De ce suma 1+ 1/2+ 1/4+… nu depășește 2?

Pentru n termeni, formula dă Sₙ= (1-(1/2)ⁿ)/(1-1/2)=2(1- 1/2ⁿ). Paranteza este mereu sub 1, deci suma rămâne sub 2. De exemplu, S₄=1,875 și S₁₀≈ 1,998: sumele se apropie tot mai mult de 2, dar nu îl ating pentru niciun număr finit de termeni.

Cât face suma 1+2+4+…+2⁷?

Sunt opt termeni, de la 2⁰ la 2⁷, cu rația 2. Formula dă (2⁸-1)/(2-1)=255. În general, suma puterilor lui 2 de la 2⁰ la 2ⁿ⁻¹ este 2ⁿ-1, cu o unitate mai puțin decât puterea următoare.

Cât medicament se acumulează după n doze?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Suma geometrică finită

Doza acumulată dintr-un medicament luat zilnic este suma unei progresii geometrice. Într-un model simplificat, iei zilnic $100$ mg, iar până la doza următoare rămâne jumătate din cantitate. După a $n$ -a doză ai $100 + 50 + 25 + \dots$ , o sumă cu $b_{1} = 100$ și $q = \frac{1}{2}$ . Ea este $100 \cdot \frac{1 - 0 , 5 ^{n}}{1 - 0 , 5} = 200 (1 - 0, 5^{n})$ mg. După $4$ doze: $200 \cdot \frac{15}{16} = 187, 5$ mg. Cantitatea se apropie de $200$ mg fără să-l atingă.

Adunarea unei porțiuni geometrice cere trei repere: valoarea de început a porțiunii, factorul dintre vecini și câte valori intră în total. Pentru primul termen $b_{1}$ și $n$ contribuții, suma se notează $S_{n}$ . Ea este un obiect diferit de termenul final $b_{n}$ .

Dacă rația este unu, toate contribuțiile coincid și calculul constă în multiplicarea acelei valori cu numărul copiilor. Pentru celelalte rații nenule folosim $S_{n} = b_{1} (q^{n} - 1) / (q - 1)$ . Forma echivalentă cu $1 - q^{n}$ și $1 - q$ poate simplifica urmărirea semnelor. La valori negative păstrăm adunarea algebrică, fără înlocuire prin module.

O porțiune care începe mai târziu poate fi calculată direct din noul reper sau prin scăderea a două totaluri. Capetele trebuie numărate amândouă. Două totaluri consecutive diferă exact prin contribuția nouă, ceea ce oferă un control independent al rezultatului.

În contexte concrete stabilește dacă valorile sunt contribuții distincte. Repetarea observării aceleiași cantități nu autorizează interpretarea sumei ca acumulare. Toate adunările urmărite sunt finite și rămân în domeniul etapelor declarate de problemă.

De reținut

$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ ; $S_{n} = n b_{1}$ pentru $q = 1$
la rație negativă semnele termenilor se păstrează în sumă
se adună doar contribuții distincte, nu observații repetate ale aceleiași cantități

Greșeala tipică

Se consideră că după $4$ doze de $100$ mg în corp sunt $400$ mg; o parte din fiecare doză s-a eliminat deja, iar modelul dă $187, 5$ mg.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $S_{3}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 16$ și $q = 2$ .
- a) $64$
- b) $96$
- c) $112$
- d) $128$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $112$

Primii trei termeni sunt $16, 32, 64$ , iar totalul este $16 + 32 + 64 = 112$ .
Pentru $b_{1} = - 9$ și $q = 1$ , cât este suma primilor șapte termeni?
- a) $- 63$
- b) $- 9$
- c) $0$
- d) $63$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 63$

Rația unu păstrează termenii egali cu $- 9$ . Suma este $7 \cdot (- 9) = - 63$ .
Câți termeni conține suma $b_{4} + b_{5} + \dots + b_{8}$ ?
- a) $4$
- b) $8$
- c) $3$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Indicii sunt $4, 5, 6, 7, 8$ , deci cinci valori. Calculul este $8 - 4 + 1 = 5$ .

Întrebări conexe

Cât este $1 - 2 + 4 - 8 + 16$ calculat cu formula sumei?

Termenii formează o progresie geometrică cu $b_{1} = 1$ , $q = - 2$ și $n = 5$ . Formula dă $\frac{1 - ( - 2 ) ^{5}}{1 - ( - 2 )} = \frac{1 + 32}{3} = 11$ . Adunarea directă confirmă: $1 - 2 + 4 - 8 + 16 = 11$ . Semnele se păstrează în calcul; dacă s-ar aduna modulele, s-ar obține $31$ , un rezultat pentru alt șir.

Câți strămoși are o persoană pe ultimele cinci generații?

Părinții sunt $2$ , bunicii $4$ , străbunicii $8$ și așa mai departe, deci totalul este $2 + 4 + 8 + 16 + 32$ . Cu formula, $2 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 62$ de strămoși, presupunând că nu se repetă persoane în arbore.

Cum aflu numărul de termeni dacă știu suma geometrică?

Scrii formula sumei cu $n$ necunoscut și rezolvi ecuația în care $n$ apare la exponent. Pentru $3 + 6 + 12 + \dots$ cu suma $189$ : $3 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 189$ , deci $2^{n} - 1 = 63$ și $2^{n} = 64$ . Rezultă $n = 6$ termeni, ultimul fiind $3 \cdot 2^{5} = 96$ . Proba directă: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$ .

De ce suma $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ nu depășește $2$ ?

Pentru $n$ termeni, formula dă $S_{n} = \frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1 - 1/2} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n}})$ . Paranteza este mereu sub $1$ , deci suma rămâne sub $2$ . De exemplu, $S_{4} = 1, 875$ și $S_{10} \approx 1, 998$ : sumele se apropie tot mai mult de $2$ , dar nu îl ating pentru niciun număr finit de termeni.

Cât face suma $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{7}$ ?

Sunt opt termeni, de la $2^{0}$ la $2^{7}$ , cu rația $2$ . Formula dă $\frac{2 ^{8} - 1}{2 - 1} = 255$ . În general, suma puterilor lui $2$ de la $2^{0}$ la $2^{n - 1}$ este $2^{n} - 1$ , cu o unitate mai puțin decât puterea următoare.

Oamenii mai întreabă și: acumularea unui medicament · suma geometrică în biologie · doze repetate și progresia geometrică · cât se acumulează după mai multe doze