Suma unei progresii geometrice (M2, științe ale naturii)

Un aparat colectează la fiecare etapă o cantitate nouă, iar cantitățile urmează un factor constant. Cantitatea ultimei etape și cantitatea colectată în total răspund la întrebări diferite. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), suma geometrică permite calculul unui asemenea total finit. Formula este inclusă în programa pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și în „Algebră” la MAT_P2 din 2030.

Vom folosi termenul general al progresiei geometrice și vom urmări exact câte valori sunt adunate. Pentru manipularea fracțiilor și a puterilor poți revedea puterile cu exponent întreg. Toate sumele acestei lecții conțin un număr finit de termeni; nu studiem sume infinite sau limite.

Ce vei învăța

• Vei ști să distingi valoarea unui termen de suma unei porțiuni a progresiei.
• Vei ști să justifici formula sumei prin compararea a două expresii finite.
• Vei ști să tratezi separat rația unu, înainte de a face o împărțire.
• Vei ști să numeri termenii dintre două ranguri, incluzând ambele capete.
• Vei ști să verifici o sumă prin adunare directă sau prin diferența unor totaluri succesive.
• Vei ști să explici când totalul numeric are sensul cantității acumulate în context.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă suma primilor termeni?

Suma primilor termeni ai progresiei geometrice este totalul valorilor de la primul rang până la un rang final precizat, inclusiv. Pentru un număr natural $n\ge 1$, notăm $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. Litera $n$ arată numărul termenilor adunați, iar progresia respectă în continuare condițiile $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$.

Termenul $b_n$ este numai ultima valoare din această sumă. Dacă problema cere ce se întâmplă la ultima etapă, avem nevoie de acel termen. Dacă cere totalul unor contribuții distincte până la ultima etapă, adunăm contribuțiile. Alegerea formulei începe astfel de la sensul întrebării.

Pentru o sumă scurtă, putem construi termenii și îi putem aduna direct. Formula devine utilă când dorim un calcul organizat sau când numărul termenilor este mai mare. Ea nu schimbă operația cerută; este o altă modalitate de a calcula aceeași adunare finită.

Înainte să aplici orice formulă, identifică primul termen inclus, rația și numărul valorilor. Într-o problemă practică verifică și dacă toate contribuțiile au aceeași unitate și pot fi interpretate ca părți distincte ale totalului. Asemănarea dintre unități nu garantează singură această interpretare.

2. Cum obținem formula printr-o deplasare?

Scriem fiecare termen folosind primul termen și rația: $S_n=b_1+b_{1}q+\cdots +b_1{q}^{n-1}$. Înmulțirea întregii sume cu rația produce $q{S}_n=b_{1}q+b_1{q}^2+\cdots +b_1{q}^n$. În noua expresie, fiecare putere este deplasată cu un pas.

Comparăm cele două linii. Termenii interiori sunt aceiași: fiecare apare o dată în prima expresie și o dată în a doua. Dacă scădem prima egalitate din a doua, ei se anulează. La capete rămâne $q{S}_n-S_n=b_1{q}^n-b_1$.

Factorizăm ambii membri și obținem $(q-1)S_n=b_1(q^n-1)$. Această egalitate este corectă și când rația este unu, dar nu o putem împărți atunci la factorul din stânga. Pentru $q\ne 1$, împărțirea este permisă și conduce la formula căutată:

$$S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1},q\ne 1.$$

Exponentul este numărul termenilor adunați. Puterea suplimentară față de ultimul termen a apărut când am înmulțit întreaga sumă cu rația. Această origine explică diferența dintre formula termenului general și formula sumei, fără o regulă de memorare arbitrară.

3. Ce facem când rația este unu?

Pentru $q=1$, fiecare termen este egal cu primul. Suma conține atunci $n$ copii ale aceleiași valori, deci $S_n=n{b}_1$. Această relație este valabilă și pentru un prim termen negativ. Semnul totalului este semnul termenului repetat, fiindcă numărul copiilor este pozitiv.

Formula cu fracție nu poate fi folosită în acest caz: numitorul ei ar fi zero. Nu înseamnă că suma nu există și nici că suma trebuie declarată zero. Înseamnă numai că acea formă de calcul nu se aplică, iar adunarea termenilor egali rezolvă imediat problema.

Un algoritm sigur începe cu această alegere de caz. Dacă rația este deja dată și diferă de unu, scriem formula cu fracție. Dacă rația este unu, folosim multiplicarea simplă. Dacă rația este necunoscută, verificăm ipotezele înainte de orice împărțire care ar putea elimina o posibilitate admisă.

La un singur termen, ambele cazuri trebuie să reproducă valoarea inițială. Acesta este un control al formulei, nu un motiv pentru a omite condiția rației. O relație algebrică este folosită numai pe domeniul unde operațiile sale sunt definite.

4. Cum alegem forma convenabilă a fracției?

Putem schimba semnul atât la numărător, cât și la numitor: $\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$. Cele două forme sunt echivalente pentru $q\ne 1$. Schimbarea unui singur semn ar produce însă opusul rezultatului, deci trebuie păstrate împreună cele două modificări.

Pentru o rație pozitivă subunitară, forma cu $1-q^n$ și $1-q$ folosește cantități pozitive în fracție. Pentru o rație mai mare decât unu, forma cu $q^n-1$ și $q-1$ are același avantaj. Alegerea reduce riscul semnelor greșite, fără să schimbe valoarea sumei.

Formula funcționează și pentru rații negative. În această situație urmărim paritatea exponentului și semnul numitorului, iar primul termen își păstrează propriul semn. Nu interpretăm o sumă algebrică drept suma modulelor: termenii negativi contribuie prin scădere.

Suma poate fi nulă chiar dacă fiecare termen al progresiei este nenul. De exemplu, pentru rația minus unu, termenii se anulează în perechi atunci când numărul lor este par. Definiția progresiei exclude termenii nuli, dar nu interzice anularea unor termeni nenuli în adunare.

5. Cum adunăm numai o porțiune a progresiei?

Dacă cerința începe la rangul $k$ și se încheie la rangul $m$, cu $m\ge k$, sunt $m-k+1$ termeni. Adăugarea unității include ambele capete. Diferența indicilor numără trecerile dintre termeni, în timp ce suma are nevoie de numărul valorilor incluse.

Putem privi porțiunea ca pe o listă geometrică al cărei prim termen este $b_k$ și a cărei rație rămâne $q$. Pentru $q\ne 1$, totalul este $b_k\frac{q^{m-k+1}-1}{q-1}$. Pentru $q=1$, adunăm $m-k+1$ valori egale cu $b_k$.

Există și metoda diferenței de sume. Dacă $k\ge 2$, totalul de la rangul $k$ la rangul $m$ este $S_m-S_{k-1}$. Din suma până la capătul dorit eliminăm exact termenii situați înaintea începutului cerut. Nu scădem $S_k$, deoarece astfel am elimina și primul termen care trebuia păstrat.

Cele două metode permit un control reciproc. Prima poate fi mai scurtă când termenul de început al porțiunii este cunoscut. A doua este convenabilă când avem deja totaluri parțiale. Indiferent de alegere, precizăm capetele înainte de substituție.

6. Cum citim o problemă în sens invers?

Uneori cunoaștem suma și căutăm numărul termenilor. Înlocuim datele în formula potrivită rației, izolăm puterea și căutăm un exponent natural. În această lecție folosim puteri mici, recunoscute exact, sau verificări succesive pe liste scurte. Nu introducem logaritmi.

Numărul de termeni trebuie să fie un întreg pozitiv. Un rezultat incompatibil cu această condiție înseamnă că nu există o astfel de sumă cu datele problemei. Nu rotunjim numărul termenilor, fiindcă o adunare cu încă un termen are alt total.

Dacă termenii sunt pozitivi, fiecare termen nou mărește totalul. Putem folosi această observație pentru a verifica unicitatea numărului găsit sau pentru a exclude o sumă intermediară. Nu o transferăm la o progresie cu semne alternante: adăugarea unui termen negativ poate micșora suma.

O altă relație inversă utilă este $b_n=S_n-S_{n-1}$ pentru $n\ge 2$. Două totaluri succesive diferă numai prin ultimul termen inclus. Relația nu cere să cunoaștem rația și poate fi verificată direct prin anularea termenilor comuni ai celor două adunări.

7. Ce înseamnă totalul într-o aplicație?

Pentru a numi suma „cantitate colectată”, fiecare termen trebuie să reprezinte o contribuție nouă. Dacă un recipient primește porții separate, suma volumelor porțiilor poate reprezenta volumul adăugat, în ipotezele modelului. Trebuie precizat că nu există pierderi ori alte modificări care schimbă totalul urmărit.

În schimb, dacă măsurăm aceeași cantitate la momente diferite, suma observațiilor nu reprezintă automat cantitatea existentă la final. Valoarea finală este ultimul termen. Adunarea tuturor observațiilor poate număra repetat o parte a aceleiași cantități. Unitățile rămân aparent corecte, dar interpretarea ar fi greșită.

Același control se aplică populațiilor: adunarea numărului de indivizi observat la câteva momente nu reprezintă, fără informații suplimentare, numărul indivizilor diferiți. Nu atribuim unui total numeric o semnificație pe care datele nu o susțin. Modelele lecției precizează ce contribuții se adună.

Folosim intervale finite și mărimi bine definite. Rația pozitivă este potrivită porțiilor și volumelor pozitive; rațiile negative apar în exemple numerice, unde suma algebrică are sens. Alegerea contextului nu schimbă formula, dar schimbă condițiile admise și felul în care formulăm răspunsul.

8. Cum controlăm o sumă fără să repetăm tot calculul?

La puțini termeni, adunarea directă este un control independent al fracției. Pentru termeni pozitivi, totalul trebuie să fie cel puțin egal cu fiecare termen inclus, iar dacă există mai mult de un termen, este strict mai mare decât oricare dintre ei. O valoare care încalcă această observație semnalează o greșeală.

Putem calcula separat ultimul termen și îl putem compara cu diferența dintre două totaluri succesive. Această verificare leagă formula sumei de formula termenului general. Ea este deosebit de utilă când o putere a fost scrisă cu un exponent deplasat.

Pentru rație negativă, verificarea semnelor se face pe termenii efectivi. Nu presupunem că suma este pozitivă fiindcă primul termen este pozitiv. Dacă modelul este practic, adăugăm controlul unității și al numărului de contribuții. O concluzie precisă spune atât valoarea totalului, cât și intervalul la care se referă.

Datele pot fi prezentate și sub forma unui început de listă urmat de puncte de suspensie și de ultima putere. Atunci reconstruim rangurile termenilor, nu numărăm numai expresiile vizibile. Puterea de la început poate avea exponentul zero sau un exponent mai mare. Capetele indică ce valori au fost omise în scriere, iar numărul lor trebuie stabilit înainte să înlocuim în formulă.

O verificare utilă pentru o porțiune este să o reunim cu partea eliminată. Totalul porțiunii plus suma termenilor de dinaintea ei trebuie să redea suma până la capătul final. Acest control detectează o valoare omisă sau numărată de două ori. El se bazează pe împărțirea aceleiași liste în două părți distincte, nu pe o proprietate suplimentară a rației.

Într-un calcul cu fracții, compară totalurile exacte înainte de rotunjire. Aproximările intermediare pot face două metode corecte să pară diferite la ultima zecimală. Dacă exercițiul solicită o valoare aproximativă, consemnează întâi fracția obținută, apoi precizia aleasă. Astfel rămâne clară deosebirea dintre rezultatul matematic și forma în care îl comunici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Un total finit calculat în două moduri

Calculează suma primilor cinci termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=11$ și $q=2$.

Rația diferă de unu, deci $S_5=11\cdot \frac{2^5-1}{2-1}=11\cdot 31=341$. Puterea are exponentul cinci, deoarece adunăm cinci valori.

Verificăm prin lista completă: $11+22+44+88+176=341$. Ultimul termen este numai $176$, deci nu reprezintă totalul. Ambele metode adună exact aceeași porțiune a progresiei; a doua face vizibile contribuțiile, iar prima concentrează calculul într-o formulă.

Exemplul 2. O rație pozitivă subunitară

Se dau $b_1=96$ și $q=\frac{1}{4}$. Determină $S_4$ și verifică dacă rezultatul are ordinul de mărime potrivit.

Folosim forma cu numărătorul și numitorul pozitive: $S_4=96\cdot \frac{1-(1/4{)}^4}{1-1/4}=96\cdot \frac{255}{256}\cdot \frac{4}{3}=\frac{255}{2}=127,5$.

Termenii sunt $96,24,6,\frac{3}{2}$, iar adunarea lor confirmă rezultatul. Totalul depășește primul termen, deși fiecare contribuție nouă este mai mică decât precedenta. Nu confundăm descreșterea termenilor cu descreșterea sumelor de termeni pozitivi. Calculul privește exact patru termeni, fără continuare infinită.

Exemplul 3. Rația unu, cu termeni negativi

O progresie geometrică are $b_1=-8$ și $q=1$. Calculează suma primilor nouă termeni.

Toți termenii sunt egali cu valoarea inițială. Aplicăm cazul separat și obținem $S_9=9\cdot (-8)=-72$. Nu folosim formula cu fracție, deoarece numitorul ei s-ar anula.

Semnul negativ al totalului este firesc: adunăm nouă numere negative. Exemplul este numeric, fără interpretarea unor cantități fizice negative. El arată că regula rației unu nu depinde de pozitivitatea primului termen, ci numai de faptul că fiecare multiplicare îl păstrează neschimbat.

Exemplul 4. O sumă algebrică cu semne alternante

Pentru progresia cu $b_1=7$ și $q=-2$, calculează $S_6$.

Formula dă $S_6=7\cdot \frac{(-2{)}^6-1}{-2-1}=7\cdot \frac{63}{-3}=-147$. Puterea cu exponent par este pozitivă, dar numitorul este negativ, astfel că totalul este negativ.

Adunarea directă este $7-14+28-56+112-224=-147$. Ultima contribuție negativă are un rol important în rezultatul acestei sume concrete. Nu înlocuim termenii cu modulele lor: acea operație ar răspunde unei alte întrebări și ar produce un total diferit.

Exemplul 5. O sumă care începe la un rang intermediar

În progresia cu $b_1=13$ și $q=2$, calculează $b_3+b_4+b_5+b_6$.

Primul termen inclus este $b_3=13\cdot 2^2=52$, iar porțiunea conține patru valori. Totalul este $52\cdot \frac{2^4-1}{2-1}=52\cdot 15=780$.

Putem verifica prin diferență: $S_6=13\cdot 63=819$ și $S_2=13\cdot 3=39$, astfel că $819-39=780$. Scădem suma primilor doi termeni, fiindcă aceștia sunt singurii situați înaintea intervalului cerut. Termenul al treilea trebuie păstrat în total.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un model didactic, cinci porții distincte sunt colectate fără pierderi. Prima are $28$ mL, iar fiecare următoare are jumătate din volumul precedentei. Calculează volumul ultimei porții și volumul colectat în total. Este un antrenament propriu pe tema prevăzută de programa de examen.

Ultima porție are $b_5=28\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{7}{4}$ mL. Totalul celor cinci porții este $S_5=28\cdot \frac{1-(1/2{)}^5}{1-1/2}=\frac{217}{4}=54,25$ mL.

Cele două rezultate răspund unor cerințe distincte. Putem aduna volumele fiindcă enunțul descrie porții noi, colectate fără pierderi. Nu este vorba despre măsurări repetate ale aceluiași volum, situație în care interpretarea totalului ar trebui schimbată.

Să exersăm

Identifică primul termen inclus și numărul termenilor înainte de calcul. Alege cazul rației, apoi verifică sensul rezultatului. La aplicații păstrează unitățile și domeniul finit declarat.

1. Pentru $b_1=23$ și $q=2$, calculează $S_4$. Verifică răspunsul scriind și adunând toate cele patru valori.

2. O progresie geometrică are $b_1=4$ și $q=5$. Determină suma primilor patru termeni și precizează separat ultimul termen inclus.

3. Se dau $b_1=72$ și $q=\frac{1}{3}$. Calculează $S_4$ ca fracție exactă. Alege forma formulei care te ajută să controlezi semnele.

4. Pentru $b_1=-3$ și $q=2$, determină $S_5$. Explică de ce fiecare termen al adunării are același semn.

5. Progresia are $b_1=6$ și $q=-3$. Calculează $S_4$ și verifică rezultatul prin adunare algebrică directă.

6. Se cunosc $b_1=12$ și $q=1$. Află $S_{17}$ și scrie motivul pentru care nu folosești formula cu fracție.

7. Pentru $b_1=19$ și $q=-1$, calculează $S_8$ și $S_9$. Explică diferența dintre cele două totaluri prin termenul nou adăugat.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă într-o progresie geometrică $S_4=0$, atunci rația este $-1$.

9. Într-o progresie cu $b_1=5$ și $q=2$, suma primilor $n$ termeni este $315$. Determină numărul termenilor și verifică prin formula sumei.

10. Se dau $b_1=7$, $q=3$ și $S_n=847$. Determină rangul final al sumei, folosind o putere a lui trei recunoscută exact.

11. Pentru $b_1=15$ și $q=4$, calculează atât $b_3$, cât și $S_3$. Explică în cuvinte ce reprezintă fiecare dintre cele două valori.

12. În progresia cu $b_1=10$ și $q=4$, adună termenii de la rangul doi la rangul patru, inclusiv. Verifică numărul contribuțiilor înainte de substituire.

13. (Problemă aplicată.) Un model prevede patru porții noi de lichid, colectate separat și apoi reunite fără pierderi. Prima are $9$ mL, iar fiecare următoare are de trei ori volumul precedentei. Determină volumul total.

14. O probă are masa inițială $100$ g. Un model finit o înjumătățește la fiecare dintre trei etape. Pentru masa rămasă la final, trebuie calculat ultimul termen sau suma celor patru observații? Calculează răspunsul cerut.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O progresie geometrică are $b_1=14$ și $q=3$. Calculează suma primilor patru termeni, scriind formula folosită.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $b_1=240$ și $q=\frac{1}{2}$, determină $S_5$ și controlează dacă totalul este mai mare decât primul termen.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dau $b_1=48$ și $q=-\frac{1}{2}$. Calculează $S_5$, cu atenție la puterea rației și la semnul numitorului.

18. În aceeași progresie geometrică sunt cunoscute $S_4=330$ și $S_5=682$. Află $b_5$ fără să determini rația. Explică ce termeni se elimină prin scădere.

Răspunsuri și explicații

1. $S_4=23\cdot \frac{2^4-1}{2-1}=345$. Adunarea directă este $23+46+92+184=345$. Formula și lista folosesc același număr de valori, incluzând ambele capete ale intervalului.

2. $S_4=4\cdot \frac{5^4-1}{5-1}=624$, iar $b_4=4\cdot 5^3=500$. Ultima contribuție este doar o parte din total; celelalte trei valori rămân incluse în sumă.

3. $S_4=72\cdot \frac{1-(1/3{)}^4}{1-1/3}=\frac{320}{3}$. Adunarea $72+24+8+\frac{8}{3}$ confirmă fracția. Nu este necesară rotunjirea rezultatului, deoarece se cere valoarea exactă.

4. $S_5=(-3)\cdot \frac{2^5-1}{2-1}=-93$. Rația pozitivă păstrează semnul primului termen, deci toate cele cinci contribuții sunt negative. Totalul negativ respectă această observație.

5. $S_4=6\cdot \frac{(-3{)}^4-1}{-3-1}=-120$. Verificarea directă este $6-18+54-162=-120$. Am adunat termeni cu semnele lor, nu modulele acestora.

6. $S_{17}=17\cdot 12=204$. Rația unu păstrează fiecare termen egal cu doisprezece. Formula cu fracție nu este definită în acest caz, dar suma există și se calculează direct.

7. $S_8=0$, deoarece cele patru perechi se anulează. Al nouălea termen este $19$, deci $S_9=19$. Diferența totalurilor reproduce exact contribuția nouă, fără contradicție cu nenulitatea termenilor.

8. Adevărat. Rația nu poate fi unu, fiindcă atunci $S_4=4b_1\ne 0$. Pentru $q\ne 1$, din $b_1\cdot \frac{q^4-1}{q-1}=0$ și $b_1\ne 0$ rezultă $q^4=1$, deci $q=1$ sau $q=-1$ printre numerele reale. Singura posibilitate rămasă este $q=-1$.

9. Din $5(2^n-1)=315$ rezultă $2^n=64=2^6$, deci $n=6$. Verificarea $5\cdot (64-1)=315$ confirmă suma, iar numărul termenilor este un întreg pozitiv.

10. Ecuația devine $7\cdot \frac{3^n-1}{2}=847$, de unde $3^n=243=3^5$. Sunt cinci termeni. Exponentul din formula sumei este chiar numărul lor, fără ajustarea folosită la termenul general.

11. $b_3=15\cdot 4^2=240$, iar $S_3=15\cdot \frac{4^3-1}{4-1}=315$. Prima valoare este termenul de rang trei; a doua adună termenii de la rangurile unu, doi și trei.

12. Porțiunea are trei termeni și începe cu $b_2=40$. Totalul este $40\cdot \frac{4^3-1}{4-1}=840$, confirmat de $40+160+640=840$. Diferența indicilor singură ar fi numărat doar două treceri.

13. $S_4=9\cdot \frac{3^4-1}{3-1}=360$ mL. Porțiile sunt distincte, iar reunirea este declarată fără pierderi. De aceea suma volumelor are sensul volumului total cerut în model.

14. Folosim ultima observație: $100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=12,5$ g. Suma observațiilor ar număra repetat masa aceleiași probe și nu ar reprezenta masa rămasă la final.

15. $S_4=14\cdot \frac{3^4-1}{3-1}=560$. Sunt patru valori, de aceea exponentul din formulă este patru. Rația diferită de unu permite împărțirea la numitorul scris.

16. $S_5=240\cdot \frac{1-(1/2{)}^5}{1-1/2}=465$. Totalul este mai mare decât $240$, cum trebuie pentru mai multe contribuții pozitive. Controlul de mărime completează calculul exact, fără să îl înlocuiască.

17. $S_5=48\cdot \frac{1-(-1/2{)}^5}{1-(-1/2)}=48\cdot \frac{33}{32}\cdot \frac{2}{3}=33$. Adunarea directă $48-24+12-6+3=33$ confirmă rezultatul. Puterea cu exponent impar este negativă, numitorul $1-q=\frac{3}{2}$ este pozitiv, iar paranteza din baza puterii păstrează semnul rației.

18. $b_5=S_5-S_4=682-330=352$. Primii patru termeni apar în ambele totaluri și se elimină. Rămâne numai termenul adăugat când suma trece de la patru la cinci contribuții.

De reținut

• Suma $S_n$ privește un număr finit de contribuții, identificat înainte de calcul.
• Pentru $q\ne 1$ folosim $S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$; pentru $q=1$ adunăm termeni egali, $S_n=n{b}_1$.
• O porțiune de la rangul $k$ la rangul $m$ include $m-k+1$ valori.
• Sumele algebrice pot fi nule chiar dacă toți termenii sunt nenuli.
• În aplicații, justificăm separat de calcul de ce valorile adunate reprezintă contribuții distincte la total.

Greșeli frecvente

• Adunarea măsurărilor aceleiași cantități. Un șir de observații nu devine automat o colecție de contribuții noi. Citește ce reprezintă termenii.
• Eliminarea începutului cerut. La diferența de sume, scade totalul de dinaintea rangului inițial, nu totalul care îl include deja.
• Confundarea sumei cu suma modulelor. La termeni negativi, păstrează semnele în adunare. Modulele ar defini alt calcul.
• Interzicerea unui total nul. Nenulitatea termenilor nu se transmite sumei. Verifică eventualele anulări înainte de a respinge rezultatul.
• Transferarea creșterii sumelor pozitive. Cu termeni de semne diferite, totalul nu crește obligatoriu când mai adaugi o valoare.

Aplică acasă

1. Porții și observații. Scrie două povestiri pentru aceeași listă pozitivă: una în care valorile sunt porții noi și una în care sunt observații ale aceluiași obiect. Explică în care povestire suma este cantitate acumulată.
2. Intervalul colorat. Construiește șase termeni și colorează numai patru termeni consecutivi din interiorul listei. Calculează totalul colorat direct și prin diferență de sume, indicând exact ce elimini.
3. Controlul prin diferență. Alege o progresie cu rație negativă și calculează două sume parțiale consecutive. Scade-le și compară rezultatul cu termenul nou. Urmărește semnul, fără să folosești module.

Pentru părinți și profesori

O soluție bine înțeleasă explică alegerea obiectului: termen individual sau total finit. Cereți elevului să numească primul și ultimul termen inclus înainte de folosirea formulei. Deducerea prin scădere oferă motivul exponentului, iar verificarea prin adunare directă este suficientă pentru exemplele scurte.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Suma primilor termeni ai unei progresii geometrice este cuprinsă în „Algebră” la Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde suma este de asemenea menționată în conținuturile de examen. Modelul oficial pentru 2026 nu conține o cerință dedicată sumei geometrice; exemplele și marcajele lecției indică antrenamente proprii.

După exersare, folosiți testul progresiilor pentru M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: suma progresiei geometrice permite comparația de traseu; aici rămânem la sume finite și aplicații elementare.

Întrebări frecvente

Cum decid dacă o problemă cere termenul final sau totalul?

Identifică ce reprezintă fiecare valoare și citește verbul cerinței. O cantitate rămasă la ultimul moment este o observație individuală. Un total de contribuții distincte cere adunare. Nu alege suma doar fiindcă enunțul descrie mai multe etape; acele etape pot privi aceeași cantitate, măsurată în mod repetat.

De ce adăugăm unu la diferența rangurilor unui interval?

Diferența rangurilor numără trecerile dintre capete, în timp ce suma numără valorile, incluzând ambele capete. Scrie pentru control indicii consecutivi de pe o porțiune scurtă. Aceeași distincție explică de ce exponentul termenului general și numărul termenilor unei sume nu trebuie preluate mecanic unul din celălalt.

Un total nul înseamnă că am încălcat definiția progresiei?

Nu. Definiția cere ca termenii și rația să fie nenuli, dar o adunare de numere nenule poate da zero. La semne alternante pot exista anulări între contribuții. Verifică termenii efectivi ai porțiunii adunate. Un rezultat nul este imposibil pentru o sumă de termeni strict pozitivi, însă nu pentru orice progresie.

Cum verific o sumă cunoscând încă un total parțial?

Dacă totalurile sunt pentru ranguri consecutive, diferența lor trebuie să fie termenul nou adăugat. Calculează acel termen din rație și dintr-un reper cunoscut, apoi compară. Dacă totalurile se opresc la ranguri mai depărtate, diferența reprezintă întreaga porțiune dintre ele, nu numai ultimul termen al progresiei.

Ce păstrează lecția M2 și ce lasă variantelor M1?

Păstrăm suma finită, justificarea ei, cazul rației unu, porțiunile consecutive și probleme inverse simple. Exemplele insistă pe contribuții distincte, semne și verificarea numărului de termeni. Nu dezvoltăm sume infinite, limite sau probleme ample cu rații determinate din ecuații suplimentare. Toate metodele necesare sunt explicate în lecția de aici.

Există o poziție obligatorie a sumei geometrice în subiectele de bacalaureat M2?

Nu atribuim temei o poziție obligatorie într-o variantă. Formula este inclusă în programa de examen și merită exersată prin calcule scurte și interpretări corecte. Modelul oficial pentru 2026 nu o solicită explicit. La MAT_P2 din 2030 tema este în „Algebră”, iar exercițiile propuse aici sunt materiale de antrenament.