârfului.

2. Determină axa de simetrie a graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 7$ , și valoarea funcției pe axă.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 18 x + 45$ . Arată că $f (3) = f (15)$ și precizează axa de simetrie a graficului.

4. Un tabel de valori conține $f (1) = 9$ , $f (2) = 4$ , $f (3) = 1$ , $f (4) = 1$ , $f (5) = 4$ , $f (6) = 9$ . Care este axa de simetrie a acestor date și cum o justifici?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f (2) = f (8)$ , atunci graficul funcției $f$ este simetric față de dreapta $x = 5$ ." (Pentru motivare, poți folosi o funcție cu $f (2) = f (8) = 5$ , $f (3) = 1$ și $f (7) = 4$ .)

6. Determină numărul real $m$ pentru care graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + m x + 5$ , este simetric față de dreapta $x = 8$ .

7. Determină numărul real $a$ , $a \neq = 0$ , pentru care graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = a x^{2} - 12 x + 1$ , are axa de simetrie $x = 2$ .

8. Arată că graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3^{x} + 3^{4 - x}$ , este simetric față de dreapta $x = 2$ , apoi calculează $f (0)$ și $f (4)$ .

9. Arată că punctul $C (3, 17)$ este centru de simetrie pentru graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x + 2$ , apoi explică de ce și punctul $D (1, 7)$ este centru de simetrie al aceluiași grafic.

10. (Problemă aplicată.) Înălțimea, în metri, a unei mingi aruncate vertical în sus este $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ , unde $t$ este timpul în secunde, $t \in [0, 4]$ . Determină momentul înălțimii maxime, apoi arată că mingea se află la aceeași înălțime la $t = 1$ s și la $t = 3$ s.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 3$ . a) Arată că $f (1 + t) = f (1 - t)$ , pentru orice număr real $t$ . b) Determină coordonatele vârfului parabolei. c) Calculează $f (- 1) + f (3)$ .

12. Graficul unei funcții $f$ are centrul de simetrie $C (2, n)$ , iar din tabel se știe că $f (- 1) = 3$ și $f (5) = 11$ . Determină $n$ .

13. Graficul funcției $f$ este simetric față de dreapta $x = 4$ și $f (2) = 7$ . Cât este $f (6)$ ? Dacă, în schimb, graficul are centrul de simetrie $C (4, 1)$ și $f (2) = 7$ , cât este $f (6)$ ?

14. Determină axa de simetrie a graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , și scrie rezultatul ca fracție.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$ . a) Arată că $f (x) = 9 - (x - 2)^{2}$ , pentru orice număr real $x$ . b) Determină axa de simetrie a graficului și valoarea maximă a funcției. c) Rezolvă ecuația $f (x) = 5$ și arată că soluțiile sunt simetrice față de axa găsită.

16. Se știe că $f (x) = f (10 - x)$ pentru orice număr real $x$ . Care este axa de simetrie a graficului lui $f$ ? Ce valoare are $f (12)$ dacă $f (- 2) = 3$ ?

17. Folosind graficul funcției cosinus, arată că dreapta $x = π$ este axă de simetrie, verificând egalitatea $cos (π + t) = cos (π - t)$ .

18. (Provocare.) Graficul unei funcții $f : R \to R$ este simetric și față de dreapta $x = 1$ , și față de dreapta $x = 4$ . Arată că $f (x + 6) = f (x)$ pentru orice număr real $x$ .

Răspunsuri și explicații

1. $m = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ , deci axa este $x = 2$ . Vârful: $f (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ , deci $V (2, - 3)$ .

2. $m = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ , deci axa este $x = 3$ . Pe axă, $f (3) = - 18 + 36 - 7 = 11$ ; cum $a < 0$ , aceasta este valoarea maximă a funcției.

3. $f (3) = 9 - 54 + 45 = 0$ și $f (15) = 225 - 270 + 45 = 0$ , deci valorile sunt egale. Axa de simetrie este $x = - \frac{- 18}{2} = 9$ , iar $3$ și $15$ sunt simetrice față de ea, fiindcă $9 - 3 = 6 = 15 - 9$ .

4. Perechile de valori egale sunt $(1, 6)$ , $(2, 5)$ și $(3, 4)$ , iar mijloacele absciselor dau de fiecare dată $3, 5$ . Axa este dreapta $x = 3, 5$ . Justificarea stă în faptul că toate cele trei perechi indică același mijloc — o singură pereche nu ar fi fost suficientă.

5. Fals. Cu valorile din paranteză, simetria față de $x = 5$ ar cere $f (3) = f (7)$ , fiindcă $3$ și $7$ sunt simetrice față de $5$ ; dar $1 \neq = 4$ . O pereche de valori egale nu impune nimic despre restul graficului.

6. Axa este $x = - \frac{m}{2}$ , iar condiția $- \frac{m}{2} = 8$ dă $m = - 16$ . Control pe o pereche simetrică: pentru $f (x) = x^{2} - 16 x + 5$ avem $f (7) = 49 - 112 + 5 = - 58$ și $f (9) = 81 - 144 + 5 = - 58$ .

7. Axa este $x = - \frac{- 12}{2 a} = \frac{6}{a}$ . Din $\frac{6}{a} = 2$ rezultă $a = 3$ .

8. $f (2 + t) = 3^{2 + t} + 3^{2 - t}$ și $f (2 - t) = 3^{2 - t} + 3^{2 + t}$ , sume cu aceiași termeni, deci egale. Valorile: $f (0) = 3^{0} + 3^{4} = 1 + 81 = 82$ și $f (4) = 3^{4} + 3^{0} = 82$ .

9. Mai întâi, $f (3) = 15 + 2 = 17$ , deci $C$ se află pe grafic. Apoi $f (3 + t) + f (3 - t) = (17 + 5 t) + (17 - 5 t) = 34 = 2 \cdot 17$ , pentru orice $t$ real, deci condiția centrului este îndeplinită. La fel se verifică $D$ : $f (1) = 7$ , iar $f (1 + t) + f (1 - t) = (7 + 5 t) + (7 - 5 t) = 14 = 2 \cdot 7$ . Graficul fiind o dreaptă, oricare dintre punctele lui este centru de simetrie.

10. Axa de simetrie este $t = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ , deci înălțimea maximă se atinge după $2$ s și este $h (2) = - 20 + 40 = 20$ m. Momentele $1$ și $3$ sunt simetrice față de $2$ , deci înălțimile coincid: $h (1) = - 5 + 20 = 15$ m și $h (3) = - 45 + 60 = 15$ m.

11. a) $f (1 + t) = 4 + 8 t + 4 t^{2} - 8 - 8 t + 3 = 4 t^{2} - 1$ , iar $f (1 - t) = 4 - 8 t + 4 t^{2} - 8 + 8 t + 3 = 4 t^{2} - 1$ ; egalitatea are loc pentru orice $t$ . b) Din $t = 0$ rezultă $f (1) = - 1$ , deci $V (1, - 1)$ . c) $f (- 1) = 4 + 8 + 3 = 15$ și $f (3) = 36 - 24 + 3 = 15$ , deci suma este $30$ .

12. Numerele $- 1$ și $5$ sunt simetrice față de $2$ , fiindcă $2 - (- 1) = 3 = 5 - 2$ ; deci $f (- 1) + f (5) = 2 n$ , adică $3 + 11 = 2 n$ și $n = 7$ .

13. Punctele $2$ și $6$ sunt simetrice față de $4$ . La axă, valorile sunt egale: $f (6) = 7$ . La centrul $C (4, 1)$ , ele se adună la $2 \cdot 1 = 2$ , deci $f (6) = 2 - 7 = - 5$ .

14. $x = - \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$ . Verificare: $f (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ și $f (3) = 9 - 15 + 6 = 0$ , iar mijlocul lui $2$ și $3$ este $\frac{5}{2}$ .

15. a) $9 - (x - 2)^{2} = 9 - x^{2} + 4 x - 4 = - x^{2} + 4 x + 5 = f (x)$ . b) Din forma obținută se vede că scăderea este minimă când $(x - 2)^{2} = 0$ , deci axa este $x = 2$ , iar valoarea maximă este $9$ . c) $f (x) = 5$ devine $- x^{2} + 4 x = 0$ , adică $x (4 - x) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $4$ ; mijlocul lor este $2$ , chiar abscisa axei.

16. Din $f (x) = f (2 m - x)$ rezultă $2 m = 10$ , deci axa este $x = 5$ . Simetricul lui $- 2$ față de $5$ are abscisa $10 - (- 2) = 12$ , deci $f (12) = f (- 2) = 3$ .

17. Folosind valorile citite pe cercul trigonometric, $cos (π + t) = - cos t$ și $cos (π - t) = - cos t$ , deci cele două sunt egale pentru orice $t$ real. Prin urmare dreapta $x = π$ este axă de simetrie a graficului, exact ca dreptele $x = k π$ .

18. Din prima simetrie, $f (x) = f (2 - x)$ pentru orice $x$ . Din a doua, $f (y) = f (8 - y)$ pentru orice $y$ . Aplicăm a doua egalitate pentru $y = 2 - x$ : $f (2 - x) = f (8 - (2 - x)) = f (6 + x)$ . Combinând cu prima, obținem $f (x) = f (x + 6)$ pentru orice $x$ real. Două oglinzi verticale produc, așadar, o repetare a graficului — cu pasul egal cu dublul distanței dintre ele.

De reținut

Graficul lui $f$ este simetric față de dreapta $x = m$ dacă $f (m + t) = f (m - t)$ pentru orice $t$ admisibil, adică dacă $f (x) = f (2 m - x)$ pentru orice $x$ din domeniu.
Punctul $C (m, n)$ este centru de simetrie dacă $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ ; luând $t = 0$ rezultă $f (m) = n$ , deci centrul aparține întotdeauna graficului.
Cazurile particulare cunoscute sunt $m = 0$ pentru axă (funcție pară) și $C (0, 0)$ pentru centru (funcție impară); cazul general se obține mutând oglinda sau pivotul oriunde în plan.
Graficul funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ are o singură axă de simetrie, dreapta $x = - \frac{b}{2 a}$ , iar vârful se află pe ea; o dreaptă neverticală are, în schimb, o infinitate de centre de simetrie.
O pereche de valori egale nu demonstrează o simetrie, dar o pereche care nu se potrivește o infirmă imediat.

Greșeli frecvente

Axa citită drept $x = - b$ în loc de $x = - \frac{b}{2 a}$ . Împărțirea la $2 a$ e uitată mai ales când $a = 1$ , fiindcă atunci pare că nu schimbă nimic — dar tot împarte la $2$ . La $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ axa e $x = 3$ , nu $x = 6$ .
Numărul dat pentru centru, luat drept valoare a funcției. La un centru $C (m, n)$ , suma valorilor simetrice este $2 n$ , nu $n$ . Cine uită dublul obține un centru coborât la jumătate față de cel adevărat.
Simetria decisă dintr-o singură pereche de valori. Din două valori egale nu rezultă că axa trece prin mijlocul absciselor lor: între cele două puncte graficul poate urca și coborî de mai multe ori. Ai nevoie de formulă sau de mai multe perechi cu același mijloc.
„Grafic simetric" confundat cu „funcție pară". Funcția pară cere oglinda fixată pe axa $O y$ . O funcție cu graficul simetric față de $x = 3$ nu e pară; verificarea $f (- x) = f (x)$ va da fals, deși graficul are într-adevăr o simetrie.
Domeniul uitat la capetele intervalului. Dacă funcția e definită pe $[- 1, 7]$ , iar axa e $x = 3$ , simetricul lui $- 1$ este $7$ și totul e în regulă; dar pe $[0, 5]$ , cu aceeași axă, punctul $0$ ar cere valoarea în $6$ , care nu există. O simetrie are sens doar dacă domeniul însuși este simetric față de axă.

Aplică acasă

Oglinda de pe hârtie milimetrică. Desenează un grafic oarecare pe intervalul $[3, 8]$ , apoi completează-l pe $[- 2, 3]$ astfel încât dreapta $x = 3$ să fie axă de simetrie. Verifică rezultatul punând o oglindă mică, vertical, pe dreapta $x = 3$ : imaginea reflectată trebuie să se suprapună peste bucata desenată de tine.
Aruncarea măsurată cu telefonul. Filmează, în modul încetinit, o minge aruncată vertical în sus și notează, din cadrele înregistrate, momentul plecării, momentul înălțimii maxime și momentul revenirii. Compară cele două durate: dacă filmarea e curată, ele ies aproape egale, iar momentul maximului este chiar mijlocul intervalului — adică abscisa axei de simetrie.
Centrul dintr-un tabel de date. Ia un set de date care crește constant (de exemplu, populația unei culturi de drojdie măsurată din oră în oră, în faza de creștere) și alege trei momente egal depărtate. Verifică dacă valoarea din mijloc este media celorlalte două: dacă da, punctul din mijloc se comportă ca un centru de simetrie local al graficului.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută două noțiuni cunoscute din poziția lor comodă. Elevul știe deja ce înseamnă „simetric față de axa $O y$ " și „simetric față de origine"; aici trebuie să accepte că oglinda poate sta oriunde, iar pivotul la fel. Dificultatea nu este algebrică, ci de citire: condiția $f (m + t) = f (m - t)$ pare complicată doar până când elevul o traduce în cuvinte — „la stânga și la dreapta axei, la aceeași depărtare, valorile sunt egale". Merită insistat pe traducerea aceasta înainte de orice exercițiu cu litere.

Programa de la profilul științe ale naturii cere proprietățile funcțiilor prin lectură grafică, deci accentul cade pe citirea unui desen sau a unui tabel, nu pe demonstrații formale. De urmărit în caiet: dacă elevul verifică o simetrie propusă printr-o singură pereche bine aleasă (pentru infirmare) și printr-un calcul general (pentru confirmare), dacă nu confundă axa cu coeficientul $b$ și dacă știe că ordonata centrului este media a două valori simetrice. Întrebări bune de control: „Ce trebuie să fie egal la o axă de simetrie și ce trebuie să fie constant la un centru?"; „Unde e axa dacă $f (x) = f (10 - x)$ ?"; „Câte axe are o parabolă și câte centre are o dreaptă?"; „Ce se întâmplă dacă domeniul nu e simetric față de axa propusă?". Semn că a înțeles: după ce află axa, citește valori simetrice fără să le mai calculeze.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Funcții" de clasa a X-a, printre proprietățile introduse prin lectură grafică. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde simetria graficului față de drepte de forma $x = m$ este cerută explicit de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a IX-a, atât în capitolul despre lecturi grafice, cât și la funcția de gradul al doilea. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că graficul unei funcții este simetric față de dreapta $x = m$ ? Înseamnă că valorile funcției în puncte egal depărtate de dreaptă coincid: $f (m + t) = f (m - t)$ pentru orice $t$ admisibil. Pe desen, jumătatea din stânga dreptei este oglinda jumătății din dreapta. Scris fără $t$ , același lucru arată astfel: $f (x) = f (2 m - x)$ pentru orice $x$ din domeniu.

Cum aflu axa de simetrie când nu am formula funcției? Cauți pe grafic sau în tabel perechi de puncte cu aceeași valoare și calculezi mijlocul absciselor lor. Dacă toate perechile găsite dau același mijloc, acela este abscisa axei. Cu o singură pereche nu poți decide: între cele două puncte graficul poate urca și coborî de mai multe ori.

Ce este un centru de simetrie al unui grafic? Este un punct $C (m, n)$ în jurul căruia graficul rămâne neschimbat dacă îl rotești cu $18 0^{\circ}$ . Condiția de verificat este $f (m + t) + f (m - t) = 2 n$ : valorile în puncte simetrice se adună mereu la același număr. Centrul se află pe grafic ori de câte ori $m$ aparține domeniului, fiindcă atunci $f (m) = n$ . Cazul $C (0, 0)$ dă exact definiția funcției impare, iar o dreaptă neverticală are o infinitate de centre, câte unul în fiecare punct al ei.

Cum verific o simetrie folosind doar un tabel de valori? Cauți perechi de valori egale și calculezi mijlocul absciselor lor; dacă toate perechile dau același mijloc, acela este candidatul pentru axă. Pentru un centru, aduni valorile din puncte simetrice și verifici dacă suma este mereu aceeași. Un tabel nu poate demonstra o simetrie, dar o poate infirma.

Se învață simetria graficului la fel la mate-info (M1)? Nu chiar. La matematică-informatică se cer, în clasa a IX-a, doar cazurile particulare: funcții pare, cu oglinda pe axa $O y$ , și funcții impare, cu centrul în originea reperului. La științe ale naturii programa cere cazul general, cu axa $x = m$ și cu un centru oarecare, dar îl introduce prin lectură grafică, fără demonstrații formale.

La ce subiect apare simetria graficului la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 o trece la materia clasei a IX-a, la lecturi grafice și la funcția de gradul al doilea. Programa spune însă unde se învață tema, nu la ce subiect se cere: în modelul oficial de subiect M_șt-nat, Subiectul I are o cerință scurtă despre funcții, dar simetria nu apare acolo ca cerință de sine stătătoare. Din 2030, la proba MAT_P2, tema este în domeniul Algebră.

Care e diferența dintre o funcție pară și un grafic simetric față de dreapta $x = m$ ? Funcția pară este cazul $m = 0$ : oglinda este fixată pe axa $O y$ și condiția se scrie $f (- x) = f (x)$ . Când oglinda se mută în $x = m$ , condiția devine $f (m + t) = f (m - t)$ , iar funcția nu mai este, în general, nici pară, nici impară — doar graficul ei păstrează simetria.

Poate un grafic să aibă și axă, și centru de simetrie? Da. Graficul funcției sinus are centrul $O (0, 0)$ și, în același timp, axa de simetrie $x = \frac{π}{2}$ . Cele două proprietăți nu se exclud: una spune că valorile simetrice sunt egale, cealaltă că se adună la o constantă, iar ele se pot referi la poziții diferite ale planului.